2026年高三数学秋季开学学情自测卷01（全国通用，测试范围：高中全部内容）

**基本信息** 2026年高三开学数学学情自测卷，以高考全内容为范围，融合古巴比伦月相数列（文化传承）与细菌培养实验（科学情境），通过基础统计、立体几何到新定义函数的梯度设计，考查抽象能力与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|统计（第1题中位数）、复数（第9题）、立体几何（第10题夹角）|单选题基础巩固，多选题综合应用| |填空题|3/15|双曲线渐近线（第12题）、数列递推（第14题）|结合函数图像考查单调性| |解答题|5/77|概率期望（第17题细菌培养）、椭圆综合（第18题面积最值）、新定义“等比函数”（第19题）|融入数学建模，呼应高考创新命题趋势|

2026年秋季高三开学学情自测卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 C C C B D C D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD BC ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中13题第一空2分，第二空3分． 12．/2.25 13． （答案不唯一，满足即可） 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）由正弦定理和已知条件可得 ， 变形得，于是有， 则即.….….….….….….…3分 或即，故 为等腰三角形或直角三角形.….….….….….….…6分 （2）依题意可知为角的角平分线，利用可得 ， 即，.….….….….….….…8分 当 为等腰三角形时，，由余弦定理可得 即，所以，.….….….….….….…10分 当 为直角三角形时，且， 得，所以， 综上所述或..….….….….….….…13分 16．（15分） 【详解】（1）取线段的中点，连接，，由于， 所以四边形为平行四边形，即， 又平面，平面， 所以平面. 又平面，平面平面，故..….….….….….….…6分 （2）连接，交于点，因为底面为菱形，所以. 又平面，所以如图建立空间直角坐标系， 设，，则，，，，， 得，，..….….….….….….…8分 设平面的法向量， 则，.….….….….….….…10分 所以点到平面的距离为，化简得，.….….….…12分 因为，所以，即，当且仅当时，等号成立. 故，即四棱锥体积的最小值为．.….….….….….….…15分 17．（15分） 【详解】（1）定义状态概率：记，，，. 由细菌分裂规则，得递推关系： ， 初始条件：. 依次计算状态概率： ， . 因此，..….….….….….….…5分 （2）依次计算零状态概率： ， ， ， . 由条件概率公式，..….….….……10分 （3）由数学期望定义，， 代入递推关系推导： ， 即为常数列. 由，得..….….….….….….…15分 18．（17分） 【详解】（1）由可得① 由点在上，则② 联立①②得，， 所以椭圆C的方程为；.….….….….….….…5分 （2）（ⅰ）设过点的直线的方程为，，， 由，得，， 所以，．.….….….….….….…7分 因直线的斜率分别为， 因为 则的倾斜角互为补角，故；.….….….….….….…11分 （ⅱ）因，则 ， 令，设， 则， 所以在上单调递减，则， 故当，即时，取到最大值..….….….….….….…17分 19．（17分） 【详解】（1）取，则， 由，得，所以， 又成等比数列，所以是“等比函数”..….….….….….….…5分 （2）设二次函数，求导得， 由直线与曲线在点处的切线平行或重合， 所以，所以， 所以，所以，所以， 又因为成等比数列，所以，所以， 所以，所以，与矛盾， 故任意二次函数都不是“等比函数”．.….….….…….….…….….…….….….….….…11分 （3）若，可得的定义域不为或在处不可导，所以. 当且时，函数在处无意义，所以的定义域不为， 所以且，结合已知可得 当时，可得，所以，所以， 又，满足，符合题意； 当时，由（2）可知幂函数不是“等比函数”，故不符合题意； 当时，由，得， 因为成等比数列，所以， 所以，所以， 所以， 又， 当且仅当，即时取等号，又，故等号不成立， 所以方程在时无解. 综上所述：..….….….….….…….….…….….…….….…….….…….….…….….….…17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季高三开学学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：高考全部内容 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知一组数据3，a，1，6，4，8的平均数是5，则这组数据的中位数是（    ） A．3.5 B．4 C．5 D．5.5 2．若集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知a，b，c为的三个内角A，B，C的对边，c为斜边，向量.若⊥，则∠B=（    ） A． B． C． D． 4．已知函数．若曲线在处的切线经过点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，以为圆心，为半径的圆与抛物线在第一象限的交点为，则的面积为（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 6．已知函数在上的最小值为0，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 7．古巴比伦泥板上记录了描述月相变化的数列.该数列将满月等分为240份，记数列为第天月球被太阳照亮部分占满月的份数（其中且）组成的数列，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即.若在数列中，前5项构成公比为的等比数列，第5项到第15项构成公差为的等差数列，且q，d均为正整数，则第12天月球被太阳照亮部分占满月的（   ） A． B． C． D． 8．互不相等的正实数是的任意顺序排列，设随机变量满足：则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，为复数，则下列选项一定正确的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，平面ABCD，，，，，，，则（    ） A． B．平面ADE C．平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为 D．直线CE与平面BDE所成角的正弦值为 11．已知曲线，圆，曲线由，，组成，则（    ） A．当时，与圆O无公共点 B．当与圆O有6个公共点时， C．不存在过原点的直线与无公共点 D．上仅有4个点到直线的距离为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则__________． 13．已知函数（），如图所示，直线与曲线交于，两点，若，在区间上单调递减，则_____；的一个取值为_____． 14．数列各项均为正数，且对任意都有，其中为数列的前项和，设，若满足不等式的正整数恰好有两个，则实数的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)判断 的形状并证明； (2)若 ，M 为边AB 上一点，且 ，求CM. 16． （15分） 如图所示，四棱锥底面为菱形，点，为棱的三等分点，点是棱中点. (1)过，，三点的平面与线段交于点，求证：； (2)若面，，点到平面的距离为，求四棱锥体积的最小值. 17． （15分） 一生物实验室进行某种细菌培养实验，假定初始时该实验拥有1个该种活性细菌，每个活性细菌1分钟后分裂成2个细菌的概率为，死亡的概率也为，分裂生成的新细菌亦如此，当细菌数为0个或4个时，停止培养实验，之后细菌数不再发生变化.记第分钟后，该实验室拥有此种细菌数为. (1)求的概率； (2)已知，求的概率； (3)求的数学期望. 18． （17分） 已知椭圆的左焦点为，的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)已知，，过点的直线与交于，两点（，不在轴上）． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求面积的最大值． 19． （17分） 定义：设函数在定义域上可导，若曲线上存在三个不同的点，，，使得直线与曲线在点处的切线平行或重合，且成等比数列，则称为“等比函数”． (1)试判断是否为“等比函数”并说明理由． (2)求证：任意二次函数都不是“等比函数”． (3)若，幂函数是“等比函数”，求：的取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高三开学学情自测卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知一组数据3，a，1，6，4，8的平均数是5，则这组数据的中位数是（    ） A．3.5 B．4 C．5 D．5.5 【答案】C 【详解】由题意得，，得， 则数据从小到大排列为，中位数为. 2．若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】集合，而， 所以. 3．已知a，b，c为的三个内角A，B，C的对边，c为斜边，向量.若⊥，则∠B=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用数量积的坐标运算求解. 【详解】∵∴， ∵是三角形内角，∴，， 由题知，∴． 4．已知函数．若曲线在处的切线经过点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】由，得， 在处，，， 所以切线方程为， 即． 该切线经过点，故， 解得． 5．已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，以为圆心，为半径的圆与抛物线在第一象限的交点为，则的面积为（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】先根据抛物线方程求出焦点和点的坐标，进而得到圆的方程,然后联立圆的方程与抛物线方程求出交点的坐标,最后根据三角形面积公式求出的面积. 【详解】抛物线的焦点为,准线与轴交于点, 所以以为圆心，为半径的圆的方程为， 圆与抛物线在第一象限的交点为，设，如图，作出符合题意的图形， 由，得，因为点在第一象限， 所以，即，显然，所以为直角三角形， 所以的面积为. 6．已知函数在上的最小值为0，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得在上恒成立，且能取等号，即，令，再利用导数得到，解方程即可． 【详解】由题意得在上恒成立，且能取等， 即在上恒成立，且能取等， 令，则的最小值为0， 因为， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ，解得． 7．古巴比伦泥板上记录了描述月相变化的数列.该数列将满月等分为240份，记数列为第天月球被太阳照亮部分占满月的份数（其中且）组成的数列，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即.若在数列中，前5项构成公比为的等比数列，第5项到第15项构成公差为的等差数列，且q，d均为正整数，则第12天月球被太阳照亮部分占满月的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据等比数列通项公式求出，再结合等差数列通项公式求出，进而求出，最后计算第12天月球被太阳照亮部分占满月的比例即可. 【详解】由题意知，数列前5项成公比为的等比数列，首项， 所以， 因为从第5项到第15项成公差为的等差数列，且， 所以， 所以，即， 又因为，所以 若，则，，不合题意， 若，则，解得，符合题意， 若，则，无解， 故 ，，此时 ， 所以 ， 所以占满月的比例为：. 8．互不相等的正实数是的任意顺序排列，设随机变量满足：则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分或， 或， 或，得到X，Y的分布列求解. 【详解】解：因为随机变量满足： 所以当或时，； 当或时，； 当或时，； 所以X，Y的分布列为： X 2 3 P Y 2 3 P 所以， ， 所以， 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，为复数，则下列选项一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据复数的四则运算及复数的模计算判断即可. 【详解】设，，， 对于A，， ， ， 所以，故A正确； 对于B，，，所以不恒成立，故B错误； 对于C，，，，所以，故C正确； 对于D，，， ， 又，所以， 即，也即， 所以，即，故D正确. 10．如图，平面ABCD，，，，，，，则（    ） A． B．平面ADE C．平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为 D．直线CE与平面BDE所成角的正弦值为 【答案】BC 【分析】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究位置关系与线面夹角，面面夹角即可. 【详解】对于A，根据题意可知，平面ABCD， 不妨以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示， 可得， 则，， 所以，所以，不垂直，故A错误； 对于B，依题意，是平面的一个法向量， 又，可得，则， 又因为直线平面，所以平面，故B正确； 对于C，设为平面的一个法向量， 则，令，可得， 设为平面的一个法向量， 则，令，可得， 所以平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为，故C正确； 对于D，设直线与平面所成角为，而， 则，故D错误. 11．已知曲线，圆，曲线由，，组成，则（    ） A．当时，与圆O无公共点 B．当与圆O有6个公共点时， C．不存在过原点的直线与无公共点 D．上仅有4个点到直线的距离为 【答案】ABC 【分析】根据圆与圆的位置关系、直线与圆的位置关系即可求出. 【详解】依题意可知为圆， 为圆，为圆， 这3个圆的半径均为2，且． 当时，，则圆O与这3个圆都外离，所以与圆O无公共点，A正确． 当与圆O有6个公共点时，圆O与这3个圆都相交，则解得，B正确． 设过原点的直线为直线，若直线曲线，，都相交， 即，无解，不存在过原点的直线与无公共点，C正确． 因为到直线的距离为且与其平行的直线为：，：， 且到直线的距离为，到直线的距离为， 到直线的距离为，到直线的距离为， 到直线的距离为，到直线的距离为， 所以直线，与共有6个公共点，即上有6个点到直线的距离为，D错误． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则__________． 【答案】/2.25 【分析】利用双曲线的渐近线求解. 【详解】∵方程表示双曲线， ∴，解得. 由题意知，，，， 所以，即，整理得，解得. 13．已知函数（），如图所示，直线与曲线交于，两点，若，在区间上单调递减，则_____；的一个取值为_____． 【答案】 （答案不唯一，满足即可） 【分析】根据和，可构造方程求得，并确定为半个周期，根据正弦函数单调性可构造方程组求得. 【详解】设，， 由得：，， 又，，解得. 此时最的小正周期， ，在区间上单调递减， 和分别为单调递减区间的起点和终点， 当时，， ，， 取，得. 综上所述：，的一个取值为. 14．数列各项均为正数，且对任意都有，其中为数列的前项和，设，若满足不等式的正整数恰好有两个，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】利用可得，再次利用得到数列为等差数列，即可得到其通项公式，得，令，由数列的单调性得，即在时取得最大值，即可求解． 【详解】令，则，即，所以或或， 又因为数列的各项都是正数，所以， 令，则，即，解得或或，又因为数列的各项都是正数，所以． ， ① ， ② 由①②得：，化简得到， ③ ，④ 由③④得：， 化简得到，即， 当时，，所以， 所以数列是一个以为首项，为公差的等差数列，． 则，得， 令， 则， 令，得， 得，得， 所以，即在时取得最大值， ，， ，， 若满足不等式的正整数恰好有两个，即， 所以需满足：，即， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)判断 的形状并证明； (2)若 ，M 为边AB 上一点，且 ，求CM. 【答案】(1)等腰三角形或直角三角形 (2)或 【分析】（1）先利用正弦定理边角互化对已知等式进行变形得到，可知或即 为等腰三角形或直角三角形； （2）利用及三角形面积公式求出的表达式，再针对（1）中的两种情况分别分析计算. 【详解】（1）由正弦定理和已知条件可得 ， 变形得，于是有，则即 或即，故 为等腰三角形或直角三角形. （2）依题意可知为角的角平分线，利用可得 ， 即， 当 为等腰三角形时，，由余弦定理可得 即，所以， 当 为直角三角形时，且， 得，所以， 综上所述或. 16． （15分） 如图所示，四棱锥底面为菱形，点，为棱的三等分点，点是棱中点. (1)过，，三点的平面与线段交于点，求证：； (2)若面，，点到平面的距离为，求四棱锥体积的最小值. 【答案】(1)取线段的中点，连接，，由于， 所以四边形为平行四边形，即， 又平面，平面， 所以平面. 又平面，平面平面，故. (2) 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明面，再由线面平行的性质定理证得. （2）建立空间直角坐标系，设，，由点到平面距离的向量求法，表示出点到平面的距离，即可得的关系，根据棱锥的体积公式，利用基本不等式可求得四棱锥体积的最小值. 【详解】（1）略 （2）连接，交于点，因为底面为菱形，所以. 又平面，所以如图建立空间直角坐标系， 设，，则，，，，， 得，，. 设平面的法向量， 则， 所以点到平面的距离为，化简得， 因为，所以，即，当且仅当时，等号成立. 故，即四棱锥体积的最小值为． 17． （15分） 一生物实验室进行某种细菌培养实验，假定初始时该实验拥有1个该种活性细菌，每个活性细菌1分钟后分裂成2个细菌的概率为，死亡的概率也为，分裂生成的新细菌亦如此，当细菌数为0个或4个时，停止培养实验，之后细菌数不再发生变化.记第分钟后，该实验室拥有此种细菌数为. (1)求的概率； (2)已知，求的概率； (3)求的数学期望. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】(1) 建立细菌数量的状态概率递推，直接计算第3分钟细菌为4的概率； (2) 逐次递推得到第3、5分钟细菌为0的概率，结合条件概率公式求解； (3) 推导数学期望的递推不变性，由初始期望直接得到结果. 【详解】（1）定义状态概率：记，，，. 由细菌分裂规则，得递推关系： ， 初始条件：. 依次计算状态概率： ， . 因此，. （2）依次计算零状态概率： ， ， ， . 由条件概率公式，. （3）由数学期望定义，， 代入递推关系推导： ， 即为常数列. 由，得. 18． （17分） 已知椭圆的左焦点为，的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)已知，，过点的直线与交于，两点（，不在轴上）． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）设过点的直线的方程为，，， 由，得，， 所以，． 因直线的斜率分别为， 因为 则的倾斜角互为补角，故；（ⅱ） 【分析】（1）利用题设条件建立关于的方程组，求解即得椭圆方程； （2）（ⅰ）设直线的方程为，与椭圆方程联立，写出韦达定理，化简计算推得的斜率之和为0即得证；（ⅱ）结合图形，得到的面积为，利用韦达定理代入，借助于求导判断函数的单调性即可求得面积最大值. 【详解】（1）由可得① 由点在上，则② 联立①②得，， 所以椭圆C的方程为； （2）（ⅰ）略 （ⅱ）因，则 ， 令，设， 则， 所以在上单调递减，则， 故当，即时，取到最大值. 19． （17分） 定义：设函数在定义域上可导，若曲线上存在三个不同的点，，，使得直线与曲线在点处的切线平行或重合，且成等比数列，则称为“等比函数”． (1)试判断是否为“等比函数”并说明理由． (2)求证：任意二次函数都不是“等比函数”． (3)若，幂函数是“等比函数”，求：的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）取，计算即可判断； （2）设二次函数，由题意可得，结合已知可得，从而可得结论； （3）由和时，由定义域可知不符合题意，从而且，由，可得符合题意，进而可得均不符合题意. 【详解】（1）取，则， 由，得，所以， 又成等比数列，所以是“等比函数”. （2）设二次函数，求导得， 由直线与曲线在点处的切线平行或重合， 所以，所以， 所以，所以，所以， 又因为成等比数列，所以，所以， 所以，所以，与矛盾， 故任意二次函数都不是“等比函数”． （3）若，可得的定义域不为或在处不可导，所以. 当且时，函数在处无意义，所以的定义域不为， 所以且，结合已知可得 当时，可得，所以，所以， 又，满足，符合题意； 当时，由（2）可知幂函数不是“等比函数”，故不符合题意； 当时，由，得， 因为成等比数列，所以， 所以，所以， 所以， 又， 当且仅当，即时取等号，又，故等号不成立， 所以方程在时无解. 综上所述：. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年秋季高三开学学情自测卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年秋季高三开学学情自测卷 ! 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用 0.5m黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3, 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5,正确填涂 选择题（每小题5分，共40分） 1 [A][B]IC][D] 5 [A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C]D] 款 3[A][B][CD] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C]D] 8[A]B][C]D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C]D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 前 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 13 14. 剂 请在各题瘩魅廷璎内，贝超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) G 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）: 2026年秋季高三开学学情自测卷 .: : 数学 : (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 : 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：高考全部内容 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 : 求的。 1.已知一组数据3，a,1,6,4,8的平均数是5，则这组数据的中位数是() A.3.5 B.4 C.5 D.5.5 2. 若集合A 3,neZB={x0≤xs1},则4AnB=（) O A.0} B.{0,1} 3.已知a,b,c为Rt△ABC的三个内角A,B,C的对边，c为斜边，向量m=(V3,-1),n=(cosA,sinA).若m⊥n, : 桨 则∠B=() ! A司 c p.2 4.已知函数f(x)=e+r,若曲线y=f(x)在x=0处的切线经过点(2,5)，则a=() : ○ A.0 B.1 C.2 D.3 5.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,其准线与x轴交于点K,以F为圆心，FK为半径的圆与抛物线C在 第一象限的交点为P,则△PKF的面积为() ! A.1 B.2 C.4 D.8 6.已知函数f(x)=- +e在(0，+∞上的最小值为0，则实数a的值为 A. e3 B. D. 9 3 C. 2 4 试题第1页（共6页） ! 6学科网·上好课 7.古巴比伦泥板上记录了描述月相变化的数列.该数列将满月等分为240份，记数列{a}为第天月球被 太阳照亮部分占满月的份数（其中1≤n≤15且n∈N)组成的数列，第1天月球被太阳照亮部分占满月的 48 即4=5；第15天为满月，即as=240.若在数列{a}中，前5项构成公比为9的等比数列，第5项到第15 项构成公差为d的等差数列，且q,d均为正整数，则第12天月球被太阳照亮部分占满月的() 3 B.3 c. 8.互不相等的正实数x1,x2,x3,x4∈1,2,3,4}，x1,x2,3,4是，七，5，的任意顺序排列，设随机变量X,Y满 X=max min,min 足： ,则() Y=min max max A.E(X<E(Y),D(X)>D(Y) B.E(X)>E(Y),D(X)>D(Y) C.E(X)<E(Y),D()=D(Y) D.E(X)>E(),D(X)=D(Y) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.若3,2为复数，则下列选项一定正确的是() A.3z=2B.子= C.名=同 D.+≤+5 10.如图，AB⊥平面ABCD,CFMB,4DBC,ADLAB,4B=BC=2,AB=AD-1,CT-号，则 () F A B--- A.BD⊥EC B.BF/∥平面ADE C.平面BDB与平面BDF的夹角的余弦值为3 D.直线CE与平面BDB所成角的正弦值为。 山.已知线%〔3o3血等46=123)小园0-+=0，垂线山，， C3组成，则() 试题第2页（共6页） 6学科网·上好课 A.当r=4-√0时，2与圆O无公共点 B.当2与圆O有6个公共点时，1<r<5 C.不存在过原点的直线与2无公共点 D.2上仅有4个点到直线y=x+1的距离为√2 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知双曲线，上=1的一条渐近线的领斜角为60°，则m 3-m m 13.已知函数f()=im(ox+)(o>0,如图所示，直线y=5与曲线y=f(y交于A,B两点，若 2 A=军，f)在区间C1n 12’12 上单调递减，则ω=；P的一个取值为一 2 B 14.数列{a}各项均为正数，且对任意neN*都有43+43+4+…+a=S2+2S,其中Sn为数列{a}的 前”项和，设么，=8 若满足不等式b2.>1的正整数k恰好有两个，则实数入的取值范围为 2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15.(13分) 己知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=b(tanAsinC-cosC). (1)判断△ABC的形状并证明； (2)若c=V3,a=1,M为边AB上一点，且∠ACM=∠BCM,求CM. 试题第3页（共6页） 16.(15分) 如图所示，四棱锥P-ABCD底面为菱形，点E,F为棱PD的三等分点，点G是棱BC中点. (1)过A,E,G三点的平面a与线段PC交于点H，,求证：CFIlEH: (2)若PA1面ABCD,PA=1,点B到平面PCD的距离为，求四棱锥P-ABCD体积的最小值. 张 数 游 17.(15分) 一生物实验室进行某种细菌培养实验，假定初始时该实验拥有1个该种活性细菌，每个活性细菌1分钟后 分裂成2个细菌的概率为于，死亡的概率也为号，分裂生成的新细菌亦如此，当细菌数为0个或4个时， 习 停止培养实验，之后细菌数不再发生变化.记第(n∈N)分钟后，该实验室拥有此种细菌数为X.: 碳 (1)求X3=4的概率； (2)已知X5=0,求X3=0的概率； 性 (3)求X,的数学期望。 试题第4页（共6页） 18.(17分) ..·.· 言+左-1(a>b>0的左焦点为凡，C的离心率为三，且C过点(2). 已知椭圆c:x+y 2 ..·. (1)求椭圆C的方程； ..·.… (2)已知M(8,0),N(1,O),过点N的直线与C交于A,B两点(A,B不在x轴上). … (i)求证：∠MA=∠MB; (ⅱ)求△AB面积的最大值. O : : : : ...... ..0 .......◎ 女 : : 试题第5页（共6页） : ....… 6学科网·上好课 19.(17分) 定义：设函数y=f(x)在定义域R上可导，若曲线y=f(x)上存在三个不同的点A(,f(:),B(,f(x), C(,f(,)(x<x2<x3),使得直线AC与曲线y=f(x)在点B处的切线平行或重合，且，x,x3成等比数列， 则称f(x)为“等比函数”. (1)试判断f(x)=x-9x是否为“等比函数”并说明理由. (2)求证：任意二次函数都不是“等比函数”. (3)若a∈[0,1UZ,幂函数f(x)=x是“等比函数”，求：a的取值范围. 试题第6页（共6页） 2026年秋季高三开学学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：高考全部内容 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知一组数据3，a，1，6，4，8的平均数是5，则这组数据的中位数是（    ） A．3.5 B．4 C．5 D．5.5 2．若集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知a，b，c为的三个内角A，B，C的对边，c为斜边，向量.若⊥，则∠B=（    ） A． B． C． D． 4．已知函数．若曲线在处的切线经过点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，以为圆心，为半径的圆与抛物线在第一象限的交点为，则的面积为（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 6．已知函数在上的最小值为0，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 7．古巴比伦泥板上记录了描述月相变化的数列.该数列将满月等分为240份，记数列为第天月球被太阳照亮部分占满月的份数（其中且）组成的数列，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即.若在数列中，前5项构成公比为的等比数列，第5项到第15项构成公差为的等差数列，且q，d均为正整数，则第12天月球被太阳照亮部分占满月的（   ） A． B． C． D． 8．互不相等的正实数是的任意顺序排列，设随机变量满足：则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，为复数，则下列选项一定正确的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，平面ABCD，，，，，，，则（    ） A． B．平面ADE C．平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为 D．直线CE与平面BDE所成角的正弦值为 11．已知曲线，圆，曲线由，，组成，则（    ） A．当时，与圆O无公共点 B．当与圆O有6个公共点时， C．不存在过原点的直线与无公共点 D．上仅有4个点到直线的距离为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则__________． 13．已知函数（），如图所示，直线与曲线交于，两点，若，在区间上单调递减，则_____；的一个取值为_____． 14．数列各项均为正数，且对任意都有，其中为数列的前项和，设，若满足不等式的正整数恰好有两个，则实数的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)判断 的形状并证明； (2)若 ，M 为边AB 上一点，且 ，求CM. 16． （15分） 如图所示，四棱锥底面为菱形，点，为棱的三等分点，点是棱中点. (1)过，，三点的平面与线段交于点，求证：； (2)若面，，点到平面的距离为，求四棱锥体积的最小值. 17． （15分） 一生物实验室进行某种细菌培养实验，假定初始时该实验拥有1个该种活性细菌，每个活性细菌1分钟后分裂成2个细菌的概率为，死亡的概率也为，分裂生成的新细菌亦如此，当细菌数为0个或4个时，停止培养实验，之后细菌数不再发生变化.记第分钟后，该实验室拥有此种细菌数为. (1)求的概率； (2)已知，求的概率； (3)求的数学期望. 18． （17分） 已知椭圆的左焦点为，的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)已知，，过点的直线与交于，两点（，不在轴上）． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求面积的最大值． 19． （17分） 定义：设函数在定义域上可导，若曲线上存在三个不同的点，，，使得直线与曲线在点处的切线平行或重合，且成等比数列，则称为“等比函数”． (1)试判断是否为“等比函数”并说明理由． (2)求证：任意二次函数都不是“等比函数”． (3)若，幂函数是“等比函数”，求：的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $