15.3.2 等边三角形- 【重点班提分练】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练习册（人教版2024）

重点班提分练数学八年级上册 15.3.2等边三角形 批 重点题讲解 改 练基础 知识点2)等边三角形的判定 4.如图，下列条件能判定△ABC是等边三角 知识点)等边三角形的定义及其性质 形的是 () 1.如图，直线l∥m,等边三角形ABC的两个 顶点B,C分别落在直线l,m上.若∠ACD= 39°，则∠ABE的度数是 E 4 A.∠B=∠C D m B.AD⊥BC,BD=CD A.45° B.39° C.AD⊥BC,BD=CD,∠BAD=30° C.29° D.21° D.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD 2.如图，在等边三角形ABC中，D是BC边上 5.如图，在△ABC中，AB=BC,∠ABC=120°， 一点，DE⊥AC于点E.若∠ADE=45°，则 BE⊥AC于点D,且DE=DB,则△CEB是 ∠ADC的度数为 三角形. B B D 6.如图，在△ABC中，DE∥BC,∠EDF=∠C 3.如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC,点E (1)求证：∠BDF=∠A; 在BC的延长线上，且∠EDC=30°.求证： (2)若∠A=60°，DF平分∠BDE,请判断 △BDE是等腰三角形 △ABC的形状. 44 第十五章轴对称 知识点3)含30°角的直角三角形的性质 练培优 7.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°， P是BC上一点，且∠BAP=90°，PC= 题型等边三角形性质与判定的综合应用 4cm,则PB的长为 () 10.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC= 120°，AD⊥BC,垂足为G,且AD=AB, ∠EDF=60°，其两边分别交边AB,AC于 P 点E,F. A.1 cm B.2 cm (1)求证：△ABD是等边三角形； C.4 cm D.8 cm (2)求证：BE=AF. 8.在△ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC,等边 三角形ECG按如图所示的方式摆放，点G在 BC边上，EG交AD于点F.若BC=7,EF=2, 则等边三角形ECG的边长为 BG D 9.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC, ∠BAC=120°，线段AB的垂直平分线分别 11.如图，P为等边三角形ABC外一点，AH垂 交BC于点D,交CA的延长线于点E,连 直平分PC于点H,∠BAP的平分线交PC 接BE. 于点D,连接BD,BP. (1)判断△ABE的形状，并说明理由； (1)求证：DP=DB; (2)求BD:DC的值， (2)求证：DA+DB=DC 45.∠ADB=∠CDB=90°， .△ABD≌△CBD(AAS). (2)解：.△ABD≌△CBD, AD=CD=AC=2,BA=BC=5,LABD= ∠CBD. DE//BC, .∴.∠EDB=∠CBD, ∴.∠ABD=∠EDB, ∴.BE=DE, .AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD=5+2=7, .△AED的周长为7. 8.C.AB=AC,AM是BC边上的中线，∴.AM 垂直平分BC.:点N在AM上，∴.NB=NC. 9.110°.在△ABC中，AB=AC,AD是△ABC 的中线，AD是△ABC的角平分线.：∠BAC= 1 80°，.∠DAC=7LBAC=40°：AE=AD, 六∠A0=∠AD,∠AD=号(180- LDAC)=2×(180-40)=70,∠DBC= 180°-∠AED=180°-70°=110°. 10.证明：：AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB, DF⊥AC, ∴.DE=DF,∠AED=∠AFD=90°， 在Rt△AED和Rt△AFD中， [AD=AD, DE=DF, ∴.Rt△AED≌Rt△AFD(HL), .∴.AE=AF. :AD是∠BAC的平分线， .AD垂直平分EF 15.3.2等边三角形 1.D如图，过点A作AF∥亿. B 2 ,直线L∥m,.AF∥m.△ABC是等边三角 形，∴.∠BAC=60°.AF∥m,.∠ACD= ∠CAF.LACD=39°，∴.LCAF=39°， ∴.∠BAF=∠BAC-∠CAF=60°-39°=21°. :AF∥L,.∠ABE=∠BAF=21°. 2.75°DE⊥AC,∴.∠DEC=90°.：△ABC是 等边三角形，∴.∠C=60°，∴.∠EDC=90°- ∠C=30°，∴.∠ADC=∠ADE+∠EDC=75°. 3.证明：△ABC是等边三角形，BD⊥AC, ∴.∠ABC=∠BCA=60°， ·∠DBC=2∠ABC=30° .∵∠EDC=30°， .∴.∠E=∠ACB-∠EDC=30°， ∴.∠DBC=∠E=30°， ∴.BD=DE, ∴.△BDE是等腰三角形 4.CA.∠B=∠C,只能说明△ABC是等腰三 角形，该选项不符合题意；B.AD⊥BC,BD= CD,只能说明△ABC是等腰三角形，该选项 不符合题意；C.AD⊥BC,BD=CD,∴.AB= AC,∴.△ABC是等腰三角形，AD平分 ∠BAC.,∠BAD=30°，∴.∠BAC=2∠BAD= 60°，∴.△ABC是等边三角形，该选项符合题 意；D.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,只能说明 △ABC是等腰三角形，该选项不符合题意. 5.等边：在△ABC中，AB=BC,∠ABC= 120°，BE LAC-于点D,∠CBE=7∠ABC= 60°.DE=DB,∴AC垂直平分BE,∴.CE= BC.又∠CBE=60°，∴.△CEB是等边三角形. 6.（1)证明：DE∥BC, ∴.∠AED=∠C. .∠EDF=∠C, ∴.∠AED=∠EDF, ∴.DF∥AC, ∴.∠BDF=∠A. (2)解：∠A=60°， ∴.∠BDF=∠A=60. .DF平分∠BDE,∠EDF=∠C, ∴.∠BDF=∠EDF=∠C=60°. ∴.∠B=180°-∠A-∠C=180°-60°-60°=60°， ∴.∠A=∠B=∠C=60°， ∴.△ABC是等边三角形 7.D.AB=AC,∠BAC=120°，∴.∠B=∠C= 2(180-∠BAC)=302.∠BP=90e. ∴.PB=2AP,∠PAC=∠BAC-∠BAP=30°= ∠C,∴.PA=PC=4cm,∴.PB=8cm. 8.5设DG=x,:AB=AC,AD平分∠BAC, .CD=BD = 2BC=3.5,∠ADB=909 :·△ECG是等边三角形，∴.EG=CG,LEGC= 60°，.∠DFG=90°-∠EGC=30°，∴.FG= 2DG=2x..EG=CG,∴.EF+FG=CD+DG,即 2+2x=3.5+x,解得x=1.5,∴.CG=5,即等边 三角形ECG的边长为5. 9.解：(1)△ABE是等边三角形，理由如下： DE是线段AB的垂直平分线， ∴.EB=EA. .·∠BAC=120°， .∠EAB=180°-∠BAC=60°， ,∴.△ABE是等边三角形. (2)如图，设DE交AB于点F. F B D .AB=AC,∠BAC=120°， ∠ABC=∠C=2(180-LBAC)=30° DE是线段AB的垂直平分线， ∴.∠BFD=90°， ∴.∠FDB=90°-∠ABC=90°-30°=60°. .∵∠C=30°， ∴.∠CED=∠EDB-∠C=30°， .∠CED=∠C, ∴.ED=DC. 3 ,△ABE是等边三角形，DE⊥AB, ∴.ED平分LAEB, ∠BED=24A68=7×60=30, 1 ∴.∠EBD=180°-∠BED-∠EDB=90°. 在Rt△EBD中，∠BED=30°， BD=D,即8D=0C, 80:0c=2 10.证明：(1)：AB=AC,AD⊥BC,∠BAC=120°， ∴.AD平分∠BAC, ·∠BAD=LDAC=2∠BAC=60 AD=AB, .△ABD是等边三角形 (2)△ABD是等边三角形， ∴.∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD. .·∠EDF=60°， ∴.∠ADB=∠EDF, ∴.∠ADB-∠ADE=∠EDF-∠ADE, ∠BDE=∠ADF. 在△BDE与△ADF中， LDBE=∠DAF=60°， BD=AD, L∠BDE=∠ADF, ∴.△BDE≌△ADF(ASA), ∴.BE=AF. 11.证明：(1)：AH是PC的垂直平分线，△ABC 是等边三角形， ∴.PA=AC=AB. .AD平分∠BAP, ∴.∠PAD=∠BAD. rPA=BA, 在△PAD和△BAD中，∠PAD=∠BAD, LAD=AD, ·.△PAD≌△BAD(SAS), ∴.DP=DB. (2)如图，在PC上截取CQ=DP,连接AQ. .AP=AC, ∴.∠APD=∠ACQ. rAP=AC, 在△APD和△ACQ中，{∠APD=∠ACQ, PD=CQ, .△APD≌△ACQ(SAS), ∴.AD=AQ,∠PAD=∠CAQ, ∴.∠BAC=∠CAQ+∠BAQ=∠PAD+∠BAQ= ∠BAD+∠BAQ=∠DAQ=60°， ∴.△ADQ为等边三角形， ∴.AD=DQ, .CD=DQ+CQ=AD+DP=AD+DB. 易错重难提升专练 1.解：当∠B为等腰三角形ABC的顶角时，此时 ∠A=∠C=180°-LB_180°-50 2 =65°； 2 当∠B为等腰三角形ABC的底角时，此时另 一底角为50°，顶角为180°-50°-50°=80°. 综上所述，另外两个角分别是65°，65°或 50°，80°. 2.解：当6是腰长时，等腰三角形的三边长分别 为6,6,5，能组成三角形，周长=6+6+5=17； 当6是底边长时，等腰三角形的三边长分别 为6,5,5，能组成三角形，周长=6+5+5=16. 综上所述，这个等腰三角形的周长为17或16. 3.解：在等腰三角形ABC中，AB=AC,BD为腰 AC上的高，∠ABD=40° 当BD在△ABC内部时，如图1. A B 图1 …31 BD为高， ∴.∠ADB=90°， ∴.∠BAD=90°-∠ABD=90°-40°=50. AB=AC, 1 ∠ABG=∠C=)(180°-∠BAD (180°-50°)=65°. 当BD在△ABC外部时，如图2. D 图2 BD为高， ∴.∠ADB=90°， ∴.∠BAD=90°-∠ABD=90°-40°=50°. AB=AC, ∴.∠ABC=∠C. .∠BAD=∠ABC+∠C, 1 ·LC=2∠BAD=250 综上所述，这个等腰三角形的底角的度数为 65或25°. 4.解：(1)设当点M,N运动xs时，M,N两点 重合， 则x×1+12=2x, 解得x=12, 即当点M,N运动12s时，M,N两点重合. (2)如图1，设当点M,N运动ts时，可得到 等边三角形AMN,此时AM=t×1=t,AN=AB BN=12-2t. M 图1 ,△AMN是等边三角形， .AM=AN,即t=12-2t, 解得t=4,