第1讲 整式的乘除章节培优1 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

《X》疯狂的wan 第1讲整式乘除优化1m 例题精游一一一一一一一一一一一一一一一一一岁前状态：与G 例题1若3=6,9=24,27=12，请探索，，z三者的数量关系，并证明。 【小麦助手】解：：6×24=12×12 ∴.3r×9=27×272 即：3+2y=3e ∴.x+2y=6z 例题2计算： ①0.1252026×(-2)605= @(-24m×{严x(合 【d麦勤手1@：0125×(-2m=(合×[(-2m=号×（传×(-8=日 ②：(-2m×(-mx(哈-(-2mx(士×(-})x(合mx(合- 1 144 例题3比较下列a,bc大小，并用“<"特号连接： ①a=8131,b=271,c=96,②a=3共，b=4338,c=522;③a3=2,b5=3,c=4 【小表助手】①a=8131=3124,b=271=3123,c=91=312:.c<b<a ②：a=3H=81,b=4333=64m,c=5222=25m,.c<b<a ③a3=2,b5=3.(a3)5=25=32,(b5)3=33=27g即a15=32,b15=27.a>b 同理可得：c>a∴.b<a<c 例题4已知(2x-3P+-1=0,求x的值为 【小麦助手】情况1：当2x-3=1时，x=2,情况2：当2x-3=-1,且x十4为偶数时，x无解；情况3： 当0十4=0，且2x-3≠0时，x=-4; 综上所述：x的值为2或一4 例题5已知6=192,32=192，则(-2026)-1g1-2= 【小麦助手】：6=192,32Ψ=192∴.(6)Ψ=192，(32)P=192即6y=192,32严=192 .6×32严=192×192即：192y=192+y .∴.Dy=x+y -2026y9-w-2=(-2026n2-=(-2020=206 例题6阅读材料，并解决问题， 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J.plr,1550-1617年)，纳皮尔发明对数是在指数书写方式 之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉(lcr,1707-1783)才发现指数与对数之间的联系.我们知道， n个相同的因数a相乘a·a…a记为a”,如23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log8,即 1og28=3. 第】 页 《X》疯狂的wa州 一般地，若a”=b(a>0且a≠1，b>0),则n叫做以a为底b的对数，记为logb,即logb=n,如3+ =81,则4叫做以3为底81的对数，记为log381,即log81=4. (1)【概念理解】计算下列各对数的值：log4=2,1og216=4,l1og64=6: (2)【性质发现】 ①观察1og4、1og216、log264之间满足的关系式是1og4+1og216=1og264 ②归纳：logM+log N=log MN(a>0,且a≠1，M>0,N>0). ③请你根据同底数幂的乘法的运算性质am,a”=am+n(m,m是正整数)以及对数的含义说明上述结 论. (3)【拓展延伸】 ①当a>0且a≠1，M>0,N>0时，logM-log N= ②计算：1og336-log4= 【d小麦助手】(2)第③问：不妨设am=M,a”=N ∴.am+n=MN ∴.根据题目定义可得：log M=m,log N-=n,log MN=mn ∴.logM+logN=log.MN (3)根据上述证明同理可得logM-l1ogN=log为 M ..loga36-loga4=logs .36 =log39=2 随堂练.习-一-一 一一一以当前状态：的巴 1.已知2x+3y=4,则9r×27刊的值为81 【小麦助手】：90×27y=32r×33y=32x+3y=81 2.已知5=324,5=4,5=9.直接写出a,b,c之间的等量关系为b+2c=a 【小麦助手】：4×9×9=324 ∴.5×5×5=5即b+2c=a 3.若a=25,b=3共，c=533,d=62,那么a、b、c、d从小到大的顺序是a<d<b<c. 【小麦助手】a=25=32,b=3#=81",c=53=1251,d=62=364 .∴.a<d<b<c 4.a、b、c、d都是正数，且a2=2,b=3,c1=4,d=5,则a、b、c、d中，最大的一个是b. 【麦助手】比较a,b时，a6=8,b5=9∴.b>a 比较c,d时，c20=1024,d20=625∴.c>d 比较b,c时，b2=81,c12=64.∴b>c ∴.a、b、cd中，最大的一个是b 5.已知5=2025,405=2025，则叫的值为1 x+y 【小麦助手】：5=2025,405=2025 .(5)Ψ=2025，（405)=2025即5y=2025”,405严=20259 .5y×405r=2025"×2025"即：2025y=2025+ 长第 、2 页 《X》疯狂的wa执 ∴y=x十y即：y=1 x+y 6.已知正整数a,b,c(其中a≠1)满足ac=a+50,则a+b+c的最小值是10，最大值是 53 【小麦助手】：ac=a+50.变形为：a(c-1)=50 :正整数a,b,c(其中a≠1) .情况1：a=50,b=1,c=2;情况2：a=25,b=1,c=3,情况3：a=10,b=1,c=6;情 况4：a=5,b=2,c=3;情况5：a=5,b=1,c=11;情况6：a=2,b=1,c=26; .(a+b+c)mm=5+2+3=10;(a+b+c)mam=50+1+2=53; 7.规定两数a,b之间的一种运算，记作(a,b);如果a=b,那么(a,b)=c.例如：因为23=8，所以 (2,8)=3. (1)根据上述规定，填空： ①(5,125)=3，(-2，-32)=5； ②若(，号)=3，则0=2 (2)若(4,5)=a,(4,6)=b,（4,30)=c,试探究a,b,c之间存在的数量关系； (3)若(m,8)+(m,3)=(m,t),求t的值， 【小表助手1(2)解：：(4,5)=a,(4,6)=b,(4,30)=c .4°=5,4=6,4=30 .5×6=30 .4×4=即a+b=c (3)解：由问(2)可知：t=3×8=24 8.一般地，如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,就是a°=N,那么数b叫做以a为底N的对数，记作 logN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 它具有如下的性质： (1)负数和零没有对数； (2l1oga=1、loga1=0; (3)如果a>0,a≠1，M>0,N>0,那么 1loga(MN)=log M+log N, ②log'=loeM-loe,v ③log MT=nlog M(n为实数) 请你运用以上知识解答以下问题： (1)把指数式23=8写成对数式：1og8=3; (2)把对数式1og25=2写成指数式：52=25； (3)利用对数的性质进行计算： ①log01=0;②10g39=2; ③1og102+1og105=1;④1og315-1og5=1 第 《X》疯狂的wa州 例题精讲一一一 一一一一省前状态：的 例题7当x=-3时，代数式am-bx+cx-5的值等于17，则当x=3时，此代数式ax-bm3+ cc+2025的值为 【小麦助手】当c=-3时，ax5-bx3+cx-5=17,即ax5-bx3+cx=22 当x=3时，ax5-bx3+cx=-22,∴.ax5-bx3+cx+2025=-22+2025=2003 例题8若x2-ry=5,4y+2y=-6,则3x2-y+y= 【麦助车13m2-y+y=3(02-)+号（4+2)=12 例题9①已知a2+a-1=0,则代数式a3+2a2+2026的值是 ②已知x2+x=1,则 代数式x+23-x2-2c+2026的值为 【小麦助手】①a2+a-1=0∴.a2=1-a .a3+2a2+2026=a(1-a)+2a2+2026=a2+a+2026=2027 ②x2+x=1.x2=1-x .x+2x3-x2-2x+2026=(1-c2+2x(1-x)-x2-2x+2026=-2x2-2m+2027= -2(x2+x)+2027=2025 随堂练习一一一一一一一一一一一一一一一一一以当前状态：的⊙ 9.当x=2025时，代数式ax3+bx+1的值为8，那么当c=-2025时，代数式-ac3-bm+1的值为 【小麦助手】当x=2025时，ax3+bx+1=8,即ax3+bx=7 当x=-2025时，ax3+bx=-7∴.-ax3-bx+1=-（ax3+bc)+1=8 10.已知2x2+xy=7,-2y+y2=25,则4x2+2的值为 【小麦助手】4x2+y2=2(2x2+xy)+（-2xy+y2)=39 11.已知a2+3a-2=0,则代数式5a3+15a2-10a-2025的值为 【小麦助手】：a2+3a-2=0∴.a2=2-3a ∴.5a3+15a2-10a-2025=5a(2-3a)+15a2-10a-2025=-2025 12.已知x2-x-1=0,则代数式x-3x+2025的值是 【小麦助手】x2-x-1=0∴.x2=x+1 .x+-3x+2025=(x+12-3x+2025=x2-c+2026=2027 13.若3x3-x=1,则9x+12x3-3x2-7c+2026的值等于 【小麦助手】3x3-x=1.∴.33=c+1 .9x+12x3-3x2-7c+2026=3x(x+1)+12x3-3x2-7x+2026=12x3-4x+ 2026=4(3x3-x)+2026=2030 长第 页 《X》疯狂的wa 例题精讲二一一一 一一一岁前状态：G 例题10x2-xy-22-x-7y-6=(x-2y+A)(c+y+B.求A、B的值. 【小麦助手】解：(x-2y+A)(c+y+B)=x2+xy+B-2ry-2y2-2By+Ac+Ay+AB=x2- xy-2y+(B+A)x+(A-2B)y+AB /B+A=-1 A-2B=-7解得：B=2 A=-3 “根据等式左右两边系数一一对应可得： AB=-6 例题11(x2+ar+b)(2x2-3x-1)的积中，x3项的系数是-5，x2项的系数是-6，求ab. 【小表助手】∴x3项：-3x3+2ax3;x2项：-x2-3ax2+2bx2 ∫-3+2a=-5 a=-1 ∴-i-3a+2%=-6解得：6=-4 随堂线.习一一一 一一一以当前状态：心 14.多项式2x3-5x2+7c-8与多项式a2+bx+11的乘积中，没有含x+的项，也没有含x3的项，则 a2+b= 【小麦助手】.∴.x项：2bx-5ax,c3项：22x3-5bax3+7ax 份阳9.0得合0 ∴.a2+b=26 15.已知(x2+px+8)(x2-3x十q)的展开式中不含x2和x3项，则p、q的值分别为 【小表助手】∴.c2项：gc2-3px2+8x2,x3项：-3x3十px +00得得 1-3+p=0 16.已知6x2-7cy-3y2+14c+y+a=(2x-3y+b)(3c+y+c),则确定a、b、c的值分别为 【d小麦助手】解：(2c-3y+b)(3x+y+c)=6x2-7xy-3y2+(3b+2c)x+(b-3c)y+bc 3b+2c=14 a=4 ∴.根据等式左右两边系数一一对应可得：{b-3c=1解得：b=4 bc=a c=1 例题精游一一一 一一一一拟当前状态：的心 例题12把(x2-D+1)°展开后得a2+a11+…+aa2+ax+a0, (1)请直接写出a12=1;a0=1 (2)a2十a1+…+a2+a1+a0= (3)a12+a0+ag+a6+a4+a2+a0= 【小麦助手】解：不妨令x=1,则(12-1十1)6=a2十a11十…十a2十a1+a0 ① 再令D=-1,则[(-12-(-1)+1]6=a2-a1+…十a2-a1+a0② ∴.a2+a1+…+a2+a1+a0=1 .将①+②可得：2(a2十a0+as+a6+a4+a2+a0)=128 ∴.a12+a10+ag+a6+a4+a2+a0=64 第】 《X》疯狂的wa州 随堂习一一一一一一一一一 一一一以省前状态：的巴 17.已知(x+1)7=a7+ac6+a2x5+…十a6c+aq,则a1十a3十a5十a7= 【小麦助手1解：不妨令x=1,则(1+1)7=a0+a1十a2十.十a6十a,① 再令c=-1,则[(-1)+1]7=-a0十a1-a2十-a6+a,② .将①+②可得：2(a1+ag+a5+a7)=128 .a1+ag+a5十a7=64 18.若(2x-1)5=a5x5+aw+agx3+a22+a1x+a0,则a2十a4= 【小麦助手】解：不妨令x=1,则(2×1-1)5=a6十a4十ag十a2十a1十a① 再令x=-1,则[2×(-1)+1]7=-a5+a4-ag+a2-a1+a0② ∴.将①+②可得：2(a0+a2十a4)=-242 ∴.a0+a2+a4=-121 再令x=0,则a0=-1 ∴.a2+a4=-120 19.对于等式(mc-1)”=anx”十an-11+an-2n-2.…十a1c十a(其中m,n均为正整数)，下列说法 正确的个数为(C) ①无论m,n为何值，a0=-1; ②当m=2,n=5时，a1十a2+a0的值为-121； @当m=1,0=3,里m少为整载时，剥所有病足条件袋教的作的和为 ④若m+n=6,则an+am-i+am-2.+la+al的最大值与最小值之差为75 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【d小麦助手】解析：结论①：对于ao=（-1)”,所以当n为偶数时，a0=1;当n为奇数时，ao=-1,所 以结论①错误； 结论②：当m=2,n=5时，原等式(2x-1)5=a5x5+ac.…十a1c十a0,令等式中x= 1时，15=a5十a4…十a1+a0;再令等式中x=-1时，(-3)5=-a5十a4…-a1十a0,将上 述两个等式相加得到a4十a2十a0=一121； 结论③：当m=1,n=3时原等式为(c-19=x3-32+3x-1,所以3-302+3m-1 x-2 =-2+-2到1，若m为整技离只房为坐策，所 x-2 以x一2=-1或者1，解的x=3或者1，所以和为4正确； 酷论④：因为m+n三6，且m,n均为正整数，所以情况为=5或n或m (n=41 或友一这5种情现，设r=a园+a+a十a+a商进分 类的情况1时，W=25=32;情况2时，V=3=81,情况3时，V=43=64,情况4时， W=5=25,情况5时，W=61=6,所以Wm-Win=81-6=75,综上所述选C 第 、6>(页 《X》疯狂的wa州 得后作业-一一 以省前状态：畅还 A篇基础巩固 1.若2c+5y-3=0,则4·32的值为8。 2.在(aax+3y)与(x-y)的积中，不含有xy项，则a必须为3。 3.已知m2+D+1=0,则x2024+x2025+x2026的值为0。 4.如果2×8×162=222，则x的值为3。 5.若a2m=3,则(a3m)的值为729。 6.计算(-2)6006×0.125201的结果为8。 7.若2=3,4Ψ=5，则2+2y的值为15。 8.若(1-x)+1=1,则c=-1或0。 9.已知x2-c-1=0,求多项式6x3+7x2-19x+2026的值2039 10.若c=2+1+2”,y=2m-1+2m-2,其中n为整数，则c与y的数量关系为（A) A.x=4划 B.y=4 C.=12y D.y=12x 11.已知a=8131,b=27,c=g,则a、b、c的大小关系是（A) A.a>b>c B.a>c>b C.a<b<c D.b>c>a 12.已知a,b,c为自然数，且满足2×3×4=192，则a+b+c的取值不可能是（D) A.5 B.6 C.7 D.8 【小麦助手】：192=3×64=22×3×4=3×20+2e ∴.b=1,a+2c=6 (a=0a=2a=4a=6 ∴.{b=1或{b=1或{b=1或{b=1 (c=3c=2c=1c=0 ∴.a+b+c=4,5,6,7 13.我们知道，同底数幂的乘法法则为am·a”=am+n(其中a≠0，m、n为正整数)，类似地我们规定关 于任意正整数m、n的一种新运算：h(m+n)=h(m)-h(n);比如h(2)=3,则h(4)=h(2+2)=3×3 =9,若h(2)=k(k≠0)，那么h(2n)h(2020)的结果是（C) A.2k+2021 B.2k+202 C.kn+100 D.2022k B篇强化扩展 14a7=a≠0)，即a的负p次零等于a的p次家的制教.例：4二 42 1)计算：52=方；(-2)2=量； 2)如果2P=日，那么n=3如果a2=6,那么a=4或-上 第 7 >〈页 《X》疯狂的ma州 3)如果a=(a≠0)，且a,p为整数，求满足条件的a,p的取值. 【4复勘手13)a=司a=S1 D=2或ag 89 p=2或/a3 g 15.阅读材料并回答问题： 对任意一个三位数M=abc(1≤a≤9,1≤b≤9,0≤c≤9，a,b,c为整数)，若其个位上的数字 与百位上的数字之和等于十位上的数字，则称M为“万象数”，现将“万象数”M的个位作为十位，十位 作为百位，百位作为个位，得到一个数N,并规定K(M)=N-M,我们称新数K(M)为M的“格致 数” 例如154是一个“万象数”，将其个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个数N=541,K (154)=541-154=387,所以154的“格致数”为387. (1)填空：当M=253时，N=532;当M=198时，K(198)=783; (2)求证：对任意的“万象数”M,其“格致数”K(M)都能被9整除； (3)已知某“万象数”M的“格致数”为K(),K()既是T2的倍数又是完全平方数，求出所有满足条 件的“万象数”M.(完全平方数：如0=02,1=12,4=22,9=32,16=42，…，我们称0,1,4,9,16… 为完全平方数) 【小麦助手】(2)证明：“万象数”M=xyz,则N=yz .K(M)=N-M=90y+9z-99x=9×(10y+z-11x） :x,,z均为整数 ∴.9×(10y+z-11c)能被9整除 ∴.对任意的“万象数”M,其“格致数”K(M)都能被9整除 (3)解：由问(2)可得K(M)=9×(10y+z-11x),且已知可得：x+z=y ∴.K(M0=9×(11z-x) :K()既是72的倍数又是完全平方数 .11z-c是8的倍数，且是完全平方数 /x=6x=2 .{y=8或{y=6 z=2z=8 .“万象数”M为682或286 第 8 )〈页 《X》疯狂的wa 16.教科书中这样写道：“形如a士2ab十b2的式子称为完全平方式“，如果一个多项式不是完全平方 式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子 的值不变，这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不 能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题. 例如：分解因式：x2+2x-3. 解：原式=(x2+2+1)-4=(x+1)2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1) 再如：求代数式2x2+4ac-6的最小值 解：2x2+4如-6=2(x2+2-3)=2(x+1)2-8,可知当x=-1时，22+4知-6有最小值，最小值是 -8. 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：x2-6c-7= (直接写出结果) (2)当x为何值时，多项式-22-4r十5有最大值？并求出这个最大值 (3)利用配方法，尝试求出等式a2+5b2-4ab-2b+1=0中a,b的值. 【小麦助手】(1)x2-6c-7=(x2-6c+9)-16=(x-3)2-42=(x-7)(+1) （2)解：-2x2-4x+5=-2(x2+2x+1)+7=-2(x+1)2+7 :(x+12≥0 .-2(x+1)2+7≤7 ∴.当c=-1时，-2x2-4x+5有最大值，最大值为7 (3)解：：a2+5b2-4ab-2b+1=0 ∴.变形为（a-2b)2+(b-1)2=0 .（a-2b)2≥0，且(b-1)2≥0 ∴.a-2b=0,b-1=0 ∴.a=2,b=1 第 (9 人页《》疯狂的wa州 第1讲整式乘除优化1 例题精一一一一一一一一一一一一一一一一一以岁前状态：9 例题1：若3=6,9=24,27=12，请探索心，，z三者的数量关系，并证明。 C例题2：计算： ①0.1252026×(-2)6075= —@(-24×(-×(- 例题3比较下列ab,c大小，并用“<”符号连接： ①a=8131,b=27H,c=9;②a=3H,b=4333,c=5222:③a3=2,b5=3,c=4 例题4：已知(2-3r+-1=0,求的值为 例题5：已知6=192,32=192，则(-2026)-1y-1-2= 第 人1页 《X》疯狂的wa执 例题6：阅读材料，并解决问题 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J.pl,1550-1617年)，纳皮尔发明对数是在指数书写方式 之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉(ulc,1707-1783)才发现指数与对数之间的联系.我们知道， n个相同的因数a相乘a·a…a记为a”,如23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log8,即 1og28=3. 一般地，若a”=b(a>0且a≠1，b>0),则n叫做以a为底b的对数，记为logb,即logb=n.如3 =81,则4叫做以3为底81的对数，记为log81,即l0g81=4. (1)【概念理解】计算下列各对数的值：log4=,1og216= ,log264= (2)【性质发现】 ①观察log24、log216、log264之间满足的关系式是 ②归纳：logM+logN= （a>0,且a≠1，M>0,W>0) ③请你根据同底数幂的乘法的运算性质am·a”=am+”(m,n是正整数)以及对数的含义说明上述结 论. (3)【拓展延伸】 ①当a>0且a≠1，M>0,N>0时，log M-logN= ②计算：1og336-log4= 随堂练习1一一一- 以省前状态：白⑨ 1.已知2x+3则=4，则9严×27的值为 2.已知5“=324,5=4,5=9.直接写出a,b,c之间的等量关系为 3.若a=25,b=3,c=53,d=62,那么a、b、c、d从小到大的顺序是 4.a、b、c、d都是正数，且a2=2,b3=3,c=4,d=5,则a、b、c、d中，最大的一个是 5.已知5产=2025,405=2025，则号的准为 6.已知正整数a,b,c(其中a≠1)满足ac=ab+50,则a+b+c的最小值是 最大值是 記课堂笔记 第 《X》疯狂的wa州 7.规定两数a,b之间的一种运算，记作(a,b);如果a=b,那么(a,b)=c.例如：因为2=8，所以 (2,8)=3. (1)根据上述规定，填空： ①(5,125)=，(-2，-32)= ②若(，5)=-3，则= (2)若(4,5)=a,(4,6)=b,(4,30)=c,试探究a,b,c之间存在的数量关系； (3)若(m,8)+(m,3)=(m,t),求t的值. 8.一般地，如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,就是a°=N,那么数b叫做以a为底N的对数，记作 logN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 它具有如下的性质： (1)负数和零没有对数； (2)loga=1、loga1=0; (3)如果a>0,a≠1，M>0,N>0,那么 1 log(MN)=log M+log N, M =log.M-log.N ②logN ③log Mm=nlog M(n为实数) 请你运用以上知识解答以下问题： (1)把指数式2=8写成对数式： (2)把对数式1og25=2写成指数式： (3)利用对数的性质进行计算： ①log101= ②1og39= ③1og102+1og105= ;④1og315-1og35= 第】 《》疯狂的wa州 例题精讲二一一 一一一以岁前状态：的 例题7：当x=-3时，代数式am3-bx3+cx-5的值等于17，则当x=3时，此代数式ax5-bm3 +cx+2025的值为 例题8：若x2-xy=5,4y+2y=-6,则3x2-xy+y=; 例题9：①已知a2+a-1=0,则代教式a3+2a2+2026的值是 ②已知x2+x=1, 则代数式x+2m3-x2-2m+2026的值为 随堂练习-一一一一-一一 一一一一一一一一当前状态：的⊙ 9.当x=2025时，代数式ax3+bac+1的值为8，那么当x=-2025时，代数式-ac3-bm+1的值为 10.已知2x2+xy=7,-2xy+y2=25,则4x2+2的值为 11.已知a2+3a-2=0,则代数式5a3+15a2-10a-2025的值为 12.已知x2-D-1=0,则代数式x-3x+2025的值是 13.若3x3-x=1,则9x+12x3-3x2-7c+2026的值等于 司裸堂笔记 第 4)页 《》疯狂的wa州 例题精游二一 一一一省前状态：的 例题1O:x2-xy-22-D-7y-6=(x-2y+A)(x+y+B).求A、B的值. 例题11：(x2+ax+b)(2x2-3x-1)的积中，x2项的系数是-5，x2项的系数是-6，求a、b. 随堂除.习一一一 一一一一当前状态：幻 14.多项式2x3-5m2+7m-8与多项式am2+bx+11的乘积中，没有含的项，也没有含x3的项，则 a2+b= 15.已知(x2+px+8)(x2-3x十q)的展开式中不含x2和x3项，则p、q的值分别为 16.已知6x2-7xy-3y2+14c+y+a=(2x-3y+b)(3m+y+c),则确定a、b、c的值分别为 己课堂笔记 (第 《》疯狂的ma州 例题精游二- 一一一一拟省前状态：的 例题12：把(x2-x+1)6展开后得a2x2+a1x1+…+a2+ax十a0, (1)请直接写出a12= a0= (2)a2+a1+.…+a2+a1+a0= (3)a2十a0+ag十a6+a4+a2十a0= 随堂练.习K一一- 一一一以省前状态：白⑨ 17.已知(x+1)7=ax7+a1x6+a2x5+…十a6十a7,则a1+a3+a5十a7= 18.若(2c-1)5=a6x5+a4c+agx3+a2x2+a1x+a0,则2+a4= 19.对于等式(mac-1)”=anc”+an-11十an-2c”-2..十ac十a(其中m,n均为正整数)，下列说法 正确的个数为() ①无论m,n为何值，ao=-1 ②当m=2,n=5时，a1十a2+a0的值为-121； ③当m=1,n=3,且m,少为整教时，则所有满足条件整教工的值的和为4； x-2 ④若m十n=6,则an+an-+am-2…十a1十a的最大值与最小值之差为75 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 课堂笔记 第 (6页 《X》疯狂的wa州 课后作业一 以省前状态：畅还 A篇基础巩固 1.若2c+5y-3=0,则4·32的值为 2.在(ac+3y)与(c-y)的积中，不含有xy项，则a必须为 3.已知x2+D十1=0，则2024+x202+x2026的值为 4.如果2×8×16”=222，则c的值为 5.若a2m=3,则(a3n的值为。 6.计算(-2)6006×0.125201的结果为 7.若2=3,4y=5,则2+2w的值为。 8.若(1-x)+1=1,则c= 9.已知x2-x-1=0,求多项式6x3+7r2-19x+2026的值」 10.若c=2+1+2”,y=2m-1+2m-2,其中n为整数，则c与y的数量关系为（) A.x=4划 B.y=4 C.=12y D.y=12 11.已知a=8131,b=27,c=g,则a、b、c的大小关系是（) A.a>b>c B.a>c>b C.a<b<c D.b>c>a 12.已知a,b,c为自然数，且满足2×3×4=192，则a+b+c的取值不可能是() A.5 B.6 C.7 D.8 l3.我们知道，同底数幂的乘法法则为am·a”=am+n(其中a≠0，m、n为正整数)，类似地我们规定关 于任意正整数m、n的一种新运算：h(m+n)=h(m)h(n);比如h(2)=3,则h(4=h(2+2)=3×3 =9,若h(2)=k(k≠0)，那么h(2m)h(2020)的结果是（) A.2k+2021 B.2+202 C.n+1010 D.2022k B篇强化扩展 14.aP=(a≠0)，即a的负p次器等于a的p次幂的倒数.例：42=日 ap 42 (1)计算：5-2= (-2)2= 2)如果2”=日，那么p 如果a2=6,那么a= (③)知果a7=(a≠0)，且@，p为整数，求满足条件的@，p的取位， 第】 《》疯狂的w机 15.阅读材料并回答问题： 对任意一个三位数M=abc(1≤a≤9,1≤b≤9,0≤c≤9，a,b,c为整数)，若其个位上的数字 与百位上的数字之和等于十位上的数字，则称M为“万象数”，现将“万象数”M的个位作为十位，十位 作为百位，百位作为个位，得到一个数N,并规定K(M)=N-M,我们称新数K(M)为M的“格致 数” 例如154是一个“万象数”，将其个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个数N=541,K (154)=541-154=387,所以154的“格致数”为387. (1)填空：当M=253时，N=;当M=198时，K(198)= (2)求证：对任意的“万象数”M,其“格致数”K(M)都能被9整除； (3)已知某“万象数”M的“格致数”为K(),K(M)既是72的倍数又是完全平方数，求出所有满足条 件的“万象数”M.（完全平方数：如0=02,1=12,4=22,9=32,16=42，…，我们称0,1,4,9,16 为完全平方数) 16.教科书中这样写道：“形如a±2ab+b2的式子称为完全平方式“，如果一个多项式不是完全平方 式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子 的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不 能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题. 例如：分解因式：x2+2x-3. 解：原式=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1) 再如：求代数式2x2+4c-6的最小值. 解：2x2+如-6=2(x2+2x-3)=2(x+1)2-8,可知当x=-1时，2x2+4-6有最小值，最小值是 -8. 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：x2-6c-7= .(直接写出结果) (2)当心为何值时，多项式-22-4如+5有最大值？并求出这个最大值. (3)利用配方法，尝试求出等式a2+5b2-4ab-2b+1=0中a,b的值. 长第 8 2025—2026学年七年级下册《整式的乘除》章节培优1 （北师大版，重庆版） 例题1：若 ，，，请探索三者的数量关系，并证明。 例题2：计算： (1) ________； (2) ________。 例题3：比较下列的大小，并用“<”符号连接： ① ，，； ② ，，； ③ ，，。 例题4：已知 ，求的值为________。 例题5：已知 ，，则 ________。 例题6：阅读材料，并解决问题。 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier,1550 - 1617 年)，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18 世纪瑞士数学家欧拉(Euler,1707 - 1783)才发现指数与对数之间的联系。我们知道，个相同的因数相乘记为，如，此时，3 叫做以2 为底8 的对数，记为，即。 一般地，若且，)，则叫做以为底的对数，记为，即。如，则4 叫做以3 为底81 的对数，记为，即。 (1)【概念理解】计算下列各对数的值：，，________； (2)【性质发现】 ①观察、、之间满足的关系式是________； ②归纳：________(，且，，)； ③请你根据同底数幂的乘法的运算性质是正整数)以及对数的含义说明上述结论； (3)【拓展延伸】 ①当且，，时，________； ②计算：________。 随堂练习 1. 已知，则的值为________。 2. 已知，，，直接写出之间的等量关系为________。 3. 若，，，，那么从小到大的顺序是________。 4. 都是正数，且，，，，则中，最大的一个是________。 5. 已知，，则的值为________。 6. 已知正整数（其中）满足，则的最小值是________，最大值是________。 7. 规定两数之间的一种运算，记作；如果，那么。例如：因为，所以。 (1) 根据上述规定，填空：，；若，则________； (2) 若，，，试探究之间存在的数量关系； (3) 若，求的值。 8. 一般地，如果的次幂等于，就是，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数。 它具有如下的性质： (1) 负数和零没有对数； (2) 、； (3) 如果，，，，那么 ① ， ② ， ③ 为实数)。 请你运用以上知识解答以下问题： (1) 把指数式写成对数式：________； (2) 把对数式写成指数式：________； (3) 利用对数的性质进行计算： ① ________； ② ________； ③ ________； ④ ________。 例题7：当时，代数式的值等于17，则当时，此代数式的值为________。 例题8：若，，则________。 例题9：①已知，则代数式的值是________；②已知，则代数式的值为________。 随堂练习 9. 当时，代数式的值为8，那么当时，代数式的值为________。 10. 已知，，则的值为________。 11. 已知，则代数式的值为________。 12. 已知，则代数式的值是________。 13. 若，则的值等于________。 例题10：，求、的值。 例题11：的积中，项的系数是-5，项的系数是-6，求、的值。 随堂练习 14. 多项式与多项式的乘积中，没有含的项，也没有含的项，则________。 15. 已知的展开式中不含和项，则、的值分别为________。 16. 已知，则确定、、的值分别为________。 例题12：把展开后得。 (1)请直接写出；； (2) ________； (3) ________。 17. 已知，则________。 18. 若，则________。 19. 对于等式 (其中 均为正整数),下列说法正确的个数为( ) ①无论 为何值， ； ② 当 时， 的值为 -121 ; ③ 当 ,且 为整数时,则所有满足条件整数 的值的和为 4 ; ④若 ,则 的最大值与最小值之差为 75 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 课后作业 A篇基础巩固 1. 若 ，则 的值为_____。 2. 在 与 的积中，不含有 项，则 必须为_____。 3. 已知 ,则 的值为_____。 4. 如果 ,则 的值为_____。 5. 若 ，则 的值为_____。 6. 计算 的结果为_____。 7. 若 ，则 的值为_____。 8. 若 ,则 _____。 9. 已知 ,求多项式 的值_____ 10. 若 ,其中 为整数,则 与 的数量关系为( ) A. B. C. D. 11. 已知 ,则 的大小关系是( ) A. B. C. D. 12. 已知 为自然数,且满足 ,则 的取值不可能是 ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 13. 我们知道,同底数幂的乘法法则为 (其中 为正整数),类似地我们规定关于任意正整数 的一种新运算: ; 比如 ,则 ,若 ,那么 的结果是 ( ) A. B. C. D. 8篇 强化扩展 14. ,即 的负 次幂等于 的 次幂的倒数. 例: . (1)计算: _____； _____； (2)如果 ，那么 _____；如果 ，那么 _____； (3)如果 ，且 为整数，求满足条件的 的取值. 15. 阅读材料并回答问题: 对任意一个三位数 ,若其个位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字,则称 为“万象数”,现将“万象数” 的个位作为十位,十位作为百位,百位作为个位,得到一个数 ,并规定 ,我们称新数 为 的“格致数”. 例如 154 是一个“万象数”,将其个位作为十位,十位作为百位,百位作为个位,得到一个数 ,所以 154 的“格致数”为 387 . (1)填空:当 时， _____；当 时， _____； (2)求证:对任意的“万象数” ，其“格致数” 都能被 9 整除； (3)已知某“万象数” 的“格致数”为 ， 既是 72 的倍数又是完全平方数，求出所有满足条件的“万象数” . (完全平方数: 如 ,我们称 为完全平方数) 16. 教科书中这样写道:“形如 的式子称为完全平方式“，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形:先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法. 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式, 还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题. 例如: 分解因式: . 解:原式 再如: 求代数式 的最小值. 解: ,可知当 时, 有最小值,最小值是 -8 . 根据阅读材料，用配方法解决下列问题: (1)分解因式: _____. (直接写出结果) (2)当 为何值时,多项式 有最大值? 并求出这个最大值. (3) 利用配方法,尝试求出等式 中 的值. 学科网（北京）股份有限公司 $