4.2整式的加法与减法同步训练 2026-2027学年人教版七年级上册数学

**基本信息** 聚焦整式加减，分层设计从基础运算到综合应用，通过问题情境与规律探究培养运算能力、推理意识和应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|整式加减基本法则应用|直接考查合并同类项、去括号，如选择1求三角形第三边，解答13化简求值| |中档|综合知识与情境问题|结合新定义（填空10“英华数”）、几何情境（选择6正方形剪拼），培养模型意识| |提升|复杂情境与规律探究|涉及多步推理（选择4“加法操作”规律）、实际建模（综合17草坪面积计算），发展创新意识|

4.2整式的加法与减法 同步训练 一、选择题 1．已知三角形的周长为，其中两边的和为，则此三角形第三边的长为（　　） A． B． C． D． 2．现用同品质的A，B两种钢板制作某产品，有如下两种用料方案：方案1用5块A型钢板，9块B型钢板：方案2用4块A型钢板，10块B型钢板．已知每块A型钢板的面积比B型钢板大．设每块A型钢板和B型钢板的面积分别为x和y．从省料角度考虑，应选（　　） A．方案1 B．方案2 C．方案1与方案2都一样 D．无法确定 3．，，则M与N的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 4．有自左向右依次排列的三个整式，，，，将任意相邻的两个整式相加，所得之和等于在两个整式中间，可以产生一个整式串；，，，，，这称为第1次“加法操作”；将第1次“加法操作”后的整式串按上述方法再做一次“加法操作”，可以得到第2次“加法操作”后的整式串；…，以此类推，下列说法： ①当时，第1次“加法操作”后，整式串中所有整式的积为负数； ②第次“加法操作”后，整式串中倒数第二个整式为； ③第4次“加法操作”后，整式串中所有整式之和为． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 5．有n个依次排列的整式：第一项是a2，第二项是a2+2a+1，用第二项减去第一项，所得之差记为b1，将b1加2记为b2，将第二项与b2相加作为第三项，将b2加2记为b3，将第三项与b3相加作为第四项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论： ①b3＝2a+5； ②当a＝2时，第3项为16； ③若第4项与第5项之和为25，则a＝7； ④第2022项为（a+2022）2； ⑤当n＝k时，b1+b2+…+bk＝2ak+k2； 以上结论正确的是（　　） A．①②⑤ B．①③⑤ C．①②④ D．②④⑤ 6．如图，将图1中的长方形纸片剪成①号、②号、③号、④号正方形和⑤号长方形，并将①号、②号、③号正方形按图2方式叠放入④号正方形内部，若需求出阴影部分的周长和，只需知道下列哪个正方形的边长（　　） A．①号 B．②号 C．③号 D．④号 7．如图，用三个同图①的长方形和两个同图②的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形ABCD，两种方式未覆盖的部分(阴影部分)的周长相等，那么图①中长方形的面积S1与图②中长方形的面积S2的比是（　　） A．2：3 B．1：2 C．3：4 D．1：1 8．对多项式x-y-z-m-n任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：(x-y)-(z-m-n)=x-y-z+m+n，x-y-(z-m)-n = x-y-z+m-n，……， 给出下列说法： ①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等； ②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0； ③所有的“加算操作”共有 8 种不同的结果．以上说法中正确的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 9．已知是方程的根，代数式的值是　 　． 10． 如果一个两位数a的个位数字与十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位数为“英华数”，定义新运算：将一个“英华数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记，例如：a=13，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，31+13=44，和与11的商44÷11=4，所以．根据以上定义，回答下列问题： （1）计算：　 　． （2）若m，n都是“英华数”，且m+n=100，则　 　． 11．如图，用三个同（1）图的长方形和两个同（2）图的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形，两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样，那么（1）图中长方形的面积与（2）图长方形的面积的比是　 　. 12．已知，在关于，的二元一次方程组中，，，则的取值范围是　 　，　 　. 三、解答题 13．先化简，再求值：，其中． 14．已知：，，若，计算的值． 15．化简求值：，其中x＝3，． 四、综合题 16．做大、小两个长方体纸盒，尺寸如下（单位：cm） 长 宽 高 小纸盒 大纸盒 （1）做这两个纸盒共用料多少平方厘米？ （2）做大纸盒比做小纸盒多用料多少平方厘米？ 17．如图，在一块长为米，宽为米的长方形空地四周修建宽均为米的小路，剩余部分种植草坪图中阴影部分． （1）列式计算出种植草坪的面积并化简； （2）当，时，小路的面积是多少平方米？ 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：∵三角形的周长为3m-n，且其中两边的和为m+n， ∴第三边长为：3m-n-(m+n）=3m-n-m-n=2m-2n. 故答案为：B. 【分析】用周长减去其它两边的和列出式子，进而根据去括号法则先去括号，最后合并同类项即可. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：根据题意得，方案1的钢板面积为：5x十9y，方案2的钢板面积为：4x十10y， ∴（5x+9y）-（4x+10y）=5x+9y-4x-10y=x-y>0， ∴5x+9y>4x+10y， ∴从省料的角度考虑，应选方案2. 故答案为：B. 【分析】 设每块A型钢板和B型钢板的面积分别为x和y ，根据题意写出方案1和方案2所用钢板面积的表达式，作差比较大小，得出方案2省料. 3．【答案】C 【解析】【解答】解：∵M-N= -（ ） =4a2+8ab+4b2=4（a+b）2≥0， ∴M≥N； 故答案为：C. 【分析】利用作差法求出M-N=4（a+b）2≥0，据此即可判断. 4．【答案】B 【解析】【解答】解：①第1次"加法操作"后，整式串中所有整式的积为：a（2a-3）（a-3）（a-6）×（-3）， ∵ ， ∴2a-3＞0，a-3＞0，a-6＜0， ∴a（2a-3）（a-3）（a-6）×（-3）＞0，故①错误； ②第1次"加法操作"后整式串中倒数第二个整式为a-3-3， 第2次"加法操作"后整式串中倒数第二个整式为a-3-3-3=a-3-3×2， 第3次"加法操作"后整式串中倒数第二个整式为a-3-3-3-3=a-3-3×3， ······， ∴第n次"加法操作"后整式串中倒数第二个整式为a-3-3n，故②正确； ③第4次"加法操作"后，整式串中所有整式的和为： a+5a-3+4a-3+7a-6+3a-3+8a-9+2a-3+7a-9+5a-9+7a-12+3a-6+8a-15+4a-9+7a-15+a-3+3a-12+2a-9+3a-15+a-6+2a-15+a-9+a-12-3+5a-12+4a-15+5a-21+5a-24+4a-21+3a-21+3a-24+2a-21+a-15=123a-369， 故③错误； 故答案为：B. 【分析】①将第1次"加法操作"后，五个整式相乘，确定每个整式的符号，即确定积的符号；②分别求出第1次，第2次，第3次"加法操作"后整式串中倒数第二个整式，据此得出规律，即可判断；③求出第4次"加法操作"后，整式串中所有整式，再相加即可判断. 5．【答案】A 【解析】【解答】解：第一项是a2， 第二项是a2+2a+1， 用第二项减去第一项，所得之差记为b1，则， 将b1加2记为b2，则， 将第二项与b2相加作为第三项，则第三项是， 当a＝2时，第三项是，②正确； 将b2加2记为b3，则，①正确； 第三项与b3相加作为第四项，则第四项是， 将b3加2记为b4，则， 第四项与b4相加作为第五项，则第五项是， 第4项与第5项之和为25，则，解得a＝0或，③错误； … 综上所述：，第项为， 第2022项为，④错误； 当时， ， 故答案为：A. 【分析】由题意可得：b1=2a+1，b2=2a+3，b3=2a+5，第三项为a2+4a+4，令a=2，求出相应的值，据此判断①②；第四项是a2+6a+9，b4=2a+7，第五项是a2+8a+16，根据第4项与第5项之和为25可求出a的值，据此判断③；综合可得bn=2a+2n-1，第n项为[a+(n-1)]2，据此表示出第2022项，进而判断④；令n=k，表示出b1+b2+……+bk，进而判断⑤. 6．【答案】A 【解析】【解答】解：设①号正方形边长为x，②号正方形边长为y，则③号正方形边长为 x+y ，④号正方形边长为 2x+y ，⑤号长方形长为 3x+y ，宽为 y-x ． 左上角阴影部分长为2x+y-y=2x ，宽为2x+y-(x+y)=x 右下角阴影是一个边长为x的正方形，所以两个阴影周长和为10x，跟①号周长有关． 故答案为：A. 【分析】设①号正方形边长为x，②号正方形边长为y，观察图1，分别表示出图③、④两个正方形的边长，图⑤长方形的长与宽，再观察图2，分别表示出左上角阴影部分长与宽，右下角阴影的边长，进而利用正方形及长方形周长的计算方法算出两个阴影部分的周长和即可得出答案. 7．【答案】A 【解析】【解答】解：设①中长方形的长为a，宽为b，②中长方形的长为y，宽为x； 则AD＝3b＋2y＝a＋x， 第一种覆盖方式中阴影部分的周长为：2（3b＋2y＋DC−x）＝6b＋4y＋2DC−2x＝2a＋2DC， 第二种覆盖方式中有一部分的周长为：2（a＋x＋DC−3b）＝2a＋2x＋2DC−6b＝2a＋2x＋2DC−2（a＋x−2y）＝2DC＋4y； ∵两种方式周长相同， ∴2a＋2DC＝2DC＋4y， ∴a＝2y， ∵3b＋2y＝a＋x， ∴x＝3b， ∴S1：S2＝ab：xy＝2y×：（xy）＝． 故答案为：． 【分析】设①中长方形的长为a，宽为b，②中长方形的长为y，宽为x；则AD＝3b＋2y＝a＋x，先表示出两个图形中阴影部分的周长，由周长相等建立方程可得a＝2y，进而即可推出x＝3b，再求面积的比值． 8．【答案】D 【解析】【解答】解：若原多项式为x-y-z-m-n，“加算操作后”为(x-y)-(z-m-n)=x-y-z+m+n， ①令x-y-z-m-n=x-y-z+m+n， ∴m+n=0， ∴当m和n互为相反数时，存在“加算操作后”的结果与原来多项式相等， ∴①说法符合题意； ②若原多项式与“加算操作后”的结果和为0， 即“加算操作后”的结果=-（x-y-z-m-n）=-x+y+z+m+n， 显然-x+y+z+m+n≠x-y-z+m+n， ∴不存在任何“加算操作后”的结与原多项式的和为0， ∴②说法符合题意； ③由①可知，存在一种“加算操作后”的结果与原来多项式相等，即为第1种； 第2种：x-（y-z）-m-n=x-y+z-m-n； 第3种：x-（y-z-m）-n=x-y+z+m-n； 第4种：x-（y-z-m-n）=x-y+z+m+n； 第5种：x-（y-z）-（m-n）=x-y+z-m+n； 第6种：x-y-（z-m）-n=x-y-z+m-n； 第7种：x-y-（z-m-n）=x-y-z+m+n； 第8种：x-y-z-（m-n）=x-y-z-m+n， ∴③说法符合题意， ∴①②③说法正确. 故答案为：D. 【分析】①列出加算操作后”的结果与原来多项式相等的式子，即x-y-z-m-n=x-y-z+m+n，当m和n互为相反数时，存在“加算操作后”的结果与原来多项式相等；②若原多项式与“加算操作后”的结果和为0，即二者互为相反数，表示出原多项式的相反数后即为“加算操作后”的结果，与加算操作后”的结果比较，显然不相等；③对原多项式从左往右分别加括号，结合①存在一种“加算操作后”的结果与原来多项式相等，可得所有的“加算操作”共有 8 种不同的结果．据此逐项分析判断即可得出正确答案. 9．【答案】9 【解析】【解答】解：∵是方程的根 ， ∴， ∴， ∴=6+3=9， 故答案为：9. 【分析】根据方程的根的定义计算，即可 10．【答案】（1）9 （2）19 【解析】【解答】解：（1） ， 故答案为：9； （2）∵ m，n都是“英华数”，且m+n=100 ，设m=10x+y，则n=10（9-x）+（10-y）， ∴. 故答案为：19. 【分析】（1）根据题干提供的信息直接计算即可； （2）根据数字问题，分别表示出m、n，再根据（1）的计算方法及整式的加减法法则分别计算 与，再求和即可. 11．【答案】 【解析】【解答】解：设图（1）中长方形的长为acm，宽为bcm，图（2）中长方形的宽为xcm，长为ycm， 由两个长方形ABCD的AD＝3b＋2y＝a＋x， ∴图（3）阴影部分周长为：2（3b＋2y＋DC−x）＝6b＋4y＋2DC−2x＝2a＋2x＋2DC−2x＝2a＋2DC， ∴图（4）阴影部分周长为：2（a＋x＋DC−3b）＝2a＋2x＋2DC−6b＝2a＋2x＋2DC−2（a＋x−2y）＝2DC＋4y， ∵两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样， ∴2a＋2DC＝2DC＋4y，a＝2y， ∵3b＋2y＝a＋x， ∴x＝3b， ∴S1：S2＝ab：xy＝2yb：3yb＝， 故答案是：. 【分析】设图（1）中长方形的长为acm，宽为bcm，图（2）中长方形的宽为xcm，长为ycm，结合图形分别求出图（3）、图（4）阴影部分周长，利用“两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样”建立等式，可得a＝2y，x＝3b，根据长方形的面积公式求其比值即可； 12．【答案】；5m+5a+5b-18 【解析】【解答】解：由方程组 解得 ， 又 ， ， ， 解得 ， ， . . 故答案为： ，. 【分析】首先解出关于未知数x、y的二元一次方程组的解，结合x、y的取值范围可列出关于字母a的不等式组，求解可得a的取值范围，再根据不等式的性质结合a-b=m可得，从而判断出a+b-3+m＞0，m-4+a+b＜0，接着根据绝对值的性质化简绝对值，最后再去括号、合并同类项即可. 13．【答案】解：原式， ， 当时，原式， 【解析】【分析】先根据整式混合运算把原式进行化简，然后再代入求值即可。 14．【答案】解： ， 因为， 所以， 解得，， 所以． 【解析】【分析】利用整式的加减先求出A，再利用绝对值及偶次幂的非负性求出a、b的值，最后代入计算即可. 15．【答案】解：原式=3x2y-（2xy-2xy+3x2y+xy）=3x2y-2xy+2xy-3x2y-xy=-xy 当 x＝3，时， 原式= 【知识点】利用整式的加减运算化简求值 【解析】【分析】先去括号（括号前的数要与括号里的每一项相乘，不能漏乘；括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号），再合并同类项（同类项才能合并），然后将x、y的值代入化简后的代数式求值即可. 16．【答案】（1）解：小纸盒的表面积为：2ab+2ac+2bc， 大纸盒的表面积为：2×1.5a×2b+2×1.5a×2c+2×2b×2c=6ab+6ac+8bc， ∴ 做这两个纸盒共用料的面积为：2ab+2ac+2bc+6ab+6ac+8bc=8ab+10bc+8ac； （2）解： 做大纸盒比做小纸盒多用料面积为：6ab+6ac+8bc-2ab-2ac-2bc=4ab+6bc+4ac. 【解析】【分析】（1）根据长方体表面积的计算方法分别算出大小两个长方体的表面积，再根据整式的加法运算计算出其和即可； （2）利用整式减法运算法则计算出两个长方体的表面积之差即可. 17．【答案】（1）解： 平方米； （2）解：当，时， 平方米， 小路的面积平方米． 【解析】【分析】多项式相乘的应用题。题目中，种植草坪的土地是个长方形，面积可直接用长×宽来表示。长=3a+b-2（a-b），宽=3a-b-2（a-b），化简整理，求值即可。 1 学科网（北京）股份有限公司 $