专题06 —元二次方程的根与系数的关系（重难点讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本讲义聚焦一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），从推导过程、两根之和与积的表达式切入，强调二次项系数非0且Δ≥0的适用前提，通过代数式变形搭建基础，延伸至验根、求参数、构造方程等应用，形成递进的学习支架。 特色在于分题型系统设计，涵盖新定义（如“邻根方程”）、几何综合（如菱形对角线）等，典例与变式结合强化推理意识，注重判别式易错点培养严谨思维。课中辅助教师分层教学，课后通过巩固训练帮助学生查漏补缺，提升用数学语言解决问题的能力。

专题06 —元二次方程的根与系数的关系 1、理解一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的推导过程，熟记两根之和、两根之积的表达式。 2、重视定理适用前提：二次项系数不为 0 且方程有实数根，熟练利用定理进行代数式求值。 3、掌握借助根与系数的关系构造一元二次方程、求解未知参数的常见题型思路。 4、综合结合判别式解决含参数问题，厘清解题先后逻辑，规避忽略判别式的典型易错点。 1. 韦达定理（根与系数的关系）：如果一元二次方程 （）的两个实数根为 、， 那么：。 文字表述： 两根之和等于一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数； 两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 💡 名称由来：这个关系由法国数学家韦达发现，因此也称为韦达定理。韦达定理是初中代数中的一个重要定理。 特别情况（二次项系数为1）： 若一元二次方程为 ，且两根为 、，则： 即：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。 2. 使用韦达定理的前提条件：使用韦达定理时，必须注意以下两个前提条件： 条件 说明 ① 方程必须是一元二次方程 ② 方程必须有实数根 【注意】在实数范围内运用韦达定理时，必须先验证 Δ≥0，不能盲目使用。 3. 常见的代数式变形：利用韦达定理求与两根有关的代数式的值时，常需将代数式变形为含 和 的形式： 代数式 变形结果 💡 核心技巧：解题时通常需把x1+x2、x1x2 作为整体代入计算或求值。 4. 韦达定理的主要应用： 验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根。 已知一根，求另一根及字母系数：已知方程的一个根，可利用韦达定理求出另一个根及方程中未知的字母系数。 求代数式的值：在不解方程的情况下，利用韦达定理求关于 和 的代数式的值。 求作新方程：已知方程的两个根，可利用韦达定理构造一个一元二次方程： 求方程中字母的值或取值范围：已知方程两根的关系（如），求方程中字母的值；结合判别式，求字母的取值范围。判断两根的正负：不解方程，由根与系数的关系判断两根的正负情况。 题型01一元二次方程的根与系数的关系 【典例】阅读下列材料：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现： 如果一元二次方程在时的两根分别可表示为，．那么可推得，，这是一元二次方程根与系数的关系．． 例：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n，∴，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则_______，_______． (2)初步体验：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)类比应用：已知实数s、t满足，，且，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值等知识点， 根据根与系数的关系进行求解即可； 根据根与系数的关系可得：,再利用分式的化简求值的方法进行运算即可； 可把与看作是方程的两个实数根，则有,再利用分式的化简求值的方法进行运算即可； 熟练掌握两根之和等于,两根之积等于是解决此题的关键． 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根为，， ， 故答案为：； （2）解：一元二次方程的两根分别为, , ； （3）解：实数满足,且， 是一元二次方程的两个实数根， ． 【变式】阅读与思考 互为有理化的一对无理根的一元二次方程 我们知道，在一元二次方程（，，，是有理数）中，当时，该方程有两个不相等的实数根，这两个实数根分别为，．若是一个无理数，则，也都是无理数，我们把和这样的两个无理数称为互为有理化的一对无理根． 例如：一元二次方程的两根为， m ，它们就是互为有理化的一对无理根． 又如：方程的两根，也是互为有理化的一对无理根． 判断两个根是否互为有理化的一对无理根，需要满足两个条件： ①和是两个无理数；②是一个有理数． 如：，是无理数， 且 n ． ∴，是互为有理化的一对无理根． 显然，一元二次方程的互为有理化的一对无理根和为，积为． 任务： (1)填空：材料中的________，________． (2)求一元二次方程的两根，并说明该方程的两根是否互为有理化的一对无理根． (3)若方程的两根互为有理化的一对无理根，且一根为，直接写出方程的另一根及，的值． 【答案】(1)，． (2)该方程的两根为互为有理化的一对无理根，理由见详解． (3)，． 【分析】（1）当时，两个实数根的形式即可得到m的值，利用实数的乘法，即可求出n的值； （2）在一元二次方程中，先判断，再求两个根，即可判断该方程的两根互为有理化的一对无理根． （3）根据若方程的两根互为有理化的一对无理根，的意义求出另一根为，再利用根与系数关系即可求得，的值． 【详解】（1）解：由题意得：，那么， 则 ，即 ． 即 故填，． （2）解：一元二次方程中， 则， 所以，该方程的两根互为有理化的一对无理根． （3）解：若方程的两根互为有理化的一对无理根，且一根为 则另一根为． 一元二次方程的互为有理化的一对无理根和为，即． 无理根积为，即． 综上所述，，． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． 题型02根据根与系数的关系求另一根 【典例】已知关于的一元二次方程的一个根为3，则另一个根为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的概念及解一元二次方程，理解此概念并正确解一元二次方程是关键；将已知根代入方程求出参数m，再解方程求另一个根． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴方程为， 因式分解得， ∴另一个根为． 故选：B． 【变式】已知一元二次方程的一个根为，则它的另一个根是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据根与系数的关系，可知两根之和，从而求得另一个根． 【详解】解：由题意可知，， 那么有 即方程的另一个根为． 故选：A． 题型03根据根与系数的关系求代数式的值 【典例】阅读下面两个材料： 材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，则． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为， ， 则 解决问题： (1)一元二次方程的两个根为，则______，______． (2)已知一元二次方程的两根分别为求的值． (3)已知实数满足，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系直接求解即可； （2）先由一元二次方程根与系数的关系得到， ，代入求值即可； （3）由题意是方程的两根，则，将所求代数式变形，先由求出的值，代入即可求解． 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根为， 则，． 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴是方程的两根， ∴ ， ， ∴， 则． 【变式】阅读材料：设一元二次方程的两个根分别为，，则，．例如设一元二次方程两个根分别为，，则，． (1)设一元二次方程的两个根分别为，，则________，________． (2)设一元二次方程的两个根分别为，，若，，则________，________． (3)设一元二次方程的两个根分别为，，求代数式的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系；熟记一元二次方程的两个根分别为，，则，是解本题的关键； （1）由根与系数的关系：，可得答案； （2）由根与系数的关系：，，再建立方程即可得答案； （3）由根与系数的关系：，，结合：可得答案． 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根分别为，， 则，； （2）解：设一元二次方程的两个根分别为，，若，， ∴，， ∴，； （3）解：∵一元二次方程的两个根分别为，， ∴，， ∴ ； 题型04根据根与系数的关系求参数的值 【典例】若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得，，再根据题意可求得，，进而可求解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：依题意得：，， ， ， ， ， ， 故选D． 【变式】阅读下列材料，完成相应任务． 材料一  十六世纪的法国数学家弗朗索瓦·韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式时，关于x的一元二次方程的两个根，有如下关系：，”．此关系通常被称为“韦达定理”． 材料二  若，是一元二次方程的两个根，求的值． 解：，是一元二次方程的两个根， ，． ． 任务： (1)材料理解：若一元二次方程的两个实数根为，，则__________，__________． (2)拓展应用：已知关于x的方程有两个实数根． ①求m的取值范围； ②若此方程的两根分别为，，且，求m的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知是一元二次方程的两根时，是解题的关键． （1）直接根据一元二次方程根与系数的关系解答即可； （2）①由一元二次方程根的判别式得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可； ②根据一元二次方程根与系数的关系求出m的值，进而可得出结论． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个实数根为， ∴． 故答案为：； （2）解：①∵关于x的方程有两个实数根， ∴， 解得； ②∵关于x的方程的两根分别为α，β， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 由①知， ∴． 题型05根与系数的关系解新定义问题 【典例】定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是________（填序号）； ①；②；③ (2)若是“邻根方程”，求的值； (3)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)③ (2)或 (3) ，理由：设的两个根为，， 由韦达定理得，． ∵为“邻根方程”， ∴，可得， 即， 代入得． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根与系数的关系，理解题意“邻根方程”的定义是解题关键． （1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根、，根据“邻根方程”的定义得，利用根与系数的关系即可得到，的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得：，， ， 方程不是“邻根方程”； ②解方程得：， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得：，， ， 方程是“邻根方程”． 故答案为：③． （2）解：解方程得：，， 该方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． （3）略 【变式】如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)下列方程是三倍根方程的是______；（填序号即可） ①；②；③ (2)如果关于的方程是“三倍根方程”，求的值； (3)如果关于的一元二次方程是“3倍根方程”，则满足的关系式为____________（直接写答案）． 【答案】(1)③ (2)； (3) 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程的解和解一元二次方程． （1）分别求出①②③三个方程的根，然后根据题中所给定义可进行求解； （2）根据“三倍根方程”的定义设关于x的方程的两个根为，进而根据一元二次方程根与系数的关系进行求解； （3）根据“三倍根方程”的概念得到原方程可以改写为，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：由可得：，不满足“三倍根方程”的定义； 由可得：，不满足“三倍根方程”的定义； 由可得：，满足“三倍根方程”的定义； 故答案为：③； （2）解：设关于x的方程的两个根为， 由一元二次方程根与系数的关系可知：，， ∴，； （3）解：根据“三倍根方程”的概念设一元二次方程的两个根为和． 原方程可以改写为， ， ． 解得． ，，之间的关系是． 故答案为：． 题型06一元二次方程根与系数的关系;特殊平行四边形 【典例】（1）已知k为实数，关于x的方程有两个实数根． ①求实数k的取值范围； ②若，试求k的值． （2）如图，在菱形中，对角线相交于点O，． ①求证：四边形是矩形； ②若，求四边形的面积． 【答案】（1）①；②；（2）①见解析；② 【分析】（1）①把方程化为一般式，再根据判别式的意义得到，然后解不等式即可； ②利用根与系数的关系得到，再利用得到．然后解关于k的方程后利用k的范围确定满足条件的k的值； （2）①根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可； ②证明三角形是等边三角形得出的长，再根据勾股定理求出的长即可得出结果． 【详解】解：（1）①∵关于x的方程有两个实数根 即关于x的方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴实数k的取值范围为； ②∵方程的两根为， ∴， ∵，即， ∴， 解得：， ∵， ∴； （2）①证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； ②解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 由（1）得：四边形是矩形， 在中，由勾股定理得：， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查了根的判别式，根与系数关系，矩形的判定与性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记各知识点是解题的关键． 【变式】已知：平行四边形的两边，的长是关于的方程的两个实数根． (1)当为何值时，四边形是菱形； (2)若的长为，那么平行四边形的周长是多少？ (3)若关于的方程的两个实数根和满足，，求的取值范围． 【答案】(1)的值为 (2) (3) 【分析】本题考查了根的判别式、菱形的性质、平行四边形的性质以及根与系数的关系，得出的值是解题关键． （1）根据菱形的性质可得出，由根的判别式即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值； （2）将代入一元二次方程可求出的值，再根据根与系数的关系即可得出的值，利用平行四边形的性质即可求出平行四边形的周长； （3）先根据根与系数的关系得，，则利用，得到，即，所以，然后解不等式即可． 【详解】（1）解：∵当平行四边形的两边时，四边形为菱形， ∴关于的方程的两个实数根． ∴， 解得， 即的值为； （2）把代入方程0得， 解得， ∴原方程为， ∵， ∴平行四边形的周长； （3）根据根与系数的关系得，， ∵，， ∴，， ∴， 即， ∴， 解得． 【巩固训练】 1．设，是一元二次方程的两个根，则代数式的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ，． ． 2．已知一元二次方程的两根为，，则的值为（     ） A． B． C．8 D．2 【答案】A 【分析】利用一元二次方程求根公式得到两根，计算出两根之和与两根之积，再变形所求代数式代入计算即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，其中 ，，， 则 ，， 故 ． 3．若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用两根之和与已知条件先求出方程的两个根，再通过两根之积计算的值． 【详解】∵ 方程的两根为、， ∴ 根据根与系数的关系可得 ， ， ∵ ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ∴ ． 4．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若关于的方程是倍根方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据“倍根方程”的定义，设出方程的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系建立等式，化简即可求出的值． 【详解】解：设方程的两个根分别为和，且．根据一元二次方程根与系数的关系可得： 由①得：，即． 将代入②得： 化简得：． 两边同乘（）得：． 5．的面积是S，一直角边长是x，根据题意可列方程 若该方程的两根为 其中，，则另一直角边长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先整理原方程，根据直角边长度为正确定的取值，再利用根与系数的关系得到m与两根a、b的关系，最后代入另一直角边的表达式即可求出结果． 【详解】解：， 整理得：， ∵直角边长度为正数，方程两根为， ∴，，， ∴，， 根据三角形面积公式得： ， 6．已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（     ） A．5 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，将两根和与两根积代入已知等式，得到关于的方程，求解即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴根据根与系数的关系可得，， ∵， ∴， 解得． 7．在目前的八年级数学下册第二章《一元二次方程》中新增了一节选学内容，其中有这样的知识点：如果方程的两根是，，那么，，若关于x的方程的两个实数根满足关系式，则k的值为（    ） A． B． C．或 D．或或 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方公式变形求解k，再验证方程有两个实数根，即可得到结果． 【详解】解：∵方程的两根为 ∴根据根与系数的关系得， ∵ ∴两边平方得 由完全平方公式变形得 代入得 整理得 解得 ∵方程有两个实数根， ∴判别式 当时，，符合要求 当时，，符合要求 ∴的值为或． 8．已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，先判断a，b的符号，再化简所求二次根式，最后代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得，， ∵，， ∴，， ∴． 9．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，则称这样的方程为“倍方程”，以下关于倍方程的说法正确的是（     ） ①方程是2倍方程；②若为3倍方程，则；③若，满足，则关于的方程为2倍方程；④若关于的方程为倍方程，则． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据新定义“倍方程”，一元二次方程的解法与根与系数的关系，逐个验证每个说法即可得到结论． 【详解】解：①解方程， 因式分解得， 解得， ，满足2倍方程定义，①正确； ②方程的两根为， ∵方程是3倍方程， 故分两种情况讨论： 当时，，解得， 当时，，解得， 或，故②错误； ③若，则方程的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， 由求根公式得， 即， ∴，满足2倍方程定义，故③正确； ④设方程的两根为， 由根与系数的关系得：，， 则，， 将代入得：， 两边同乘整理得：，故④正确． 10．设、是方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【分析】利用根与系数的关系，以及完全平方公式变形计算即可. 【详解】解：、是方程的两个根， ，， ∴ . 11．已知，分别是关于x的方程的两个根，且满足，则k的值为______． 【答案】 【分析】关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 【详解】解：∵，分别是关于x的方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．菱形的两条对角线的长是方程的两根，则菱形的面积是______． 【答案】 3 【分析】利用根与系数的关系得到菱形两条对角线的乘积，结合菱形面积公式计算结果即可． 【详解】解：设方程的两个根为，， 由根与系数的关系得：， ∵菱形的两条对角线的长是该方程的两根， ∴菱形两条对角线的乘积为， ∵菱形的面积等于对角线乘积的， ∴菱形的面积为． 13．已知关于x的方程的两实数根为，，若，则____________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到与，再由分式方程求解即可． 【详解】解：关于x的方程的两实数根为，， 则， ，， ． 即，解得． 经检验，是原方程的解． 14．设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求代数式因式分解后整体代入计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的两个实数根， 由根与系数的关系可得，， ． 15．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）若是倍根方程，则m的值为______； （2）若方程是倍根方程，且，则该方程较大的根为______． 【答案】 或 【分析】（1）由因式分解法解方程可得，，再根据倍根方程的定义求解即可； （2）设方程的两个根为、，根据一元二次方程根和系数的关系，得到，即可得解． 【详解】解：（1）， 或， 解得：，， 是倍根方程， 或， 或， 解得：或； （2）方程是倍根方程， 设方程的两个根为、， ， ， ， ， ，， 即该方程较大的根为． 16．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)记此方程的两个根为，．当取满足条件的最小整数时，求的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式，解不等式即可得到的取值范围； （2）根据的范围确定的最小整数值，再将所求代数式变形为，由一元二次方程根与系数的关系可得与的值，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：由（1）可知且取满足条件的最小整数， ∴， ，即， ，， ． 17．若关于x的一元二次方程的两根为，则这就是一元二次方程根与系数的关系． (1)一元二次方程的两根为，则_____ ； (2)已知关于x的一元二次方程 ①求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②若方程的两个实数根为，满足，求k的值． 【答案】(1)， (2)①证明：∵关于的一元二次方程为 ， ∴，，， ∴根的判别式， 展开化简得， 配方得， ∵无论为任何实数，总有 ， ∴， 即， ∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②或 【分析】（1）直接根据题干给出的根与系数关系代入计算即可； （2）①通过计算根的判别式，证明判别式恒大于0即可得证；②先根据根与系数关系得到两根和与两根积关于的表达式，代入已知等式求解关于的一元二次方程即可得到的值.． 【详解】（1）解：对于一元二次方程，可得，， 根据根与系数的关系得 ，； （2）①略 ②根据根与系数的关系，得 ， ∵， 代入得 ， 化简得 ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得或． 18．已知关于的方程． (1)当该方程是一元一次方程时，求出该方程的解； (2)当该方程是一元二次方程时， ①求证：该方程有两个不相等的实数根； ②已知和是该方程的两个根，求出的值．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2)①证明：由题可得，，，，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根； ②． 【分析】（1）根据一元一次方程可知，求出m的值，代入求解即可； （2）①根据根的判别式证明即可； ②根据根与系数的关系得到，，根据完全平方公式得到，可知的值． 【详解】（1）解：当，即时，该方程是一元一次方程， 把代入，得， 解得， ∴该方程的解为； （2）①略； ②解：∵和是该方程的两个解， ∴，， ∴， 所以． 19．已知是关于x的方程的一个实根，设该方程的另一个实根为． (1)求a及； (2)如图1，在中，，，将对折到上得到折痕（如图2），将沿翻折（如图3），将折到上得到折痕（如图4），过点N将折叠，使得点H落在上，得到折痕（如图5）．求证：． 【答案】(1)， (2)证明：由题意，，， ∴在中，， ∵将对折到上得到折痕，将沿翻折（如图3）， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 根据折叠的性质，由图4、图5可得，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据根与系数的关系得，，结合，即可求出，进而可求a的值； （2）根据折叠的性质分别证明、，可得，，即可证明． 【详解】（1）解：∵是方程的一个实根，该方程的另一个实根为， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）略 20．我们在探究一元二次方程根与系数关系中发现： 关于的一元二次方程的两个根是，，那么可推出，．请运用这一结论，解决下列问题： 【问题提出】 (1)若，是方程的两根，则 ， ， ； 【问题探究】 (2)如果关于的一元二次方程的两个根是，，那么关于的一元二次方程是否有实数根，如果有实数根，请求出方程的解，如果没有，请说明理由； 【问题解决】 (3)若关于的方程的两根之和是，两根之积是，请求出关于的方程的两根之积的值（用字母，表示）． 【答案】(1)，， (2)有实数根，方程的解为， (3) 【分析】（1）利用题干给出的一元二次方程根与系数关系求解即可； （2）设，则关于的方程可化为，再利用题干给出的一元二次方程根与系数关系求解即可； （3）设原方程两根为，得到，设关于的方程两根为，令，得到，进而进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，是方程的两根，，，． ∴根据根与系数关系，得 ∴； （2）解：设，则关于的方程可化为， ∵方程两根为， ∴， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴该方程有实数根，根为，． （3）解：设原方程两根为， 由题意，得， 设关于的方程两根为，令， 变形得，则 两根之积： ∴两根之积为． 21．【综合与实践】 七年级下册我们用等面积法验证了平方差公式和完全平方公式，九年级的小聪同学类比所学知识，想到用一个矩形通过割、拼、补成为一个正方形，完成了一元二次方程的配方过程，具体如下： 配方的过程（如图①） （如图②、③） （如图④） （如图⑤） 割、拼、补的过程 【初步应用】 （1）如图⑥是用矩形割、拼、补对方程配方的结果，则___________； 【巩固应用】 （2）由图⑥方程配方可得___________； 【综合应用】 （3）如图⑦，用面积为12的正方形剪去一个边长为（）的小正方形，类比以上用矩形割、拼、补成正方形完成配方的过程，你能猜想这是对哪个一元二次方程进行配方吗？若该方程的两根满足，请求出的值． 【答案】（1）；（2）；（3），2 【分析】本题主要考查配方法的应用、根与系数的关系，正确理解题意，并熟知根与系数的关系是解题关键． （1）根据题意所给的方法对方程进行配方即可； （2）根据题意所给的方法对方程进行配方即可； （3）根据题意所给的方法对方程进行配方即可，以此可写出是对哪个一元二次方程进行配方，再将方程变形为的形式，根据根与系数的关系得到，，因此可得到关于a的一元二次方程，求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴（如图⑥）， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）由图⑦可得：， ∴， ∴， ∴这是对一元二次方程进行配方，方程可变形为， ∵，为方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， 解得或（舍去）， ∴． 【强化训练】 1．已知，是方程的两个根，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，结合根与系数的关系代入求值． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，，， ∵， 同理可得， ∴． 2．已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用一元二次方程根的定义对所求式子降次化简，再结合根与系数的关系计算最终结果． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴由根的定义得，， 由根与系数的关系得，， 化简第一个因式：， 化简第二个因式：， ∴原式， 代入，得：原式． 3．已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 【答案】C 【分析】结合两根差的条件与根与系数的关系，建立的等量关系，代入所求式后配方求最值即可． 【详解】解：设方程的两根分别为，． 由根与系数的关系得，． ∵ 两根之差为2， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． 整理，得，即． 将代入，得 ， 配方得． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∴代数式的最大值为4． 4．若实数a，b，c满足，且，则一元二次方程的两个实数根满足的数量关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对已知等式因式分解得到a与c的关系，再代入一元二次方程，结合根与系数的关系判断两根的数量关系。 【详解】解：∵ ， 对左边变形得 ， 即 ， 又∵ ， ∴ ，即 ， ∴ ， 得 ， 将代入一元二次方程， 得 ， 整理得 ， 对于一元二次方程，常数项为 ， 由根与系数的关系得 ． 5．对于一元二次方程，下列说法正确的个数为（     ） ①若方程的两个根为和1，则； ②若，则方程一定有解； ③若，且，则方程的两实数解一定互为相反数； ④若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由根与系数的关系得到，则可推出，据此可判断①；当时，可证明是原方程的解，据此可判断②；可证明，，则可证明，由根与系数的关系可得原方程的两实数解的和为，即原方程的两实数解一定互为相反数，据此可判断③；根据题意可得都是关于的一元二次方程的实数根，而关于的一元二次方程可以有两个不相等的实数根，据此可判断④． 【详解】解：①若方程的两个根为和1，则， ∴， ∴，即，故①正确； ② ， ∴将代入方程得， 是方程的根，即方程一定有解，故②正确； ③若，则， ∵，即， ∴，， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数解， ∴由根与系数的关系可知，原方程的两实数解的和为，即原方程的两实数解一定互为相反数，故③正确； ④若，则都是关于的一元二次方程的实数根， ∵关于的一元二次方程可以有两个不相等的实数根， ∴是可以存在这种情况的，故④错误； 综上所述，正确的有①②③，共3个． 6．已知，且，，则__________． 【答案】 【详解】解：当时，方程左边， ． 将方程的两边同时，得． ，即， 为一元二次方程的两个不相等的解， ∴由韦达定理得． 7．阅读材料：如果，是一元二次方程的两个实数根，则有，．创新应用：如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式________． 【答案】2026 【分析】根据题意，，是两个不相等的实数，且满足，，则可将，看作是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系求得，，再由得，进而把代数式转化为，整理后代入、的值计算即可求解． 【详解】解：，是两个不相等的实数，且满足，， 可将，看作是一元二次方程即的两个实数根， ，， ， ， 原式 ． 8．定义：我们将能使方程成立的数对称为“的倒立数对”．例如：当，时，成立，则是“的倒立数对”．若是“的倒立数对”，且，，当分式的值为整数时，符合条件的的整数值有______个． 【答案】2 【分析】根据“的倒立数对”的定义得到，再将，，代入分式得到新的分式，求解即可． 【详解】解： 是“的倒立数对”， ， ， ，， ，， ，， ， ， 分式的值为整数， 的整数值为，， ， ∴，是关于的方程的实数根， 方程有实数根的条件是判别式， 解得或，即的整数值有，，共个． 9．定义：如果一类关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足恒成立，这类方程叫做t的偏向方程．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且对于任意的实数m，都满足3的偏向方程，则n的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，，再由题意确定，得出，代入得出，然后根据题意建立不等式求解即可． 【详解】解：， ，． 满足3的偏向方程的定义， ， ， ． ． 对于任意的实数m，都满足3的偏向方程的定义， ， ． 10．若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的一个解，则． ②一元二次方程与它的倒方程有相同的根，那么这个根是． ③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解． ④若，则与它的倒方程都有两个实数根． 上述结论正确的是___________． 【答案】① ③ 【分析】根据倒方程的定义，结合一元二次方程的相关知识逐一判断各结论即可. 【详解】解：①根据倒方程的定义，方程的倒方程为. 将代入，得 解得，故①正确. ②设是和它的倒方程的相同根，则 两式相减得， 整理得. 因为，所以，解得，即相同根为或，故②错误. ③若一元二次方程无解，则其根的判别式. 该方程的倒方程为，其根的判别式，因此倒方程也无解，故③正确. ④和它的倒方程的根的判别式都为. 当时，若，则，此时两个方程都没有实数根，例如，满足，但，无实数根，故④错误. 综上，正确结论为①③. 11．若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系． (1)已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值； (2)若，是方程的两根，记，，…，， ①当为不小于的整数时，证明：； ②计算，的值． 【答案】(1) (2)①证明：，是方程的根， ∴，， ∴， 因为，， 所以原式 ②； 【分析】（1）先计算根的判别式，根据原方程有两个不相等的实数根，得出不等式，解不等式，得出，根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知可得或，解一元二次方程，即可求解． （2）①由，是方程的根得到，，结合的定义进行证明； ②根据根与系数的关系写出、的值，运用完全平方公式变形求得的值，利用①中的结论求得的值． 【详解】（1）解：． 原方程有两个不相等的实数根， ，解得， 由根与系数的关系，，， ， ，化简得，或， 或， 又， ； （2）①略 ②，是方程的两根， ，， ； 由①知： ． 12．关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，． (1)求证：无论取何值，是方程①的一个根． (2)当时，求的取值范围． (3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ， ， ， 解得：，， ∴无论取何值，是方程①的一个根； (2) (3)的最大值为 【分析】（1）运用提公因式解一元二次方程，即可证明； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系求出，，再根据，，推出，可得的取值范围，结合题意求出最后的取值范围，再化简代入，求解即可； （3）先根据题意求出，设的一个根为，再根据题意推出，将代入求出，最后根据配方法求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，， ∴根据根与系数的关系，，， ∴， ∵，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）∵由（1）得无论取何值，是方程①的一个根， 又∵，， ∴， 设的一个根为， ∵的一个根比方程①的根大， ∴， 把代入中， ， 整理得：， ∵，则， ∴的最大值为． 13．定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是___________（填序号）． ①；②；③． (2)已知方程是“邻根方程”，求k的值． (3)若方程是“邻根方程”，求证：． 【答案】(1)③ (2)或 (3)证明：设方程的两个根为，， 则， ，且， 方程是“邻根方程”， ， ， ， ， ， 而， ， 故． 【分析】（1）根据“邻根方程”的定义，计算判断即可． （2）根据方程，得到，，根据“邻根方程”的定义，得，求解即可． （3）设方程的两个根为，， 则， ，根据题意，得方程是“邻根方程”，得到，利用完全平方，实数的非负性证明即可． 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根是，，此时，故方程不是“邻根方程”； 一元二次方程的两个根是，，此时，故方程不是“邻根方程”； 一元二次方程的两个根是，，此时，故方程是“邻根方程”； （2）解：解方程，得，， 方程是“邻根方程”， ， 或， 解得或． （3）略 14．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)当一矩形的对角线长为，且矩形两条边和恰好是这个方程的两个根时，求k的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只需要证明即可； （2）设方程的两个根分别为，由根与系数的关系得到，再由勾股定理和矩形的性质得到，则，即，进而可得，据此解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的两个根分别为， ∴， ∵矩形的对角线长为， ∴， ∵矩形两条边和恰好是这个方程的两个根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（矩形边长此时为负，舍去）． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，矩形的性质和勾股定理，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，根的判别式是解题的关键． 15．【定义新知】给定一个一元二次方程，若一个四边形的两条对角线长恰好是这个方程的两个正实数根，则称这个四边形为该方程的“根对四边形”． 【问题解决】已知一个根对四边形的两条对角线的长是方程（）的两个实数根． (1)当时，求这两条对角线的长． (2)若该根对四边形是矩形，求对角线的长． (3)若该根对四边形是菱形，且边长恰好为，求的值． 【答案】(1)两条对角线的长分别为和 (2)对角线的长为 (3)的值为 【分析】（1）把代入方程，得到具体一元二次方程，解方程求出两个正根，即为对角线长度； （2）矩形对角线相等，说明一元二次方程有两个相等实数根，即判别式，先求出，再解方程得到对角线长度； （3）菱形对角线互相垂直平分，设对角线为，则半对角线与菱形边长构成直角三角形，满足勾股定理：；结合韦达定理：，，再利用完全平方变形求解，最后检验且根为正数． 【详解】（1）解将代入方程： ， 化简： ， 因式分解： ， 解得，． 两根均为正数，符合对角线长度要求， 两条对角线长分别为和． （2）解：由矩形对角线相等， 则方程有两个相等实数根，． ， 令： ， ， ， 解得（满足）， 把代入原方程： ， ， ， ， 矩形对角线的长为6． （3）解：设方程两根（对角线长）为，由韦达定理： ， 菱形对角线互相垂直平分，边长为，由勾股定理： ， 两边同乘4：， 由完全平方公式，代入： ， ， ， 解得， 检验：，代入原方程： ， 解得，，两根均为正实数，符合对角线长度要求． 的值为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 —元二次方程的根与系数的关系 1、理解一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的推导过程，熟记两根之和、两根之积的表达式。 2、重视定理适用前提：二次项系数不为 0 且方程有实数根，熟练利用定理进行代数式求值。 3、掌握借助根与系数的关系构造一元二次方程、求解未知参数的常见题型思路。 4、综合结合判别式解决含参数问题，厘清解题先后逻辑，规避忽略判别式的典型易错点。 1. 韦达定理（根与系数的关系）：如果一元二次方程 （）的两个实数根为 、， 那么：。 文字表述： 两根之和等于一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数； 两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 💡 名称由来：这个关系由法国数学家韦达发现，因此也称为韦达定理。韦达定理是初中代数中的一个重要定理。 特别情况（二次项系数为1）： 若一元二次方程为 ，且两根为 、，则： 即：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。 2. 使用韦达定理的前提条件：使用韦达定理时，必须注意以下两个前提条件： 条件 说明 ① 方程必须是一元二次方程 ② 方程必须有实数根 【注意】在实数范围内运用韦达定理时，必须先验证 Δ≥0，不能盲目使用。 3. 常见的代数式变形：利用韦达定理求与两根有关的代数式的值时，常需将代数式变形为含 和 的形式： 代数式 变形结果 💡 核心技巧：解题时通常需把 x1+x2、x1x2 作为整体代入计算或求值。 4. 韦达定理的主要应用： 验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根。 已知一根，求另一根及字母系数：已知方程的一个根，可利用韦达定理求出另一个根及方程中未知的字母系数。 求代数式的值：在不解方程的情况下，利用韦达定理求关于 和 的代数式的值。 求作新方程：已知方程的两个根，可利用韦达定理构造一个一元二次方程： 求方程中字母的值或取值范围：已知方程两根的关系（如），求方程中字母的值；结合判别式，求字母的取值范围。判断两根的正负：不解方程，由根与系数的关系判断两根的正负情况。 题型01一元二次方程的根与系数的关系 【典例】阅读下列材料：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现： 如果一元二次方程在时的两根分别可表示为，．那么可推得，，这是一元二次方程根与系数的关系．． 例：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n，∴，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则_______，_______． (2)初步体验：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)类比应用：已知实数s、t满足，，且，求的值． 【变式】阅读与思考 互为有理化的一对无理根的一元二次方程 我们知道，在一元二次方程（，，，是有理数）中，当时，该方程有两个不相等的实数根，这两个实数根分别为，．若是一个无理数，则，也都是无理数，我们把和这样的两个无理数称为互为有理化的一对无理根． 例如：一元二次方程的两根为， m ，它们就是互为有理化的一对无理根． 又如：方程的两根，也是互为有理化的一对无理根． 判断两个根是否互为有理化的一对无理根，需要满足两个条件： ①和是两个无理数；②是一个有理数． 如：，是无理数， 且 n ． ∴，是互为有理化的一对无理根． 显然，一元二次方程的互为有理化的一对无理根和为，积为． 任务： (1)填空：材料中的________，________． (2)求一元二次方程的两根，并说明该方程的两根是否互为有理化的一对无理根． (3)若方程的两根互为有理化的一对无理根，且一根为，直接写出方程的另一根及，的值． 题型02根据根与系数的关系求另一根 【典例】已知关于的一元二次方程的一个根为3，则另一个根为（   ） A． B． C．1 D．2 【变式】已知一元二次方程的一个根为，则它的另一个根是（   ） A． B． C．1 D．2 题型03根据根与系数的关系求代数式的值 【典例】阅读下面两个材料： 材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，则． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为， ， 则 解决问题： (1)一元二次方程的两个根为，则______，______． (2)已知一元二次方程的两根分别为求的值． (3)已知实数满足，且，求的值． 【变式】阅读材料：设一元二次方程的两个根分别为，，则，．例如设一元二次方程两个根分别为，，则，． (1)设一元二次方程的两个根分别为，，则________，________． (2)设一元二次方程的两个根分别为，，若，，则________，________． (3)设一元二次方程的两个根分别为，，求代数式的值． 题型04根据根与系数的关系求参数的值 【典例】若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 【变式】阅读下列材料，完成相应任务． 材料一  十六世纪的法国数学家弗朗索瓦·韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式时，关于x的一元二次方程的两个根，有如下关系：，”．此关系通常被称为“韦达定理”． 材料二  若，是一元二次方程的两个根，求的值． 解：，是一元二次方程的两个根， ，． ． 任务： (1)材料理解：若一元二次方程的两个实数根为，，则__________，__________． (2)拓展应用：已知关于x的方程有两个实数根． ①求m的取值范围； ②若此方程的两根分别为，，且，求m的值． 题型05根与系数的关系解新定义问题 【典例】定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是________（填序号）； ①；②；③ (2)若是“邻根方程”，求的值； (3)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由． 【变式】如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)下列方程是三倍根方程的是______；（填序号即可） ①；②；③ (2)如果关于的方程是“三倍根方程”，求的值； (3)如果关于的一元二次方程是“3倍根方程”，则满足的关系式为____________（直接写答案）． 题型06一元二次方程根与系数的关系;特殊平行四边形 【典例】（1）已知k为实数，关于x的方程有两个实数根． ①求实数k的取值范围； ②若，试求k的值． （2）如图，在菱形中，对角线相交于点O，． ①求证：四边形是矩形； ②若，求四边形的面积． 【变式】已知：平行四边形的两边，的长是关于的方程的两个实数根． (1)当为何值时，四边形是菱形； (2)若的长为，那么平行四边形的周长是多少？ (3)若关于的方程的两个实数根和满足，，求的取值范围． 【巩固训练】 1．设，是一元二次方程的两个根，则代数式的值为（     ） A．2 B． C． D． 2．已知一元二次方程的两根为，，则的值为（     ） A． B． C．8 D．2 3．若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 4．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若关于的方程是倍根方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．的面积是S，一直角边长是x，根据题意可列方程 若该方程的两根为 其中，，则另一直角边长是（     ） A． B． C． D． 6．已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（     ） A．5 B．0 C． D． 7．在目前的八年级数学下册第二章《一元二次方程》中新增了一节选学内容，其中有这样的知识点：如果方程的两根是，，那么，，若关于x的方程的两个实数根满足关系式，则k的值为（    ） A． B． C．或 D．或或 8．已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B．3 C． D． 9．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，则称这样的方程为“倍方程”，以下关于倍方程的说法正确的是（     ） ①方程是2倍方程；②若为3倍方程，则；③若，满足，则关于的方程为2倍方程；④若关于的方程为倍方程，则． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③ 10．设、是方程的两个根，则的值为______． 11．已知，分别是关于x的方程的两个根，且满足，则k的值为______． 12．菱形的两条对角线的长是方程的两根，则菱形的面积是______． 13．已知关于x的方程的两实数根为，，若，则____________． 14．设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 15．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）若是倍根方程，则m的值为______； （2）若方程是倍根方程，且，则该方程较大的根为______． 16．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)记此方程的两个根为，．当取满足条件的最小整数时，求的值． 17．若关于x的一元二次方程的两根为，则这就是一元二次方程根与系数的关系． (1)一元二次方程的两根为，则_____ ； (2)已知关于x的一元二次方程 ①求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②若方程的两个实数根为，满足，求k的值． 18．已知关于的方程． (1)当该方程是一元一次方程时，求出该方程的解； (2)当该方程是一元二次方程时， ①求证：该方程有两个不相等的实数根； ②已知和是该方程的两个根，求出的值．（用含的代数式表示） 19．已知是关于x的方程的一个实根，设该方程的另一个实根为． (1)求a及； (2)如图1，在中，，，将对折到上得到折痕（如图2），将沿翻折（如图3），将折到上得到折痕（如图4），过点N将折叠，使得点H落在上，得到折痕（如图5）．求证：． 20．我们在探究一元二次方程根与系数关系中发现： 关于的一元二次方程的两个根是，，那么可推出，．请运用这一结论，解决下列问题： 【问题提出】 (1)若，是方程的两根，则 ， ， ； 【问题探究】 (2)如果关于的一元二次方程的两个根是，，那么关于的一元二次方程是否有实数根，如果有实数根，请求出方程的解，如果没有，请说明理由； 【问题解决】 (3)若关于的方程的两根之和是，两根之积是，请求出关于的方程的两根之积的值（用字母，表示）． 21．【综合与实践】 七年级下册我们用等面积法验证了平方差公式和完全平方公式，九年级的小聪同学类比所学知识，想到用一个矩形通过割、拼、补成为一个正方形，完成了一元二次方程的配方过程，具体如下： 配方的过程（如图①） （如图②、③） （如图④） （如图⑤） 割、拼、补的过程 【初步应用】 （1）如图⑥是用矩形割、拼、补对方程配方的结果，则___________； 【巩固应用】 （2）由图⑥方程配方可得___________； 【综合应用】 （3）如图⑦，用面积为12的正方形剪去一个边长为（）的小正方形，类比以上用矩形割、拼、补成正方形完成配方的过程，你能猜想这是对哪个一元二次方程进行配方吗？若该方程的两根满足，请求出的值． 【强化训练】 1．已知，是方程的两个根，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 3．已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 4．若实数a，b，c满足，且，则一元二次方程的两个实数根满足的数量关系是（     ） A． B． C． D． 5．对于一元二次方程，下列说法正确的个数为（     ） ①若方程的两个根为和1，则； ②若，则方程一定有解； ③若，且，则方程的两实数解一定互为相反数； ④若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．已知，且，，则__________． 7．阅读材料：如果，是一元二次方程的两个实数根，则有，．创新应用：如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式________． 8．定义：我们将能使方程成立的数对称为“的倒立数对”．例如：当，时，成立，则是“的倒立数对”．若是“的倒立数对”，且，，当分式的值为整数时，符合条件的的整数值有______个． 9．定义：如果一类关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足恒成立，这类方程叫做t的偏向方程．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且对于任意的实数m，都满足3的偏向方程，则n的取值范围是________． 10．若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的一个解，则． ②一元二次方程与它的倒方程有相同的根，那么这个根是． ③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解． ④若，则与它的倒方程都有两个实数根． 上述结论正确的是___________． 11．若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系． (1)已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值； (2)若，是方程的两根，记，，…，， ①当为不小于的整数时，证明：； ②计算，的值． 12．关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，． (1)求证：无论取何值，是方程①的一个根． (2)当时，求的取值范围． (3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 13．定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是___________（填序号）． ①；②；③． (2)已知方程是“邻根方程”，求k的值． (3)若方程是“邻根方程”，求证：． 14．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)当一矩形的对角线长为，且矩形两条边和恰好是这个方程的两个根时，求k的值． 15．【定义新知】给定一个一元二次方程，若一个四边形的两条对角线长恰好是这个方程的两个正实数根，则称这个四边形为该方程的“根对四边形”． 【问题解决】已知一个根对四边形的两条对角线的长是方程（）的两个实数根． (1)当时，求这两条对角线的长． (2)若该根对四边形是矩形，求对角线的长． (3)若该根对四边形是菱形，且边长恰好为，求的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $