13.1.2 直角三角形的判定（课件）-2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦直角三角形的判定，核心为勾股定理逆定理。通过古埃及人用绳子打结得到直角的情境导入，承接勾股定理正向应用，构建“计算—判定”完整知识体系，为学生提供从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于注重数学思维与数学眼光的培养，通过“猜想—验证”探究活动（如试作三边长为3、4、5等的三角形）发展推理意识，结合勾股数拓展及综合证明题提升运算能力。课堂小结系统梳理逆定理与勾股数，帮助学生夯实基础，教师可直接用于教学，提高课堂效率。

华东师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月31日 13.1.2 直角三角形的判定 第13章 勾股定理 第13章 勾股定理 13.1.2 直角三角形的判定 同步练习题（含答案解析） 本次练习题围绕13.1.2直角三角形的判定核心知识点编写，承接勾股定理正向应用，是勾股定理的逆向运用，形成“计算—判定”完整考点体系。重点考查勾股定理逆定理的理解与运用、勾股数判断、利用三边关系判定直角三角形、区分最大边与平方和关系、复杂边长化简判定、结合三角形周长面积判断三角形形状等高频考点。题型搭配选择、填空、解答证明题，难度循序渐进，贴合八年级几何推理节奏，帮助学生掌握正向定理与逆定理的区别，突破找错最大边、公式套用颠倒、无法快速识别勾股数等易错问题。 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 判定直角三角形的核心逆定理是（） A. 两角互余的三角形是直角三角形 B. 两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形 C. 有一个角是直角的三角形是直角三角形 D. 三边比例相等的三角形是直角三角形 2. 已知三角形三边长为6，8，10，则该三角形是（） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 3. 判断三角形是否为直角三角形，首先需要确定的是（） A. 最短边 B. 最长边 C. 周长大小 D. 面积大小 4. 下列各组数中，不能构成直角三角形的是（） A. 5，12，13 B. 7，24，25 C. 6，7，8 D. 9，12，15 5. 若三角形三边长a、b、c满足$$a^2+b^2=c^2$$，则直角为（） A. ∠A B. ∠B C. ∠C D. 无法确定 二、填空题（每题3分，共15分） 1. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足________，那么这个三角形是直角三角形。 2. 利用逆定理判定直角三角形时，c必须为三角形的________边。 3. 满足勾股定理的三个正整数，称为________。 4. 三边长为9，40，41的三角形________（填“是”或“不是”）直角三角形。 5. 勾股定理是已知直角三角形求边长，逆定理是已知边长________直角三角形。 三、解答题（共20分） 1. 判断正误（对的打√，错的打×）（8分） （1）任意两边平方和等于第三边平方，即可判定直角三角形。（） （2）勾股数的正整数倍仍然是勾股数。（） （3）最长边的平方等于另外两边平方和，三角形为直角三角形。（） （4）三边为1，2，3的三角形是直角三角形。（） 2. 基础判定题（6分） 已知三角形三边长为12，16，20，判断该三角形是否为直角三角形。 3. 综合证明题（6分） 已知三角形ABC三边长满足$$(a-3)^2+(b-4)^2+(c-5)^2=0$$，求证：△ABC是直角三角形。 四、参考答案与解析 一、选择题 1. B 解析：勾股逆定理核心：三边满足两边平方和等于最长边平方，可判定直角三角形。 2. B 解析：$$6^2+8^2=36+64=100=10^2$$，满足逆定理，为直角三角形。 3. B 解析：必须锁定最长边，验证最长边平方是否等于另外两边平方和。 4. C 解析：$$6^2+7^2=85 eq64=8^2$$，不满足直角三角形判定条件。 5. C 解析：斜边c对应的角为直角，即∠C为直角。 二、填空题 1. $$a^2+b^2=c^2$$ 2. 最长 3. 勾股数 4. 是 5. 判定 三、解答题 1. 解：（1）× （2）√ （3）√ （4）× 2. 解：∵ 最长边为20， $$12^2+16^2=144+256=400$$，$$20^2=400$$， ∴ $$12^2+16^2=20^2$$，故此三角形为直角三角形。 3. 证明：∵ 平方数非负，$$(a-3)^2+(b-4)^2+(c-5)^2=0$$， ∴ $$a-3=0，b-4=0，c-5=0$$，即$$a=3，b=4，c=5$$。 ∵ $$3^2+4^2=9+16=25=5^2$$， ∴ △ABC是直角三角形。 核心易错总结：1. 判定直角三角形必须找最长边，只能验证“短边²+短边²=长边²”；2. 区分正反定理：直角三角形→三边关系（勾股定理），三边关系→直角三角形（逆定理）；3. 不可随意组合两边平方和判定，容易出现误判；4. 勾股数必须是正整数，小数、分数不属于勾股数；5. 多个平方和为0的题型，可利用非负性求边长，再判定三角形形状。 了解直角三角形的判定条件； 能够运用勾股数解决简单实际问题； 经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展数形结合的数学思想； 思考：同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗? 用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段,一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结,两个助手分别握住第4个结和第8个结,拉紧绳子就得到一个直角三角形, 其直角在第4个结处. 探究新知 在古埃及，没有三角板、圆规、量角器等作图工具，人们是怎样得到一个直角的呢？ 古埃及人曾经用下面的方法画直角： 将一根长绳打上等距离的13个结，然后如图那样用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角. 你知道这是什么道理吗？ 请同学们观察，这个三角形三边长分别为多少？ 3 4 5 这个三角形的三条边有什么关系吗？ 32+42=52 试作出三边长分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形： (1) a=3，b=4，c=5； (2) a=4，b=6，c=8； (3) a=6，b=8，c=10. 可以发现，按(1)、(3)所画的三角形都是直角三角形，最长边所对的角是直角；按(2)所画的三角形不是直角三角形. a2+b2=c2 猜想：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 验证猜想： 已知：如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a2+b2=c2. 求证：∠C=90°. C A B ∠C是直角 △ABC是直角三角形 构造两直角边分别为a，b 的Rt△A′B′C′ 证明△ABC≌△A′B′C′ C A B 证明：如图所示，作△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，则A′B′2=a2+b2=c2，即A′B′=c. C′ A′ B′ 在△ABC和△A′B′C′中， ∵BC = a = B′C′， AC = b = A′C′， AB = c = A′B′， ∴△ABC≌△A′B′C′. ∴∠C=∠C′=90°. 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角. C A B a c b 几何语言 ∵a2+b2=c2， ∴△ABC是直角三角形，∠C=90°. 注：两条较小边的平方和等于最长边的平方的三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角. 既学既练 判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形？ (1) a=7，b=25，c=24； (2) a=13，b=11，c=9. 分析：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方. 解：(1)最长边为25， ∵a2+c2=72+242=49+576=625， b2=252=625， ∴a2+c2=b2. ∴以7，25，24为边长的三角形是直角三角形. 既学既练 判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形？ (1) a=7，b=25，c=24； (2) a=13，b=11，c=9. 分析：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方. 解：(2)最长边为13， ∵b2+c2=112+92=121+81=202， a2=132=169， ∴b2+c2≠a2. ∴以13，11，9为边长的三角形不是直角三角形. 例4 在△ABC中，AB=n2−1，BC=2n，AC=n2+1（n为大于1的正整数）.问：△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由. 解：∵AB2+BC2=(n2−1)2+(2n)2 =n4−2n2+1+4n4 =n4+2n2+1 =(n2+1)2 ∴△ABC是直角三角形，边AC所对的角是直角. 想一想，为什么选择AB2+BC2？AB、BC、CA的大小关系是怎样的？ 能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数. 勾股数 常见勾股数： ①3，4，5；②6，8，10；③5，12，13；④8，15，17；⑤7，24，25. 勾股数拓展性质： 一组勾股数，都扩大相同倍数k（k为正整数），得到一组新数，这组数同样是勾股数. 如：3，4，5 扩大2倍 6，8，10 返回 1.四根小棒的长分别是5，9，12，13，从中任意选择三根小棒首尾相接，搭成边长如下的四个三角形，其中是直角三角形的是(　　) A．5，9，12 B．5，9，13 C．5，12，13 D．9，12，13 C 中考考法 15 返回 2. 下列由三条线段a，b，c构成的三角形(其内角分别为∠A，∠B，∠C)：①∠A＋∠B＝∠C；②a＝3k，b＝4k，c＝5k(k＞0)；③∠A∠B∠C＝345；④a＝m2＋1，b＝m2－1，c＝2m(m为大于1的整数)，其中能构成直角三角形的是(　　) A．①④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ B 中考考法 16 返回 3. 如图，在由小正方形组成的3×2网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，M，N均在格点上，点A，B，C，D中能与点M，N构成一个直角三角形的是(　　) A．点A B．点B C．点C D．点D D 中考考法 17 返回 4．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠A＝60°，BC＝10，CD＝8，则∠ADC的度数为______． 150° 【点拨】连结BD.∵AB＝AD＝6，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝6，∠ADB＝60°.∵BC＝10，CD＝8，∴BD2＋CD2＝62＋82＝100＝BC2，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝60°＋90°＝150°. 中考考法 18 5. 如图，把一块△ABC土地划出一个△ACD后，测得CD＝3米，AD＝4米，BC＝12米，AB＝13米，其中∠ACB＝90°. (1)判断△ACD的形状，并说明理由； 中考考法 19 5. 如图，把一块△ABC土地划出一个△ACD后，测得CD＝3米，AD＝4米，BC＝12米，AB＝13米，其中∠ACB＝90°. (2)求图中阴影部分的面积． 返回 中考考法 20 返回 C 中考考法 21 m 返回 中考考法 22 返回 8. 已知p，q均为质数，但满足5p2＋3q＝59，则以p＋3，1－p＋q，2p＋q－4为边长的三角形是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 B 中考考法 23 返回 B 中考考法 24 返回 135°或45° 10. 已知在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，平面内有一点D，连结CD，AD，若CD＝2, AD＝6，则∠BCD＝__________． 【点拨】分两种情况讨论，如图①和图②.∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，∴AC2＝42＋42＝32.又由题知CD2＝4，AD2＝36，∴AD2＝AC2＋CD2，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°.∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACB＝45°.故①∠BCD＝90°＋45°＝135°；②∠BCD＝90°－45°＝45°.综上，∠BCD＝135°或45°. 中考考法 25 课堂小结 直角三角形的判定 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形 勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数 【解】△ACD是直角三角形． 理由：∵∠ACB＝90°，BC＝12米，AB＝13米， ∴AC＝＝＝5(米)． 又∵CD＝3米，AD＝4米，∴AD2＋CD2＝25＝AC2， ∴△ACD是直角三角形，且∠ADC＝90°. 【解】阴影部分的面积＝AC×BC－AD×CD＝×5×12－×4×3＝24(平方米)． 6．下列各组数中，是勾股数的是(　　) A.，， B．5，6，7 C．8，15，17 D．0.6，0.8，1 7.勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c，a＝m2－，c＝m2＋，m是大于1的奇数，则b＝________(用含m的式子表示)． 【点拨】∵a，b，c是勾股数，其中a，b均小于c，a＝m2－，c＝m2＋，∴b2＝c2－a2＝－＝m4＋＋m2－(m4＋－m2)＝m2.又∵m是大于1的奇数，∴b＝m. 【点拨】∵5p2＋3q为奇数，∴p，q中为一奇一偶，而p，q均为质数，∴p，q中必有一个为2.若q＝2，则p2＝，不合题意，舍去；若p＝2，则q＝13，那么三边长分别为5，12，13.显然有52＋122＝132，∴以p＋3，1－p＋q，2p＋q－4为边长的三角形是直角三角形． 9.如图，在△ABC中，AB＝，AC＝12，BC＝6，将△ABC折叠，得到折痕DE，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则CE的长为(　　) A．4 B. C．5 D．3 $