13.1.1直角三角形三边的关系 课件 2025-2026学年 华东师大版数学八年级上册

13.1.1 探索勾股定理 1 教材结构分析 本节课是华师大版八年级上册第13章第一节《勾股定理》中的第一课时,勾股定理是课标中《图形与几何》的重要部分,勾股定理揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系,它可以解决许多直角三角形的计算问题,是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用处很大；它不仅在数学中，在其他自然科学中也被广泛运用。由于勾股定理反映了一个直角三角形三边之间的关系,它也是直角三角形的一条重要性质,它能够把形的特征转化成数量关系，它把形与数密切联系起来。因此勾股定理在理论上有着重要的地位。 二、学生学情分析 学生在之前已经学习了三角形的基本概念、分类以及面积计算等知识，对直角三角形有了一定的认识，并且具备了一定的图形观察和计算能力，这为探索勾股定理提供了知识和能力基础。 八年级学生对事物的认识是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征。但对于直接发现“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”有一定的难度，利用割补的方法及面积法验证几何命题的意识和能力还比较弱， 对于如何将图形与数量关系有机地结合还存在困难，因此需要教师给予恰当、适时引导. 三、教学目标 1、知识与技能目标：理解并掌握勾股定理的证明；并且能初步运用勾股定理解决问题。 2、过程与方法目标：体验勾股定理的探索过程，了解利用拼图验证勾股定理的方法，掌握勾股定理并会用它解决身边与实际生活相关的数学问题。 3、情感态度和价值观目标：通过了解与定理有关的中外数学史，激发学生的学习兴趣和研究精神。特别是了解中国古代的数学成就，激发学生的民族自豪感。 四、教学重难点 重点：了解勾股定理的证明过程，掌握勾股定理并会简单计算运用。 难点：发现并用面积法验证勾股定理。 三、教学目标 1、知识与技能目标：理解并掌握勾股定理的证明；并且能初步运用勾股定理解决问题。 2、过程与方法目标：体验勾股定理的探索过程，了解利用拼图验证勾股定理的方法，掌握勾股定理并会用它解决身边与实际生活相关的数学问题。 3、情感态度和价值观目标：通过了解与定理有关的中外数学史，激发学生的学习兴趣和研究精神。特别是了解中国古代的数学成就，激发学生的民族自豪感。 四、教学重难点 重点：了解勾股定理的证明过程，掌握勾股定理并会简单计算运用。 难点：发现并用面积法验证勾股定理。 温故知新 回忆： 我们学过直角三角形的哪些性质？ 有一个角是直角； 两个锐角的和为90°(互余 )； 探究实验一： 探究直角三角形的三边关系 1.观察右图.小方格的边长为1cm，则： 1) 正方形P的面积=（ ）²= 平方厘米。 2) 正方形Q的面积=（ ）²= 平方厘米。 3) 正方形R的面积=（ ）²= 平方厘米。 活动一 2.思考并回答 （1）正方形P、 Q、 R的面积之间的关系是 . （2）等腰直角三角形ＡＢＣ的三边的长度之间存在的关系是 . AC 1 AB BC 1 2 等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 Q P R 在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢？ 7 探究直角三角形的三边关系 活动二 1.观察右图。小方格的边长为1cm，则： （1）正方形P的面积=（ ）²= 平方厘米。 （2）正方形Q的面积=（ ）²= 平方厘米。 （3）正方形R的面积=（ ）²= 平方厘米 “割”的方法 “补”的方法 2.思考并回答 （1）正方形P、 Q、 R的面积之间的关系是 . （2）直角三角形ＡＢＣ的三边的长度之间存在的关系是 . AC 16 AB BC 9 25 小方格边长表示一个单位长度 Q P R A C B 猜想：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。 直角三角形中斜边最长 猜想： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 a b c 如图： 1、请每个小组拿出准备好的四个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c）； 2、你能用这四个直角三角形拼成一个以斜边c为边长的正方形正方形 吗？拼一拼试试看？ 3、用等面积法证明 小组合作 利用拼图来验证勾股定理 活动三 c b a 赵爽弦图 拼法1： “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因为，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽. s大正方形=c2 s大正方形=4× ab+（b-a）2 =2ab+b2-2ab+b2 =a2+b2 ∵s大正方形=s大正方形 ∴c2=a2+b2 a b c 拼法2： 方法小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理． 用两种方法表示大正方形的面积: ∵s大正方形=s大正方形 1.成立条件： 在直角三角形中； 3.作用：已知直角三角形任意两边长，求第三边长. 2.公式变形: c2 =a2 + b2， a2 =c2 - b2， b2 =c2 －a2 a b c A C B 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 勾股定理 几何语言：如图， 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”. 勾 股 勾股史话 例1、在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，求 AC。　 在直角三角形中,已知两边,可求第三边. 方法小结 根据勾股定理可得 解： AB2 + BC2 = AC2 ∴ 比一比看看谁算得快！ 练习1：求下列直角三角形中未知边的长: 可用勾股定理建立方程. 方法小结: 8 x 17 16 20 x 12 5 x 15 12 13 已知直角三角形两边，求第三边. 比一比，看谁做得快 ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c 练习2：如图，在Rt△ABC中, ∠C = 90°， a b c 已知a:b=3:4，c=15，则a= ， b= . 12 9 小试牛刀 若一个直角三角形的三边长分别为3，4， x，则x＝　　　　　 . 一定要慎重哦！ 下图中的三角形是直角三角形,其余是正方形,求下列图中字母所表示的正方形的面积. =625 225 400 A 想一想 A B C D 7cm 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形 都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则 正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。 49 议一议 1、这节课你学到了什么知识？ 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理) 2、你是通过什么方法得出这一结论的? 3、这节课体现了哪些数学思想方法? 数格子法、割补法、等面积法 数形结合,从特殊到一般. 小 结 20 P Q R 图1-2 =25 A B C “割”的方法： 返回 P Q R 图1-2 ＝72－ ＝25 返回 A B C “补”的方法: $