13.1第4课时　反 证 法课件2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

该初中数学课件围绕“勾股定理”展开，聚焦反证法的引入与应用，从直角三角形判定问题出发，通过设问引导学生思考条件与结论的关系，逐步构建起“假设—推理—矛盾—结论”的逻辑链条，形成由具体到抽象的学习支架。 其亮点在于巧妙融合数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养，以例题为载体，突出几何直观与逻辑推理能力培养。例如在例4中，学生通过假设“没有内角≤60°”，推导出内角和大于180°的矛盾，体现严谨的数学思维；在课堂小结中提炼出反证法三步结构，强化模型意识与表达能力。这种教学设计既帮助学生建立清晰的证明思路，又提升教师组织探究式教学的专业水平。

13.1　勾股定理及其逆定理 第4课时　反 证 法 第13章　勾股定理 导入新课 如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,（a≤b≤c）有关系a2 +b2 =c2时，这个三角形一定是直角三角形吗？ c a b A C B 解析：由a2 +b2 ＝c2 ，根据勾股定理的逆定理可知∠C=90°，这个三角形一定是直角三角形. 复习引入 讲授新课 反证法 若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a,AC=b（a≤b≤c）,a2 +b2 ≠ c2”，请问这个三角形是否一定不是直角三角形呢？请说明理由. c a b A C B 探究： （1）假设它是一个直角三角形; （2）由勾股定理，一定有a2 +b2 ＝c2，与已知条件a2 +b2 ≠ c2矛盾； （3）因此假设不成立，即它不是一个直角三角形. 问题探究 3 这种证明方法与前面的证明方法不同，其步骤为：(1)先假设结论的反面是正确的; (2)然后通过逻辑推理，得出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾； (3)从而说明假设不成立，进而得出原结论正确。 探究发现 像这样的证明方法叫“反证法”. 例1 写出下列各结论的反面： （1）a∥b； （2）a≥0； （3）b是正数； （4）a⊥b. a<0 b是0或负数 a不垂直于b a不平行于b 典例精析 例2 在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠ ∠ C. A B C 证明：假设　　　　　， 则　　　　　（　　　　　 ） 这与　　　　　　　　　矛盾． 假设不成立． ∴　　　　　　　　． ∠B ＝ ∠C AB＝AC 等角对等边 已知AB≠AC ∠B ≠ ∠ C 小结： 反证法的步骤：假设结论的反面成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确 证明：假设a与b不止一个交点，不妨假设有两个交点A和A', 因为两点确定一条直线，即经过点A和A’的直线有且只有一 条，这与已知两条直线矛盾,假设不成立. 　 所以两条直线相交只有一个交点. 小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的基本事实、定理矛盾. 例3 求证：两条直线相交只有一个交点. 已知：如图，两条相交直线a，b. 求证：a与b只有一个交点. a b A ● A' ● 分析：想从已知条件“两条相交直线a，b”出发，经过推理，得出结论“a，b只有一个交点”是很困难的，因此可以考虑用反证法. 例4 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°. 已知：△ABC. 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 证明：假设　　　　　　　　　　　　　　　　　， 即　　　　　　　　　 　　　， ∴　　　　　　　　　　　　　 　　， 这与　　　　　　　　　　　矛盾．假设不成立． ∴　　　　　　　　　　　　　　　 　　． △ABC中没有一个内角小于或等于60° ∠A>60°,∠B>60°,∠C>60° 三角形的内角和为180° △ABC中至少有一个内角小于或等于60° 点拨：至少的反面是没有！ ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° 反证法 概念 课堂小结 反证法证明的思路：假设命题不成立→正确的推理,得出矛盾→肯定待定命题的结论. 证明步骤 1. 在△ABC中,已知AB=AC,求证:∠B<90°.运用反证法证明这个结论,第一步应先假设 (　A　) A. ∠B≥90° B. ∠B>90° C. ∠A>90° D. ∠A≥90° A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2. 用反证法证明一个命题,下列说法正确的是(　B　) A. 将结论与条件同时否定,推出矛盾 B. 肯定条件,否定结论,推出矛盾 C. 将被否定的结论当条件,经过推理得出的结论只与原题条件矛盾,才是反证法的正确运用 D. 将被否定的结论当条件,原题的条件不能当条件 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3. 用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角小于或等于45°”时,应先假设 　直角三角形中没有一个锐角小于或等于45°　.  4. 用反证法证明“一条线段只有一个中点”时,先假设线段AB有两个中点M、N,不妨设点M在点N的左边,那么AM<AN,这与 　AM =AN=　矛盾,所以一条线段只有一个中点.  直角三角形中没有一个锐角小于或等于45°　 AM=AN= AB　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5. 如图,直线a、b被直线c所截,∠1、∠2是同位角,且∠1≠∠2.求证:直线a不平行于直线b(用反证法证明). (第5题) 解:假设a∥b,则∠1=∠2,这与“∠1≠∠2”矛盾,∴ 假设不成立.∴ 直线a不平行于直线b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6. 用反证法证明“若五个正数的和等于1,则这五个正数中至少有一个正数大于或等于 ”时,应先假设这五个正数(　B　) A. 都大于 B. 都小于 C. 没有一个小于 D. 没有一个大于 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7. 用反证法证明“四边形的四个内角不能都是锐角”时,应先假设 　四边形的四个内角都是锐角　,通过推理会得出与 　四边形的内角和为360°　矛盾.  四边形的四个 内角都是锐角　 四边形的内角和为360°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8. 如图,在△ABC中,AB=AC,P是△ABC内部的一点,且∠APB≠∠APC. 求证:PB≠PC(用反证法证明). (第8题) 解:假设PB=PC. 在△ABP和△ACP中, ∴ △ABP≌△ACP(SSS). ∴ ∠APB=∠APC. 这与已知条件∠APB≠∠APC矛盾,∴ 假设不成立.∴ PB≠PC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9. ★在同一个三角形中,如果一边较大,那么它所对的角也较大,简称“大边对大角”.这是一个真命题,请用反证法证明“大角对大边”. 解:已知:在△ABC中,∠B>∠C. 求证:AC>AB. 证明:假设AC=AB或AC<AB. 若AC=AB,则∠B=∠C,这与“∠B>∠C”矛盾,∴ AC=AB不成立.若AC<AB,在AB上截取AD=AC,连结CD,则∠ACB>∠ACD=∠ADC>∠B,这与“∠B>∠ACB”矛盾,∴ AC<AB也不成立.∴ AC>AB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 $