第7讲 期中压轴题-【培优竞赛·超级课堂】2026-2027学年七年级全一册数学

第7讲 期中压轴题 臭情境课堂 数学史简介（一）数学的萌芽时期 现代数学绝不是某一个民族、地区、历史时期的产物，而是多民族、地区世世代代在 生产实践中逐渐发展而成的.既有缓慢的量的积累，也有质的突破，表现出渐进性和阶 段性. 从远古到现在，数学发展大致经历了四个重要阶段：萌芽、初等、高等、现代。 究尽数学 在人类原始社会和奴隶社会直至公元前6世纪是数学的萌发时期，该时期的数学成就主要出现在巴比 伦、埃及和中国.在萌芽期内，由于实际计算的需要，人们逐渐形成了简单的自然数和分数概念，也都积累了 一些计算简单几何图形的面积和体积的几何知识.由于生产水平很低，商品生产极其有限，人们对数学的要 求不多，所以这个时期的数学知识仅仅限于一些简单的、与人们切身经验有直接关系的感性知识，且是零散 的而不是系统的，有的公式是近似的，个别的方法还是错的」 典例剖析 类型1新定义问题 例1已知a,b是有理数，定义新运算：a①b= a-b+a+b 例如：3©7=13-7+3+7-7. 2 2 (1)当a=-2,b=3时，a④b= (2)计算⊕4④(-2)： 《③)已知有里数a6a6字0)只能从-号-2，一有石0，了号号8，这10个数巾 取值，求a⊕b⊕c的最小值. ⑤【学找切入点】理解新定义运算的含义，利用绝对值的性质计算. 变式1耳定义新运算：a*b=1-1, a B,ab=1 (等号右边的运算为平常的加、减、乘，除)。 创如87号号员©7=3文7品 若a⑧b=a*b,则称有理数a,b为“隔一数对”. ·43· 目)培优竞赛超级课堂 7年级数学 111 例如：因为2*323283X所以23就是一对隔数对” (1)下列各组数是“隔一数对”的是 (填序号). ①a=1,b=2;②a=1,b=1. (2)计算：（一3）*4一（一3）☒4+（一31415）*(-31415). (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算：1⑧☒2+2☒3+3⑧4+4⑧5+…+2025☒ 2026. 类型2)规律型问题 例2(2026，湖北武汉武昌区期中)有一台功能单一的计算器，只能完成对任意两个整数求差后 再取绝对值的运算，其运算过程是：输人第一个整数x1,只显示不运算，再输人整数x2,显示 x1一x2的结果.比如依次输入1,2，则显示结果1，若此后再输入一个整数，则显示与前面运算 结果进行求差后再取绝对值的运算结果 (1)若小明依次输人一1,0,1，则显示 (2)若小明将2,3,4,5，打乱顺序后一个一个地输入（不重复），则所有显示结果的最 小值为 ,所有显示结果的最大值为 ； (3)若小明依次输入四个连续整数n,n+1,n+2,n+3(其中n为正整数)，则显示结果为 (4)若小明将四个连续整数n,n十1，n十2，n十3（其中n为整数），打乱顺序后一个一个地输 入（不重复），则所有显示结果的最小值为 (5)若小明将1到2025这2025个整数打乱顺序后一个一个地输入（不重复），则所有显示 结果的最大值为 ⑧【学找切入点】本题考查了含有绝对值的运算规律问题，解决本题的关键是根据连续正整数每两个相邻的 数相差1，找到它们之间求差后再求绝对值运算结果的规律，根据规律进行计算. 变式2-1观察下列三行数： -3,9, -27, 81, -243,…① 0,12,-24, 84 -240,…② 1,-3, 9, -27, -81,…③ 将上述框进行左、右平移，在平移的过程中，设框中这4个数分别为a,b,c,d,即 b (1)若a=729,则b= ·44· 第7讲期中压轴题 (2)在平移过程中，探究如下问题： ①是否存在满足条件的a的值，使a+b+c十d的和为51，若存在，求出a的值；若不存在， 请说明理由， ②已知k为常数，若a十b一3c十kd的值为定值，求k的值. 类型3)动态几何问题 ,例3(2026，湖北武汉武昌区期中)在数轴上，点M表示的有理数为，点N表示的有理数为 n,当m<n时，点M,N之间的距离记作MN=n一m;当m>n时，点M,N之间的距离记作 MN=m一n.例如：m=-3,n=2,则MN=2-(一3)=5. 在数轴上，点A表示的数为a,点B表示的数为b,点C表示的数为c. (1)如图，若b=1,点A在点B的左边，并且AB=2,则a= (2)如图，点A在点B的左边，点C在点B的右边，若a=一2，b=4,点C到点A的距离是 点C到点B的距离的2倍.则c的值为 (3)若-2≤c≤4，则2c|+c+2|+|c-4=10,请直接写出c= (4)若a,b,c为常数，且a<b<c,此时A,B,C在数轴上作匀速运动，点A以每秒2个单位 长度的速度沿着数轴向左运动，同时点B以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，C点以每 秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，假设t秒过后，2BC+AB 2AC的值是否随着时间t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值（用含α，b,c的代数式表示）， A B C 【学找切入点】(1)a是比1小2的数. (2)根据“点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍”列方程可解得答案. (3)分两种情况去绝对值，即可解得c的值. (4)t秒后，A表示的数是a-2t,B表示的数是b+t,C表示的数是c十4t,可得AB=-a+b十3t,AC= -a十e+6t,BC=-b十c+3,代入2BC+AB-乙AC即可求出答案. 变式3-13如图1，数轴上点A,B对应的数分别是a,b,且a,b满足(a+12)2+b一20=0.现有 一长度为2的玩具火车MN从原点出发（点M与点O重合），以每秒4个单位长度的速度向右 运动，设运动时间为ts. (1)直接写出a= ,b= (2)在整个运动过程中，求AN一BM的值（用含t的式子表示）； ·45· 目)培优竞赛超级课堂 7年级数学 (3)如图2，在A,B处各放置一块挡板P,Q,当点N碰到挡板Q时，玩具火车以原来的速度 返回，当点M碰到挡板P时，也立即以原来的速度返回，当0<t≤12时，若|AN一BM=ON, 求t的值. MN MN Q B B 图1 图2 ⑥【学找切入点】(1)两个非负的数相加为0，则这两个数分别为0. (2)分情况根据数轴上两点的距离可得结论」 (3)先计算点在边界时点的值，分两种情况，由AN一BM=ON列方程. 研讨乐园 扑克牌魔术的数学原理 例4艺术节上小德表演了扑克牌魔术，游戏步骤如下： 记牌：小德手里共有54张牌，反复洗牌几次，正面朝下摆放在桌面上，自上而下依次 翻开30张牌，摆放方式如图1所示，然后按次序将牌正面朝下倒扣放在桌面上，如图2， 再将其摞成一摞，如图3. 第10张 第19张 第9张64第20咪 第19张 第10张 第20 ≤第9张 第8张 顺序不变 第8张 翻牌 组成一摞 第29张 整理 第29张 第2张 第2张第1张 第30张 第30张 第1张 图1 图2 图3 ◆日 抽出3张 剩下21张 图4 抽牌：邀请台下一位观众，从剩下的24张牌中任意抽取三张，正面上摆放在桌面上，并整 理好余下的牌，如图4. 补牌：小德从图4这摞牌中自上而下抽取若干张补放在这三张牌的下方，使每列牌均成为 “十全十美牌”.例如，牌面数字是8，则补2张牌，牌面数字是9，则补1张牌，牌面数字是10，则不 用补牌（规定J,Q,K和大小王对应的数字均为10），如图5.在补牌时，若图4中这摞牌数量不够， 则从图3的牌中自上而下拿取进行补放 ·46· 第7讲期中压轴题 每摞牌补齐 剩下张 图5 将补完后的余牌（若还有的话） 整体放在30张牌的正上方 图6 合牌：小德将图5中这摞牌不改变顺序，整体放在图3这摞牌的正上方，如图6. 算牌：小德将图4中三张牌的牌面数字相加，得8+10十9=27，然后请一位观众从图6这摞 牌中自上而下抽出第27张牌（不让小德看牌），小德可以准确地说出其牌面数字，很神奇吧！ (1)在补牌阶段，当抽取的三张牌为8，J,9时（如图5），请把图5中的横线补充完整； (2)小德自己揭秘，其实在记牌阶段他只需要记住图1中的一张牌就可以使魔术成功，请你 利用题干中的例子找出小德记住的是第 张牌； (3)小德按上述步骤又表演了一次魔术，请运用代数式相关知识解释其中的原理， 甲的探究(1)在补牌阶段，当抽取的三张牌为8，J,9时（如图5），补牌3张，.21一3=18， ∴.剩余牌的数量是18. 乙的探究(2)将剩余18张牌放回，而8十10十9=27，结合27一18=9，由此可知在记牌阶 段他只需要记住图1中的第9张牌即可. 丙的探究(3)设从剩下的24张牌中任意抽取3张牌对应的数分别为a,b,c,和为a十b十c, 则补牌的数量为10一a+10一b+10一c=30一(a+b+c), ∴.剩余牌的数量为24一[30一(a+b+c)+3]=a+b+c一9， ∴.a+b+c-(a+b+c-9)=9, ∴.只要记住图1中第9张牌，魔术一定会成功， 能力平台 ⑤培优训练 (建议用时30分钟) 5个数字之和可能为26，小翼说被框住的5个 数字之和可能为101，他们的说法正确吗？请说 1.(2026,湖北武汉水果湖一中期中)如图是某年某月 明理由。 的月历，用如图所示的“凹”字形在月历中任意圈出 a 一二三四五六 5个数，设“凹”字形框中的五个数分别为a1,a2,a, 12345 a3,a4. 6 7 89101112 (1)若a1=6,则a2= ；a4 (用 13141516171819 含a的式子表示). 20212223242526 b2 b bs (2)在移动“凹”字形框过程中，小龙说被框住的 2728293031 ·47· 目)培优竞赛超级课堂 7年级数学 (3)在另一个“凹”字形框框住的5个数分别为b1, ⑧竞赛训练 (建议用时10分钟) b2,b,b3,b4,且b=3a一2，则符合条件的b的值 3.数形结合思想是常用的数学思想，数轴帮我们把点 为 和数对应起来，是利用数形结合思想解决问题的有 效工具.学习完七年级上册前3章后，爱思考的三 位同学想“玩转”数轴。 (1)小梅的玩法关键字是“折”：把数轴以点C为折 点对折，使点A和点B重合.已知点A,B表示 的数分别为a,b,若a,b满足(a十10)2十1b 20=0,求折点C表示的数 (2)小溪的玩法关键字是“添”：在小梅的基础上，在 A,B两点各添加一块挡板，在C点添加一块减 速板，动点M在A,B之间来回运动，遇到挡 2.对于两个有理数a和b,我们定义一种新的运算： 板，就原速度返回，遇到减速板，速度就减少2个 a①b=|a-2b. 单位长度每秒，若速度没超过2个单位长度每 例如：3①(-1)=13-2×(-1)=3+2=5. 秒，就停在减速板.点M从点A出发，以5个单 (1)计算下列各式的值： 位长度每秒的速度向点B运动，设运动的时间 ①(-2)④3= 为t秒.当点M对应的数是2时，求t的值. ®5() (3)小湖的玩法关键字是“去”：去掉所有含有数字 ③(-3)①m= 的整数，制作了一个“缺数字的数轴”(k= 2,3,…,9),“数轴”上仍有原点和单位长度，自 (2)已知有理数(x,y)满足x<0且x≠一1，若 原点向右，距离原点1,2,3,4，…个单位长度的 (x①y)⊕y=O,求y的值（用含x的式子表示）. (3)在(2)的条件下，进一步探究：是否存在使得 点表示的数仍为从小到大依次排列的正整数， 但每个数中都不包含数字.例如，当=2时， 式子(x+1)①(2y一kx)与x的取值无关？若 存在，求出k的值；若不存在，请说明理由. 自原点向右，距离原点1,2,3，…，20，…个单位 长度的点表示的数依次为1,3,4,5,6,7,8,9， 10,11,13,14,15,16,17,18,19,30,31,33,… 已知正整数m,n满足m<n,且某“缺数字k的 数轴”上有分别表示10m一2和10+18的两个 点，则这两点之间的距离为 .(用含m, n的代数式表示) ·48·目)培优竞赛超级课堂7年级数学 2x+y=10, 8.4=168.当x≥0，y<0时，整理得 解 -x=12, x=-12, 得1 (舍去).当x<0,y≥0时，整理得 y=34 |y=10, x=8, 解得 (舍去).当x<0,y<0 x-2y=-12 （y=10 y=10, 时，整理得 (舍去) x=-12 因1，生。提示：和是关于1的单位数， .xo-1+x1一1=1，.在数轴上可以看作数 x0到1的距离与数x1到1的距离和为1，.x0十 x1有最小值1. 由题意可知，x1-2|十|x2-2|=1,,1≤x1≤2， 2≤x2≤3，x1十x2的最小值为1十2=3. |x3-4+|x4-4=1,,3≤x3≤4,4≤x1≤5， xg十x4的最小值为3+4=7. 同理，x5-6|十|x6-6|=1,x6十x6的最小值为 5+6=11,|x7-8|+|x8-8|=1,x7+xg的最小值 为7+8=15，…，xm-1一n+|xm一n=1,xm-1+xn 的最小值为n-1十n=2m-1. ∴.x1十x2十x3十…+xm的最小值为3+7+11+15 +…+2n一1= +28-0x之r+ 2 2 旧设这108个连续正偶数中最小的数为k,那么这108个 连续正偶数依次为k,k十2，k十4，·，k十2×(108 1),设S=k+(k+2)+(k+4)+…+[k+2(108- 1)],① 则S=[k+2×(108-1)]+[k+2×(108-2)]+.+ (k+4)+(k+2)+k,② ①+②，得S=[k+k+2×(108一1)]×108÷2=22× 33X(k+107)=A3XB2XC2XD, 所以k+107=C2×D. 当C和D取最小值时，C=5,D=7, 则根据题意列式得，k+107=5×5×7=25×7=175, 即k+107=175,此时k=68. 答：这108个连续正偶数中最小的数至少是68. 第7讲期中压轴题 例1(1)3. 829一A+32 2 (-2》=4-（-2)1+4-2=4, 2 (3).a≠b≠c, .当a>b时，a①b①c=a①c. ①当a>c时，a①b①c=a①c=a; ②当a<c时，a①b①c=a①c=c. 当a<b时，a①b①c=b①c. ①当b>c时，a①b①c=b①c=b; ②当b<c时，a①b①c=b①c=c. 综上所述，a⊕b①c的值为a,b,c中的最大者， 在题目所述的10个数中，a,b,c能取到的最小值为 -2 :a①6①c的最小值为-3 4 例2(1)0.(2)0：4.(3)2.(4)0.(5)2025. 提示：(1)小明依次输入一1,0,1，则有|一1一0=1， 11-1=0. (2)小明将2,3,4,5打乱顺序后一个一个地输入（不 重复)， 则所有显示结果的最小值为2-4|=2,12一5引=3， 13-3=0, 最大值为2-4=2,2-3=1,1-5=4， 最小值为0，最大值为4. (3)显示的结果为n一(n+1)|=1,11一(n+2)|= n+1,|(n+1)-(n+3)=2. (4)显示的结果最小值为n-(n十1)川=1,11-(n十 3)川=n+2,1(n+2)-(n十2)|=0. (5)将1,2,3,4这4个连续的正整数进行求差后再取 绝对值的运算的最小值为1111一2一4|一3引=0. 设4个连续的正整数分别为a,a十1，a十2，a十3， 打乱顺序后一个一个地输入，可得最小值为|a一(a十 1)1=1,l1-(a+3)|=a+2,|(a+2)-(a+2)l=0. ,2024是偶数且是4的倍数， 又，每次运算都是先求差再求绝对值， 每次运算的结果都是非负数， '.要想使最后的结果最大，则前面的运算结果要取 最小 最小的非负数为0， ∴要使最后的结果最大，前面的运算结果要为0. 2025÷4=506…1, 从1到2024共有2024个数， 每4个连续的正整数结合，进行求差后再取绝对值的 最小值都为0，最后只剩下2025. ,10-2025|=2025, ∴所有显示结果最大的值为2025. 例3(1)-1.(2)10. (3)-2或2.提示：当-2≤c<0时，-2c+c+2+ 4一c=10,解得c=一2；当0≤c≤4时，2c+c+2+ 4一c=10,解得c=2..c的值为一2或2. (④2BC+AB-号AC的值不会随着时间t的变化而 2 改变.理由如下： t秒后，A表示的数是a一2t,B表示的数是b十t,C表 示的数是c十4t. 'a<b<c,t0, ..AB=b+t-(a-2t)=-a+6+3t,AC=c+4t- (a-2t)=-a+c+6t,BC=(c+4t)-(b+t)=-b+ c+3t, ÷2BC+AB-号AC =2(-6+c+30)+(-a+6+3)-号(-a+c+8) 33 =-2b+2c+6t一a+b+3t+ 2a- 2c-9t -+, :2BC+AB-号AC的值不会随若时间：的变化而 改变，其值为分-b+c。 1 【变式题组】 1-1(1)①. 参考答案与提示 2原式=--子 1 1 (-3)×4+[31415 (】 =日其动x 1 7,1 1 =2+-2 3)原式=（片-号）+（号号）+…+(202s 2d)-1-2d6-28器 1} 2-1(1)732;-243;81. (2)①不存在满足条件的a的值，使a十b十c+d的和 为51.理由如下： 根据规律得6=a十3，c=-号d=号 :a+b+c+d的和为51， a+a+3)-号+号-51，解得a=27. 观察可知，第一行没有27， ∴.不存在满足条件的a的值，使a十b十c十d的和 为51. ②a+b-3c+d=a+(a+3)-3×(-号）+k·号- 27+k 9a+3, a十b-3c十kd的值为定值， 27g=0,=-27 3-1(1)-12;20. (2)运动后点M表示的数为4t,点N表示的数为2十4. 当0≤t<5时，点M在点B的左边，AN-BM=2+ 4t-(-12)-(20-4t)=2+4t+12-20+4t=8t-6; 当t=5时，点M与点B重合，AN-BM=2+20+ 12=34; 当t>5时，点M在点B的右边，AN-BM=2+4t- (-12)-(4t-20)=2+4t+12-41+20=34. 综上所述，AN一BM的值为8t-6或34. (3)分两种情况：①=20-2=4.5，即当1=4.5时，点 4 N与挡板BQ重合， 目)培优竞赛超级课堂7年级数学 当0≤t≤4.5时，M表示4t,N表示2十4t. AN-BM=ON, ∴.12+4t-(-12)-(20-4t)川=2+4t, ,.|8t-6=2+4t, .8t-6=2+4t或8t-6=-2-4t, 4=2或好 @L=20+12-2+4.5=12,即当1=12时，点M与挡 4 板PA重合， 当4.5<t≤12时，M表示20-2-4(t-4.5)=36 4t,N表示20-4(t一4.5)=38-4t. .AN-BMI=ON, .|38-4t+12-(20-36+4t)1=138-4t, ∴.66-8t=±(38-4t), 6=7或9 综上所述，1的值为2或号或7或 31 【能力平台】 1(1)13;a-6. (2)小龙的说法不对，小翼的说法对.理由如下： 由题意得a4=a-6,a3=a十1，a1=a-8,a2=a-1, 则a1十a2十a4十a3十a=a-8十a-1十a-6十a十1十 a=5a-14. 若被框住的5个数字之和为26， 则5a-14=26,.a=8. a1=a-8=8-8=0,不符合题意， 小龙的说法不对. 若被框住的5个数字之和为101， 则5a-14=101,.a=23, ∴小翼的说法对 (3)25,28.提示：a的值可以为9,10,11,14,15， 16,17,18,21,22,23,24,25,28,29,30, .3a一2的值可以为25,28,31,40,43,46,49,52,61， 64,67,70,73,82,85,88. 同理，b的值可以为9,10,11,14,15,16,17,18,21， 22,23,24,25,28,29,30. b=3a一2， .b的值可以为25,28. 2(1)①-4.②6.③3-2m. (2).'x<0,a④b=|a-2b, ∴x①y=|x-2y=-x-2y. ,(x⊕y)⊕y=0,.(-x-2y)⊕y=0, 则-x-2y|-2y=0,.|-x-2y|=2y. 当-x-2y≥0时，-x-2y=2y, ∴.一x=2y十2y,整理得x=-4y. 当-x-2y<0时，x十2y=2y, ∴x=2y一2y=0,与x<0相矛盾，不符合题意，舍去. x=-4y,即y=-7x, (3)不存在.理由如下：由(2)得y=一 4 则(x+1)⊕(2y-kx) =(x+1)©2x(-平)-红 =(c+1©(-名x-x) =z+1-2(-2x-kz） =|x+1|+x+2kx. 当-1<x<0时，|x+1|+x+2kx=x+1+x+2kx= 2kx+2x+1=(2k+2)x+1. ,式子与x的取值无关， .2k十2=0，解得k=-1. 当x<-1时，lx十1十x十2kx=-x-1十x十2kx= 2kx-1, 式子与x的取值无关， .2k=0,解得k=0. ,有理数(x,y)满足x<0且x≠一1， ,及不能同时等于一1和0， 不存在及使得式子与x的取值无关 31)一个数的平方是非负数，一个数的绝对值也是 非负数， 要使(a+10)2+|b一20|=0， 则(a+10)2=0且|b-20=0, 得a+10=0,b-20=0,解得a=-10,b=20. 以点C为折点对折，使点A和点B重合， ∴.点C是线段AB的中点 根据中点公式，若有两点表示的数为x1,x2,则其中 点表示的数为十工 2, 折点C表示的数为-10+20-5. 2 (2)第一次到C点时，用时[5-（一10）]÷5=3（秒） 当点M从A点向C点运动时，0≤t≤3，速度为5个 单位长度每秒，则点M对应的数是2时，5t=2一 (-10),解得t=2.4; 返回C点时，用时3十(20一5)×2÷(5一2)=3十15× 2÷3=3+10=13(秒)， 到点A时，用时13+[5-(-10]÷(5-2-2)=13+ 15÷1=28(秒)， 当点M从C点向A点运动时，13<t≤28，经过两次 C点，速度为5一2一2=1（个）单位长度每秒，则点M 对应的数是2时，t一13=(5-2)÷1，解得t=16; 当点M再次从A点向C点运动时，速度为1个单位 长度每秒， 到C点时，用时28+[5-(-10)]÷1=28+15÷1= 28+15=43(秒)， 当点M再次从A点向C点运动时，用时28<t≤43， 则点M对应的数是2时，t一28=[2一(-10)]÷1， 解得t=40. 综上所述，t的值为2.4或16或40. (3)9”一9m十18.提示：正常数轴原来距离为10的 现在距离为9，原来距离为100的现在距离为100 10一9×1=81=92，原来距离为1000的现在距离为 1000-100-9×10-9×9=729=93 10到100的距离为92-91， 100到1000的距离为93-92， 1000到10的距离为93-9. 10m一2和10m相比，缺的数不含2，故不缺数； 10”和10”+18相比，缺的数含两个数2和12，故实 际距离为18-2=16. .当m,n为正整数，m<n时，10m-2和10”+18的 两个点之间的距离(10”+16)一(10m一2)=10” 10m+18=9-9m+18. 参考答案与提示 第8讲一元一次方程的解法 例1A 2解方程号x+6=5十4红，得x=-2。 3 解方程7x-3a=0,得x=7a. 依感意得-2=号。-1，解得a=一子 3 例3A 例4(1)去分母，得3(x-3)+2(x-1)=24, 去括号，得3x-9+2x-2=24, 移项，得3x十2x=9+2+24, 合并同类项，得5.x=35, 系数化为1，得x=7. (2)小数化为整数，得3江+8_2红十30-1=8z一4 30 30 去分母，得6(3x十8)一(2x十30)-30=8x一4， 去括号，得18.x十48-2x一30-30=8x-4, 移项，得18x-2x-8x=-4+30十30-48， 合并同类项，得8x=8, 系数化为1，得x=1. ③)移项，得侵[2（侵x-3)-]-3=3。 去分母，得号[2（分x-3)-3]-3=6。 移项，得号[2（合x-3)-3-9。 去分母，得号（侵x-3）-3=18, 移项，得（合x-3)=21, 去分母，得2-3=42。 移项，得=5， 系数化为1，得x=90. 例5去分母，得4m(x-n)=3(x十2m), 去括号，得4mx一4mn=3x十6m, 移项，合并同类项，得(4m一3)x=4mn十6m. (1)当4m-3≠0，即m≠是时，方程有唯一解，为x