第3讲 有理数的加减乘除运算-【培优竞赛·超级课堂】2026-2027学年七年级全一册数学

官)培优竞赛超级课堂 7年级数学 … |x9一40|十|x0一40|=1，x9十x0的最小值为39十 40=79; ∴x1十x2十x3十…十x0的最小值为3十7+11十 15+…+79=3+79)X20=820. 2 旧建立圆环模型（如图所示），把六个数排成一圈，与1 相邻的数尽可能小，即2,3；与2,3相邻的数也尽可能 小，即4,5；最后6在4,5中间，也满足尽可能小. 6 因而取x1=1,x2=2,x3=5,x4=6,x6=4,x6=3, 则S=|x1-x2十x2-x3+|x3-x4+|x4-x5十 |x5-x6+|x6-x1=1+3+1+2+1+2=10. 所以S的最小值为10.（也可以取x1=1,x2=3,x3= 4,x4=6,x5=5,x6=2) 第3讲有理数的加减乘除运算 原式=76×3-76×高+23×品+23×石-53× 名+53×6 -(76×3-3×2云)+(-76×3+23× 3)+(23×元+53×元) =23×名+(-53×3)+76×7启 =1+(-1)+1=1. 例2方法一原式=0.5+1+1.5+2+…十29.5 =(0.5+29.5)X59=885. 方法二原式=0.5+1+1.5+2+…+29.5 =(0.5+1.5+…+29.5)+(1+2+…+29) -0.5+29.5)×30+1+29)×29-885. 2 2 方法三设原式之和为5，对每个括号内的各项倒序相 加，则=合+（层+）+(++)+（告+ +号+)++（需+器+…+品+）将原 序与倒序相加，则有2s=1+2+3+…+59= 1+59)X59=30X59,故5=15×59=885. 2 3(1ω11 nn+1' 1=n+1-n=n+1 n 1 (2》n(m+i一nm+)nm+in(n+n 1 n+1 ③)原式-1-合+号-吉+…+222 1 1_2025 =1-2026-2026 (w原式=合×(1-3)+合×（号-号）+合× (传号)++号×(2020) 合×(1-+日日+…脑d) 11 =号×0-22) -古×号8-0器 例4方法一 原武=（合+日++22）×1+（合+ 合+…+2)×（号+日++2）-（号+ g+…+2)x1-(合+号++2)x(3+ +…+)-（合+++a)-(合十 3++202）=2027 方法=设a=+日++20276号+号+ 1 +2026 则a一b=2027 原式=a(1+b)-(1+a)b=a-b=2027 方法三设2+号+…叶2d6=61计号+号十叶 2026=a,则a-b=1. 原武-=(b+2027)a-(a+202)b 1 1 =2027a-b)=20271 例5(1)①如图1所示.②如图2所示. -1 4 -3 图1 图2 (2)如图3所示. 每行的和为2x一1十2x十4十2x一3=6.x. 2x-12x+42x-3 3 2x-2 2 2x+2 34 2x+32x-42x+1 33 图3 图4 (3)如图4所示. 【变式题组】 团原式=-名×(3×号+1)++19 =-号×3+6+10是 =-7+267=23, (②)原式=-6+4+号+27+×(-) =-6+4+号+27-=25. 1-2(1)原式=5.7×0.00036-(1.9×3×0.0002-5.7 ×0.000164) =5.7×(0.00036-0.0002+0.000164) =0.0018468. ②原式-（++）÷(+罗+) =[ox(g+3+7】÷[16ox(g+ 品+】 =104÷100=1.04. 2图设s=是+（仔+）+（信+8+）+…+ 参考答案与提示 则2s=(号+)+（层+是++日）+…+ (++腮+名++2》 F20262026 =1+2+3+…+1013=1+1,013×1013 2 =513591, 所以S=256795.5. 3-1(1)1×2+2×3+3×4+4×5+…+99×100 3×99X100×101 =333300. (2)S=号×11×12X13-10X11×12)+号×(12× 18×14-1X12×13)++号×(49×50× 51-48×49×50) =号×49×50X51-10X11×12) =41210. (3)原式=}×1×2X3x4-0x1x2X3)+号×2× 3X4X5-1×2X8×40+…+是×(20× 21×22×23-19×20×21×22) -×20×21×2×23-0) =53130. 函原武-名×(122X8+2k334+议4 11 1 1 1 4X5+…+98999X10 =日×（层-g)=日×号88-0龈 图式-1+g+与最+…o0 2 =1+2×(分-3)+2×（合-4）+…十 2x() =2-18。 4-A提示：设a1十a2十a3十…十a226=x,a2十a3十 a4十…+a22s=y,则M=x(y+a2o2),N=(x+ 但培优竞赛超级课堂 7年级数学 a2027)y, .M-N=x(y+a227)-(x+a22m)y =(x-y)a2on=a1a2027>0, '.M>N 5]256.提示：如图，设中间正方形的两个数分别为 a,b. m 由条件可知n+a十2=a十2+b一2=a+b,m+a-2= a+b;y+b-2=a+b;z+6+2=a+b; .'.n+a+2=m+a-2,y+b-2=x+b+2, .n-m=-4,y-x=4, .(n-m)y-x=(-4)4=256. 5-2900.提示：a十b+c=e+b十c→a=e. d+b+e=c+b+e→c=d. b+c+e=f+c十e→b=f. a+b+c+d+e+f=20,2(a+b+c)=20,a+b+ c=10. a,b,c只能为质数2,3,5. 6个圆圈中所填的数的积为2×2×3×3×5×5=900. 5319.提示：假设最右上角的空白处是a,则15十13十 a=a十12十最右边的数字，得到最右边的数字是16， 根据最左边的两边共有一个数字以及和相等，得到左 下方的数字是14十15一18=11，然后根据各边的数字 和相等且为28十a,将每个圆中的数字都用a表示出 来，如图所示.因为这些数字是1到19之间的数字，可 以猜出a小于11，大于6.8已经有了；若为9,9-4= 5,5已经有了；若为7,12-7=5,5已经有了.故a只 能是10，因此x=19. 15 13 8 a-6 12 a-4 5 12- 16 11 11- a-3 18 7+a 3 【能力平台】 日B提示：原武-（兮吉++甘吉吉+ 日+7-7-君)×(-8)=-名×(-8)=1 目C提示：y0,则十y≠x-,那么x+y,号 三数相等，或者x一y,子三数相等，都有y 号若x=0,则x十y=0或x一y=0,得y=0,与题 意不符.若x≠0，由y=二，得y=士1.当y=1时， y x十y=xy,x一y=y均无解；当y=一1时，x=一2 1 或x=2所以y-z=2 1 3 提示：立 2 2 投-时-站+4-+由题意当=3x 1中1时号-13日+名当6=5-3×2+1时， 号吉5-日当-7-2x3+1时号-装 2=1+5=1+1. 京+子…，当&=2a+1时，是-on+aD+ 2 中：n=1 1 ，对于任意奇数k(>2,是 1 1 k+D十+： 2 2 4(1)原式=1+(3-2)+(5-4)+…+(2027-2026) =1+1013=1014. (2)原式=90+900+9000+90000+900000一5 =999985. (3)原式=2026×2027×10001-2027×2026× 10001 =0. 0原式=6+1+3+2+6+40+（合+号++ +号++》 =21+3=24. 5C提示：因为a+b+ab十1=(a+1)(b+1),所以每 次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不 变，设经过99次操作后黑板上剩下的数为x, 则x+1=1+1D(侵+1（号+1）小-(0o+1), 解得x十1=101，x=100. 6(1)原式=-211×455+365×455-211×545+545×365 =(-211+365)×455+(-211+365)×545 =(-211+365)×(455+545) =154×1000=154000. (2)原式=3.79×0.038+3.79×0.121+6.21×0.159 =3.79×(0.038+0.121)+6.21×0.159 =3.79×0.159+6.21×0.159 =(3.79+6.21)×0.159 =10×0.159=1.59. 3)原式19X1010176x1011976=33 76×1010119×101-76-19 41 7(1)能，如图所示. 5 4 ① (2)不能.设所填的6个数依次为a,b,c,d,e,f,它们 任意相邻三个数的和大于10，即a十b十c≥11，b十 c+d≥11，c+d+e≥11，d+e+f≥11，e+f+a≥ 11,f+a+b≥11，相加，得3(a+b+c+d+e+f)≥ 66,故a+b+c十d+e十f≥22，而1+2+3+4+5+ 6=21,所以不能使每三个相邻的数之和都大于10. |100 100 8(1)020=1×2×3×010 =6. 003 001 003 100 1100 (2)100 0 03 =020 =6: 020 020 003 a b C b (3) a b a b c de f de f 参考答案与提示 a b c a b c =0: de f (4)由矩阵(3)知，当矩阵中有两行相同时，该矩阵为0， 1110 100010 则010 010+010 =1+0=1, 001 001001 110 110110 011=010+001=1+0=1, 001 001 001 11 0/ 110 ∴.010+011=1+1=2. 001 001 第4讲有理数的乘方与相关应用 例10.提示：ab=1,c十d=0,e=-1. 原式=(-1)2025-02025-(-1)2027=-1-0+1=0. 2原式-(-)×号×号-[（罗）-0×() 9÷(-2)]-[号×(-】]'×(-) =(-）-[（-1罗)+2+]-(-1D×号 =号+9+8 =78+-38=9 40840 40 例3相信.第43次后纸的总厚度为23×0.06≈5.3× 101cm=5.3×10km,此时所有纸的总厚度大于地 球到月球之间的距离。 例4(1)(11101)2.提示：29=1×24+1×23+1×22+ 0×2+1=(11101)2. (2)11.提示：(1011)2=1×23+0×22+1×21+ 1=8+2+1=11. 丽(1)2-1.(23"3 2 (3)当a=1时，1十a十a2+…十a”=n十1； 当a≠1时，设S=1+a十a2+…十a”,① 则aS=a十a2+…十a”十a"+1,② 由@-0可得(a一1)S=a1-1,∴5=a11 a-1第3讲 有理数的加减乘除运算 卑情境课堂 华罗庚(1910一1985)，世界著名数学家，中国解析数论、矩阵几何学、典型群、自守 函数论与多元复变函数论等多方面研究的创始人和开拓者.国际上以华氏命名的数学 科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华一王方法”等 算一算 华罗庚说，只要踏进数学花园的大门，你们随时随地都会发现数学中有许许多多有 C6 趣的东西.下面是他喜爱的“极简单的例子” 华罗庚 我家有9个人，每人每天吃半两油，一个月（以30天算）共吃几斤几两油（注：当时 使用的是一斤十六两制)？请你先试一试。 方法-列出算式0.5×9×30÷16，计算得86，即共吃油8斤7两. 方法二动一动脑筋，很容易心算得每人每天半两，每人每月不是一斤差一两吗？九人每月吃油就是 九斤差九两，即八斤七两 如果一个月按31天算，解法二就显得比解法一更好，既迅速又方便.华罗庚说：“比较一下，就知道数学 是怎样有趣、怎样活泼的一门科学了.” 典例剖析 类型1巧用运算律 例1里(2025，北京自主招生)计算：76X (33)+23×偏+)-53×(g) ⑤【学找切入点】先利用分配律展开式子，再利用有理数加法的交换律与结合律求解。 武1四计算：1)-1×3×（号）×-号)+1-日×(-27)+}-20l: 2)-24×经日)-8÷（岛》+3×(-》 ·15· 目)培优竞赛超级课堂 7年级数学 变式1-2计算：(1)5.7×0.00036-(0.19×0.006-5700×0.000000164)； 2)“五羊杯”克秦题l弱-3品+9》=1品+3品+9引》 类型2)有理数的凑整法、分组法及倒序相加法 2计算：+(g》+(任++）+(+号++)+…+品+品+品+…+ 60 9, 60/ ⑧【学找切入点】观察每个括号内分数的特点 方法-一原式=0.5+1十1.5+2+…十29.5，可将0.5十29.5,1+29，…配对计算. 方法二原式=0.5十1+1.5十2+…+29.5=(0.5+1.5+…+29.5)+(1+2+…+29)，可分成两组计算 方法三设原式之布为，对每个指号内的各项倒序相加，则5=}+（号+》+(+层+》+（售+昌 十号+号》-一+器+…叶品十动》，济序与序相在2，易得 要武2计算：2++》+(g+名+》++(226+23 3 2025 十…+2026 类型3)裂项相消法 1 1111111 例3观察变形规律：1X21-22X3233×43一4… 回答下列问题 1 (1)若n为正整数，请你猜想：n(m十1D一 (2)证明你的猜想； 1 1 1 (3)求和1X2十2X3十3X4十 2025×2026 ④求和又33议7… 1 1 2025×2027 ⑤【学找切入点】观察算式中每一项的分母结构，发现它们都是两个连续整数的乘积，且分子均为1，符合裂 项相消的典型特征. ·16· 第3讲有理数的加减乘除运算 变式3-1贝贝为了计算1×2+2×3+3×4十…十99×100的值，作了如下探究： 1×2=3×(1×2×3-0X1×2),2×3=3×(2×3×4-1×2×3), 3X4=}×(3X4X5一2×3×4，将这三个等式的两边相加。 得到1×2+2×3+3×4=3×3×4X5=20, (1)请帮贝贝计算1×2+2×3+3×4+…+99×100的值； (2)请直接写出S=11×12+12×13+13×14+.+49×50的值，S= (3)聪明的贝贝将算式类比到如下形式，请计算该算式的值：1×2×3+2×3×4十3×4×5+… +20×21×22. 1 1 1 变式3-2计算：1×2X3+2×3X4+3×4X5+…+98×99X100 式33计第：1+中2+中2写十中g3+叶1中2+g中 1 方法技巧 常用的裂项相消技巧 11 形如m十)的分式可拆成。m中的形式，这样拆项抵消是分式计算中的常用技巧，而更一般的形式 如下： ()(n D() 1「1 1 类型4用换元思想计算 圆a计算：（侵+号+…+202×h++号+…+2026）-(1+合+号++2)× (2+++2028 1 ·17· 目)培优竞赛超级课堂 7年级数学 ⑤【学找切入点】思路一观察乘积形式，联想到乘法分配律；观察差的形式，联想到整体相消；观察四个因 式的湘同点：第一个积的第一个因式布第三个积的第一个因式均合号十写十…十2配7第一个积的第二个因 式布第二个积的第二个国式均含号+号十…十225 1 思路二运用整体设元法将一串有理数的和视为整体，用一个字母来代替，然后可以从代数的角度去观察 计算，起到化繁为简的作用. 变式4-1已知a1,a2,a3,…,a2o27都是正有理数，M=(a1十a2十a3十…十a22s)(a2十a3十a4十 十a2o2z),N=(a1十a2十ag十…十a227)(a2十a3十a4十…十a22s),则M,N的大小关系为 (). A.M>N B.M<N C.M-N D.无法确定 类型5)数字谜 例5幻方的历史很悠久，传统幻方最早出现于夏禹时代的《洛书》.《洛书》用今天的数学符号翻 译出来，就是一个三阶幻方，如图1所示 下面介绍一种构造三阶幻方的方法 杨辉法.口决（如图2）：“九子斜排，上下对易，左右相 更，四维挺出.” 9 9 ④ 9 ② 42 42 42 753 753 3■57 3⑤ 回 86 8 6 8☐6 9 ⑧▣⑥ 九子斜对 上下对易 左右相更 四维挺出 图1 图2 (1)①请你依据《洛书》把1,2,3,5,8填入图3剩余的方格中，使每横行、每竖列以及两条对 角线上的数的和都是15； ②把一4，一3，一2，一1,0,1,2,3,4填入图4的方格中，使每横行、每竖列以及两条对角线上 的数的和都相等 (2)若把2x一4,2x一3,2x一2,2x一1,2x,2x+1,2x+2,2x+3,2x+4填入如图4的方格 中，使每横行、每竖列以及两条对角线上的数的和都相等，则每行的和是（用含x的式子 表示) (3)根据上述填数经验，请把32,34,3,38,310,312,314,316,318填入如图5的方格中，使每横 行、每竖列以及两条对角线上的数的积都相等. 4 9 6 图3 图4 图5 ®【学找切入点】运用整体思想解决问题. ·18· 第3讲有理数的加减乘除运算 三阶幻方有知下性质：1)三阶勾方中，每行、每列，每条对角镜上三个数的和等于这九个数的和的行 (2)三阶幻方中每行、每列、每条对角线上的三个数的和是中心格中的数的3倍. 变式5-1我国春秋时期的《大戴礼》记载了世界上最早的“幻方”（如图1），该“幻方”中，每个三角 形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等.现有如图2所示的“幻 方”，则(n一m)y-x的值是 9 n 4 图1 图2 变式5-23如图，4个小三角形的顶点处共有6个圆圈，若在这些圆圈中分别填入6个质数，它们 的和是20，且每个小三角形三个顶点处的数之和相等，则这6个圆圈中所填的数的积是 15(13 14)H (8 12 18 变式5-2图 变式5-3图 变式5-3据说美国有一位铁路职工花了50余年的业余时间，研究得到了一个六角形幻方，如图 所示的每一个圆中分别填写了1,2，…，19中的一个数字（不同的圆中填写的数字各不相同），使 得图中每一个横或斜方向的线段上几个圆内的数之和都相等，现已知该图中七个圆内的数字，则 图中的x= 研讨乐园 高斯求和问题 例6计算：1+2+3+…+n. 思路一就的奇偶性讨论，可利用高斯求和的对称思想计算 当n为奇数时，首尾相加等于n十1，第2个数与倒数第2个数相加等于n十1，…，共有 ”2组，中间一个数为”士，所以 ·19· 目)培优竞赛超级课堂 7年级数学 1+2+3+…+n=1+)+[2+(m-10]++n1 2 ”号个(a+D =(n+1D×"2+n1_n1×m-1D+1_m+D 2T 22 2 当n为偶数时，首尾相加等于十1，第2个数与倒数第2个数相加等于n十1，共有2个，十1). 故1+2+3+…+n=受m+1D-n0,1D 2 思路二（倒序相加法）设S=1+2十3十十n, 又S=n+n-1++1, 两式相加得2S=(n十1)十(n十1)+…十(n+1)=n(n+1), n个(n+1) S=n(n+1) 1+2+3+…十n=n+1D 思路三（图形法）图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层 有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了层 第1层 OOO…OO 第2层 ○O… 第3层 ○○○ 00000 OO 第n层○○…○O 00.000 图1 图2 将图1倒置后与原图1拼成图2的形状， 图2中有n层圆圈，每层圆圈的个数为n十1， 所以图2中圆圈的总个数为n(n十1). 又因为图2中圆圈的总个数是图1中的2倍， 所以图1中圆圈的总个数为”(n,+1) 2 即1+2+3+…+n=n(n+1D 2 【研讨1】在1,2，…，2028前面任意添上正号和负号，求其非负代数和的最小值 【解】首先确定非负代数和的最小值的下限，然后通过构造法证明这个下限可以达到即可. 整数的和差仍是整数，而最小非负整数是0，故可从奇数、偶数的性质入手.因为a十b与a一b的 奇偶性相同，故所求代数和的奇偶性与1+2+3+…+2027十2028=2028×(1+2028) 2 1014×2029的奇偶性相同，即为偶数 又因为(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+.+(2025-2026-2027+2028)=0， 所以所求非负代数和的最小值为0. 【研讨2】计算：(1)2十4+6十…十2m; ·20· 第3讲有理数的加减乘除运算 (2)1+3+5++2m-1; (3)13+23+33+…+n3 【解】(1)思路一从特殊情形入手. 2+4=6=2×3; 2+4+6=12=3×4; 2+4+6+8=20=4×5; … 猜想：2+4十6十+2n=n(n+1). 思路二原式=2×1十2+3+…十n）=2×nn,十1）=m十1D. 2 思路三构造图形求和，如图1. 故原式=n(n十1). ● ● ● ● ● O O ○ 0 O ● ● ● ● ● O ● ● ● ○ ●●●● 图1 图2 图3 (2)(3)在(1)的基础上，可以用不同的方法求出(2)(3)的和. 由图2得1+3十5+…+2n-1=n2. 由图3得13+23+33+…十n3=(1十2十3十…十n)2. 能力平台 ⑤培优训练 (建议用时25分钟) 为 ；一般地，对于任意奇数(k>2), 1.计算（号 7L9111315 12T2030T4256 ×(一2)3的值为 将号拆分成两个不同单位分数相加的形式为 (). A.-1 B.1 C.-2 D.2 4.计算： 2.(经典，华中师大一附中自主招生)若有理数x,y (1)(1+3+.+2027)-(2+4+·+2026); 使得x十y,x-y,zy, 工这四个数中的三个数相 (2)89+899+8999+89999+899999; (3)2026×20272027-2027×20262026; 等，则y一|x的值是(). B.0 c 0加+1++2日+6号+4+ 3.(2025,四川成都中考)分子为1的真分数叫作“单 位分数”，也叫“埃及分数”.古埃及人在分数计算时 总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如： 号专十品将品拆分成网个单位分数相如的形式 ·21· 目)培优竞赛超级课堂 7年级数学 ⑧竞赛训练 (建议用时20分钟) 100 5黑板上写有1,2，日…共10个数字每次操 ①010 =1; 11 001 作先从黑板上的数中选取2个数a,b,然后删去a, ②当矩阵两行互换时，结果互为相反数，比如： b,并在黑板上写上数a十b十ab,则经过99次操作 al a2 a3 b1 b2 b3 后，黑板上剩下的数是( ).[提示：a+b+ab+ b1 b2 b3 a2 a3 1=(a+1)(b+1)] C1 C2 C3 C2 C3 A.2012 B.101 C.100 D.99 ③某一行或某一列的公因数可以提到外面，比如： 6.计算： al a2 a2 a3 (1)(第十六届“五羊杯”数学竞赛)211×（一455）十 kb1 kb2 kb =k b b2 b3 365×455-211×545+545×365; C1 C2 C3 C1 C2 C3 (2)(第十六届“五羊杯”数学竞赛)37.9×0.0038十 ④两个矩阵只有一行或者一列不同，其他都相同， 1.21×0.379+6.21×0.159; 则可以相加，比如： (3)919197676 a2 a3 7676761919 b2 b3 + b b2 b3 C2 C3 C2 C3 a1十a4a2十a5 a3十a6 b1 b2 b3 C1 C2 C3 根据规律计算下列各题： 100 003 a 7.(第十五届江苏省初中数学竞赛)如图，在六边形的 b (1)020; (2)100: (3)a b c 顶点处分别标上数字1,2,3,4,5,6，能否使任意 003 02 0 de f 三个相邻顶点处的三数之和满足下列条件」 110 110 (1)大于9. (4) 010 +011 (2)大于10. 001 001 若能，请在图中标出来；若不能，请说明理由。 8.(2025,湖北武汉自主招生)一个三阶矩阵A= a2 ai az as b2 b3 b2 可记作|A|,A是对 C1 C2 C3 C1 C3 矩阵进行计算，其规律如下： ·22·