26.2.2二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质（第1课时 y=ax²+k的图象和性质）（教学课件,含交互动画）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y=ax^2+k\)的图象和性质，通过回顾\(y=ax^2\)的性质导入，提出函数解析式变化对图象影响的问题，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生逐步探究。 其亮点在于采用“列表—描点—画图—对比—归纳”的完整探究过程，结合信息技术工具辅助作图，培养学生几何直观（数学眼光）和推理意识（数学思维）。通过表格归纳性质、真题应用强化模型意识（数学语言），助力学生系统掌握知识，教师使用可提升教学效率。

null26.2二次函数的图象和性质 26.2.2二次函数y=a（x-h)²+k的图象和性质 第1课时 二次函数y=ax²+k的图象和性质 第二十六章 二次函数 人教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 掌握用描点法绘制y=ax²+k的图象；熟练说出函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值；掌握y=ax²+k与y=ax²的图象平移规律，能运用性质解决基础题型. 经历“列表—描点—画图—对比—归纳”的完整探究过程，体会数形结合、类比迁移、从特殊到一般的数学思想，提升图象观察、规律总结和知识迁移能力. 在自主探究和小组合作中感受二次函数图象的对称美、变化规律美，培养严谨的数学思维和主动探究的学习习惯，增强学习二次函数的信心. 知识回顾 y=ax2 a>0 a<0 图象 开口方向 对称轴 顶点 增减性 开口大小 向上 向下 y轴 y轴 （0，0）最低点 （0，0）最高点 当x<0时，y随着x的增大而减小；当x>0时，y随着x的增大而增大. 当x<0时，y随着x的增大而增大；当x>0时，y随着x的增大而减小. ∣a∣越大，开口越小 二次函数y＝ax2(a≠0)的图象与性质 一起回顾 抛物线 抛物线 开口方向 ； 对称轴 ，即 ； 顶点坐标分别是 ；是抛物线最 点； 当x 时，函数有最 值 当x 时， y随着x的增大而减小； 当x 时， y随着x的 而增大； 二次函数y=2x²的图象 ； 导入新课 还记得二次函数y=2x²的图象是什么形状？开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？当x取何值时，函数有最值？增减性如何？ y =2x2 向上 y轴 （0，0） 直线x=0 一条抛物线 <0 >0 =0 小 增大 低 如果在y1=2x²的基础上函数解析式变为y2=2x²+1、y3=2x²-2，函数图象会发生什么变化？ 导入新课 y1 = 2x² y2 = 2x²+1 二次项相同 +0 常数项不同 相同的自变量x对应的函数值相差1，即y2比y1多1 y 1= 2x² y 3= 2x²-2 二次项相同 +0 常数项不同 相同的自变量x对应的函数值相差2，即y3比y1少2 y2=2x²+1、y3=2x²-2与y1=2x²函数图象形状相同，位置沿y轴上下平移 猜想 新知探究 探究点1 y=ax²+bx+c转化为类似y=ax²+k的简单形式 议一议 （1）上一章是如何通过配方法解一元二次方程ax²+bx+c=0的？由此，你得到了什么启发？ ax²+bx+c = 0 配方 若设， (x)² = (x-h)²=k 二次函数y=ax²+bx+c 类似方程配方 转化 y =a(x-h)²+k 当分别讨论h，k的取值时，就可以建立起y=ax²+bx+c与y=ax²的联系了. 新知探究 探究点1 y=ax²+bx+c转化为类似y=ax²+k的简单形式 议一议 （2）将二次函数配方化成 形式，用a，b，c表示，这里的h和k分别是什么? 提取a 配方 整理化简 h= k h= k h= k≠0 新知探究 探究点2 画具体函数y=ax²+k图象，对比找规律 活动1 用描点法在同一坐标系中画出y=x²、y=x²+2、y=x²-2的图象. x -2 -1 0 1 2 y=x² 4 1 0 1 4 y=x²+2 6 3 2 3 6 y=x²-2 2 -1 -2 -1 2 y =x2 y=x²+2 y=x²-2 1.列表 2.描点、连线 新知探究 探究点2 画具体函数y=ax²+k图象，对比找规律 议一议 用描点法在同一坐标系中画出y=x²、y=x²+2、y=x²-2的图象. （1）三个函数图象的形状、开口方向、对称轴是否相同？ y =x2 y=x²+2 y=x²-2 （2）三个图象的顶点坐标分别是什么？有什么区别？ （3）y=x²+2、y=x²-2的图象可由y=x²的图象如何平移得到？ 图象的形状 开口方向 对称轴 均相同 抛物线 向上 y轴 函数 y =x² y = x²+2 y = x²-2 顶点坐标 （0，0） （0，2） （0，－2） y=x²的图象 向上平移2个单位 y=x²+2的图像 向下平移2个单位 y=x²－2的图像 y=x²的图象 新知探究 探究点2 画具体函数y=ax²+k图象，对比找规律 活动2 画函数图象，观察图象性质 （1）在同一平面直角坐标系中，画出二次函数的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. 解：列表，描点、连线 x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y =x2+2 … 10 6.5 4 2.5 2 2.5 4 6.5 10 … y = x2 -2 … 6 2.5 0 -1.5 -2 -1.5 0 2.5 6 … y =x2+2 y = x2 -2 y =x2 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=x2+2 y= x2 -2 向上 向上 y轴 y轴 （0,2） （0,-2） 新知探究 探究点2 画具体函数y=ax²+k图象，对比找规律 议一议 y =x2+2 y = x2 -2 y = x2 向上平移2个单位 向下平移2个单位 ①开口方向和大小相同； ②对称轴相同； ④顶点纵坐标不同. (2） 抛物线与抛物线有什么关系? 抛物线上下平移 ③变化相同 当x<0时， y随着x的增大而减小； 当x>0时， y随着x的增大而增大. （1）在同一坐标系内画出下列二次函数的图象： ，， 新知探究 探究点3 函数y=ax²+k图象归纳总结性质 活动3 不妨令a为， -4 -2 y -6 O -2 2 x 4 -4 利用信息技术工具画函数y=ax²+k的图象 它们的开口方向，对称轴和顶点坐标分别是什么？ 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 +2 -2 向下 x=0 （0，0） 向下 x=0 （0，2） 向下 x=0 （0，-2） -4 -2 y -6 O -2 2 x 4 -4 把抛物线y=x2 向 平移2个单位长度，就得到抛物线 ； 把抛物线y=x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 . 下 上 新知探究 探究点3 画函数y=ax²+k图象归纳总结性质 议一议 （2）随着k的变化，二次函数y=ax²+k的图象有什么变化？ 当a相同时，随着k的变化，二次函数y=ax²+k的图象沿y轴上下平移 y =x2+3 y = x2 +1.5 y =x2-1.5 活动3 （3）利用信息技术工具画函数y=ax²+k的图象 新知探究 探究点3 画函数y=ax²+k图象归纳总结性质 -4 -2 y -6 O -2 2 x 4 -4 y =x2+2 y =x2-4 y =x2-2.5 新知探究 探究点3 画函数y=ax²+k图象归纳总结性质 议一议 y O x y = ax2 +k(k<0) y = ax2+k (k>0) y = ax2 k k a>0，开口向上 a<0，开口向下 y O x y = ax2 +k(k<0) y = ax2+k (k>0) y = ax2 (a<0) k k y=ax2 顶点(0, 0) y=ax2+k 顶点(0, k) 当k>0时， 向上平移k个单位长度得到 当k<0时， 向下平移∣k∣个单位长度得到 上下平移规律： 上加下减常数项. （4）抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2有什么关系？ 新知探究 探究点3 画函数y=ax²+k图象归纳总结性质 归一归 二次函数y=ax2 +k的图象和性质： y=ax2+k a>0 a<0 图象 k>0 k<0 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 当x<0时，y随x增大而增大； 当x>0时，y随x增大而减小. 当x<0时，y随x增大而减小； 当x>0时，y随x增大而增大. 向上 向下 y轴（直线x=0） （0，k） x=0时，y最小值=k x=0时，y最大值=k 新知探究 探究点3 画函数y=ax²+k图象归纳总结性质 归一归 图象共性： y=ax2+k与y=ax2图象形状、开口大小、开口方向、对称轴完全相同， 对称轴均为y轴（直线x=0）. 2. 图象差异： 顶点坐标不同， y=ax2顶点为(0,0)， y=ax2+k顶点为(0,k). 3. 平移规律：上加下减 当k>0时， y=ax2+k的图象由y=ax2图象向上平移k个单位； 当k<0时， y=ax2+k的图象由y=ax2图象向下平移|k|个单位. y=ax2+k与y=ax2图象与性质对比 典例分析 例1.已知二次函数y=-3x²+4 （1）说出该函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值； （2）说明该函数图象与y=-3x²的图象的平移关系； （3）当时，比较的大小. 解：（1）∵a<0，k=4， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=0（y轴），顶点坐标为(0,4)； 当x=0时，函数有最大值，最大值，无最小值. （2）根据“上加下减”平移规律： 函数y=－3x²+4的图象可由抛物线y=－3x²向上平移4个单位得到. （3）a<0，抛物线开口向下，对称轴为y轴 ∴当x>0时，y随x的增大而减小 当x<0时，y随x的增大而增大. ∴0<1＜2，根据增减性，x=1时的函数值大于x=2时的函数值. ∵ 关于y轴的对称点为x =1， ∴. 新知巩固 在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： y=x2， y=x2+1， y=x2－1. 指出三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况. y=x2 y=x2+1 y=x2-1 y=x2向上平移1个单位长得到 y=x2+1， y=x2向下平移1个单位长得到 y=x2－1. y=x2+1向下平移2个单位长得到 y=x2－1. 课本P38 4 x y O －2 2 2 4 6 －4 8 10 －2 解：列表： x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ··· y = x2＋1 ··· ··· y = x2－1 ··· ··· y = x2＋1 y = x2－1 10 5 2 1 2 5 10 8 3 0 －1 0 3 8 在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： y=x2， y=x2+1， y=x2－1. 指出三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况. y=x2向上平移1个单位长得到 y=x2+1， y=x2向下平移1个单位长得到 y=x2－1. y=x2+1向下平移2个单位长得到 y=x2－1. 新知巩固 课本P38 新知巩固 课本P38 在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： y=x2， y=x2+1， y=x2－1. 指出三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况. y=ax2+k y=x2 y=x2+1 y=x2－1 开口方向 对 称 轴 顶点坐标 最 值 增 减 性 向上 y轴（x=0） （0，0） 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最小值=1 当x＜0时， y随x的增大而减小； 当x＞0时， y随x的增大而增大. 当x＞0时， y随x的增大而减小； 当x＜0时， y随x的增大而增大. 向上 向上 y轴（x=0） y轴（x=0） （0，1） （0，－1） 当x=0时，y最小值=-1 当x＞0时， y随x的增大而减小； 当x＜0时， y随x的增大而增大. 拓展提升 1.在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求这个函数的表达式． (2)当时，随的增大而减小，求的取值范围． （1）解：∵二次函数的图象经过点． ∴，解得：， ∴这个函数的表达式为：； （2）∵， ∴其对称轴为：， ∵， ∴图象开口向上， 则当时，随的增大而减小， ∴的取值范围为． 真题感知 1．（2026.盐城市期末）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上，函数的最大值是 B．开口向下，函数的最大值是 C．开口向上，函数的最小值是 D．开口向下，函数的最小值是 解：二次函数， 由可得抛物线开口向下； 函数有最小值是， D 真题感知 2．（2026.四平校考）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．开口向下 B．顶点坐标为 C．当时，y随x的增大而减小 D．函数的最大值为 解：∵，且， ∴函数图象开口向上，顶点坐标为， 故A、B选项错误，不符合题意； ∴当时，y随x的增大而减小， 故C选项正确，符合题意； ∴函数的最小值为，故D选项错误，不符合题意； C 真题感知 3．（2025•上海）抛物线y＝3x2向下平移两个单位所得的抛物线解析式为　 　 ． 解：∵抛物线y＝3x2向下平移两个单位， ∴y＝3x2﹣2， y＝3x2﹣2 真题感知 4．（2026.汕尾陆丰校考）已知二次函数． (1)该抛物线的对称轴是______，顶点坐标______； (2)补充下列表格，并在下图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； … … …     … (3)若该抛物线上两点，的横坐标满足，则_____（比较大小）． （1）解：∵时，；时，， ∴抛物线的对称轴为：直线，即轴， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为， 轴 真题感知 4．（2026.汕尾陆丰校考）已知二次函数． (1)该抛物线的对称轴是______，顶点坐标______； (2)补充下列表格，并在下图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； … … …     … (3)若该抛物线上两点，的横坐标满足，则_____（比较大小）． 轴 （2）当时，； 当时，； 利用描点法作出的函数图象如图所示 （3）∵， ∴抛物线开口向下， 在轴的右侧，随的增大而减小， ∵， ∴， 知识与技能 （1）二次函数y=ax²+k的图象是抛物线，对称轴为y轴，顶点坐标(0，k)； （2）a决定开口方向和开口大小，k决定抛物线的上下平移位置和函数最值； （3）平移规律：上加下减（k>0上移，k<0下移）； （4）掌握函数的增减性、最值的判断方法，能比较函数值大小. 课堂小结 思想方法 课堂小结 （1）数形结合思想：通过图象直观分析函数性质，以形助数、以数释形； （2）类比迁移思想：类比y=ax²的探究方法，推导y=ax²+k的性质； （3）从特殊到一般思想：通过具体函数图象归纳通用规律. 易 错 提 醒 课堂小结 （1）作图易错：抛物线必须用光滑曲线连接，不能画折线、直线；取值务必对称，保证图象对称； （2）性质易错：二次函数增减性必须分对称轴左右两侧讨论，不能笼统描述； （3）规律易错：开口宽窄只看|a|，与a的正负无关； （4）最值易错：a>0有最小值、a<0有最大值，最值均为0，切勿记反. 习题 26.2 课后练习 课本p44页 2.分别在同一平面直角坐标系中，画出下列各组二次函数的图象，并写出其对称轴和顶点: （1）y = － x2 + 3 ，y = － x2－ 2 ； 2 6 8 y 4 -8 -4 -2 -6 O -2 2 x 4 -4 解：抛物线 y = － x2 + 3的开口下 对称轴是 y 轴，顶点坐标是（0，3）； 抛物线 y = － x2 － 2的开口向下， 对称轴是 y 轴，顶点坐标是（0，-2）. 解：函数图像如图所示 课后练习 如图，一工厂大门为抛物线形，现量得地面的宽度米，大门顶端距离地面4米．为了迎接国庆节，需在大门C，D两点处拉一条彩色丝带作装饰，若彩色丝带的宽度忽略不计，且丝带所在的直线与地面平行，当丝带到大门顶端的距离为米时，求此彩色丝带所需要的长度． 探究性作业 y O x 解：以中点为原点，所在直线为轴， 建立平面直角坐标系，如图， 大门顶端距离地面4米． 抛物线顶点坐标为， 米， 点的坐标为， 点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入解析式， 得，解得， 抛物线的解析式为， 丝带到大门顶端的距离为米， 点，的纵坐标为， 当时，， 解得， （米）， 答：此彩色丝带所需要的长度为米 谢谢聆听 谢谢聆听 $