13.1 勾股定理 课件 2026-2027学年华东师大版八年级数学上册

这是一份初中数学勾股定理同步教学课件，包含38页内容。从导入直角三角形概念入手，通过合作探究瓷砖地面面积关系发现定理，结合赵爽弦图等进行证明，设置公式变形、典例精析及随堂检测，构建完整学习支架。 资料注重核心素养培养，以瓷砖地面观察抽象数量关系体现数学眼光，通过割补法求面积及推理证明发展数学思维，结合木梯、旗杆折断等实际问题强化数学语言表达。多样证明方法和分层练习能激发学生探究兴趣，为教师提供系统教学资源。

第13章 勾股定理 13.1 勾股定理 导入新课 1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边是____，直角边是____，____． AB BC AC 2．计算： (1)3的平方是____； (2)4的平方是____； (3)5的平方是____； (4)32＋42＝25＝____； (5)92＋402＝____＝_____． 9 16 25 52 1681 412 探究新知 知识模块一　探索勾股定理 小明去朋友家做客，看到她朋友家用等腰三角形砖铺成的地面（如图）： 观察右边地面的图形，猜想小明发现了什么？ A B C 1. 观察正方形瓷砖铺成的地面，如果每一个小方格表示 1 cm2，那么可以得到： (1) 正方形 P 的面积是 cm2； (2) 正方形 Q 的面积是 cm2； (3) 正方形 R 的面积是 cm2. 1 2 1 R Q P A C B 合作探究 SP + SQ = SR 2.上面三个正方形的面积之间有什么关系？ R Q P A C B AC 2 + BC 2 = AB 2 3.等腰直角三角形 ABC 三边长度之间存在什么关系吗？ Sp = AC2 SQ = BC2 SR = AB2 R Q P A C B 总结 在等腰直角三角形 ABC 中，两直角边的平方和等于斜边的平方. R Q P A C B 那么，在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢？ Q P R Q P R 把 R 看作是四个直角三角形的面积 + 小正方形面积. 这两幅图中 Q，P 的面积都好求，该怎样求 R 的面积呢？ 方法一：割 把 R 看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积. Q P R Q P R S正方形R = 72 - 4× ×3×4 = 25 方法二：补 Q P R Q P R A B C A B C 图 2 图 3 P 的面积(单位长度) Q 的面积(单位长度) R 的面积(单位长度) 图 2 图 3 P、Q、R 面积关系 直角三角形三边关系 9 16 25 9 4 13 SP + SQ = SR BC2 + AC2 = AB2 BC2 + AC2 = AB2 分别以 5 cm、12 cm 为直角三角形的直角边作出一个直角三角形 ABC，测量斜边的长度，然后验证上述关系对这个直角三角形是否成立. 13 5 12 A B C 做一做 ∵ S大正方形＝c2， S小正方形＝(b - a)2， ∴ S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形， 证明： a b c b-a ∴ c2 ＝4·ab+ (b - a)2 ＝ a2 ＋ b2 “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽. a b c b-a 用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形，你能否根据这一图形，证明勾股定理. a a a a b b b b c c c c a a a a b b b b c c c c 大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为 . (a + b)2 即 a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab， ∴ a2 + b2 = c2. c2 + 4·ab ∵(a+b) 2 = 4·ab+c2 对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么一定有 a2 + b2 = c2 . 勾股定理： 归纳总结 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. a b c 文字描述： 几何语言： ∵ 在 Rt△ABC 中 ，∠C = 90°， ∴ a2 + b2 = c2（勾股定理）. 公式变形： a，b，c 为正数 a= a b c b= c= 例1 在Rt△ABC 中，∠B = 90°，AB = 6，BC = 8. 求 AC 的长. 解:根据勾股定理，可得 AB² + BC² = AC². 所以 AC = = 10. 总结：应用勾股定理，由直角三角形任意两边的长，可以求出第三边的长. 典例精析 1. 求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度. 100+225=325 x2+152=172, x=8 练一练 知识模块二　利用勾股定理求边长 例2 如图，Rt△ABC 的斜边 AC 比直角边 AB 长 2 cm，另一条直角边 BC 的长为 6 cm. 求 AC 的长. A B C 解：由已知 AB = AC－2，BC = 6 cm， 根据勾股定理，可得 AB² + BC² = (AC－2)² + 6² = AC²， 解得 AC = 10 (cm). A B C 例3 如图，为了求出位于湖两岸的点 A、B 之间的距离，一名观测者在点 C 处设桩，使△ABC 恰好为直角三角形，通过测量，得到 AC 的长为 160 m，BC 的长为 128 m. 问：从点 A 穿过湖到点 B 有多远？ A B C 128 m 160 m A B C 128 m 160 m 解：如图，在Rt△ABC 中， AC = 160 m，BC = 128 m， 根据勾股定理，可得 答：从点 A 穿过湖到点 B 有 96 m. AB = = 96 (m). 例4 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，求AB的长． 解：在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2， ∴AB＝＝＝13． 1.在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，如图，点A，B都是格点，求线段AB的长度 练一练 解：构造如答图所示的Rt△ABC，∠C＝90°． 由题意知，AC＝3，BC＝4. 在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2， ∴AB＝＝＝5. （其他创建直角三角形的方法也可） 2.已知一直角三角形的两边长是3和4，求三角形第三边的长． 解：设三角形的第三边长为x(x＞0)， 当x为斜边时，如答图①，则x2＝32＋42， ∴x＝5. 当x为直角边时，如答图②，4为斜边，则x2＋32＝42， ∴x＝. 综上所述，三角形的第三边长为5或. 认识勾股定理 如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c ，那么 a2 + b2 = c2 利用勾股定理进行计算 课堂小结 1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 . 15 cm 17 cm 64 cm² 随堂检测 31 2. 判断题 ①△ABC 的两边 AB = 5，AC = 12，则 BC = 13 ( ) ②Rt△ABC 的 a = 6，b = 8，则 c = 10 ( )   3. 填空题 在△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，CB = 8， 则△ABC 面积为_____， 斜边为上的高为______. 24 4.8 A B C D 4.一高为 2.5 米的木梯，架在高为 2.4 米的墙上(如图)，这时梯脚与墙的距离是多少？ A B C 解：在 Rt△ABC 中，根据勾股定理，得 BC2 = AB2 - AC2 = 2.52 - 2.42 = 0.49 (米). 所以 BC = 0.7 (米). 5.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方 4 km 处，过了15 s，飞机距离这个男孩头顶5 km. 这一过程中飞机飞过的距离是多少千米？ 4 5 5 4 C B A 解：在 Rt△ABC 中， 答：飞机飞过的距 离是 3 km. =-=9 ∴ ∵ 6. 如图，一根旗杆在离地面 9 m 处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部 12 m 处. 旗杆原来有多高? 12 m 9 m 37 解：设旗杆顶部到折断处的距离为 x m，根据勾股定理，得 x = 15，15 + 9 = 24 (m). 答：旗杆原来高 24 m. 12 m 9 m += $