13.1.2 直角三角形的判定 课件2026-2027学年华东师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的逆定理，通过古埃及人结绳画直角的情境导入，引导学生经历“算、画、量、议”探究活动，结合定理证明及与勾股定理的对比，构建从具体实例到抽象定理的学习支架。 其亮点在于以现实情境激发数学眼光，通过动手操作与逻辑推理培养数学思维，如三组勾股数验证及SSS全等证明定理，勾股数归纳体现数学语言表达。帮助学生提升探究与推理能力，为教师提供结构化教学资源。

第13章 勾股定理 13.1 勾股定理及其逆定理 13.1.2.直角三角形的判定 【探究1】勾股定理的逆定理 探究与应用 【情境导入】 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) 你知道这是什么道理吗? 古埃及人曾经用下面的方法画直角： 他们用13个等距离的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形,其直角在第4个结处. 别着急 (authorId_208376095) - 设疑引起下文,激发学生的学习兴趣,为学生进一步学习埋下伏笔. 活动一：探究勾股定理的逆定理 问题1 (1)算一算：通过计算发现数组3、4、5之间的数量关系为_____. (2)画一画：画△ABC，使△ABC的三边长分别为3 cm、4 cm、5 cm. (3)量一量：用量角器度量所画三角形的3个内角，看有无直角. (4)议一议：三角形三边的数量关系与三角形形状特征有什么关系？ 由三条边的数量关系32＋42＝52，可得△ABC是直角三角形，且长为 5 cm的边所对的角是直角. 高效课堂 3 【探究1】勾股定理的逆定理 探究与应用 【试一试】 下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c: ①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17. 【思考】 1.这三组数都满足 a2+b2=c2吗？ 2.分别以每组数为三边长作三角形； 3.用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？ 4.通过上面的探究你发现了什么？用一句话概括，和你的同桌交流一下. 练一练：再画三个三角形，使它们的三边长分别为 ①a＝4 cm，b＝6 cm，c＝8 cm； ②a＝6 cm，b＝8 cm，c＝10 cm； ③a＝5 cm，b＝12 cm，c＝13 cm. 用量角器度量所画三角形的3个内角，看有无直角. ①中无直角，②③中有直角. 高效课堂 5 已知：如图①，在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，a2＋b2＝c2. 求证：∠C＝90°. 证明 如图②，作△A'B'C'，使∠C'＝90°，A'C'＝b，B'C'＝a， 则 A'B' 2＝a2＋b2＝c2，即A'B'＝c. 在△ABC和△A'B'C'中， ∵BC＝a＝B'C'，AC＝b＝A'C'，AB＝c＝A'B'， ∴△ABC≌△A'B'C'，∴∠C＝∠C'＝90°. 高效课堂 6 【探究1】勾股定理的逆定理 探究与应用 【实验结果】： ① 5,12,13满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形; ② 7,24,25满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形; ③ 8,15,17满足a2+b2=c2 ,可以构成直角三角形. 【探究1】勾股定理的逆定理 【思考】 探究与应用 从刚才的分组实验，有什么样的结论发现吗？ 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 有同学认为测量结果可能有误差,不同意这个发现.你觉得这个发现正确吗?你能给出一个更有说服力的理由吗? 这个命题的条件和结论分别是什么?请画出图形，结合图形写出已知和求证；怎样证明？和你的同桌交流一下. 归纳： 通过前面的学习，得到证明三角形是直角三角形的一种方法. 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角. 高效课堂 9 想一想：勾股定理的逆定理与勾股定理之间有什么区别和联系？ 勾股定理是通过“形”的状态来反映“数”的关系，而勾股定理的逆定理是通过“数”来反映“形”的状态，两者关系如下表所示： 高效课堂 10 【探究1】勾股定理的逆定理 探究与应用 【验证】 已知：如图，在△ABC中，AB=c, BC=a, AC=b，a²+b²=c²， 求证：∠C=90°. 证明：如图，作△A'B′C′,使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a， 则A′B′²=a²+b²=c²，即A′B′=c. 在△ABC和△A′B′C′中， ∵BC=a=B′C′， AC=b=A′C′， AB=c=A′B′， ∴△ABC≌△A′B′C′. ∴∠C=∠C′=90°. B′ A B C A′ C′ 【探究1】勾股定理的逆定理 探究与应用 【归纳总结】 如果三角形的三边长a、b、c有关系a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角. A B C a b c 几何语言： ∵ ∴ ∠C=90° 勾股定理的逆定理 练习： 判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形.若是，请指出哪个角是直角. (1)在△ABC中，AB＝6，BC＝10，CA＝8； (2)在△ABC中，AB＝52，BC＝42，CA＝32. 高效课堂 13 规律总结： 在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最长边后，再验证两条较短边的平方和与最长边的平方之间的关系，进而作出判断. 高效课堂 14 【探究1】勾股定理的逆定理 探究与应用 1.勾股定理与勾股定理的逆定理的区别：勾股定理是已知三角形是直角三角形，然后利用三边关系解决问题，而勾股定理的逆定理则是根据三角形三边的关系判断一个三角形是否是一个直角三角形. 2.勾股定理与勾股定理的逆定理二者是互逆命题，也是互逆定理. 活动二：拓展与应用 例 在△ABC中，AB＝n2－1，BC＝2n，AC＝n2＋1(n为大于1的整数).问：△ABC是直角三角形吗？ 若是，哪一条边所对的角是直角？ 解 ∵AB＝n2－1，BC＝2n，AC＝n2＋1(n为大于1的整数)， ∴AC＞AB.AC－BC＝n2＋1－2n＝(n－1)2. ∵n＞1，∴(n－1)2＞0，∴AC＞BC，即AC是最长边. ∵AB2＋BC2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1＝(n2＋1)2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，边AC所对的角是直角. 高效课堂 16 【探究1】勾股定理的逆定理 【应用】 探究与应用 例1 在△ABC中，AB=n²-1，BC=2n，AC=n²+1（n为大于1的整数）.问：△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由. 解：∵AB²+BC²=(n²-1)²+(2n)² =n4 -2n²+1+4n² =n4 +2n²+1 =(n²+1)² =AC²， ∴△ABC直角三角形，边AC所对的角是直角. 为什么选择AB2 + BC2 ？AB、BC、CA的大小关系是怎样的？ 归纳：判断一个三角形是不是直角三角形常用的方法： (1)利用定义.如果有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形.当题目中的条件与角有关时，常用这个方法. (2)利用勾股定理的逆定理.当已知三边的长或三边之间的关系时，常用此方法.在应用这个方法时，要注意找出哪条边是最长边，再验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方. (3)能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.例如：3、4、5，6、8、10，n2－1、2n、n2＋1(n为大于1的整数)等都是勾股数. 高效课堂 18 【探究1】勾股定理的逆定理 【方法指导】 探究与应用 根据勾股定理的逆定理, 判断一个三角形是不是直角三角形, 只要看两条较短边长的平方和是否等于最长边长的平方. 1．在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝40°，则∠C的度数为( ) A．35° B．40° C．45° D．50° 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝2∠B，则∠A＝( ) A．30° B．45° C．60° D．70° C D 课堂评价 4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，D是BC延长线上一点，∠ACD＝130°，则∠A等于　 　度．  3．一个三角形的三个内角的度数的比为1∶2∶3，则此三角形是( ) A．锐角三角形　 B．钝角三角形　 C．等边三角形　 D．直角三角形 　40　 D 【探究2】勾股数 【概念】 探究与应用 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 常见的勾股数有：3，4，5；5，12，13； 6，8，10； 7，24，25； 8，15，17；9，40，41；…. 【探究2】勾股数 探究与应用 (1)勾股数有无数组； (2)一组勾股数中各数的相同正整数倍得到一组新的勾股数． 如3，4，5是勾股数，则6，8，10和 9，12，15也是勾股数； 即如果a，b，c是一组勾股数，那么na，nb，nc(n为大于1的正整数)也是一组勾股数． 6．如图，已知DF⊥AB于点F，且∠A＝45°，∠D＝30°，求∠ACB的度数． 解：∵DF⊥AB， ∴∠BFD＝90°． ∵∠D＝30°， ∴∠B＝180°－∠BFD－∠D＝60°． ∵∠A＝45°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝75°． 7．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝42°，∠DAE＝18°，求∠C的度数． 解：∵AD是BC边上的高，∠B＝42°， ∴∠BAD＝48°． ∵∠DAE＝18°， ∴∠BAE＝∠BAD－∠DAE＝30°． ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠BAC＝2∠BAE＝60°， ∴∠C＝180°－∠B－∠BAC＝78°． 【探究2】勾股数 【应用】 探究与应用 例2 下列各组数是勾股数的是( ) A.6，8，10 B.7，8，9 C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132 A 课堂小结 课堂小结与检测 直角三角形的判定 如果三角形的三边长a,b,c有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 内容 作用 从三边数量关系判定一个三角形是否是直角三角形. 勾股数 满足a2+b2=c2的三个正整数. 通过本节课的学习，你学到了哪些内容？ 学习了本节课你有何感想. 课堂总结 28 $