第1讲 整式的乘除章节培优2 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

2025—2026学年七年级下册《整式的乘除》章节培优2 （北师大版，重庆版） 例题 1 计算:① 的结果是_____；②若 -4,则 的值为_____ 例题 2 :从边长为 的正方形中剪掉一个边长为 的正方形 (如图①),然后将剩余部分拼成一个长方形 (如图②)。 图① 图② (1)上述操作能验证的等式是_____； (2)若 ，则 的值为_____； (3)计算: . (4)若 ，求 的值. (5)计算: (6) 计算: 例题 3 设 都是自然数，且 ，求 的值. 例题 4: 对任意一个正整数 ,如果 ,其中 是正整数,则称 为“矩数”, 为 的最佳拆分点,例如 ,则 56 是一个“矩数”,7 为 56 的最佳拆分点。 (1)求证:若“矩数” 是 3 的倍数，则 一定是 6 的倍数； (2)把 “矩数” 与 “矩数” 的差记为 ，其中 ， 例如: ， ，则 ,若 “矩数” 的最佳拆分点为 ,“矩数” 的最佳拆分点为 ,当 ,求 的最大值。 随堂练习 1. 利用平方差公式计算:(1) _____；(2) _____. 2. 如果 ，那么 的值为_____。 3. 如果正整数 满足方程 ，则这样的正整数对 的个数是_____。 4. 求值: 5. 计算: 6. 在 2004, 2005, 2006, 2007 这四个数中, 不能表示为两个整数平方差的数是 ( ) A. 2004 B. 2005 C. 2006 D. 2007 7. 设 都是正整数,并且 ,求 的值. 8. 若将自然数中能被 3 整除的数,在数轴上的对应点称为 “3 倍点” ,取任意的一个 “3 倍点” ,到点 距离为 1 的点所对应的数分别记为 . 定义: 若数 ,则称数 为 “尼尔数”. 例如: 若 所表示的数为 3,则 ,那么 ; 若 所表示的数为 12,则 ,那么 ,所以12,147是 “尼尔数”. (1)请直接判断 6 和 39 是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被 9 除余 3； (2)已知两个“尼尔数”的差是 189 ，求这两个“尼尔数”. 例题5: (知二求二) (1)已知 ,则 的值是_____ (2)已知 ，则 _____； _____. (3)若数 满足 ，则 _____. (4)已知 满足 ，则 的值为_____. (5) 设 是从 这三个数中取值的一列数,若 , ，则 中为 0 的个数为_____. 个例题 6 : 若 是完全平方式，则 的值为_____. 例题 7: 已知 ,求下列各代数式的值 (1) (2) ； (3) 例题 8 已知 ,求下列各代数式的值 (1) ； (2) (3) 例题 9:把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法. 我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积,探索了完全平方公式: (如图 1). 图 1图 2图 3 (1)观察图 2，请你写出 、 、 之间的等量关系是_____； 拓展应用:根据(1)中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题: (2) 若 ,且 ,求 的值; (3) 若 ，求 的值； (4)如图3，在 中， ，点 在边 上， ，在边 上取一点 ，使 ，分别以 为边在 外部作正方形 和正方形 ，连接 ，若 的面积等于 ,设 ,求正方形 和正方形 的面积和. 随堂练习 9. 已知 , 则 _____. 10. 已知 ,则 _____; _____. 11. 已知 ,则 的值为_____; 的值为_____. 12. 已知 ,则 _____；则 _____. 13. 已知 ,则 _____； _____； _____. 14. 若关于 的整式 是某个关于 的整式的平方,则 的值为_____. 15. 将 再加上一个单项式，使它成为一个完全平方式，则加上的单项式为_____. (写出所有答案) 16. 已知 ,那么 _____. 17. 已知 ,则 的值为_____ 18. 阅读下列文字:我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说:“数缺形时少直观，形缺数时难入微. ”例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式. 图 1 图 2 探索发现: (1)如图①，写出一个我们熟悉的数学公式:_____. 解决问题: (2)若 满足 ，求 的值. (3)如图②，在长方形 中， 是 上的点，且 ，分别以 为边在长方形 外侧作正方形 和正方形 . 若长方形 的面积为 40，则图中阴影部分的面积和为_____. 例题 10: (配方法) 已知 ，求 的值 例题 11 . 利用配方法求最小值: 求 最小值. 解: ,因为不论 取何值, 总是非负数,即 ,所以 ,所以当 时, 有最小值,最小值是 -4 . 请根据上述材料，解答下列问题: (1) 填空: _____ ; (2) 将 变形为 的形式，并求出 的最小值； (3)若 ( 为任意实数) 试比较 与 的大小,并说明理由. (4)模仿上述方法,求多项式 有最小值,并说明 为何值可取得最小值 例题 12: 已知三角形 的三边长分别为 且 满足等式 ，请说明该三角形是什么三角形？ 随堂练习 19. 已知 都是有理数，则 的值为_____。 20. 多项式 的最小值为_____ 21. 已知 ,则代数式 的值为_____. 22. 已知 为任意有理数，则多项式 的值一定是 ( ). A. 正数 B. 负数 C. 非正数 D. 非负数 23. 如果 ,且 ,则 的值为( ) A. 2 B. 14 C. 16 D. 18 24. 阅读材料:把形如 的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法. 配方法的基本形式是完全平方公式的逆写,即 . 例如: 是 的三种不同形式的配方 (即 “余项”分别是常数项、一次项、二次项 —— 见横线上的部分). 请根据阅读材料解决下列问题: (1)比照上面的例子，写出 三种不同形式的配方； (2)将 配方 (至少两种形式); (3) 已知 ,求 的值. 课后作业A篇基础巩固 1. 运用平方差公式计算 ，下列变形正确的是( ) A. B. C. D. 2. 已知 ，则 的值为_____. 3. 已知 ，则 _____； 4. 如果 是一个完全平方式，则 的值为_____； 5. 运用乘法公式简便计算，直接写出答案即可: (1) _____；(2) _____； (3) _____；(4) _____. 6. 已知 ，则代数式 _____。 7. 若 ,则 _____. 8. 计算 所得结果个位数字是_____. 9. 先化简,再求值: ,其中 满足 10. 探究规律: 观察下列等式: 第 1 个等式: 第 2 个等式: 第 3 个等式: ...... (1)写出第 4 个等式: _____； (2)根据上述规律，请猜想: _____ (此题目无需证明); (3)利用(2)中的猜想，计算: . 11. 先观察下面的解题过程, 然后解答问题: 例题: 化简 . 解: 问题: (1)先化简: ，通过你的化简结果，直接写出该结果的个位数字； (2)求 的值. 12. 若一个整数能表示成 ( 是整数) 的形式，则称这个数为“完美数”. 例如，5 是“完美数”， 因为 . 再如， ( 是整数)，所以 也是“完美数”. (1)请你再写一个小于 10 的“完美数”，并判断 29 是否为“完美数”； (2)已知 ( 是整数， 是常数),要使 为“完美数”，试求出符合条件的一个 值,并说明理由. (3)如果数 都是 “完美数”，试说明 也是 “完美数”. B篇 强化扩展 13. 拓广探索: 若 满足 ,求 的值. 解: 设 , 则 , . 请仿照上面的方法求解问题: (1) 若 满足 ,求 的值. (2) 已知正方形 的边长为 分别是 上的点,且 ,长方形 的面积是 48,分别以 为边作正方形,求阴影部分的面积. (3) 若 满足 ,求 的值. 14. “配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和. 例如: 我们可以通过 “配方法” 求代数式 的最小值. 原式: . 可知当 时 有最小值是 -8 . 请阅读上述“配方法”的应用，并解答下列问题: (1)当 _____时，代数式 有最小值是_____； (2)当 满足什么条件时,多项式 有最小值，并求出这个最小值. (3) 在长方形 中, ,动点 从点 出发,以每秒 1 个单位的速度,沿 向点 移动; 同时点 从点 出发,仍以每秒 1 个单位的速度,沿 向点 移动,连接 . 当 两点中一个点到达终点时,另一个点随之停止运动,设 的面积为 ,时间为 秒,用含 的关系式表示 ; 当 为何值时, 有最小值? 并求出最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $《Q》疯狂的m州 第2讲 整式乘除优化2 例题精淋一一一一一一一 一一一一一省前状态：与 例题1计算：①(a-b)(a+b)(a2+b2)的结果是a-b;②若4m2-9n2=36,3m+2m= -4,则2m-3m的值为-9 例题2从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个 长方形（如图②）。 6 图① 图② (1)上述操作能验证的等式是a2-b2=(a-b)(a+b); (2)若x2-y2=16,x+y=8,则x-y的值为2； @)计第：(1-)×1-)×1-)xx1-02p)×1-023】 (4)若a32=128,求(a-1)(a+1)(a2+1)(a+1)(a8+1)(a6+1)的值. (5)计算：(3+1)(32+1)(3±+1)(38+1)(316+1)(332+1)(364+1) (6)计算：2026-20252+20242-20232+..+42-32+22-12 【或勤号18)解：原式=1-合×1+)×1-含)×1+号)×1-25)×1+225】 =方×号×号×青×…×器×=号×=0器 2025 、2025 20252025 (4解：(a-1)(a+1)(a2+1)(a+1)(a8+1)(a16+1)=a32-1=127 (5)解：原式=3-13+132+13*+13+136+132+1(3+1=3-1 2 2 (6)解：原式=(2026+2025)×(2026-2025)+(2024+2023)×(2024-2023)+..(2 +1)×(2-1)=2026+2025+2024+..+2+1=1+2026)×2026 =2053351 第 《X》疯狂的ma 例题3设a、b、c、d都是自然数，且a5=b,c3=,a-c=17,求d-b的值. 【小麦助手】解：根据题意不妨设：a=t片，b=t卢，c=m2,d=m3(t,m均为自然数) .a-c=t-m2=(t2-m)(t+m)=17 信阳屏路 m=8 .d-b=512-243=269 例题4对任意一个正整数m,如果m=kk+1),其中k是正整数，则称m为“矩数”，k为m的 最佳拆分点，例如56=7×(7+1)，则56是一个“矩数”，7为56的最佳拆分点。 (1)求证：若“矩数”m是3的倍数，则m一定是6的倍数； (2)把“矩数”p与“矩数”q的差记为D(p,q),其中p>9,D(p,q)>0,例如：20=4×5,6=2×3，则 D(20,6)=20-6=14,若“矩数”p的最佳拆分点为t,“矩数”q的最佳拆分，点为5，当D(p,9)=30,求 纟的最大侦。 【小麦助手】(1)证明：根据题意m=k(k+1)(k是正整数) :k与k十1为连续两个正整数 “.k与飞十1必为一个奇数一个偶数 ∴.(+1)必为偶数 .“矩数”m是3的倍数 ∴.m一定是6的倍数 (2)解：由题可得：p=t(t+1),9=s(s+1) ∴.D(p,9)=t(t+1)-s(s+1)=30变形为：(t-s)(t+s+1)=30 =0a61-5成=0或经-0 ∫t-s=1 x∫t-s=5 9得儿仁北88化-8 (号腊 随堂练习一 一一一省前状态：的巴 2007 1.利用平方差公式计算：(1)20072-2008×2006 20072 =2007_:(2)2003×2006+1=1— 2.如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,那么a+b的值为 0 【小麦助手】不妨设2a+2b=t,则已知条件为(t+1)(t-1)=63,即t=64 ∴.t=-8或8 ∴.a+b=4或-4 第 2 人页 《X》疯狂的ma州 3.如果正整数x,y满足方程x2-y=64,则这样的正整数对(c,y)的个数是 【小麦助手】将已知条件变形：(x-y)(x十y)=64 ∴.根据x一y与x十y具有同奇同偶性 …+y-yi6 x+y=32 ∴正整数对(x,)的个数有2种情况 4.求值：(1-是川1-是01-是1-是1-1-201-)=品 5.计算：(2025+1)×(20252+1)×(20251+1)×(20258+1)×(20256+1)= 202532-1 2024 6.在2004,2005,2006,2007这四个数中，不能表示为两个整数平方差的数是(C) A.2004 B.2005 C.2006 D.2007 7.设a、b、c、d都是正整数，并且a5=b,c3=d2,c-a=l9,求a-b的值. 【d小麦助手】解：根据题意不妨设：a=t,b=t5,c=m2,d=m3(t,m均为自然数) ∴.c-a=m2-t=(m-t)(m+t)=19 惯0际得仁0 ∴.a-b=81-243=-162 8.若将自然数中能被3整除的数，在数轴上的对应点称为“3倍点”P,取任意的一个“3倍点”P,到点 P距离为1的点所对应的数分别记为a,b.定义：若数K=a2+b2-ab,则称数K为“尼尔数”.例 如：若P所表示的数为3，则a=2,b=4,那么K=22+42-2×4=12;若P所表示的数为12，则a =11,b=13,那么K=132+112-13×11=147,所以12,147是“尼尔数”. (1)请直接判断6和39是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被9除余3； (2)已知两个“尼尔数”的差是189，求这两个“尼尔数”. 【小麦助手】(1)解：6不是“尼尔数”；39是“尼尔数” 证明：设P=3k,则a=3k-1,b=3k十1 ∴.K=a2+b2-ab=(3k-1)2+(3k+1)2-(3k-1)(3k+1)=9k2+3 .所有“尼尔数”一定被9除余3 (2)由问(1)可得：“尼尔数”可以表示为9k2+3 不妨设两个“尼尔数”分别为9m2+3和9n2+3 ∴.9m2+3-(9m2+3)=189化简变形为(m-n)(m+n)=21 m-n=1或 m-n=3 'm+m=21 m+n=7 {m=或m=5 n=10 1n=2 ∴.这两个“尼尔数”分别1092,903或228,39 第 、3 页 《X》疯狂的ma 例题精游一一一一一一一一 一一一岁前状态：的G 例题5（知二求二） (1)已知a2+b2=12,ab=-3,则(a+b)2的值是6 (2)已知(a+b)2=49,(a-b)2=9,则a2+62=29;ab=10 (3)若数a满足(a-2025)2+(2026-a)2=2027,则(a-2025)(a-2026)= (4)已知a,b,c,y满足aac+by=3,ay-bx=5,则(a2+b2)(2+y2）的值为 (5)设4，a2,a3,a4.a2026是从1,0，-1这三个数中取值的一列数，若a1十a2十ag十a4.十a2026=69, (a1+1)2+(a2+1)2+…+(a2026十1)2=4001，则a1,a2,ag,a4.a2026中为0的个数为_ 【小麦助手】(1)解：(a+b)2=a2+2ab+b2=6 2解：a+-a+b+a-b=20ab=a+6P-a--10 2 (3)解：设A=a-2025,B=2026-a 「A+B2=2027 、.已知条件为A+B=1 ·(a-2025)(a-2026)=-AB=-(A+B2-AP+B 2 =1013 (4解：(a2+b2)(x2+y2)=a2x2+a2y2+b2x2+b2y ax+by=3,ay-ba=5..(ax+by)=32;(ay-ba)=52 展开可得：a2x2+2abay+b2y2=9a2y2-2abxy+b2x2=25 .(a2+b2)(x2+y2）=a2x2+a2y2+b2x2+b2y2=34 (5)解：1+a2+ag+a4.十a2026=69可得1的个数比-1的个数多69个 不妨设-1的个数为x个，则1的个数为(x十1)个，0的个数为(1957-2x)个 :(a1+1)2+(a2+1)2+…+(a2026+1)2=4001 .x×0+(1957-2x)×12+(x+1)×22=4001 解得：x=884.0的个数：189 C例题6若x2+2(m-1)x+16是完全平方式，则m的值为 【小麦助手】解：x2+2(m-1)x+16=(x±4)2.2(m-1)=±8.m=5或-3 例题7已知心+1=5，求下列各代数式的值 a2+ (2)x+1 (3)m+1 【小麦助车1(1)2+马 =+-2=8 ②+-+了-2=2 8+-+-=27 例题8已知x2-5r-2=0,求下列各代数式的值 (①2+ (2)(-22 (3）x2 0-3x2+4 【表动年小：2-5证一2=0方程左右两边同时除以e可得：。一是=5 第 页 《X》疯狂的ma机 0+-(e2+4-为 (2)(x-2)2=52=25 m (3)m3m2+4=2-3+去 26 例题9把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究 数学问题的一种常用方法.我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图 形的面积，探索了完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b(如图1). A 6 M 6 图1 图2 图3 (1)观察图2，请你写出(a+b2、(a-b)2、ab之间的等量关系是(a+b2=(a-b)2+4ab; 拓展应用：根据(1)中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题： ②)若+=g=子，且>到，求要-y的值 (3)若(2025-m2+(m-2024)2=7,求(2025-m)(m-2024)的值； (4)如图3，在△BCE中，∠BCE=90°，CE=8,点M在边BC上，CM=3,在边CE上取一点Q,使 BM=EQ,分别以BC,CQ为边在△BCE外部作正方形ABCD和正方形COPQ,连接BQ,若 △DCQ的西积等于号，设BM=(>0),求正方形ABCD和正方形COPQ的西积和， 【小麦助手】(2)解：由(1)可得：(a+b)2=(a-b)2+4ab .(x-y)2=(c+y}-4y=9 x>y∴.x-y=3 (3)解：设A=2025-m,B=m-2024 「A2+B=7 :.已知条件为A+B=1 ÷(202-mm-2024=AB=A+By4+B）=-3 2 (国解：由题可知：5e=方×+3)8-)=当 ∴.（x+3)(8-x)=21 设A=c+3,B=8-x .∫AB=21 ·已知条件为A+B=11 .正方形ABCD和正方形COPQ的面积和：(x+3)2+(8-x)2=A2+B2=(A+B2 2AB=7 第 《X》疯狂的wa州 随堂练.习K一一一一一一 一一一一一以省前状态：的巴 9.已知m2-5m-1=0,则2m2-5m+ m 【小表助手】m2-5m-1=0∴.m- 1 =5 m 2m2+1 2m2-5m+1 +六+m2-m=(m品+2+1=8 10.已知x2=D+1,则x5-5x+2=5;x+1=7 【小表助手】∴.x5-5x+2=(x+1)(x+1)x-5c+2=x3+2x2+x-5c+2=x(c+1)+2x2+x -5x+2=3x2-3x+2=3(x2-x)+2=5 :2-gt1e--1 +是-e-+2-3a+-(e+了-2-7 11.已知a+b=4,ab=-5,则a2+b2的值为26；(a-b}的值为36 12.已知(a-b)2=25,ab=-6,则a2+b2=13;则a+b=97 13.己知(x+y2=18,(x-y2=6,则x2+y2=12；x2+3xy+y2=21;x4+y= 126. 【麦的手1x+y=+十e==12列=红+8--3 2 4 ∴.x2+3cy+y2=12+3×3=21 .x+y=(2+y22-2x2y2=122-2×32=126 14.若关于c的整式9如2-(2-1)+4是某个关于如的整式的平方，则k的值为号或一号 【小麦助手】9x2-(2k-1)x+4=(3x±2)2 2张-1=±6k的值为号或号 15.将16+1再加上一个单项式，使它成为一个完全平方式，则加上的单项式为 ·(写出所 有答案) 【小麦助手】情况1：当16作为公式中“2ab”位置时，需要添加的为64y: 情况2：当添加的作为公式中“2ab”位置时，需要添加的为8则或-8y: 情况3：当1作为公式中“2b位置时，需要添加的为6（舍】 16.已知(2026-a)(2024-a)=16,那么(a-2025)2=17 17.已知(2025-a)(2024-a)=4,则(2025-a2+(2024-a2的值为9 第 、6 《X》疯狂的waW 18.阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数 缺形时少直观，形缺数时难入微.”例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以 得到一个数学等式 G a 图1 图2 探索发现： (1)如图①，写出一个我们熟悉的数学公式：(a+b)2=a2+2ab+b2 解决问题： (2)若c满足(x-10)(x-20)=15,求(x-102+（x-20)2的值. (3)如图②，在长方形ABCD中，AB=10,BC=6,E,F是BC,CD上的点，且BE=DF=c,分 别以CF,CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN.若长方形CEPF的 面积为40，则图中阴影部分的面积和为 【小麦助手】(2)解：设A=x-10,B=x-20 六已知条件为AB=1巧 A-B=10 .(D-10)2+(x-20)2=2+B2=(A-B)2+2AB=120 (3)解：由题可知：长方形CEPF的面积=(10-c)(6-x)=80 设A=10-x,B=6-x 、已知条件为A-B=4 AB=40 .图中阴影部分的面积和：(10-x)2+(6-x)}2=A+B2=(A-B2+2AB=96 例题精游一一 一一一D当前状态： 例题10（配方法）已知m2+n2-6m+10n+34=0,求m+n的值 【d麦助手】解：m2-6m+9+n2+10m+25=0 变形为：(m-3)2+(n+5)2=0 :(m-3)2≥0，且(n+5)}2≥0 .m-3=0,n+5=0 ∴.m=3,n=-5 ∴.m+n=-2 第】 《X》疯狂的wa州 例题11利用配方法求最小值：求a2+6a+5最小值 解：a2+6a+5=a2+2a·3+32-32+5=(a+32-4,因为不论a取何值，(a+3)2总是非负数，即 (a+3}2≥0，所以(a+3}-4≥-4，所以当a=-3时，a2+6a+5有最小值，最小值是-4. 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：2-6+9=(x-3)2; (2)将x2+12m+48变形为(c十m2+n的形式，并求出x2+12x十48的最小值； (3)若M=6a2+10a+7,N=5a2+6a(a为任意实数)试比较M与N的大小，并说明理由. (4)模仿上述方法，求多项式42+9-4x十12y-1有最小值，并说明x,y为何值可取得最小值 【d麦帥手】(2)解：x2+12x+48=(x2+12c+36)+12=(x+6)2+12 (x+6)2≥0 ∴.当x=-6时，(x2+12c十48)mm=12 (③)解：（比较代数式大小一般利用作差法比较） ∴.M-N=6a2+10a+7-(5a2+6a)=(a+22+3 :(a+2)2≥0 .M-N≥3>0 ..M>N (4解：4x2+9y2-4x+12则-1=(2ac-1)2+(3y+2)2-6 (2x-1)2≥0，(3y+2)2≥0 当=号且y=号时，（女2+0时-4+12y-1=6 例题12已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c且ab,c满足等式3(a2+b2+c2)=(a+b+c) 2,请说明该三角形是什么三角形？ 【小麦助手】解：由题可知： :3(a2+b+c2)=(a+b+c)2 .展开变形为：(a-b)2+(a-c2+(b-c)2=0 :(a-b)2≥0，(a-c)2≥0，(b-c2≥0 ∴.a-b=0,a-c=0,b-c=0 ∴.a=b=c “该三角形是等边三角形 第入 8 人页 《X》疯狂的wa州 随堂.习一一一一一一一一 一一一当前状态：的巴 19.已知x2+y+4x-6+13=0,x、y都是有理数，则的值为 【小麦助手】通过配方可得：（x+2)2+（y-3)2=0 ∴.x=-2,y=3 .∴.xy=-8 20.多项式5x2-4xy+4y2+12c+25的最小值为16 【小麦助手】通过配方可得：(2x+3)2+(x-2则)2+16 .(5r2-4cy+4y2+12ac+25)mm=16 21.已知a=302+2013,b=20+2014,e=对e+20l5,则代载式2a2++c2-ob-bc 1 ac)的值为 【小麦助手】2(a2+b2+c2-ab-bc-ac)=(a-b)2+(a-c2+(6-c)月 a=2010+203,6=201+2014e=2040+2015 .a-b=-1,a-c=-2,b-c=-1 .原式=6 22已知如为任意有理数，则多项式-士+0-1的值一定是(C) 【d小麦动季1-}2+红-1=}e-2P≤0 A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数 23.如果a+2b+3c=12,且a2+b2+c2=ab+bc十ca,则a+b2+c3的值为（B) A.2 B.14 C.16 D.18 【d小麦助手】a2+b2+c2=ab+bc+ca “通过配方可得a-bP+(ac+6-c=0 2 ..a=b=c a+2b+3c=12 .∴.a=b=c=2 ∴.将a=b=c=2带入a十b2+c3可得答案为14 第 9 页 《》疯狂的w机 24.阅读材料：把形如ac2十bx十c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法. 配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab十b2=(a±b)2 例如：(@-P+3、e-2+2、(分。-2P+星足-2亚+4的三种不同形式的配方（即余 项”分别是常数项、一次项、二次项一一见横线上的部分). 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出x2-4x十9三种不同形式的配方； (2)将a2+ab+b2配方（至少两种形式）； (3)已知a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=0,求a+b+c的值. 【小麦助手】(1)解：根据题目的方法可得： 形式1：x2-4x+9=(x2-4c+4)+5=(x-2)2+5 形式2：x2-4x+9=(x2-6c+9)+2x=（x-3)2+2x 形式3：2-e+9=(告2-+9）+号2=（号x-3+吾2 (2)解：根据题目的方法可得： 形式1：a2+ab+b2=(a2+2ab+b2)-ab=(a+b)2-ab 形式2：a2+ab+82=(a2+ab+19)+星=(a+号b2+星b2 (3)解：a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=0 ∴配方可得：(a-号b+3号-12+(c-1P=0 :a-362≥0,3号-12≥0.(e-1≥0 ∴a-2b=0g-1=0.c-1=0 ∴.a=1,b=2,c=1 ∴.a+b+c=4 第 10 页《X》疯狂的m州 第2讲 整式乘除优化2 例题精淋一一一一一一一 一一一以当前状态：与 例题1：计算：①(a-b)(a+b)(a2+b)的结果是 ;②若4m2-9n2=36,3m+2m= -4,则2m-3m的值为 例题2：从边长为ā的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图@），然后将剩余部分拼成一 个长方形（如图②）。 a 6 图① 图② (1)上述操作能验证的等式是 (2)若x2-y2=16,x+y=8,则D-y的值为 ⑧)计第：1-)×1-)×1-￥)xx1-202p)×1-22小 (4)若a32=128,求(a-1)(a+1)(a2+1)(a+1)(a8+1)(a6+1)的值 (5)计算：(3+1)32+1)(3+1)(38+1)(316+1)(332+1)(34+1) (6)计算：20262-20252+20242-20232+.+42-32+22-12 昆 裸堂笔记 (第 《X》疯狂的ma州 例题3：设a、b、c、d都是自然数，且a=b,c3=,a-c=17,求d-b的值. 例题4：对任意一个正整数m,如果m=k(+1),其中k是正整数，则称m为“矩数”，飞为m 的最佳拆分点，例如56=7×(7+1)，则56是一个“矩数”，7为56的最佳拆分点。 (1)求证：若“矩数”m是3的倍数，则m一定是6的倍数； (2)把“矩数”p与“矩数”q的差记为D(p,q,其中p>q,D(p,q)>0,例如：20=4×5,6=2×3，则 D(20,6)=20-6=14,若“矩数”p的最佳拆分点为t,“矩数”q的最佳拆分点为s,当D(p,q)=30,求 音的最大值。 (第 2页 《》疯狂的w州忧 随堂练.习K一一一一一一 一一一省前状态：口 1.利用平方差公式计算：(1) 2007 20072 20072-2008×2006 ;(2)2009×2006+1 2.如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,那么a+b的值为 3.如果正整数x,y满足方程x2-y=64,则这样的正整数对(c,y)的个数是 ±.求值：(1-是1-31-量1-是1-1-21-）)= 5.计算：(2025+1)×(20252+1)×(2025+1)×(20258+1)×(202516+1)= 6.在2004,2005,2006,2007这四个数中，不能表示为两个整数平方差的数是（) A.2004 B.2005 C.2006 D.2007 7.设a、b、c、d都是正整数，并且a5=b,c3=d,c-a=19,求a-b的值， 8.若将自然数中能被3整除的数，在数轴上的对应点称为“3倍点”P,取任意的一个“3倍点”P,到点 P距离为1的点所对应的数分别记为a,b.定义：若数K=a2+b2-ab,则称数K为“尼尔数”，例 如：若P所表示的数为3，则a=2,b=4,那么K=22+42-2×4=12;若P所表示的数为12，则a =11,b=13,那么K=132+112-13×11=147,所以12,147是“尼尔数”. (1)请直接判断6和39是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被9除余3； (2)已知两个“尼尔数”的差是189，求这两个“尼尔数” 第 3 页 《X》疯狂的wa州 例题精游一一一一一一一一 岁前状态：© 例题5：（知二求二） (1)已知a2+b2=12,ab=-3,则(a+b)2的值是 (2)已知(a+b)2=49,(a-b)2=9,则a2+=;ab= (3)若数a满足(a-2025)2+(2026-a)2=2027,则(a-2025)(a-2026)= (4)已知a,b,c,y满足aac+by=3,ay-bx=5,则(a2+b2)(2+y2）的值为 (5)设a1,a2,a3,a4.a2026是从1,0，-1这三个数中取值的一列数，若a1十a2十ag十a4…十a2026=69, (a1+1)2+(a2+1)2+…+(a2026+1)2=4001,则a1,a2,ag,a4.a2026中为0的个数为_。 例题6：若x2+2(m-1)x+16是完全平方式，则m的值为 例题7已知+士=5，求下列各代教式的值 a2+ (2)x+1 (3)8+1 例题8，已知x2-5m-2=0,求下列各代数式的值 + 2e-27 3)n+-302+4 第 4 页 《》疯狂的wa州 例题？：把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研 究数学问题的一种常用方法.我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个 图形的面积，探索了完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2(如图1). M D 6 图1 图2 图3 (1)观察图2，请你写出(a+b)2、(a-b)2、ab之间的等量关系是 拓展应用：根据(1)中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题： ②)若十=g=子，且>g,求-y的值 (3)若(2025-m2+(m-2024)2=7,求(2025-m)(m-2024)的值； (4)如图3，在△BCE中，∠BCE=90°，CE=8,点M在边BC上，C1M=3,在边CE上取一点Q,使 BM=EQ,分别以BC,CQ为边在△BCE外部作正方形ABCD和正方形COPQ,连接BQ,若 △CQ的西教等于号，设B/=(e>0),求正方形ABCD和正方形COPQ的西有有. 民课堂笔记 第 《》疯狂的ma州 随堂练习K一一一一 一一一当前状态：妇 9.已知m2-5m-1=0,则2m2-5m+ 1 m2 10.已知x2=x+1,则x5-5x+2= ；4+1 11.已知a+b=4,ab=-5,则a2+b2的值为 ；(a-b)2的值为 12.已知(a-b)2=25,ab=-6,则a2+b2= ;则a+b= 13.已知(x+y2=18,(c-y2=6,则x2+y2= ;x2+3xy+y2= ；x+y= 14.若关于x的整式9x2-(2k-1)x十4是某个关于x的整式的平方，则k的值为 15.将162+1再加上一个单项式，使它成为一个完全平方式，则加上的单项式为 (写出所 有答案) 16.已知(2026-a)(2024-a)=16,那么(a-2025)2= 17.已知(2025-a)(2024-a)=4,则(2025-a)2+(2024-a2的值为 课堂笔记 (第 《Q》疯狂的m州 18.阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数 缺形时少直观，形缺数时难入微.”例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以 得到一个数学等式 G 图1 图2 探索发现： (1)如图①，写出一个我们熟悉的数学公式： 解决问题： (2)若x满足（c-10)(m-20)=15,求(x-102+(x-20)2的值 (3)如图②，在长方形ABCD中，AB=10,BC=6,E,F是BC,CD上的点，且BE=DF=c,分 别以CF,CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN.若长方形CEPF的 面积为40，则图中阴影部分的面积和为 课堂笔记 第 ⑦) 《X》疯狂的wa州 例题精游一一一 一一一一一拟省前状态：的 例题10：（配方法）已知m2+n2-6m+10m+34=0,求m+n的值 例题1工：利用配方法求最小值：求a2+6a+5最小值 解：a2+6a+5=a2+2a·3+32-32+5=(a+32-4,因为不论a取何值，(a+3)2总是非负数，即 (a+3)2≥0，所以(a+32-4≥-4，所以当a=-3时，a2+6a+5有最小值，最小值是-4. 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：x2-6x十 =(x- (2)将x2+12m+48变形为(x十m)2+n的形式，并求出x2+12x+48的最小值； (3)若M=6a2+10a+7,N=5a2+6a(a为任意实数)试比较M与N的大小，并说明理由. (4)模仿上述方法，求多项式42+9y2-4x十12y-1有最小值，并说明c,y为何值可取得最小值 例题12：已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c且a,b,c满足等式3(a2++c2)=(a+b+ c),请说明该三角形是什么三角形？ 第入 (8>页 《QX》疯狂的m州 随堂练习K一一一一 一一一当前状态：口 19.已知x2+y2+4-6+13=0,x、y都是有理数，则x的值为 20.多项式52-4ry+4y2+12c+25的最小值为 21.已知a=20110+2013,b=200+2014,c=200+2015,则代教式2a2++2-ab-bc 1 1 ac)的值为 22已知为任意有理载，则多项式子+-1的值一定是(》 A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数 23.如果a+2b+3c=12,且a2+b2+c2=ab+bc+ca,则a+b2+c3的值为() A.2 B.14 C.16 D.18 24.阅读材料：把形如ax2十b十c的二次三项式（或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法. 配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=(a±b)2 例如：(-1+3、e-2+2、(号-2P+星是-2亚+4的三不同形式的配方（即余 项”分别是常数项、一次项、二次项一一见横线上的部分). 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出x2-4x+9三种不同形式的配方； (2)将a2+ab+b2配方（至少两种形式）； (3)已知a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=0,求a+b+c的值， D课堂笔记 第 《》疯狂的ma州 课后作业-一一 省前状态：畅还 A篇基础巩固 1.运用平方差公式计算(a+b-1)(a-b+1),下列变形正确的是（) A.[a-(b+1)]2 B.[a+(b+1)2 C.[a+(b-1)][a-(b-1)] D.[(a-b)+1[(a-b)-1] 2.已知a-b=2,b-c=2,a+c=14,则a2-c2的值为 3.已知a2+b2=8,(a+b2=20,则ab= 4.如果x2-(+1)x+9是一个完全平方式，则k的值为 5.运用乘法公式简便计算，直接写出答案即可： (1)103×97=;(2)2022+982+202×196= (3)186.72-2×186.7×86.7+86.72=；(4 199919982 199919972+1999199g-2= 6已知a=是0-20，b= 8@-18,c= 80-16,则代数式a2+b2+c2-ab-ac-bc= +2+7 7.若心十1=3，则 ++3 8.计算2(3+1)(32+1)(3+1)(38+1)(316+1)所得结果个位数字是。 9.先化简，再求值：[【30-2-5x-e+-(2x-02x+]÷号，其中，g满足02-2m+寸+ 12y+37=0 10.探究规律： 观察下列等式： 第1个等式：（x-1)(x+1)=x2-1 第2个等式：(x-1)(x2+x+1)=x3-1 第3个等式：(x-1)(x3+x2+x+1)=x-1 (1)写出第4个等式：(x-1)(x+x3+x2+x+1)= (2)根据上述规律，请猜想：(x-1)(c+xn-1+…+D+1)= (n为正整数)（此题目无需证 明)； (3)利用(2)中的猜想，计算：22025+22024+·+2+1. 第 10 页