预习手册13《3.4 相似三角形的性质》预习讲义 ·2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦相似三角形性质核心知识点，系统梳理从对应线段（高、中线、角平分线）比等于相似比，到周长比等于相似比、面积比等于相似比平方的递进关系，延伸至直角三角形射影定理（母子相似模型）及三角形重心定理（分中线2:1），构建完整知识支架。 资料通过模型化梳理（如射影定理“直角+斜高”模型）培养几何直观，分层例题与练习（基础选择到综合解答）提升推理能力，公式应用与几何语言结合强化模型意识。课中助教师突出重点难点，课后学生可通过经典例题与巩固训练查漏补缺，夯实知识。

数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册13 《第3章图形的相似第4节相似三角形的性质》预习讲义 一．学习目标 ( 1.掌握相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比值规律，熟记 “ 所有对应线段比=相似比 ” 。 2.熟练掌握相似三角形周长比、面积比公式，分清 “ 正比、平方比 ” 易错点。 3.理解直角三角形射影定理三大结论的推导与几何模型，会直接套用公式计算。 4.掌握三角形重心定理的比例性质（重心分中线2:1），掌握必考几何结论。 5.能区分线段比、周长比 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.相似三角形三大核心性质：对应线段比=相似比、周长比=相似比、面积比=相似比的平方。 2.射影定理三个等式结论的识记与直接应用。 3.重心分中线为 2:1 的比例性质。 （二） 难点】 1.面积比是相似比的平方，做题极易直接用边长比代替。 2.射影定理模型识别（直角三角形+斜边上的高），区分三条线段乘积式。 3.重心不仅分中线2:1，还涉及面积三等分、线段比例综合计算。 ) 三．知识梳理 （一）相似三角形对应线段的性质（必考基础） 1.性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 2.性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.特别说明：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. （二）相似三角形的周长之比、面积之比 1.周长比：相似三角形周长的比等于相似比 如图： ∽，则 由比例性质可得： 2.面积比：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图，∽，则分别作出与的高和，则 （3） 射影定理（直角母子相似，必考模型） 1.图形条件： Rt△ABC，∠ACB=90o，CD⊥AB,三个三角形两两相似：△ABC ∽ACD∽△CBD. 2.三条核心公式（可以直接写进答题） （1）直角边平方=斜边×自身在斜边上的射影 AC2=AD×AB BC2=BD×AB （2）斜边上的高的平方=两段射影的乘积 CD2=AD×BD （3）面积等积式：AC×BC=AB×CD 3.图形理解： 大直角三角形里面分出两个小直角三角形，也就是俗称的「母子相似模型」，凡是直角三角形作斜高，优先使用射影定理计算线段。 （四）三角形重心 1.三角形重心定义：三角形三条中线的交点，叫做重心（G点） 2.两大核心性质： （1）比例性质（最常用）：重心分任意一条中线，长度比=顶点段:底边段=2:1，如图：AG:GD=2:1 （2）面积性质：三条中线把整个三角形分割成6块面积完全相等的小三角形；重心分别连接三个顶点，得到三块面积相等的三角形。 3.几何语言： 若G是△ABC重心，AD为BC边上中线，则AG=2GD。 四．经典例题 1.（2024-2025·贵阳市南明区期末）△ABC∽△DEF，相似比为2:3，则这两个三角形对应角平分线的比为（ ） A. 4:9 B. 2:3 C. : D. 3:2 【答案】：B 【解析】：相似三角形所有对应线段（高、中线、角平分线）的比值都等于相似比，因此比值为2:3。 2.（2026·贵阳市云岩区一模）两个相似三角形的周长之比为1:2，那么它们的面积之比是（ ） A. 1:2 B. 1:4 C. 2:1 D. 1: 【答案】：B 【解析】：周长比等于相似比，可得相似比1:2；面积比等于相似比的平方，即1²:2²=1:4。 3.（2025·贵阳市花溪区期末）Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=2，AB=8，根据射影定理，AC的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 2 D. 8 【答案】：A 【解析】：由射影定理直角边平方=斜边×射影，AC2=AD·AB=2×8=16，解得AC=4。 4.（2026·贵阳市乌当区二模）G是△ABC的重心，AD为BC边上的中线，若GD=3，则AG的长度为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 1.5 【答案】：B 【解析】：三角形的重心分中线的比为顶点:底边=2:1，AG:GD=2:1，GD=3，所以AG=6。 5.（2025·贵阳市观山湖区期末）△ABC∽△A1B1C1，对应高的比是3:5，则两个三角形的周长比为______。 【答案】：3:5 【解析】：对应高之比等于相似比，周长之比同样等于相似比。 6.（2026·南明区二模）直角三角形斜边上的高把斜边分为1和4两段，则斜边上的高的长度是______。 【答案】：2 【解析】：依据射影定理，斜高的平方等于两段射影的乘积，CD2=1×4=4，所以CD=2。 7.（2025·云岩区期末）把一个三角形的各边长都扩大为原来的4倍，新三角形与原三角形的面积比为______。 【答案】：16:1 【解析】：边长扩大4倍，相似比为4:1，面积比等于相似比的平方，即16:1。 8.（2026·花溪区一模）△ABC的重心为G，三条中线将三角形分成6个小三角形，这六个小三角形的面积大小关系为______。 【答案】：全部相等 【解析】：三角形重心的面积性质，三条中线分割得到的六个小三角形面积完全相同。 9．如图，四边形ABCD为菱形，M为BC上一点，连接AM交对角线BD于点G，并且∠ABM=2∠BAM． （1）求证：AG=BG； （2）若点M为BC的中点，同时S△BMG=1，求三角形ADG的面积． 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD=∠CBD，∵∠ABM=2∠BAM， ∴∠ABD=∠BAM，∴AG=BG； （2）∵AD∥BC，∴△ADG∽△MBG，∴，∵点M为BC的中点， ∴=2，∴=4，∵S△BMG=1，∴S△ADG=4． 10．如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片．AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm．从这张硬纸片剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH．使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上．AD与HG的交点为M． （1）求证：； （2）求这个矩形EFGH的周长． 解：（1）证明：∵四边形EFGH为矩形，∴，∴∠AHG=∠ABC，又∵∠HAG=∠BAC， ∴△AHG∽△ABC，∴； （2）由（1）得：设HE=xcm，则MD=HE=xcm．∵AD=30cm，∴AM=（30﹣x）cm．∵HG=2HE，∴HG=（2x）cm，可得：， 解得：x=12，故HG=2x=24， 所以矩形EFGH的周长为：2×（12+24）=72（cm）．答：矩形EFGH的周长为72cm． 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024·贵阳市花溪区期中）△ABC和△A'B'C'相似，对应中线之比为3:4，则面积之比为（ ） A. 3:4 B. 9:16 C.:2 D. 4:3 【答案】：B 【解析】：中线之比等于相似比3:4，面积比是相似比的平方，9:16。 2.（2025·乌当区期末）G为△ABC重心，两条中线交于点G，下列线段比例正确的是（ ） A. AG:GD=1:2 B. AG:GD=2:1 C. AG:AD=2:3 D. B、C都正确 【答案】：D 【解析】：重心分中线2:1，AG=2GD，所以AG占整条中线AD的三分之二。 3.（2026·南明区一模）Rt△ABC，∠C=90°，CD⊥AB，下列式子不符合射影定理的是（ ） A. AC2=AD·AB B. BC2=BD·AB C. CD2=AD·BD D. AC·BC=AD·AB 【答案】：D 【解析】：D是错误结论，正确的等积式是AC·BC=AB·CD，其余三条都是射影定理标准公式。 4.（2025·观山湖区期末）两个相似三角形面积比是4:25，则它们的相似比与周长比为（ ） A. 2:5 B. 4:5 C. 16:625 D. 5:2 【答案】：A 【解析】：面积比开平方得到相似比2:5，周长比等于相似比。 5.（2026·云岩区二模）△ABC中，DE是中位线，△ADE与△ABC的对应高之比为（ ） A. 1:2 B. 1:4 C. 2:1 D. 1: 【答案】：A 【解析】：中位线平行于底边，相似比1:2，对应高之比等于相似比。 6.（2024·花溪区期末）△ABC的重心与三个顶点相连，分割成的三块三角形面积关系是（ ） A. 全部相等 B. 依次成1:2:3 C. 左边最大 D. 右边最大 【答案】：A 【解析】：重心的面积特性：重心连接三顶点，把原三角形平均分成面积相等的三块。 7．如图，点E是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点F，若，则的周长为（  ） A．21 B．28 C．34 D．42 【答案】：C 【解析】：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF，AB=CD，∴△ABE∽△DFE，∴， ∵，∴AE=6，AB=8，∴AD=AE+DE=6+3=9，∴的周长为：（8+9）×2=34 故选：C． 8．如图，在平行四边形中，F是上一点，且，连结并延长交的延长线于点G，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】：C 【解析】：根据题意，∵四边形是平行四边形，∴AB∥CD，∴△ABF∽△DGF，∴，∴，∴，∴， ∵AB∥CD，∴△ABE∽△CGE，∴；故选：C． （二）填空题 9.（2025·南明区期末）△MNP∽△M₁N₁P₁，周长比为5:7，则对应角平分线之比=____。 【答案】：5:7 【解析】：周长比等于相似比，对应角平分线的比等于相似比。 10.（2026·乌当区一模）直角三角形斜边长10，一条直角边在斜边上的射影长4，则这条直角边长为______。 【答案】：2 【解析】：由a2=4×10=40，所以a==2。 11.（2025·云岩区期末）相似三角形面积比9:1，那么对应边上的中线之比为______。 【答案】：3:1 【解析】：面积比开平方得相似比3:1，中线之比等于相似比。 12.（2026·观山湖区二模）△ABC的重心G，若中线BE=9，则BG=，GE=。 【答案】：6；3 【解析】：BG:GE=2:1，整条中线长9，分成6和3两段。 13.（2024·南明区期中）△ABC∽△DEF，AB=2，DE=6，若△ABC周长为4，则△DEF周长=__。 【答案】：12 【解析】：相似比1:3，周长比1:3，所以周长为12。 14.（2026·花溪区一模）Rt△ABC中，斜高CD=4，AD=2，则BD=______。 【答案】：8 【解析】：根据CD^2=AD·BD，16=2×BD，解得BD=8。 15．如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为__________． 【答案】 【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，∴∠FAE=∠FCD，又∵∠AFE=∠CFD，∴△AFE∽△CFD，∴∵AC=，∴=，故答案为：． 16．如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝__． 【答案】 【解析】∵M，N分别是DE，BC的中点，∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线，∵△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴＝()2＝，故答案为： ． （三）解答题 17．如图，在8×8的正方形网格中，△ABC是格点三角形，请按以下要求作图． (1)在图1中画出格点△EDP，使得△EDP∽△ABC，且面积比为； (2)在图2中将△ABC绕着某格点逆向时针旋转90°得到格点△PFG，其中C与P对应． 解：（1）如图，（案不唯一） （2）如图， 18．如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(点O，A，B，C，D在同一条直线上)，测得AC＝2 m，BD＝2.1 m．如果小明眼睛距地面高度BF，DG为1.6 m，试确定楼的高度OE． 解：设OE＝x m，OA＝a m，BC＝b m，则AB＝(2－b)m，CD＝(2.1－b)m，CO＝(2＋a)m. 由光的反射原理可知△AFB∽△AEO，△CDG∽△COE，∴＝，即＝；① ＝，即＝.②由①②得a＝20(2－b)．③将③代入①，得＝， 解得x＝32.答：楼的高度OE为32 m. 19．如图四边形ABCD为菱形，M为BC上一点，连结AM交对角线BD于点G，并且∠ABC＝2∠BAM (1)求证：AG＝BG． (2)若M为BC的中点，同时S△BGM＝1，求△ADG的面积． 解：（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴BD平分∠ABC.∴∠ABC＝2∠ABG. 又∵∠ABC＝2∠BAM，∴∠BAG＝∠ABG.∴AG＝BG. （2）∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，AD＝BC.∴∠GAD＝∠GMB.又∵∠AGD＝∠BGM，∴△BGM∽△DGA.∵M为BC的中点，∴BM＝BC＝AD.即△BGM与△DGA的相似比为1：2，∴S△BGM：S△ADG＝1：4.∵S△BGM＝1，∴S△ADG＝4. 20．如图，有一批呈直角三角形、大小相同的不锈钢片，已知∠C＝90°，AC＝12 cm，BC＝5 cm，要用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片，请你设计方案，并求出正方形不锈钢片的边长． 解：如图①，设正方形EFGH的边长为x cm，过点C作CD⊥AB于点D，交EH于点M.易知CM⊥EH.∵∠ACB＝90°，AC＝12 cm，BC＝5 cm，∴AB＝＝＝13(cm)．∵AB·CD＝AC·BC，∴CD＝＝＝(cm)．又∵EH∥AB，∴△CEH∽△CAB.∴＝，即＝，解得x＝.如图②，设正方形CEGH的边长为y cm.∵GH∥AC，∴△BHG∽△BCA.∴＝，即＝，解得y＝.∵＜，∴应按图②裁剪，这时正方形不锈钢片的面积最大，它的边长为 cm. 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2026·贵阳市云岩区中考三模）△ABC∽△DEF，对应高的比为2:5，下列说法错误的是（ ） A. 相似比为2:5 B. 周长比2:5 C. 面积比2:5 D. 对应中线比2:5 【答案】：C 【解析】：面积比应为相似比的平方，也就是4:25，其余选项全部符合相似三角形的性质。 2.（2025·贵阳市乌当区期末）G是△ABC三条中线的交点，下列结论错误的是（ ） A. AG:GD=2:1 B. 三个顶点与G连线，分成的三个三角形面积相等 C. 重心到三边距离之比等于三边长之比 D. AG=AD 【答案】：D 【解析】：AG=AD，不是二分之一，其余三条都是重心的正确性质。 3.（2026·花溪区一模）在直角三角形母子相似模型中，斜边AB=13，BD=9BC的长度为（ ） A. 3 B. 9 C. 13 D. 4 【答案】：A 【解析】：BC2=BD·AB=9×13，BC==3。 4.（2024·南明区期中）两个相似三角形，面积相差24，相似比1:2，则较小三角形面积是（ ） A. 8 B. 24 C. 12 D. 6 【答案】：A 【解析】：面积比1:4，设小面积为x，4x-x=24，x=8。 5.（2026·观山湖区三模）△ABC中，AD、BE为中线交于重心G，那么S△ABG:S△ABC=（） A. 1:3 B. 1:6 C. 2:3 D. 1:2 【答案】：A 【解析】：重心和顶点相连，把大三角形三等分，△ABG的面积占整体的三分之一。 6.（2026·乌当区二模）Rt△ABC，CD⊥AB，下列等式成立的是（ ） A. AC·BD=BC·AD B. AC2=AD·BD C. BC2=AD·AB D. CD·AB=AC·BC 【答案】：D 【解析】：这是直角三角形面积法的等积式，两条直角边的乘积等于斜边乘斜边上的高，其 7．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，∵BE平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBG，∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，∴CG＝CD+DG＝3k，∵AB∥DG，∴△ABE∽△CGE，∴，故选：C． 8．（2022·四川眉山·九年级期末）如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【解析】如图，延长CE，FG交于点N，过点N作，延长交于，∴∠CMN=∠DPN=90°，∴四边形CMPD是矩形，根据折叠，∠MCN=∠GCN，CD=CG，， ∵∠CMN=∠CGN=90°，CN=CN，∴，∴， 四边形为正方形，∴，∴，，，，设,则，在中，由可得解得，故选A． 9．如图，在矩形中，，，点E在边上，，垂足为F．若，则线段的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD=3，BC=AD=10，AD∥BC，∴∠AEB=∠DAF，∴△AFD∽△EBA，∴，∵DF=6，∴AF=，∴， ∴AE=5， ∴EF=AF-AE=8-5=3.故选B. 10．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积是3cm2，则四边形BDEC的面积为（   ） A．12cm2 B．9cm2 C．6cm2 D．3cm2 【答案】B 【解析】∵点D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE=BC，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC， ∴，∵S△ADE=3，∴S△ABC=12，∴四边形BDEC的面积=12-3=9(cm2)， 故选：B． （二）填空题 11.（2026·贵阳市南明区三模）△ABC∽△DEF，周长之比3:7，则对应边上的高之比为__。 【答案】：3:7 【解析】：周长比等于相似比，对应高的比值等于相似比。 12.（2025·云岩区期末）相似三角形面积之比25:16，则对应中线之比=______。 【答案】：5:4 【解析】：面积比开平方得到相似比5:4，中线之比等于相似比。 13.（2026·乌当区一模）Rt△ABC，斜边上的高CD=6，AD=4，则BD=______。 【答案】：9 【解析】：由CD2=AD·BD，36=4×BD，解得BD=9。 14.（2024·花溪区期中）△ABC的重心为G，中线CF=12，则GF=______。 【答案】：4 【解析】：重心分中线2:1，GF占整条中线的三分之一，12÷3=4。 15.（2026·观山湖区二模）△ADE∽△ABC，相似比为2:5，若△ADE周长为8，则△ABC周长=______。 【答案】：20 【解析】：周长之比等于相似比，8:x=2:5，解得x=20。 16．如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为__________． 【答案】． 【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，∴∠FAE=∠FCD，又∵∠AFE=∠CFD，∴△AFE∽△CFD∴∵AC=∴=，故答案为：． 17．如图，已知□ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，交AC于点F，且∠BCD＝60°，BC＝2CD，连结OE．下列结论，①OE//CD；②OE＝CD；③S□ABCD＝BD·CD；④AO＝2BO，⑤S△DOF＝2S△EOF．其中正确结论的序号是________； 【答案】①②③⑤ 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA=OC，AB∥CD，∴∠ADC+∠BCD=180°，∵∠BCD=60°，∴∠ADC=120°，∵DE平分∠ADC∴∠CDE=60°=∠BCD，∴△CDE是等边三角形，∴CE=CD，∵BC=2CD，∴BE=CE，又∵OA=OC，∴OE∥AB，OE=CD，∴OE∥CD；故①②正确；∵△DEC是等边三角形，∴∠DEC=60°=∠DBC+∠BDE，∵BE=EC=DE∴∠DBC=∠BDE=30°∴∠BDC=30°+60°=90°，∴BD⊥CD，∴S▱ABCD=BD•CD；故③正确；设AB=x，则AD=2x，则BD=x，∴OB=x，由勾股定理得：AO=，故④不正确；∵AD∥EC，∴,∴DF=2EF，∴S△DOF=2S△EOF．故⑤正确； 故答案为：①②③⑤． 18.如图，已知AD是△ABC的中线，G是△ABC的重心，联结BG并延长交边AC于点E，联结DE，那么S△ABC：S△GED的值为____． 【答案】．12 【解析】∵G是△ABC的重心∴点为的中点，点是的中点∴、为的中线，为中位线∴，∴∴ ∴，即由三角形面积公式得到∵点为的中点 ∴∵点是的中点∴ ∴故答案为12 19．如图，在正方形中，点O是对角线的中点，点P在线段上，连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接、，交于G，现有以下结论：①；②；③；④为定值；⑤．以上结论正确的有________（填入正确的序号即可）． 【答案】①②③⑤ 【解析】∵四边形是正方形，，∴∠APF=∠ABC=∠ADE=∠C=90°，AD=AB，∠ABD=45°，①∵，∴由四边形内角和可得，∴点A、B、F、P四点共圆，∴∠AFP=∠ABD=45°，∴△APF是等腰直角三角形，∴，故①正确；②把△AED绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，如图所示：∴DE=BH，∠DAE=∠BAH，∠HAE=90°，AH=AE，∴，∵AF=AF，∴△AEF≌△AHF（SAS），∴HF=EF，∵，∴，故②正确；③连接AC，在BP上截取BM=DP，连接AM，如图所示：∵点O是对角线的中点，∴OB=OD，，∴OP=OM，△AOB是等腰直角三角形，∴，由①可得点A、B、F、P四点共圆，∴ ∵，∴△AOP∽△ABF，∴，∴， ∵，∴，故③正确； ④过点A作AN⊥EF于点N，如图所示：由②可得∠AFB=∠AFN，∵∠ABF=∠ANF=90°，AF=AF，∴△ABF≌△ANF（AAS），∴AN=AB，若△AEF的面积为定值，则EF为定值，∵点P在线段上，∴的长不可能为定值，故④错误；⑤由③可得，∵∠AFB=∠AFN=∠APG，∠FAE=∠PAG，∴△APG∽△AFE，∴，∴，∴，∴，故⑤正确；综上所述：以上结论正确的有①②③⑤；故答案①②③⑤． 20．如图，点在直线上，点的横坐标为2，过点作，交x轴于点，以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长的交x轴于点；…；按照这个规律进行下去，则第n个正方形的边长为________（结果用含正整数n的代数式表示）． 【答案】 【解析】：点在直线上，点的横坐标为2，点纵坐标为1．分别过，作轴的垂线，分别交于，下图只显示一条；,类似证明可得，图上所有直角三角形都相似，有，不妨设第1个至第个正方形的边长分别用：来表示，通过计算得：，， 按照这个规律进行下去，则第n个正方形的边长为，故答案是． （三）解答题 21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）． （1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？ （2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由． 解：∵如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．∴根据勾股定理，得．（1）以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况： ①当△AMP∽△ABC时，，即，解得；②当△APM∽△ABC时，，即，解得t=0（不合题意，舍去）．综上所述，当时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似． （2）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．理由如下：假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．如图，过点P作PH⊥BC于点H．则PH∥AC， ∴，即．∴．∴ ．∵，∴S有最小值．当时，S最小值=． 答：当时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是． 22．在矩形ABCD中E为DC边上一点，把沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F． （1）求证：； （2）若AB＝2，AD＝4，求EC的长． 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴，由翻折的性质得：，∴，∴， 在和中，，∴； （2）设，由翻折的性质得：，∴， ∵四边形ABCD是矩形，，∴，由（1）可知，， ∴，即，解得，即． 23．在正方形ABCD中，P为AB边上一点，将△BCP沿CP折叠，得到△FCP． （1）如图1，延长PF交AD于E，求证：EF=ED； （2）如图2，DF，CP的延长线交于点G，求的值． 解：（1）如图1，连接CE，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠B=∠D=90°．∵△PBC和△FPC关于PC对称，∴BC=CF，∠B=∠PFC=90°．∴∠EFC=90°．∴∠EFC=∠D=90°，CF=CD．∵CE=CE，∴Rt△EFC≌Rt△DFC（HL）．∴EF=ED． （2）如图2，连接BG、BF、BD，作CH⊥DF，垂足为H．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD．∵CH⊥DF，∴∠HCF=，∵△PBC和△FPC关于PC对称，∴BC=CF，∠FCG=∠BCG．∴EB⊥CG．又∵CG=CG，∴△CFG≌△CBG．∴GF=GB．∵∠HCF=，∠FCG=∠BCG= ∴∠HCK==45°．∴∠PFH=135°．∴∠GFB=45°．∴∠GBF=45°．∴△GBF是等腰直角三角形．∴．∵∠ABD=45°，∴∠GBA=∠FBD．∵， ∴△BGA∽△FBD．∴． 24．如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE （1）[发现]：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间的数量关系是____；位置关系是___； （2）[探究]：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，猜想DG与BE的数量关系与位置关系，并说明理由； （3） [应用]：在（2）情况下，连结GE（点E在AB上方），若GE//AB，且AB＝，AE＝1，求线段DG的长 解：（1）①∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，在△ABE和△ADG中，AB＝AD，∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴BE＝DG； ②如图，延长BE交AD于Q，交DG于H，由①知，△ABE≌△ADG，∴∠ABE＝∠ADG， ∵∠AQB＋∠ABE＝90°，∴∠AQB＋∠ADG＝90°，∵∠AQB＝∠DQH，∴∠DQH＋∠ADG90°， ∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG，故答案为：BE＝DG，BE⊥DG； （2）如图，延长BE交AD于I，交DG于H，∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形， ∴∠BAD＝∠EAG，∴∠BAE＝∠DAG，∵AD＝2AB，AG＝2AE，∴，∴△ABE∽△ADG，∴∠ABE＝∠ADG，，即： DG＝2 BE，∵∠AIB＋∠ABE＝90°， ∴∠AIB＋∠ADG＝90°，∵∠AIB＝∠DIH，∴∠DIH＋∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG； （3）如图3，（为了说明点B，E，F在同一条线上，特意画的图形）EG与AD的交点记作M，∵EG∥AB，∴∠DME＝∠DAB＝90°，在Rt△AEG中，AE＝1，∴AG＝2AE＝2，根据勾股定理得，EG＝，∵AB＝，∴EG＝AB，∵EG∥AB，∴四边形ABEG是平行四边形， ∴AG∥BE，∵AG∥EF，∴点B，E，F在同一条直线上如图4，∴∠AEB＝90°，在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE＝＝2，由（2）知，△ABE∽△ADG， ∴，∴，∴DG＝4． 25．（1）如图1，正方形ABCD与调研直角△AEF有公共顶点A，∠EAF＝90°，连接BE、DF，将△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的角为β，则＝________；β＝________； （2）如图2，矩形ABCD与Rt△AEF有公共顶点A，∠EAF＝90°，且AD＝2AB，AF＝2AE，连接BE、DF，将Rt△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的角为β，请求出的值及β的度数，并结合图2进行说明； （3）若平行四边形ABCD与△AEF有公共项点A，且∠BAD＝∠EAF＝α(0°＜α＜180°)，AD＝kAB， AF＝kAE(k≠0)，将△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的锐角的度数为β，则： ①＝________； ②请直接写出α和β之间的关系式． 解：（1）如图1，延长DF分别交BE于点G，在正方形ABCD和等腰直角△AEF中，AD=AB，AF=AE，∠BAD=∠EAF=90°，∴∠FAD=∠EAB，∴△FAD≌△EAB（SAS），∴∠AFD=∠AEB，DF=BE，∵∠AFD+∠AFG=180°，∴∠AEG+∠AFG=180°，∵∠EAF=90°，∴∠EGF=180°-90°=90°，∴DF⊥BE，∴=1，β=90°，故答案为：1，90°； （2）如图2，延长DF交EB于点H，∵AD=2AB，AF=2AE，∴， ∵∠BAD=∠EAF=90°，∴∠FAD=∠EAB，∴△FAD∽△EAB，∴，∴DF=2BE， ∵△FAD∽△EAB，∴∠AFD=∠AEB，∵∠AFD+∠AFH=180°，∴∠AEH+∠AFH=180°，∵∠EAF=90°，∴∠EHF=180°-90°=90°，∴DF⊥BE，∴，β=90°； （3）①如图3，延长DF交EB的延长线于点H，∵AD=kAB，AF=kAE，∴， ∵∠BAD=∠EAF=α，∴∠FAD=∠EAB，∴△FAD∽△EAB，∴，∴， ②α+β=180°，由△FAD∽△EAB得∠AFD=∠AEB，∵∠AFD+∠AFH=180°∴∠AEB+∠AFH=180°，∵四边形AEHF的内角和为360°，∴∠EAF+∠EHF=180°，∴α+β=180°． 26．如图1，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，，作交线段AE于点F，连接BF． （1）求证：； （2）如图2，若，，，求BE的长； （3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值． 解：（1）证明：，；，，，，，，，，，，四边形AFCD是平行四边形在与中． ≌ （2），，在中，，，，又，，，在与中． ，；；，；， ；，，或（舍）； （3）延长BM、ED交于点G．与均为等腰三角形，，，，设，，，则，，，，；在与中，，；．；，，，，，， ，，（舍），，． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册13 《第3章图形的相似第4节相似三角形的性质》预习讲义 一．学习目标 ( 1.掌握相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比值规律，熟记 “ 所有对应线段比=相似比 ” 。 2.熟练掌握相似三角形周长比、面积比公式，分清 “ 正比、平方比 ” 易错点。 3.理解直角三角形射影定理三大结论的推导与几何模型，会直接套用公式计算。 4.掌握三角形重心定理的比例性质（重心分中线2:1），掌握必考几何结论。 5.能区分线段比、周长比 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.相似三角形三大核心性质：对应线段比=相似比、周长比=相似比、面积比=相似比的平方。 2.射影定理三个等式结论的识记与直接应用。 3.重心分中线为 2:1 的比例性质。 （二） 难点】 1.面积比是相似比的平方，做题极易直接用边长比代替。 2.射影定理模型识别（直角三角形+斜边上的高），区分三条线段乘积式。 3.重心不仅分中线2:1，还涉及面积三等分、线段比例综合计算。 ) 三．知识梳理 （一）相似三角形对应线段的性质（必考基础） 1.性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 2.性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.特别说明：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. （二）相似三角形的周长之比、面积之比 1.周长比：相似三角形周长的比等于相似比 如图： ∽，则 由比例性质可得： 2.面积比：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图，∽，则分别作出与的高和，则 （3） 射影定理（直角母子相似，必考模型） 1.图形条件： Rt△ABC，∠ACB=90o，CD⊥AB,三个三角形两两相似：△ABC ∽ACD∽△CBD. 2.三条核心公式（可以直接写进答题） （1）直角边平方=斜边×自身在斜边上的射影 AC2=AD×AB BC2=BD×AB （2）斜边上的高的平方=两段射影的乘积 CD2=AD×BD （3）面积等积式：AC×BC=AB×CD 3.图形理解： 大直角三角形里面分出两个小直角三角形，也就是俗称的「母子相似模型」，凡是直角三角形作斜高，优先使用射影定理计算线段。 （四）三角形重心 1.三角形重心定义：三角形三条中线的交点，叫做重心（G点） 2.两大核心性质： （1）比例性质（最常用）：重心分任意一条中线，长度比=顶点段:底边段=2:1，如图：AG:GD=2:1 （2）面积性质：三条中线把整个三角形分割成6块面积完全相等的小三角形；重心分别连接三个顶点，得到三块面积相等的三角形。 3.几何语言： 若G是△ABC重心，AD为BC边上中线，则AG=2GD。 四．经典例题 1.（2024-2025·贵阳市南明区期末）△ABC∽△DEF，相似比为2:3，则这两个三角形对应角平分线的比为（ ） A. 4:9 B. 2:3 C. : D. 3:2 2.（2026·贵阳市云岩区一模）两个相似三角形的周长之比为1:2，那么它们的面积之比是（ ） A. 1:2 B. 1:4 C. 2:1 D. 1: 3.（2025·贵阳市花溪区期末）Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=2，AB=8，根据射影定理，AC的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 2 D. 8 4.（2026·贵阳市乌当区二模）G是△ABC的重心，AD为BC边上的中线，若GD=3，则AG的长度为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 1.5 5.（2025·贵阳市观山湖区期末）△ABC∽△A1B1C1，对应高的比是3:5，则两个三角形的周长比为______。 6.（2026·南明区二模）直角三角形斜边上的高把斜边分为1和4两段，则斜边上的高的长度是______。 7.（2025·云岩区期末）把一个三角形的各边长都扩大为原来的4倍，新三角形与原三角形的面积比为______。 8.（2026·花溪区一模）△ABC的重心为G，三条中线将三角形分成6个小三角形，这六个小三角形的面积大小关系为______。 9．如图，四边形ABCD为菱形，M为BC上一点，连接AM交对角线BD于点G，并且∠ABM=2∠BAM （1）求证：AG=BG； （2）若点M为BC的中点，同时S△BMG=1，求三角形ADG的面积． 10．如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片．AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm．从这张硬纸片剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH．使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上．AD与HG的交点为M． （1）求证：； （2）求这个矩形EFGH的周长． 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024·贵阳市花溪区期中）△ABC和△A'B'C'相似，对应中线之比为3:4，则面积之比为（ ） A. 3:4 B. 9:16 C.:2 D. 4:3 2.（2025·乌当区期末）G为△ABC重心，两条中线交于点G，下列线段比例正确的是（ ） A. AG:GD=1:2 B. AG:GD=2:1 C. AG:AD=2:3 D. B、C都正确 3.（2026·南明区一模）Rt△ABC，∠C=90°，CD⊥AB，下列式子不符合射影定理的是（ ） A. AC2=AD·AB B. BC2=BD·AB C. CD2=AD·BD D. AC·BC=AD·AB 4.（2025·观山湖区期末）两个相似三角形面积比是4:25，则它们的相似比与周长比为（ ） A. 2:5 B. 4:5 C. 16:625 D. 5:2 5.（2026·云岩区二模）△ABC中，DE是中位线，△ADE与△ABC的对应高之比为（ ） A. 1:2 B. 1:4 C. 2:1 D. 1: 6.（2024·花溪区期末）△ABC的重心与三个顶点相连，分割成的三块三角形面积关系是（ ） A. 全部相等 B. 依次成1:2:3 C. 左边最大 D. 右边最大 7．如图，点E是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点F，若，则的周长为（  ） A．21 B．28 C．34 D．42 8．如图，在平行四边形中，F是上一点，且，连结并延长交的延长线于点G，则的值为（ ） A． B． C． D． （二）填空题 9.（2025·南明区期末）△MNP∽△M₁N₁P₁，周长比为5:7，则对应角平分线之比=____。 10.（2026·乌当区一模）直角三角形斜边长10，一条直角边在斜边上的射影长4，则这条直角边长为______。 11.（2025·云岩区期末）相似三角形面积比9:1，那么对应边上的中线之比为______。 12.（2026·观山湖区二模）△ABC的重心G，若中线BE=9，则BG=，GE=。 13.（2024·南明区期中）△ABC∽△DEF，AB=2，DE=6，若△ABC周长为4，则△DEF周长= _________。 14.（2026·花溪区一模）Rt△ABC中，斜高CD=4，AD=2，则BD=______。 15．如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为__________． 16．如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝__． （三）解答题 17．如图，在8×8的正方形网格中，△ABC是格点三角形，请按以下要求作图． (1)在图1中画出格点△EDP，使得△EDP∽△ABC，且面积比为； (2)在图2中将△ABC绕着某格点逆向时针旋转90°得到格点△PFG，其中C与P对应． 18．如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(点O，A，B，C，D在同一条直线上)，测得AC＝2 m，BD＝2.1 m．如果小明眼睛距地面高度BF，DG为1.6 m，试确定楼的高度OE． 19．如图四边形ABCD为菱形，M为BC上一点，连结AM交对角线BD于点G，并且∠ABC＝2∠BAM (1)求证：AG＝BG． (2)若M为BC的中点，同时S△BGM＝1，求△ADG的面积． 20．如图，有一批呈直角三角形、大小相同的不锈钢片，已知∠C＝90°，AC＝12 cm，BC＝5 cm，要用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片，请你设计方案，并求出正方形不锈钢片的边长． 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2026·贵阳市云岩区中考三模）△ABC∽△DEF，对应高的比为2:5，下列说法错误的是（ ） A. 相似比为2:5 B. 周长比2:5 C. 面积比2:5 D. 对应中线比2:5 2.（2025·贵阳市乌当区期末）G是△ABC三条中线的交点，下列结论错误的是（ ） A. AG:GD=2:1 B. 三个顶点与G连线，分成的三个三角形面积相等 C. 重心到三边距离之比等于三边长之比 D. AG=AD 3.（2026·花溪区一模）在直角三角形母子相似模型中，斜边AB=13，BD=9BC的长度为（ ） A. 3 B. 9 C. 13 D. 4 4.（2024·南明区期中）两个相似三角形，面积相差24，相似比1:2，则较小三角形面积是（ ） A. 8 B. 24 C. 12 D. 6 5.（2026·观山湖区三模）△ABC中，AD、BE为中线交于重心G，那么S△ABG:S△ABC=（ ） A. 1:3 B. 1:6 C. 2:3 D. 1:2 6.（2026·乌当区二模）Rt△ABC，CD⊥AB，下列等式成立的是（ ） A. AC·BD=BC·AD B. AC2=AD·BD C. BC2=AD·AB D. CD·AB=AC·BC 7．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　） A． B． C． D． 8．（2022·四川眉山·九年级期末）如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（    ） A．2 B． C． D．3 9．如图，在矩形中，，，点E在边上，，垂足为F．若，则线段的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积是3cm2，则四边形BDEC的面积为（   ） A．12cm2 B．9cm2 C．6cm2 D．3cm2 （二）填空题 11.（2026·贵阳市南明区三模）△ABC∽△DEF，周长之比3:7，则对应边上的高之比为__。 12.（2025·云岩区期末）相似三角形面积之比25:16，则对应中线之比=______。 13.（2026·乌当区一模）Rt△ABC，斜边上的高CD=6，AD=4，则BD=______。 14.（2024·花溪区期中）△ABC的重心为G，中线CF=12，则GF=______。 15.（2026·观山湖区二模）△ADE∽△ABC，相似比为2:5，若△ADE周长为8，则△ABC周长=______。 16．如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为__________． 17．如图，已知□ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，交AC于点F，且∠BCD＝60°，BC＝2CD，连结OE．下列结论，①OE//CD；②OE＝CD；③S□ABCD＝BD·CD；④AO＝2BO，⑤S△DOF＝2S△EOF．其中正确结论的序号是________； 18.如图，已知AD是△ABC的中线，G是△ABC的重心，联结BG并延长交边AC于点E，联结DE，那么S△ABC：S△GED的值为____． 19．如图，在正方形中，点O是对角线的中点，点P在线段上，连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接、，交于G，现有以下结论：①；②；③；④为定值；⑤．以上结论正确的有________（填入正确的序号即可）． 20．如图，点在直线上，点的横坐标为2，过点作，交x轴于点，以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长的交x轴于点；…；按照这个规律进行下去，则第n个正方形的边长为________（结果用含正整数n的代数式表示）． （三）解答题 21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）． （1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？ （2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由． 22．在矩形ABCD中E为DC边上一点，把沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F． （1）求证：； （2）若AB＝2，AD＝4，求EC的长． 23．在正方形ABCD中，P为AB边上一点，将△BCP沿CP折叠，得到△FCP． （1）如图1，延长PF交AD于E，求证：EF=ED； （2）如图2，DF，CP的延长线交于点G，求的值． 24．如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE （1）[发现]：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间的数量关系是____；位置关系是___； （2）[探究]：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，猜想DG与BE的数量关系与位置关系，并说明理由； （3） [应用]：在（2）情况下，连结GE（点E在AB上方），若GE//AB，且AB＝，AE＝1，求线段DG的长 25．（1）如图1，正方形ABCD与调研直角△AEF有公共顶点A，∠EAF＝90°，连接BE、DF，将△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的角为β，则＝________；β＝________； （2）如图2，矩形ABCD与Rt△AEF有公共顶点A，∠EAF＝90°，且AD＝2AB，AF＝2AE，连接BE、DF，将Rt△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的角为β，请求出的值及β的度数，并结合图2进行说明； （3）若平行四边形ABCD与△AEF有公共项点A，且∠BAD＝∠EAF＝α(0°＜α＜180°)，AD＝kAB， AF＝kAE(k≠0)，将△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的锐角的度数为β，则： ①＝________； ②请直接写出α和β之间的关系式． 26．如图1，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，，作交线段AE于点F，连接BF． （1）求证：； （2）如图2，若，，，求BE的长； （3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $