1.5等腰三角形同步训练 2026—2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦等腰三角形性质与判定，通过基础应用、综合探究及创新拓展三级递进，融合几何直观与推理能力，构建从概念到综合应用的逻辑体系。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|10（选择1-7、填空9-10）|直接考查性质判定、周长计算|定义→性质→简单应用，强化抽象能力| |综合探究|7（选择8、填空11-12、解答13-16）|结合全等、垂直平分线、动点|性质与其他几何知识综合推导，培养推理意识| |创新拓展|2（解答17-18）|多问递进、动态问题|从具体到抽象，发展空间观念与创新意识|

1.5等腰三角形同步训练新苏科版2026一2027学年八年级数学上册 一、选择题 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2,则AB的长等于() A.4 B.6 C.8 D.10 2.如图，CP=OC=OA,若∠AOB=72°，则∠P的度数是() D 0 B A.20° B.22° C.24° D.30 3.等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”，若等腰△ABC 的周长为20，其中一边长为6，则它的“和谐比”为() > 46 37 A.4 B.6 C.3或7 D.4或6 4.在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB=2,BC=6,∠B=30°，则△ABD的面积为 () 30° D 3 A.2 B.2 C.1 D.2 5,等腰三角形周长是19，其中一边长是5，则等腰三角形的底边长是() A.5 B.5或9 C.9 D.7 6.下列各命题中，其逆命题是假命题的是() A.等腰三角形的两个底角相等 B.三个角都是60°的三角形是等边三角形 C.全等三角形的三个角分别对应相等 D.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 7.若△ABC≌aDEF,△ABC是等腰三角形，且它的周长是23cm,BC=4cm,则△DEF 必有一条边等于() A.9.5cm B.9.5cm或15cmC.15cm D.4cm或15cm 8.如图，C为线段AE上一动点（不与点A,E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正 △CDE,D与B交于点0，D与BC交于点2，BE与CP交于点Q,连接O.以下 PO ①AD=BE②PQ∥AE③AP=BQ④DE=DP⑤∠AOB=6O° 五个结论： 一定 成立的结论有() A.①②③ B.①②④ C.①②③④ D.①②③⑤ 二、填空题 9.己知△ABC是等腰三角形，若AB=8cm,AC=4cm,则△ABC的周长是 cm 10.如图，在△ABC中，AB=AC,AE平分∠BAC,DE垂直平分AB,垂足为点D,连 接CE,∠B=50°，则∠BCE的度数为一 B 11.如图，在△ABC中，AB=AC=5,D为BC中点，点P,Q分别是AD,AC上的动 点，若△ABC的面积为12，则CP+PO的最小值为 B 12.如图，在△MBC中，边MB的垂直平分线交1C于点D,边BC的垂直平分线交4C 于点E,直线与直线相交于点F,过点F作FM1AC于点M.若△BDE的周长为 30,则AM的长为 B 三、解答题 13.如图，在△ABC中，∠A=90°，P为边BC上的一点，D为BP的中点，E为CP的中 点，过点D作DF⊥BP交AB于点F,过点E作EG⊥CP交AC于点G. (1)求∠FPG的度数. (2)如图，连接FG,若FGBC,求证：AG=PG, 14.在△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90°，AC与BD相交于点O. D B 图1 图2 (I)如图1，若AO=B0,求证：△ABC≌aBAD: (2)如图2，若∠BOC=∠ABC,求证：AC平分∠BAD: (3)在第(2)问的条件下，若BC=3,AD=BD,求△ABO的面积. 15,如图，在△MBC中，AB边的垂直平分线交BC于点D,4C边的垂直平分线交BC 于点5，与相交于点0，连接O1,0B,0C (1)若△ADE的周长为l6cm,△OBC的周长为40cm,求线段BC,OA的长： (2)若∠BAC=115°，求∠DAE的度数. 16.在Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，点O为AB的中点，∠EOF=90°，∠EOF 两边分别交AC,BC于E,F两点、 E 9 B 图1 图2 (I)如图1，当点E,F分别在边AC和BC上时，求证：OE=OF: (2)如图2，当点E,F分别在AC和CB的延长线上时，连接EF,OE=4,求△EOF的面 积 17.如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,P为边AB上一点，连接CP,过点B 作直线CP的垂线，垂足为点D, F D D D E B 图1 图2 图3 (I)请找出图中与∠ACP相等的角，并说明理由； (2)如图2，若AC=AP,求证：CP=2BD, DE_2 (B)如图3，点E在线段BD上，且DE=CD,连接AE交CP于点F,若BE3,△CDE 的面积为2，求△4CF的面积. 18.在△ABC中，AB=AC,∠BAC=Q,点E为线段BC上一点，且BE<CE,D为线段 CE 申点，作射线D,过点E作 EFA 交射线D D于点F 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：AC=EF: @如图2，过A点作别线AP:使P1D-0,过点D作DG⊥AD交别线Ap于点G,连 接BG,EG,求证：BG=EG; (3)如图3，过点F作FM⊥BC于点M,连接AM. ①球证：BM=C, ②若BC=6,△ABC的面积为6，当△AEM周长最小时，求线段BE的值. 参考答案 1.A 2.C 3.D 4.A 5.B 6.C 7.A 8.D 9.20 10.10°110度 n4 12.15 13.【详解】(I)解：，D为BP的中点，DF⊥BP, .DF垂直平分BP, :BF=PF, .∠FPD=∠B. 同理可得∠GPE=∠C, .∠A=90°， .∠B+∠C=90°， .∠FPD+∠GPE=∠B+∠C=90° ∠FPG=180°-（∠FPD+∠GPE)=180°-90°=90° (2)证明：：FG‖BC, .∠AFG=∠B,∠GFP=∠FPD. 由(1)知∠FPD=∠B, .∠AFG=∠GFP, .FG平分∠AFP, :∠A=90°，∠FPG=90°， .GA⊥AF,GP⊥PF, ∴.AG=PG 14.(1)证明：A0=B0, .∠OBA=∠OAB, 在△ABC和△BAD中， ∠C=∠D ∠OBA=∠OAB AB=BA 、△ABC≌△BAD(AAS) (2)证明：.∠C=∠D=90° :∠C0B+∠0BC=90°，∠DA0+∠D0A=90°， .∠COB=∠DOA, .∠OBC=∠DAO ∠C=90°， .∠OBC+∠BOC=90°，∠ABC+∠BAC=90°， :∠BOC=∠ABC, .∠OBC=∠BAC, .∠BAC=∠DAO .AC平分∠BAD」 (3)解：延长BC交AD延长线于点F, F D .∠ACB=∠ADB=90°，∠BOC=∠AOD .180°-∠C-∠BOC=180°-∠D-∠AOD,∠BDF=180°-∠ADB=90°， .LOBC=∠OAD, 在△BDF和△ADO中， [∠FBD=∠DAO BD=AD ∠BDF=∠ODA' 片△BDP≌aAD0(ASA) .BF=AO. ,∠ACB=90° .∠ACF=180°-∠ACB=90°， .∠ACB=∠ACF, 由(2)∠CAB=∠CAF, 在△ACB和△ACF中， 「∠ACB=∠ACF AC=AC ∠CAB=∠CAF' △ACB≌AACF(ASA) ..CF=CB=3, .BF=2CB=6. .AO=BF=6, 5o240-8C-)x6x3=9 1 2 15,【详解】山)解：是B边的垂直平分线， :DA=DB, 是4C 边的垂直平分线， ..EA=EC, .BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=16 cm 是4B边的垂直平分线， ..OA=OB 是4C 边的垂直平分线， :.0A=0C, .OB+OC+BC=40 cm ..04=OB=OC=12 cm (2)解：∠BAC=115°， .∠ABC+∠ACB=180°-115°=65°， .DA=DB,EA=EC」 ∴∠BAD=∠ABC,∠EAC=∠ACB, .∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠EAC=115°-65°=50° 16.(1)证明：如图，连接0C, :AC=BC,∠ACB=90°，点O为AB的中点， ∴.AO=C0=B0,∠AOC=∠EOF=90°，∠A=∠BC0=45°， ∴.∠AOE+∠COE=∠COF+∠COE=90°， ∴.∠AOE=∠COF, ∴.△AOE≌△COF, ∴OE=OF, (2)解：如下图所示，连接OC, AC=BC,∠ACB=90°，点O为AB的中点， ∴，AO=CO=B0,∠BOC=∠EOF=90°，∠ABC=∠ACO=45° .∠OCE=∠OBF=180°-45°=135°，∠COE+∠EOB=∠EOB+∠BOF=90°， .∠COE=∠BOF, .ACOE≌△BOF, ∴.OE=OF=4. S.mor=xOE-OF-8 B 17.(1)∠ACP=∠DBC,理由如下： :∠ACB=90°，CP⊥BD】 .∠ACP+∠PCB=∠DBC+∠PCB=90°， ∴.∠ACP=∠DBC: (2)证明：过点A作AH⊥CD交CD于点H,如图， P D H AC=AP .CH-HP-CP, 2 在△ACH和△CBD中 ∠AHC=∠CDB=90° ∠ACP=∠DBC AC=BC △ACH≌ACBD(AAS) .'CH=BD. 则CP=2BD； (3)解：过点A作AM⊥CP交CP的延长线于点M,如图， M D B 同理可证△ACM2ACBD, 则AM=CD,CM=BD. 设CD=2x, .DE=CD .DE=CD=2x, .DE_2 :BE3’ .BE=3x, .AM=DE CD=2x,CM=BD=DE+BE=5x, 3 :△CDE的面积为2， 9 15 △CBE的面积为4，ACDB的面积为4， 15 则。ACM的面积为4， 在△AFM和△EFD中 [∠AFM=∠EFD ∠AMF=∠EDF=90° AM=ED △AFM≌AEFD(AAS) .FM=FD, 则u=D-oM-CM-cDj)-sx-2刘- 5.CD.DE 2 2,即x23 4 .S.me-FD-DE-xxx2x-3x 1 13 22 2 89 9 SaFw=SFDe=。 89 15921 则S4cr=Sc4w-S.F4w= 488· 18.()证明：：EF‖AC, .∠CAD=∠EFD, :D为线段CE中点， ∴CD=ED .∠ADC=∠FDE, 在△ADC与△FDE中， 「∠CAD=∠EFD ∠ADC=∠FDE CD=ED :△HDC≌aFDE(iMS) ..AC=EF: (2)证明：连接GF,如图， 由(1)可知，AC=EF, ,在△ABC中，AB=AC, .AB=EF, :△ADC≌aFDE(AMS) .AD=DF,即D为线段AF中点， :DG⊥AD ∴.DG为AF的垂直平分线， .AG=FG 1 ∠GFA=∠PMD=20, :∠BAC=a' ∠PAD= 20, 1 .∠BAG+∠CAD=a 1 2s 1 ∠B1G=20-∠CMD, .∠CAD=∠EFD A∠EFG=∠GFA-∠EFD=a-∠EFD=a-∠CAD 2 .∠BAG=∠EFG. 在△ABG与△FEG中， 「AB=EF ∠BAG=∠EFG AG=FG △ABG≌△FEG(SAS) .'BG=EG, (3)O证明：过点A作AH⊥BC交BC于点H,如图， HD MC :AH⊥BC,FM⊥BC .∠AHC=∠FME=90° EF I AC, ∠ACH=∠FEM, AC=EF, 在△AHC与△FME中， ∠AHC=∠FME=90° ∠ACH=∠FEM AC=EF △AHC≌△FME(AAS) .HC=EM. 在△ABC中，AB=AC,AH⊥BC」 .H为线段BC中点， :HC=ABc 2 .EM-BC: 2 ②解：：BC=6,△ABC的面积为6， 1 :.Sx=×4×8C=6,即2X4H×6=6,可得AH=2 1 2 1 :EM=2BC=2x6=3, .BE+CM=6-3=3, ,△AEM周长为AE+EM+AM=AE+AM+3, 若使△AEM周长最小，则只需AE+AM最小， 平移AE至A'M,使点E与点M重合，点A与点A'重合，连接AA,A'C, 作点A关于BC的对称点为点A,连接AA交BC于点M',连接AM,如图， 由平移的性质可得AM=AE,A'M‖AE, 由对称的性质可得AH=AH=2,AM=AM, AE+AM=A'M+AM=A'M+A'M, 若使AE+AM最小，则需AM+AM最小， 则点A',点M点A三点共线时，AM+AM最小，为A'A, 由①可知HC=EM, .HM+CM=EH +HM, .CM=EH, .A'M IAE, .∠AEH=∠A'MC, 在△AHE与△A'CM中， AE=A'M ∠AEH=∠A'MC EH=CM △AHE≌△A'CM(SAS) .AC=AH=2,∠A'CM=∠AHE=90° .AH=A'C, ,∠AHM'=∠ACM'=90°，∠AMH=∠AMC. .在△AHM'与△A'CM'中， ∠AMH=∠AM'C ∠AHM'=∠ACM'=90° AH=A'C :△AM'≌aACM'(AaS) .HM'=CM', 点M'为HC的中点， :.CM'-THC-18C= 2 4 2 .BE+CM=3,即BE+CM'=3, BE=3-3、3 22 故当△4EM周长最小时，线段BE的值为2