第1讲 有理数与数轴的数形结合-【培优竞赛·超级课堂】2026-2027学年七年级全一册数学

第1讲 有理数与数轴的数形结合 臭情境课堂 笛卡尔(1596一1650)，法国数学家.笛卡尔在数学上的最大贡献是提出了解析几何 学的主要思想和方法，并指明了其发展方向.他在《几何学》中，将逻辑、几何、代数等方 法结合起来，勾勒出解析几何的轮廓。从此，数和形就走到了一起 数形结合初体验 想体验一下数形结合吗？以下问题是笛卡尔与欧拉都研究过的，你想试一试吗？ 下面的四个图形都称作平面图形，观察图2和表中的对应数值，探究其中的规律并 笛卡尔 作答 (1)数一数每个图形各有多少个顶点、多少条边，这些边围成了多少个区域，并将结果填入下表， 图序 1 2 3 4 顶点数 7 边数 9 图1 图2 图3 图4 区域数 (2)根据表中的数值，写出平面图形的顶，点数、边数与区域数之间的关系 典例剖析 类型1有理数的分类 把下列各数分别填人相应的集合：十26,0，-8，-48，-17号，0.6，-23， 22 0.1010010001…(每两个1之间依次多一个0). (1)自然数集：{1 }； (2)正有理数集：{ (3)负有理数集：{ (4)非负数集：{ } (5)整数集：{ }; (6)分数集：{ ⑤【学找切入点】整数和分数统称为有理数，有理数分为正有理数、零、负有理数 2.3可化为分数.π，0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）是无限不循环小数，它们不能写成分 数的形式. ·1. 目)培优竞赛超级课堂 7年级数学 变式1-1如M={1,2,x},我们叫集合M,其中1,2，x叫作集合M的元素，集合中的元素具有 确定性（如x必然存在）、互异性（如x≠1，x≠2）、无序性（即改变元素的顺序，集合不变）.若集合 N={x,1,2,我们说M=N.已知集合A=(2,0,x,集合B=月，x,,若A=B,则x-y 的值是( A.2 B号 C.-2 D.-1 类型2数轴上的点与有理数 例2如图，将数轴上一6与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应的数依次为a1,a2, a3,a4,a5,则下列结论正确的是(). A.a3>0 a az as a as -6 6 B.a1与a4分布在原点的两侧，且到原点的距离相等 C.a1,a3,a4表示的数为-4,0,2 D.a4十a5=8 ⑤【学找切入点】本题考查了数轴、两点间的距离.求出a1,a2,a3,a4,a;表示的数是解题的关键. 变式2-1如图，在数轴上标出了若干个点，相邻两点间相距一个单位长度，数轴上还标出了四个 点：A,B,C,D,它们对应的数分别为a,b,c,d,且d一2a=10.那么数轴的原点是(). A B C D A.点A B.点B C.点C D.点D 变式2-2(2026，湖南长沙长郡双语实验中学期未)如图，数轴上P,Q,S,T四点对应的整数分 别是p,9,s,t,且有p十q十s十t=一2，那么数轴的原点是(). A.点P B.点Q C.点S D.点T 归纳总结 数轴上两点的距离表示 1.数轴上任意两点间的距离等于较大数对应，点的坐标减去较小数对应，点的坐标，如图1所示，AB=b一a. 2.数轴上互为相反数的点在原点两侧，且到原点的距离相等，如图2所示 (1)a=-b或a十b=0; (2)OA=OB. A B AO B 0 图1 图2 类型3利用数轴比较有理数的大小 例3已知m,n在数轴上的位置如图所示，试比较一m,一n,m,n,m一n,n一m的大小，并用 “>”连接 2 0 ·2· 第1讲有理数与数轴的数形结合 ⑥【学找切入点】方法一用特殊值法，即通过代入特殊值来比较大小. 方法二先根据数轴的意义及有理数的加法、相反数的意义，画出数轴上对应的点，再利用数轴上右边的 数大于左边的数来比较大小. 变式3-1（经典，江苏省首届数学文化节基础闯关题）已知a,b为有理数，且a>0,b<0,a十b< 0,将四个数a,b,一a,一b按由小到大的顺序排列是 类型4)与数轴有关的分类讨论 例4已知数轴上有A,B两点，点A与点B之间的距离为1，点A与原点O之间的距离为3， 那么点B对应的数是 ⑤【学找切入点】此题可先确定点A的位置，再确定点B的位置，需充分考虑A,B两点之间的多种位置 关系. 变式4口点A,B分别是数-3，一2在数轴上对应的点，将线段AB沿数轴向右移动到A'B,且 线段AB'的中点对应的数是3，则点A'对应的数是 ,点A移动的距离是 变式4-2数轴上有A,B两点，如果点A对应的数是一2，且A,B两点的距离为4，那么点B对 应的数是 ,线段AB的中点对应的数是 (类型5与数轴有关的探索问题 例5阅读材料，回答下列问题 (1)如图所示，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合.若 将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上对应的数为20（单 位：c);若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上对应的 数为5（单位：cm).由此可得木棒长为 cm. C ---------------- -205AB 20 (2)在(1)的条件下，已知点C表示的数为一2.木棒在移动过程中，当木棒的左端与点C相 距3cm时，求木棒的右端与点A的距离 (3)请根据(1)中的“木棒模型”解决下列问题. 一天，美羊羊去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若 是我现在这么大，我已经是老寿星了，116岁，哈哈！”美羊羊纳闷，爷爷到底多少岁？请你画出示 意图，求出爷爷和美羊羊现在的年龄，并说明解题思路， 【学找切入点】(1)观察数轴求解. (2)分两种情况根据两点间的距离公式求解. (3)在求爷爷的年龄时，要借助数轴，先画出“木棒模型”示意图，进而可求出爷爷的年龄. ·3· 目)培优竞赛超级课堂 7年级数学 变式5-1李老师从油条的制作中受到启发，设计了一个数学问题.如图，在数轴上截取从原点到 1的对应点的线段AB,对折后（点A与点B重合），固定左端向右均匀地拉成1个单位长度的线 1,3均变成223 段，这一过程称为一次操作（例如，在第一次操作后，原线段AB上的4， 1,1变成1；等 等).那么在线段AB上，经过第二次操作后，求： (1)恰好被拉到与1重合的点所对应的数之和； (2)与0重合的点所对应的数之和； (3)与0~1中任意的数重合的点所对应的数之和； (4)第n次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数之和. A B 0 -2024681012 《研讨乐园 “有理数”问题研讨 例6讨论下列问题： 【研讨1】为什么把整数和分数统称为“有理数”？ 曾经有一个初一学生问数学老师：“老师，您在课上讲，有理数是整数和分数的总称，‘有理？ 是有道理的意思，我不明白，整数和分数这两种数有什么道理呢？”老师回答：“这是数学上的规 定，没有为什么.” 面对学生的追问和求知的欲望，我们应该追本溯源，而不是敷衍搪塞， 实际上，“有理数”是翻译上的一个失误 有理数在英语中是“rational number'”,而“rational'”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者 在翻译西方科学著作时，参考了日本的翻译方法，把“rational number'”翻译成了“有理数” 而rational这个词的词根ratio源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意义就是整数的“比”. 分数本身就是两个整数之比，而整数可以写成这个数与1的比的形式. 所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数 【研讨2】 分数可写成2+1 的形式，其中(x,y,之)等于(). ·4 第1讲有理数与数轴的数形结合 A.(11,2,5) B.(1,5,2) C.(5,2,11) D.(1,2,5) E.(13,11,12) 此愿可把分数得写战连分数的形式逆排分析。 =2+=2+ 37 32+1 2+1 1 =2+ 2 11 1+ 1 11 11 11 5十2 与给定的分数比较得(x,y,z)=(1,5,2) 故选B. 像上面这样的表达式称为“连分数”，任何一个有理数都能表示为有限简单连分数，任何一个 有限简单连分数都可化为一个有理数， 【研讨3】整数与分数统称为有理数，那么下面两例中的小数是不是有理数？ (1)0.75;(2)0.3. 对于(1)，因为0.75= 0品=，而是有理数，故0.5是有理数；对于(2)，无限循环小数酮 4 化成分数吗？ 方法一 倒过来看，号-0.3…=0.3，则0.3为有理数 方法=0.3=x,则10×0.3=10x,放3十0.33.=10x,即3+x=10x,解得x=号 由此得无限循环小数也是有理数， 【研讨4】若自然数n使得n+(n十1)十(n十2)做竖式加法时均不产生进位现象，则称n为 “可连数”.例如32是可连数，因为32十33十34不产生进位现象；23不是可连数，因为23十24十 25产生了进位现象.那么小于200的可连数有多少个？ 当可连数为一位数时，n+(n+1)+(n+2)≤9，解得n≤2，由于n为自然数，所以n=0或 n=1或n=2,即一位数的可连数有3个 当可连数为两位数时，设它的个位数字为a,十位数字为b,则a+(a+1)+(a+2)≤9，解得 α≤2.由于十位数字相加时不产生进位现象，所以十位上的数字b必须满足b十b十b≤9，解得 b≤3.从而两位数的可连数有10,11,12,20,21,22,30,31,32，共9个 当可连数为三位数时，由于我们只求小于200的可连数，所以它的百位数字为1，设它的个位 数字为a,则a+(a十1)+(a+2)≤9，解得a≤2.由于十位数字相加时不产生进位现象，所以十 位上的数字b必须满足b十b十b≤9，解得b≤3.从而三位数的可连数有100,101,102,110,111， 112,120,121,122,130,131,132,共12个. 综上所述，小于200的可连数的个数为3十9十12=24个. 研讨4取材于我们熟悉的自然数加法运算，定义了新概念可连数，解题的关键是深刻理解阅 读材料中要求的“均不产生进位现象”的含义，并能灵活运用数学思想方法（如分类讨论法）， ·5 目)培优竞赛超级课堂 7年级数学 能力平台 ©培优训练 (建议用时30分钟) 和一1.若△ABC绕着顶点顺时针方向在数轴上连 1.(经典，浙江杭州中考)已知数轴上的点A,B分别 续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则翻转 表示数a,b,其中-1<a<0,0<b<1.若aXb=c, 2027次后，点B所对应的数是( 数c在数轴上用点C表示，则点A,B,C在数轴上 A 的位置可能是( -4 -3-2-1 0 12345 A BC ACB A.2026 B.2026.5 -10 -10 A B C.2027.5 D.2028 6.电影《哈利·波特》中，小哈利·波特穿越墙进人 10 1 、CAB 0 0 9站台“的镜头（如图所示的Q站台），构思奇 2.(新希望杯)已知有理数a,b满足如下关系：ab|= 妙，给观众留下深刻的印象.若A,B站台分别位于 一ab(ab≠0)，la+b|=|a|-b.用数轴上的点来 号，S处，AP=2PB,则P站台用类似电影的方 表示a和b,下列表示正确的是(). A.- b 法可称为“ 站台” A B B.- b 0 -10123 910 C.a 0b 7.对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的 D.b 数乘以？，再把所得数对应的点向右平移1个单位 3.(2026,福建福州一中期未)已知数a,b,c在数轴上 长度，得到点P的对应点P' 的位置如图，则下列说法： 点A,B在数轴上，对线段AB上的每个点分别进 ①a+b-c>0,②ab+ac>0:@a+6+ C 行上述操作后得到线段A'B',其中，点A,B的对 1;la-b|-1c+b1+la-cl=-2b. 应点分别为A',B'.如图，若点A表示的数是一3， 其中正确的是( 则点A'表示的数是 ;若点B'表示的数是 b 2,则点B表示的数是 ;已知线段AB上的 0 A.①④ B.②③ C.②③④D.①③④ 点E经过上述操作后得到的对应点E'与点E重 4.如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分 合，则点E表示的数是 点处分别标上0,1,2,3，先让圆周上表示数字0的 A B 点与数轴上表示一1的点重合，再将圆沿着数轴向 -4-3-2-101234→ 8.画一条数轴进行操作探究： 右滚动，则数轴上表示2026的点与圆周上表示哪 操作一 个数字的点重合？( (1)折叠纸面，若使1表示的点与一1表示的点重 合，则一3表示的点与 表示的点重合. 3 操作二 A.0 B.1 C.2 D.3 (2)折叠纸面，若使2表示的点与一6表示的点重 5.(2026,浙江宁波镇海中学检测)等边△ABC在数 合，则 轴上的位置如图所示，点A,C对应的数分别为0 ①3表示的点与 表示的点重合； ·6· 第1讲有理数与数轴的数形结合 ②若数轴上A,B两点之间的距离为16(A在 点是这些点中的4个，且在数轴上的位置如图所 B的左侧)，且A,B两点经折叠后重合，则A, 示.如果3a=4b-3,那么c+2d= B两点表示的数分别是」 a b c d 操作三 12.电子跳蚤落在数轴上的点k。处.第一步由。向 (3)在数轴上剪下9个单位长度（从一3到6）的 左跳一个单位长度到k1,第二步由1向右跳两个 ·条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重 单位长度到2，第三步由2向左跳三个单位长度 叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）.若这 到k3,第四步由3向右跳四个单位长度到4，…， 三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应 按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上 的点所表示的数可能是 的点k1o处，它所表示的数恰是19.94.试求电子 跳蚤的初始位置点。所表示的数 折痕 剪断处 ⑧竞赛训练 (建议用时15分钟) 9.如图，在数轴上有六个点，且AB=BC=CD=DE E℉，则与点C所表示的数最接近的整数是(). A B C D E F -5 11 A.-1 B.0 C.1 D.2 10.在数轴上，若点N与原点的距离是点N与30所 对应点之间的距离的4倍，则点N表示的数是 11.如图，在数轴上有若干个点，每相邻两个点之间的 距离是1个单位长度，有理数a,b,c,d所表示的 ·7·参考答案与提示 第1讲 有理数与数轴的数形结合 为-2， 例1(1)+26,0. 如图1，当左端点在点C右侧3cm时，此时木棒左端 (2②+26，号0.6,28. 点表示的数为一2+3=1，右端点表示的数为1+5= 6,木棒的右端点与点A的距离为10一6=4(cm), (3)-8,-4.8,-17,-8 A -2 01 6 10 (00,+26,2号，0.6，2.3,0.10101001…（每两 图1 如图2，当左端点在点C左侧3cm时，此时木棒左端 个1之间依次多一个0). 点表示的数为一2一3=一5，木棒的右端点表示的数 (5)+26,0,-8,-17. 为-5+5=0，木棒的右端点与点A的距离为10- (6)-48,2号06，-823. 0=10(cm), 例2C提示：一6与6两点间的线段的长度为12，六等 A -5 -2 0 10 分后每个等分的线段的长度为12÷6=2.故a1,a2, 图2 a3,a4,a5表示的数分别为-4，-2,0,2,4. ,∴.木棒的右端点与点A的距离为4cm或10cm. 例3方法一（特殊值法） (3)如图3，点A表示美羊羊现在的年龄，点B表示爷 由数轴上m与n的位置关系，可令m=-2,n=1, 爷现在的年龄，木棒MN的两端分别落在点A,B上， 则-m=-(-2)=2,-n=-1,m-n=-2-1= -4--Y-1 -3,n-m=1-(-2)=1+2=3. -40 AB 16→ 图3 又.3>2>1>-1>-2>-3， ,∴，n-m>-m>n>-n>m>m-n. 由题意可知，当点N移动到点A时，点M所对应的 方法二（数轴法） 数为一40；当点M移动到点B时，点N所对应的数为 分析题目所求，在数轴上分别画出一m,一n,m一n= 116.可求得MN=52. m十（一n),n一m=一(m一n)所对应的点，如图所示. 所以点A所对应的数为12，点B所对应的数为64. 答：爷爷现在的年龄是64岁，美羊羊现在的年龄是 m-n m -n 0 n-m n-m 12岁. 由图可知，n一m>一m>n>-n>m>m一n. 例42或4或-2或一4.提示：由点A到原点O的距 【变式题组】 离为3，得点A表示的数为3或一3.因为点A,B之间 11B提示：因为A={2,0,x,所以由互异性可知，x≠ 的距离为1，所以当点A表示的数为3时，点B表示 0x2因为B=侣，z,}A=B,所以x+ 的数是2或4；当点A表示的数为一3时，点B表示 的数是-2或-4.故点B对应的数是2或4或-2 0,1≠0，所以义=0，即y=0,所以 12 x 或 或-4. 例5(1)5.提示：观察数轴可知，三根木棒的长是20一 5=15(cm),则此木棒长为15÷3=5(cm). 2”时解得x-之当 时 (1 x=2.Ixl=x 川xl=2 (2)由题意可知，点A所表示的数是5十5=10. ,木棒的左端点与点C相距3cm,点C表示的数 无解当x=2时，A={20,},B=2,分0，此 目培优竞赛超级课堂7年级数学 时A=B,符合题意.所以x一y=2-0=2: 1 【能力平台】 1B 2-1B2-2C 2C提示：因为ab|=一ab,所以ab<0.又因为a+ 3-1b<-a<a<-b. 子9 b=|a|-b>0,所以|a|>b,所以排除AD.若a>0, 422或-6；0或-4. 则由la十b=a一b>0,有a十b=a一b,则b=0矛 5-1(1) 盾，所以排除B.验证可知，C正确. 3C 4D提示：因为2026-(-1)=2027,2027÷4=5063， 所以数轴上表示2026的点与圆周上的数字3重合. 5A提示：如图，由题意可得，每3次翻转为一个循环 组依次循环 接1))格得含 01 1 4 血将 2027÷3=675…2,∴.翻转2027次后，点B对 01 应的数是2027-1=2026. 4 时 报副 日1号或670：3；2 3 0 合 1 8(1)3.(2)①-7.②-10,6. (8)15骏 故在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应 提示：(2)①设3表示的点与数a表示的点重合， 的数字之和是+子=1 则3-(-2)=-2-a,.a=-7. 1+-是 ②数轴上A,B两点之间的距离为16， 数轴上A,B两点到折痕一2的距离为8 (3a+1-a)+(2+a)+(合-a)-2 A在B的左侧， ∴.A,B两点表示的数分别是一10和6. (4)第一次操作后，原线段AB上的2变为1； (3)设折痕处对应的点所表示的数是x, 第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数 如图1，当AB:BC:CD=1:1:2时，设AB=a, 有2=2个，分别是子，是，其和为1： 则BC=a,CD=2a,则a+a十2a=9, a=,AB=,BC=是，CD=8, 9 第三次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数 有日，日营和日其和为2： 可以看出第n次操作后，恰好被拉到与1重合的点对 A B C D 应的数的通式为，，，2”，共有2”1个，其和 -3 2’2m,…, 6 折痕 图1 2m-1X2" 为1+3+5+…+20-12 如图2，当AB:BC:CD=1:2:1时，设AB=a, -=2n-2 2n 则BC=2a,CD=a,:a十a十2a=9, 参考答案与提示 a=号，AB=号，BC= 2,CD=9 当x≥3时，原式=(x-1)+(x-3)=2x-4. 4 例4A提示：因为a十b十c=0,所以a,b,c中至少有 =-3++- 4 一个为正数，有一个为负数，所以有两种情况， ①当a>0,b>0,c<0时， AB C D 原式+名++ -c-abc =1+1-1-1=0. -3 折痕 6 图2 ②当a>0,b<0,c<0时， 如图3，当AB:BC:CD=2:1:1时，设AB=2a, BC=a,则CD=a,,a十a十2a=9, 原武-名+6++脸=1-111=0 AB=9 a=是B0=号，cD= 例5.有理数a,b满足|ab-2|十(1-b)2=0, , 则可知ab一2=0,1一b=0,则a=2,b=1. =-3+号+8- :原式-2文+3文2十X3+…十2028x20 1 11 1 A =1-名+号-日+…+2072s 1 1 -3 折痕 6 12027 图3 =1-2028-2028 综上所述，折痕点可能的数是8、昌安 例6方法一当x≤-1时，原式=3-x一x-1=2 2x,因为x≤-1，所以2-2x≥4； 9C1040或24.1日-2. 当-1<x<3时，原式=3-x+x+1=4; 2设k0点表示的有理数为x,则k1,k2,…,k10点所表 当x≥3时，原式=x-3十x+1=2x-2, 示的有理数分别为x一1，x一1十2，x-1十2-3，…， 因为x≥3，所以2x-2≥4. x-1+2-3+4-.-99+100. 综上所述，x-3+|x+1|≥4， 由题意得x一1+2一3+4一一99+100=19.94， 因此x-3|+x+1|有最小值为4. 解得x=-30.06. 方法二如图，x一3十x十1川所表示的意义为数轴 第2讲相反数与绝对值 上表示数x的点到表示数3和一1的点的距离的和. 例18或4.提示：由题意可知a十b=0,cd=1,x= -1x3 ±2，y=士1.x>y,x=2,y=士1（当x=-2 -2-101234→ 时，y=士1>x,不符合题意).当y=1时，原式= 由图形可知，当一1≤x≤3时，这个距离之和最小，最 (-1)×2-1×1+4×2+3×1=8;当y=-1时，原 小值为3+1=4. 式=(-1)×2-1×(-1)+4×2+3×(-1)=4. 【变式题组】 .原式=8或4. 1C1-2A2-1C 例2由题意知，a>0>c>b,|a=|cl, 2-2A提示：，a,b,c为整数，且la-b125+a-c25 ∴.a+b<0,c-a<0,c-b>0,a十c=0, 1,.①|a-b|=0,c-a|=1,即a=b,|c-bl= 原式=a十a+b+a-c+c-b+0=3a. lc-al=1,lb-cl=1,②la-b|=1,lc-a|=0,即c= 3()当x≥2时，原式=2x-1; a,a一b=|c-b=|b-c|=1.综上所述，|b-cl= 1.:.la-b1+16-c1+lc-al=1+1=2. 当x<2时，原式=-(2x-1D=1-2x. 31|x+1+x-2≥3，当-1≤x≤2时等号成立； (2)当x<1时，原式=-(x-1)-(x-3)=4-2x; |y-2|+|y+1|≥3，当-1≤y≤2时等号成立； 当1≤x<3时，原式=(x-1)-(x-3)=2; |z-31+|z十1|≥4，当-1≤z≤3时等号成立.