第4讲 有理数的乘方与相关应用-【培优竞赛·超级课堂】2026-2027学年七年级全一册数学

5C提示：因为a+b+ab十1=(a+1)(b+1),所以每 次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不 变，设经过99次操作后黑板上剩下的数为x, 则x+1=1+1D(侵+1（号+1）小-(0o+1), 解得x十1=101，x=100. 6(1)原式=-211×455+365×455-211×545+545×365 =(-211+365)×455+(-211+365)×545 =(-211+365)×(455+545) =154×1000=154000. (2)原式=3.79×0.038+3.79×0.121+6.21×0.159 =3.79×(0.038+0.121)+6.21×0.159 =3.79×0.159+6.21×0.159 =(3.79+6.21)×0.159 =10×0.159=1.59. 3)原式19X1010176x1011976=33 76×1010119×101-76-19 41 7(1)能，如图所示. 5 4 ① (2)不能.设所填的6个数依次为a,b,c,d,e,f,它们 任意相邻三个数的和大于10，即a十b十c≥11，b十 c+d≥11，c+d+e≥11，d+e+f≥11，e+f+a≥ 11,f+a+b≥11，相加，得3(a+b+c+d+e+f)≥ 66,故a+b+c十d+e十f≥22，而1+2+3+4+5+ 6=21,所以不能使每三个相邻的数之和都大于10. |100 100 8(1)020=1×2×3×010 =6. 003 001 003 100 1100 (2)100 0 03 =020 =6: 020 020 003 a b C b (3) a b a b c de f de f 参考答案与提示 a b c a b c =0: de f (4)由矩阵(3)知，当矩阵中有两行相同时，该矩阵为0， 1110 100010 则010 010+010 =1+0=1, 001 001001 110 110110 011=010+001=1+0=1, 001 001 001 11 0/ 110 ∴.010+011=1+1=2. 001 001 第4讲有理数的乘方与相关应用 例10.提示：ab=1,c十d=0,e=-1. 原式=(-1)2025-02025-(-1)2027=-1-0+1=0. 2原式-(-)×号×号-[（罗）-0×() 9÷(-2)]-[号×(-】]'×(-) =(-）-[（-1罗)+2+]-(-1D×号 =号+9+8 =78+-38=9 40840 40 例3相信.第43次后纸的总厚度为23×0.06≈5.3× 101cm=5.3×10km,此时所有纸的总厚度大于地 球到月球之间的距离。 例4(1)(11101)2.提示：29=1×24+1×23+1×22+ 0×2+1=(11101)2. (2)11.提示：(1011)2=1×23+0×22+1×21+ 1=8+2+1=11. 丽(1)2-1.(23"3 2 (3)当a=1时，1十a十a2+…十a”=n十1； 当a≠1时，设S=1+a十a2+…十a”,① 则aS=a十a2+…十a”十a"+1,② 由@-0可得(a一1)S=a1-1,∴5=a11 a-1 目)培优竞赛超级课堂 7年级数学 n+1,a=1, 综上所述，1十a十a2+…+a”= a+1-1 a-1,a≠1. 【变式题组】 1B提示：7的幂的个位数字规律是每4个为一个周 期循环，依次为7,9,3,1.而4922=(72)2027=7404， 因此4922？的个位数字符合7的幂的个位数字的规 律，利用4054÷4=1013余2，说明49227的个位数 字与7的个位数字相同。 1-2-6或2.提示：x2=9,1-y=|-21,z-2|= 5,x=士3，y=±2，z=-3或x=7.x十之 |x|十|x,yz<0,x与之同号，y与之异号， .x=3,y=-2,z=7或x=-3,y=2,之=-3， .x十y-之=3+(-2)-7=-6或x十y-z=-3十 2-(-3)=2,即x十y-之=-6或2. 图A提示：因为第n个数为n十-(1+2)× [u】×[4门×x+-】 =11 n+1-2, 所以第10个数、第11个数、第12个数、第13个数分 别为品品品。一号最大的数为品 图a原式-[(-8)×号-]×号-[(-1Dx(-3)+ ×(日）-3x9-15x(8)-9 ②提称，+++D-1+京D k2(k+1)2 原式-(1+是-)+(+安一导)+(1+是 )++(+20s20r) 1+片是+1+1++叶 1+20s2d脉 1 =2026+1 2027=20264108728 1 4108729 31C提示：由题意知，第一阶段时，余下的线段的长度 之和为号，第二阶段时，余下的线段的长度之和为 号×号-（号）》'，第三卧段时，余下的线段的长度之 和为号×号×号-（号八， 以此类推，当达到第n个阶段时(n为正整数)，余下的 线段的长度之和为（号）” 3-2狄摩根在x2年是x岁，即他岁数的平方应是18××年 422=1764,不合题意；432=1849，符合题意，即他43岁 时是1849年，则他的出生年份是1849一43=1806年. 4-1A 4-2(1)2021;2021422310.提示：由题图2可得 A1=2a11+2a12+23a13+22a14+2a15十2°a16=32X 0+16×1+8×0+4×1+2×0+1×0=20, A2=2a21+2a2+23a23+22a24+2a25+2°a26=32X 0+16×1+8×0+4×1+2×0+1×1=21, A3=2a31+2a32+2a33+22a34+2a35+2°a36=32X 0+16×0+8×0+4×1+2×0+1×0=4, A4=2a1十2a2十2a48+22a4十22a45十2°a46=32X 0+16×0+8×0+4×0+2×1+1×0=2, A=2a51十2a52十23a53+22a5A十2a55+2°a56=32X 0+16×1+8×0+4×1+2×1+1×1=23, A6=25a61十2a62十23a63+2a64十2a65十2°a66=32X 0+16×0+8×1+4×0+2×1+1×0=10, 所以张三同学于2021年入学，编号为2021422310. (2) (3)不会一直适用.理由如下： 因为这个系统能表示的数最大是2+24+23+22+2 +2°=63， 所以如果年份超过2063年或班级超过63班就不适 用了. 5]6.提示：设S=22+23+24+…+219, 则2S=23十24+25十十220， ∴S=220-22. ∴.2-22-23-24-…-219+220=2-(220-22)+220 =2-220+22+220=2+4=6. 园令提示第七次可得1十3+十3++， 设S=1十3+32+33+…+3，则3S=3+32+…+ 3.3S-5=3-1,5=391 2 【能力平台】 1C 2A 3D 4D 5D 64一2一·提示：由于0A=4,所以第一次跳动到 OA的中点A1处时，0A,=号0A=合×4=2 同理，第二次从点A1跳动到点A2处，离原点的距离 0A,=(2)》‘×4=1,…,0A.=(2)八×4=2， 1 所以AA=42n≥3且n是整数)， 口a)02-6.3-子 8(1)d(10)=1,d(10-2)=-2. (2)3;0.6020;0.6990;-1.0970.提示：d(a3)= d(a2·a)=d(a2)+d(a)=d(a·a)+d(a)=d(a)+ d(a)+d(a)=3d(a), 8- d(2)=0.3010,d(10)=1, .d(4)=d(2×2)=d(2)+d(2)=2d(2)=0.6020, a60=a(》 =d(10)-d(2)=1-0.3010=0.6990, d(0.08)=d(8×10-2)=d(8)+d(10-)=3d(2)+ (-2)=0.9030-2=-1.0970. (3)若d(3)≠2a-b,则d(9)=2d(3)≠4a-2b, d(27)=3d(3)≠6a一3b,即有三个劳格数错误，与题 设矛盾，故d(3)=2a-b: 若d(5)≠a+c,则d(2)=1-d(5)≠1-a-c,d(8)= 3d(2)≠3-3a-3c, d(6)=d(2)+d(3)≠1十a-b-c,即有三个劳格数 错误，与题设矛盾， 故d(5)=a十c. 、参考答案与提示 综上所述，d(1.5)与d(12)两个值是错误的，应该更 正为d(1.5)=d(3)-d(2)=3a-b+c-1,d(12)= d(3)+2d(2)=2-b-2c. 1 1 .1 日B提示：“k二k一kk2-4-(k-2)·k·k+2 =[ag,+, 17 M=×(k33x+2X4X6+…+ 11 1 1 1 2024×20262026×2028/ 228)-×(13+2k4 25X2晒202@）-站×(25义2 1 1 1 1 +2026×2028 96×1001.46,100M最接近整数1 106;c.提示：a=30=(35)10=24310,b=40= (44)10=25610,c=530=(53)10=12510,.最大的是b, 最小的是c. 田-1装示：原式-×签得-号×觉 多×发8-日=2=0，a=-1 123.提示：x=(1+3)(1+32)(1+34)(1+38)…(1+ 3256)=4×10×(1+3)(1+38)…(1+3256)=40×(1+ 34)(1+38)…(1十3256).因为40乘任何非0数，结果 的个位数字都是0，所以x是10的倍数，所以x的个 位数字是0，则x十3的个位数字为0十3=3. 13868.提示：300=3×22×52，且(1+3)×(1+2+ 22)×(1+5+52)=868,.300的所有正约数之和 为868. 团一器 (2)-80. 第5讲数字规律型问题 例1由于图形①②③④…相应矩形的周长分别为6,10， 16,26,·,从第三个数起，后一个数都等于它前面两 个数的和，因此图形⑤⑥⑦⑧⑨⑩相应矩形的周长为 16+26=42,26+42=68,42+68=110,68十110 178,110+178=288,178+288=466.故序号为⑩的矩 形的周长为466.第4讲 有理数的乘方与相关应用 泉情境课堂 罗巴切夫斯基(1792—1856)，俄罗斯数学家、教育家.自1811年起，他便在喀山大学 任教，并曾任校长，他教授了数学、物理和天文等许多课程，以讲解清晰、详细著称.1893年， 喀山大学竖立起世界上第一座数学家塑像，这位数学家就是罗巴切夫斯基. “玫瑰花诺言”案 1797年3月，拿破仑在卢森堡第一国立小学演讲时说了这样一番话：“为了答谢贵校℃⊙=6⊙ 对我，尤其是对我夫人约瑟芬的盛情款待，我不仅今天会呈上一束玫瑰花，并且在未来的 罗巴切夫斯基 日子里，只要我们法兰西存在一天，每年的今天我将亲自派人送给贵校一束价值相等的玫瑰花，作为法兰西 与卢森堡友谊的象征.” 1894年底，卢森堡旧事重提，他向法国提出违背“玫瑰花诺言”案的索赔，要求从1798年起，用3路易作 为一束玫瑰花的本金，以5厘复利（即利滚利）计息全部清偿这笔玫瑰花债，而这是一个巨大的天文数字. 1977年4月22日，时任法国总统的德斯坦访问卢森堡，他将一张象征巨额财富的支票交给了卢森堡，以 此了结了持续180年的“玫瑰花诺言”案 典例剖析 类型1乘方的意义 例1已知a,b互为倒数，c,d互为相反数，e<0且|e=1,那么(-ab)2o25-(c+d)226-e2o27 的值为 ⑤【学找切入点】从倒数、相反数的概念入手，利用乘方的意义计算. 变式1-13观察等式：7=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,76=117649,7=823543， 78=5764801,79=40353607,…,它们的个位数字有什么规律？用你发现的规律写出4922？的 个位数字是(). A.7 B.9 C.3 D.1 变式1-2(2026，重庆一中期中)若有理数x,y,之满足x2=9,|一y|=|一2|，之-2|=5，且 1x十z|=|x|十z|,yz<0,则x十y一x= 变式1-3下面是按照一定规律排列的一列数： 第1个数是g-1+):第2个数是-1+》×1+门×+] ·23· 目)培优竞赛超级课堂 7年级数学 第3个数是-(+×1+]×+D×1+]×+。D 依此规律，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是( A.第10个数 B.第11个数 C.第12个数 D.第13个数 类型2有理数的混合运算 2（2025,福建第六超“顾丰杯”致学克赛)i计第，（一5）：号×号 (-2.5)3- ×(-14.5) -（-3÷(-2-()}×( ⑤【学找切入点】注意混合运算的运算顺序，有括号的先算括号里面，括号内的计算顺序是先算小括号，再算 中括号，最后大括号，先算乘方，再算乘除，最后算加减。 变式2计算：1)(-2)×(-)°-1×(-13》°-【(-1)÷()+1÷(-8)： (2)1×22+32×32+532×42+7 .+20262×20272+4053 12X221 22×32 32×42 20262×20272 类型3)乘方的应用 例3一张纸的厚度是0.06cm,地球到月球的距离约等于3.85×105km.小明说：“如果将一张 纸裁成两等份，把裁成的两张纸摞起来，再裁成两等份，如此重复下去，第43次后，所有纸的总厚 度便大于地球到月球的距离.”小刚说：“我不相信小明的说法.”你相信小明的说法吗？为什么？ ⑤【学找切入点】每裁一次，厚度便增加一倍。 变式3-1康托尔集：1883年，康托尔构造的这个分形（如图） 称作康托尔集，从数轴上单位长度线段开始，康托尔取走其中 间三分之一而达到第一阶段，然后从每一个余下的三分之一线■■■ ■■ 段中取走其中间三分之一而达到第二阶段，无限地重复这一过ⅡⅡ l 1l川 程，余下的无穷点集就称作康托尔集，如图所示是康托尔集的最初几个阶段，当达到第个阶段 时，余下的所有线段的长度之和为( 号 2 C.3 D.3 ·24· 第4讲有理数的乘方与相关应用 变式3-2狄摩根的年龄：狄摩根是19世纪的英国数学家，在逻辑研究方面有突出贡献.在他中 年时，有人问他：“您多大年龄了？”狄摩根幽默地说：“我在公元x2年时是x岁.”你知道狄摩根的 出生年份吗？ 类型4)计算机程序问题 例4(1)计算机使用的是二进制数，它共有两个数码0,1，将一个十进制数转化为二进制数，只 需把该数写成若干2”的和，依次写出1或0即可.例如21=1×24十0×23+1×2+0×2+1= (10101)2,则十进制29转化为二进制是 (2)按此方式，将二进制数(1011)2换算成十进制数是 ⑤【学找切入点】本题渗透了计算机的基本知识一二进制数，无论何种进制的数，都可以表示为数位上的 数字以及与进制值有关联的和的形式. 变式4-13(2025，山东威海中考)2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功.与传统的“二 进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率 二进制数的组成数字为0,1，十进制数22化为二进制数： 22=1×24+0×23+1×22+1×21+0×2°=(10110)2. 传统三进制数的组成数字为0,1,2，十进制数22化为三进制数： 22=2×32+1×31+1×3°=(211)3. 将二进制数(1011)2化为三进制数为( ) A.(102)3 B.(101)3 C.(110)3 D.(12)3 变式4-2某校近年大力发展集团化办学，目前该校共有五个校区（代号分别为1,2,3,4,5），三个 学部（代号分别为1一小学，2—初中，3—高中）.为便于学生信息管理，按“入学年份十校区十 学部十班级十学号”的格式给每位学生一个10位数字编号，该校所在市要求班级人数在50人以 内.例如，2025年入学的2校区初中学部3班09号学生的编号为2025220309；2026年入学的 1校区高中学部12班46号学生的编号为2026131246. 某同学模仿二维码的方式给学生编号设计了一套识别系统，在6×6的正方形网格中，阴影 小正方形表示数字1，白色小正方形表示数字0，我们把从上往下数第i行、从左往右数第方列表 示的数记为a(i,j=1,2,3,4,5,6),规定A:=2a1+24a2十23a3+2a4十2la5十2°a6,其中， ·25· 目)培优竞赛超级课堂 7年级数学 A1对应入学年份前两位，A2对应入学年份后两位，A3对应校区，A4对应学部，A,对应班级，A6 对应学号 例如，图1中，A1=2a11+24a12+23a13+2a14+22a15+2°a16=32X0+16X1+8X0+4× 1+2×0十1×0=20，A2=26,A3=1,A4=3,A5=12,A6=46,故图1对应的学生编号为 2026131246. 图1 图2 图3 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：图2是张三同学的编号识别图案，可以看出张三同学于 年进入该校，张三 同学的编号为 (2)画图：请在图3中画出2026年入学的3校区初中27班48号同学的身份识别图案， (3)简答：随着该校办学时间加长及各校区班级数量的增加，该编号识别系统是否会一直适 用？请说明理由. 类型5错位相减法 例5阅读下列材料： 小明为了计算1十2十22+…十22026+2227的值，采用以下方法： 设S=1+2+22+…+22026+22027,① 则2S=2+22+.+22027+22028,② ②-①得2S-S=S=22028-1, ∴.S=1+2+22+…+22026+22027=22028-1. 请仿照小明的方法解决以下问题 (1)1+2+22+…+29= (2)3十32+…+310= (3)求1十a十a2+…+a”的值(a>0,n是正整数，请写出计算过程). ⑥【学找切入点】(1)设S=1+2+22+…+2,两边乘以2得到2S=2+22+23十…十21. 然后把两式相减算出S. ·26· 第4讲有理数的乘方与相关应用 (2)设S=3十32+33+34+…+310，两边乘以3得到3S=32+33+34+…+31 然后把两式相减算出S. (3)利用(1)(2)的方法求解. 变式5-13计算：2-22一23一24-25一…一218一219十220= 变式5-21915年波兰数学家谢尔宾斯基制造出了两件绝妙的“艺术品”：衬垫和地毯.如图，把 一个正三角形均分成四个小正三角形，挖去其中间一个，然后在剩下的三个小正三角形中分别再 挖去各自四等分后中间的一个小正三角形，如此下去可得到谢尔宾斯基衬垫.这些小正三角形的 周长越来越大，它们的面积之和却趋于0. 问：第二次挖去后，总共有13个小正三角形，那么，继续挖下去，第七次总共可得 小正三角形 《研讨乐园 数形结合一分割正方形 6数学同题：计算品1点1…心其中ma都共正弦数且m≥2≥》 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面 积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行 探究 探究一 12n 第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为2： 第2次分制，把上次分制图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为+ 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为 141+1 2十22十2 第次分制，把上次分制图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为十 1 1 22、 2,最后空白部分的面积 2,如图所示 ·27· 目)培优竞赛超级课堂7年级数学 第1次分割 第2次分割 第3次分割 第n次分割 12 1 1 2 2 2 2 2 2 22 11 22 根据第次分剂图可得等式：十宁十…十 11 2n 探究二 第1次分制，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为号： 割把上次分制图中空白部分的面积继绞三等分，阴影部分的面积之和为 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为 + 0 第”次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为号 牛十2 3,最后空白部分的面积是3，如图所示。 第1次分割 第2次分割 第3次分割 第n次分割 2 2 2 3 3 3 3 3 根据第次分别侧可得等式：号十导十导十…叶子-1 3 两边同除以2得3十十39十…十1=11 1 3n22X3"1 解决问题： 第n次分割 （只需画出第次分割图，在图上标注阴影部分的 mn 面积，并完成以下填空). (1)根据第n次分割图可得等式为 m3 …+ mn 拓展应用求3+5士土的值 5 52 53 ·28· 第4讲有理数的乘方与相关应用 【解】(1)m-1+m1+m++-1 第n次分割 m m2 m3 1-1 mn m' m-1 1 m (2) m-1(m-1)×m" m-1 m-1 5211 (3)原式=1-+1 +叶1 m-1 m" 能力平台 ©培优训练 (建议用时30分钟) 例：十六进制2B对应十进制的数为2×16+11= 1.计算：一2226+(-2)2027+3×（一2）2026的值为 43,10C对应十进制的数为1×16×16+0×16+ (). 12=268,那么十六进制中14E对应十进制的数为 A.-22026 B.-2 C.0 D.22026 (). 2.已知(a+1)2=25,且a<0,a+3|+|b+2|=14, A.28 B.62 C.238 D.334 且ab>0,则a十b=(). 6.如图，数轴上O,A两点的距离为4，一动点P从点 A.-19B.-9 C.13 D.3 A出发，按以下规律跳动：第1次跳到AO的中点 3.(2025,四川巴中中考)所有放射性物质都有自己的 A1处，第2次从点A1处跳到A1O的中点A2处， 半衰期.半衰期是放射性物质的质量缩减为原来的 第3次从点A2处跳到A2O的中点A3处，按照这 一半所用的时间，是一个不变的量.质量为m的放射 样的规律继续跳到点A4,A5,A6,…,An(n≥3， 性物质，经历了3个半衰期后的质量为()m. n是整数)处，那么线段AmA的长度为 A号 B号 c (n≥3，n是整数). P 4.(2025,南京师大附中期中)每天进步一点点(0.01)， OA:A.A 一年后将远大于“1”，进步很大(1.01365≈37.8).如 7.计算： 果每天比前一天进步1%，则两年后所得终值 1.01730最接近下面数值中的(). [【号°+()×6+÷[（-》-3： A.75 B.200 C.378 D.1400 (2)-(-3)2+(-5)°×(-3)°-18÷1-31， 5.(经典，四川达州中考)生活中常用的十进制是用 0~9这十个数字来表示数，满十进一，如：12=1× 3)-1+(a,25+)÷{a5-(-075)×[告 10+2,212=2×10×10+1×10+2;计算机常用 十六进制来表示字符代码，它是用0~F来表示 (-2 0~15,满十六进一.它与十进制对应的数如下表： +进制012891011121314151617… 十六进制012…89 ABCDEF1011… ·29· 目)培优竞赛超级课堂 7年级数学 8.如果10=n,那么b为n的劳格数，记为b=d(n), 13.(2025,湖北黄冈自主招生)一个整数的所有正约 由定义可知：10=n与b=d(n)所表示的b,n两 数之和可以按如下的方法进行求解，如： 个量之间具有同一关系。 6=2×3,则6的所有正约数之和为1+2+3+6= (1)根据劳格数的定义，计算d(10)和d(10-2)的值. (1+2)×(1+3); (2)若m,n为正数，则d(m·n)=d(m)+d(n), 12=2×3,则12的所有正约数之和为1+2+3+ d侣）=dm)一dm).根据运算性质，填空： 4+6+12=(1+2+2)×(1+3); 18=2×32,则18的所有正约数之和为1十2十3+ d(a3) (a为正数). 6+9=18=(1+2)×(1+3+32). d(a) 若d(2)=0.3010,则d(4)= ,d(5)= 参照上述方法可得300的所有正约数之和为 ,d(0.08)= (3)若表中与数x对应的劳格数d(x)有且仅有 14.计算： 两个是错误的，请找出错误的劳格数，并将其改 1)(第十六届“希望杯”数学邀请赛)一弓× 正过来 1.5 5 6 6 12 27 (←》-9÷0l+(》 3a-b 1+a 3-3a 3-b d(x) 2a-ba十c -2b 6a-3b -3c -2c ×52: +c b-c ⑧竞赛训练 (建议用时30分钟) (2)(第十届“希望杯”数学邀请赛)一13专×1青 1 9.设M= 33-12T43-1 十…十 20263-4×2026 2間÷(-05)÷×号号×[(-2-2] 则100M最接近的整数是(). A.10 B.11 C.12 D.13 10.设a=30,b=440,c=530,则a,b,c中最大的是 ,最小的是 34+34+34 1.(2025,浙江开化自主招生)已知2十2十2十2× 4十4+4+4=2”，则n= 64+64+6 12.(2025,浙江自主招生)若x=(1+3)(1+32)(1+ 34)(1十38)…(1十3256)，则x十3的个位数字是 ·30·