专题2.5 可化为一元一次方程的分式方程（举一反三讲义）数学新教材湘教版八年级上册

本讲义聚焦可化为一元一次方程的分式方程核心知识点，系统梳理分式方程的概念、解法及应用。以一元一次方程为基础，通过去分母转化为整式方程，延伸至参数求解、整数解、取值范围等进阶问题，构建从基础到综合的学习支架。 资料亮点在于题型丰富（10类），涵盖概念辨析、解法步骤、参数讨论及换元法、裂项相消等特殊方法。结合中考真题与期中期末题设计例题变式，通过新定义问题（如题型7）培养抽象能力，规律探索题（如题型8）发展创新意识，参数问题（如题型4-6）锻炼推理意识。课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题2.5 可化为一元一次方程的分式方程（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 分式方程概念及其解】 2 【题型2 解可化为一元一次方程的分式方程】 2 【题型3 由分式方程解的值的求参数】 3 【题型4 由分式方程无/有解求参数】 3 【题型5 由分式方程的整数解求参数】 4 【题型6 由分式方程解的取值范围求参数】 5 【题型7 分式方程中的新定义问题】 5 【题型8 分式方程中的规律探索题】 6 【题型9 换元法解分式方程】 7 【题型10 裂项相消法解分式方程】 8 考点1 分式方程 知识点1 分式方程 1. 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2. 分式方程的重要特征 （1）是方程； （2）分母中含有未知数． 知识点2 解分式方程 1. 解分式方程的基本思路 将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母．这也是解分式方程的一般方法． 2. 解分式方程的一般步骤 【题型1 分式方程概念及其解】 【例1】（25-26八年级下·四川成都·期中）下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·湖南·中考真题）为分式方程的解时，k的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1-2】请写出一个解为4的分式方程：___________． 【变式1-3】关于x的方程：①；②；③；④；⑤ ；⑥，分式方程有____________(填序号)． 【题型2 解可化为一元一次方程的分式方程】 【例2】若分式的值为1，则x的值是________． 【变式2-1】（25-26八年级下·河南南阳·期末）解分式方程时，下列去分母变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26七年级下·安徽滁州·期末）若分式与的值互为相反数，则的值为______． 【变式2-3】（25-26八年级下·江苏镇江·期末）在数学课上老师出了一道题，小马同学完成分式方程的部分求解过程如下： 解方程： 去分母，得：；① 去括号，得：；② 移项，得：；③ ……． 请根据以上解题过程回答问题： (1)小马同学从第 步开始出现错误，你的判断依据 ； (2)请写出正确的解答过程． 【题型3 由分式方程解的值的求参数】 【例3】（25-26八年级下·河南周口·期中）已知关于x的分式方程的解是，则常数a的值是（   ） A． B．5 C． D． 【变式3-1】（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知关于的分式方程的解是2，则的值是_______． 【变式3-2】（24-25八年级下·广东揭阳·阶段检测）若关于的方程的解与方程的解相同，则等于（   ） A．3 B． C．2 D． 【变式3-3】（25-26八年级下·四川成都·期中）若关于的分式方程的解为，则m的值是（   ） A．2 B．0 C．-2 D．3 【题型4 由分式方程无/有解求参数】 【例4】（24-25八年级上·湖南张家界·期末）“若关于x的方程无解，求a的值．”尖尖和丹丹的做法如下： 尖尖： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得： ， 原方程无解， ， ． 丹丹： 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 解得：， 原方程无解，为增根， ，解得， ，解得． 下列说法正确的是（   ） A．尖尖对，丹丹错 B．尖尖错，丹丹对 C．两人都对 D．两人的答案合起来才对 【变式4-1】（25-26八年级上·贵州铜仁·期末）已知分式方程，由于印刷问题，实数“▲”看不清楚．若原分式方程无解，则原分式方程中“▲”表示的实数是______． 【变式4-2】关于的分式方程有解，则的取值范围是______． 【变式4-3】（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）若关于x的分式方程有解，则k需满足的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【题型5 由分式方程的整数解求参数】 【例5】（24-25八年级下·四川成都·期中）若关于的分式方程有整数解，则整数的值的和为_______． 【变式5-1】若关于的分式方程有负整数解，则整数的值是__________． 【变式5-2】（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）关于x的分式方程有整数解，则整数a的和为______． 【变式5-3】（25-26八年级上·山东烟台·期末）若，且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和为___________． 【题型6 由分式方程解的取值范围求参数】 【例6】（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是___________． 【变式6-1】（24-25八年级下·河南鹤壁·期末）如果关于的分式方程的解为非负数，那么实数的取值范围为（　　） A． B．且 C． D．且 【变式6-2】（25-26八年级下·四川成都·期中）已知关于的方程的解大于1，则的取值范围是___________ 【变式6-3】（25-26八年级下·河南洛阳·期中）关于的分式方程． (1)当时，求此时方程的解； (2)若此方程有增根，求的值； (3)若此方程的解为正数，求的取值范围． 【题型7 分式方程中的新定义问题】 【例7】（25-26八年级下·河南周口·期中）对于实数a，b，定义一种新运算“☆”：☆ ，则方程☆的解是______． 【变式7-1】（25-26九年级上·全国·期末）定义运算，则方程的解是_______． 【变式7-2】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）题目：当时，定义一种新运算： 例：，．若，则的值为（） A． B． C．或0 D．0 【变式7-3】（25-26八年级下·江西抚州·期末）【提炼题型】 我们定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 【识别模型】 (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”（请在横线上填“是”或“否”）． ______ ______ 【应用模型】 (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 【题型8 分式方程中的规律探索题】 【例8】（25-26八年级上·山东东营·阶段检测）观察下列各式：；；； 请你类比上面三个等式反映的规律，解下列方程： ．该方程的解是____． 【变式8-1】（24-25八年级上·山东潍坊·期中）阅读资料： 使等式成立的x的值为或； 使等式成立的x的值为或； 使等式成立的x的值为或； …… 按此规律，使等式成立的m的值为______． 【变式8-2】（25-26八年级上·广西防城港·期末）探究与应用 【特例分析】 （1）填空： ①的解为x= ； ②的解为x= ； ③的解为x= ； ...... 【总结规律】 （2）根据你发现的规律直接写出第4个分式方程及它的解： ． 【解决问题】 （3）请你按照上述规律写出第n（n为正整数）个分式方程，并求出它的解．（写出解答过程） 【变式8-3】（24-25八年级下·福建泉州·期中）阅读下列材料，完成探究证明与运用． 【材料】工程队为推进修筑公路的进度，特引进新设备，引进后平均每天比原计划多修5米，现在修60米与原计划修45米所需时间相同，问现在平均每天修多少米？ 解：设现在平均每天修x米，则可列出分式方程，… 同学们在解答完成后，张老师介绍了另一种解法： 由， 从而可得：，解得，经检验是原方程的解，… 【探究】小亮同学对老师的解法很感兴趣，于是再进行探究，由比例式得成立，同时也成立，由此发现规律． （1）请将他发现的规律补充完整：已知a，b，c，d均不为0，且，若，则______，______； 【证明】 （2）已知，且，求证：． 【运用】 （3）①请用上述规律，解分式方程． ②若，求k的值． 【题型9 换元法解分式方程】 【例9】（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下面材料，解答下列问题： 解方程：． 解：设，则原方程化为．方程两边同乘以y，得，解得．经检验，都是方程的解，所以当时，，解得；当时，，解得．经检验，或都是原分式方程的解，所以原分式方程的解是或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． (1)在方程中，设，则原方程换元后为_______； (2)根据上述换元法解方程：． 【变式9-1】（24-25八年级下·四川眉山·期中）已知关于x的方程的解为，则关于y的方程的解是（    ） A． B． C． D．无解 【变式9-2】用换元法解方程，设，那么换元后，方程可化为整式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】若关于的方程的解是，则关于的方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【题型10 裂项相消法解分式方程】 【例10】在计算 的值时，大家可以利用裂项的思想方法，即 请你利用裂项的思路解决下列问题． (1)化简： (2)解分式方程： 【变式10-1】李华在计算时，探究出了一个“裂项”的方法，如：，利用上面这个运算规律解决以下问题： (1)求的值； (2)证明：； (3)解方程：． 【变式10-2】阅读下列材料： ∵，，，……， ∴ = = =． 解答下列问题： （1）在和式中，第6项为______，第n项是__________． （2）上述求和的想法是通过逆用________法则，将和式中的各分数转化为两个数之差，使得除首末两项外的中间各项可以_______，从而达到求和的目的． （3）受此启发，请你解下面的方程： ． 【变式10-3】（24-25七年级上·上海黄浦·阶段检测）类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题的途径和方法． 观察下列计算过程： 这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项恰当拆分，使得其中部分分数相互抵消，简化计算． 阅读下面一道例题的解答过程： 因式分解： 解：我们可以将拆成和 即原式 在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项拆成两项或多项，其目的是使多项式能进行因式分解，像这样的方法称为拆项法． 请用类比的方法，解决以下问题： (1)①已知，，，……，则依据此规律_______． ②请你利用拆项法进行因式分解：． (2)若，满足，求的值． (3)受此启发，解方程：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.5 可化为一元一次方程的分式方程（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 分式方程概念及其解】 2 【题型2 解可化为一元一次方程的分式方程】 3 【题型3 由分式方程解的值的求参数】 5 【题型4 由分式方程无/有解求参数】 7 【题型5 由分式方程的整数解求参数】 9 【题型6 由分式方程解的取值范围求参数】 12 【题型7 分式方程中的新定义问题】 15 【题型8 分式方程中的规律探索题】 18 【题型9 换元法解分式方程】 24 【题型10 裂项相消法解分式方程】 26 考点1 分式方程 知识点1 分式方程 1. 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2. 分式方程的重要特征 （1）是方程； （2）分母中含有未知数． 知识点2 解分式方程 1. 解分式方程的基本思路 将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母．这也是解分式方程的一般方法． 2. 解分式方程的一般步骤 【题型1 分式方程概念及其解】 【例1】（25-26八年级下·四川成都·期中）下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A ，分母是常数，不是未知数，是整式方程，不符合要求； 选项B，不是等式，不是方程，不符合要求； 选项C，分母都是常数，是整式方程，不符合要求； 选项D ，是等式，且分母都含有未知数，符合分式方程的定义． 【变式1-1】（2026·湖南·中考真题）为分式方程的解时，k的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的解，解题的关键是将代入原方程中得到关于的方程． 将代入原方程即可求出的值． 【详解】解：将代入方程，得：， 解得：， 故选：C． 【变式1-2】请写出一个解为4的分式方程：___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据分式方程的定义及分式方程解的定义写出一个即可． 【详解】解：写出一个解为4的分式方程为：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了分式方程的定义及分式方程解的定义，掌握分式方程的有关定义是解题的关键． 【变式1-3】关于x的方程：①；②；③；④；⑤ ；⑥，分式方程有____________(填序号)． 【答案】②④⑤ 【分析】根据分式方程的定义分母里含有字母的方程叫做分式方程判断． 【详解】解：根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程， 知分式方程有：②；④；⑤， 故答案为：②④⑤． 【点睛】本题考查判断一个方程是否为分式方程，解题的关键是是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）． 【题型2 解可化为一元一次方程的分式方程】 【例2】若分式的值为1，则x的值是________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了解分式方程，根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵分式的值为1， ∴， ∴， ∴， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 【变式2-1】（25-26八年级下·河南南阳·期末）解分式方程时，下列去分母变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 原方程可化为， 方程两边同乘以最简公分母，得． 【变式2-2】（25-26七年级下·安徽滁州·期末）若分式与的值互为相反数，则的值为______． 【答案】0 【分析】根据题意得关于x的分式方程，解分式方程即可． 【详解】解：∵分式与的值互为相反数， ∴， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以分式方程的解为， 即当x的值为0时，分式与的值互为相反数． 【变式2-3】（25-26八年级下·江苏镇江·期末）在数学课上老师出了一道题，小马同学完成分式方程的部分求解过程如下： 解方程： 去分母，得：；① 去括号，得：；② 移项，得：；③ ……． 请根据以上解题过程回答问题： (1)小马同学从第 步开始出现错误，你的判断依据 ； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)①，去分母时等式右边的常数项漏乘了最简公分母 (2)解方程：， 去分母，得：； 去括号，得：； 移项，得：； 合并同类项，得：， 系数化1，得：， 经检验，是原方程的解． 【详解】（1）解：小马同学从第①步开始出现错误，判断依据是去分母时等式右边的常数项漏乘了最简公分母； （2）略 【题型3 由分式方程解的值的求参数】 【例3】（25-26八年级下·河南周口·期中）已知关于x的分式方程的解是，则常数a的值是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】已知分式方程的解，将解代入原方程，即可得到关于的一元一次方程，求解得到的值． 【详解】解：∵是分式方程的解， ∴将代入原方程，得， 移项得， 两边同乘（）， 得， 整理得， ∴． 【变式3-1】（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知关于的分式方程的解是2，则的值是_______． 【答案】0 【分析】根据方程的解的定义，把分式方程的解代入方程，得到关于m的方程，解方程即可解答． 【详解】解：∵关于的分式方程的解是2， ∴， 解得． 【变式3-2】（24-25八年级下·广东揭阳·阶段检测）若关于的方程的解与方程的解相同，则等于（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解分式方程，求出第二个分式方程的解，代入第一个方程求出a的值即可． 【详解】解：方程， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， 把代入得：， 即 去分母整理得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， 故选：B． 【变式3-3】（25-26八年级下·四川成都·期中）若关于的分式方程的解为，则m的值是（   ） A．2 B．0 C．-2 D．3 【答案】A 【分析】已知分式方程的解，将解代入原方程，即可得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值 【详解】解：∵是分式方程的解 ∴将代入原方程，得 计算得 整理得 即 【题型4 由分式方程无/有解求参数】 【例4】（24-25八年级上·湖南张家界·期末）“若关于x的方程无解，求a的值．”尖尖和丹丹的做法如下： 尖尖： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得： ， 原方程无解， ， ． 丹丹： 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 解得：， 原方程无解，为增根， ，解得， ，解得． 下列说法正确的是（   ） A．尖尖对，丹丹错 B．尖尖错，丹丹对 C．两人都对 D．两人的答案合起来才对 【答案】D 【分析】本题考查了根据分式方程的无解求参数的值，分式方程的无解包括两种情况，①当分母为0时，分式方程无解，求出x的值，代入到去分母后的整式方程求出参数的值；②去分母整理成的形式，如果，，此时分式方程也无解． 【详解】解：∵分式方程无解分两种情况， ∴两人的答案合起来才对． 故选D． 【变式4-1】（25-26八年级上·贵州铜仁·期末）已知分式方程，由于印刷问题，实数“▲”看不清楚．若原分式方程无解，则原分式方程中“▲”表示的实数是______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程得到，根据原方程无解得到是原方程的增根，则，解之即可得到答案． 【详解】解：方程两边同时乘以得， 解得， ∵原分式方程无解， ∴是原方程的增根， ∵分式方程有增根的条件是分母为0， ∴，即， ∴， 故答案为：6． 【变式4-2】关于的分式方程有解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先求出使分式方程无意义时，a的取值范围，再用逆向思维求出当分式方程有解时a的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∵方程有解， 则x−2≠0或2−x≠0， ∴x≠2， ∴≠2， 解得：k≠2． 故答案为：k≠2． 【点睛】本题考查分式方程的解，以及分式方程无意义的解，能够熟练掌握解分式方程的方法是解决本题的关键． 【变式4-3】（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）若关于x的分式方程有解，则k需满足的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程无解的情况，解题关键是掌握分式方程无解的两种情况：①整式方程本身无解；②分式方程产生增根．根据分式方程无解的情况可知，分式方程有解需满足分母不为零且化简后的方程有解，通过乘以公分母化简方程，讨论整式方程的系数并排除使解为增根的情况，即可求解． 【详解】解：∵方程的分母， ∴两边同乘，得， 化简得， 移项得， 当，即时，方程无解， ∴， 当时，， 又∵分母不为零，需且， 检验：恒成立， 检验：，解得，即， ∴且， 故选：A． 【题型5 由分式方程的整数解求参数】 【例5】（24-25八年级下·四川成都·期中）若关于的分式方程有整数解，则整数的值的和为_______． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． 先求出分式方程的解，再根据有整数解即可求得整数的值，计算即可得到答案． 【详解】解： 方程有解，则，则， ， 方程有整数解， ，， 或或或， 当时，，此时方程无解， 的值的和为， 故答案为：． 【变式5-1】若关于的分式方程有负整数解，则整数的值是__________． 【答案】5或6或8 【分析】本题考查的是解分式方程，根据分式方程的解为正整数求解字母系数的值，正确分析各个限制性的条件，理解题意是解题的关键．先解分式方程，当时，可得，再根据为负整数，且，为整数，逐一分析可得答案. 【详解】解： ， ， ， 当时，， 为负整数，且，为整数， 是4的负因数， 或或， 解得：或6或8， 当时，分式方程无解． 故答案为：5或6或8． 【变式5-2】（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）关于x的分式方程有整数解，则整数a的和为______． 【答案】 【分析】先去分母将分式方程化为整式方程，得到关于的表达式，根据分式方程有解可知，结合方程有整数解、为整数，求出所有符合条件的，再计算的和即可． 【详解】解：， 方程两边同乘去分母，得， 整理得， 当，即时，方程无解，不符合题意； 当时，解得， ∵分式方程有整数解，且分母不为零，即， ∴，即，且为的整数约数， ∴的可能取值为， 当时，，舍去； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 所有符合条件的整数为，其和为． 【变式5-3】（25-26八年级上·山东烟台·期末）若，且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和为___________． 【答案】10 【分析】本题考查了解分式方程，先理解题意，由得到，要求为正整数且，结合，求出所有符合条件的整数，然后求和，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴． 化简得 ， ∴． 依题意，为正整数且， ∴为正整数且不等于2． 设，则，其中为正整数且．又因为， ∴， 解得， 即（为正整数）． 因此． 对应值：当 ，； 当，； 当，． ∴所有整数的和为 ． 故答案为 10． 【题型6 由分式方程解的取值范围求参数】 【例6】（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是___________． 【答案】且 【分析】先解关于的分式方程，求得的值，然后再依据解是正数且分母，建立不等式求的取值范围． 【详解】解：， 两边同乘得， ∵分式方程的解为正数， ∴且， ∴且， 解得：且． 【变式6-1】（24-25八年级下·河南鹤壁·期末）如果关于的分式方程的解为非负数，那么实数的取值范围为（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先解方程得到，再根据方程的解为非负数以及分母不为0列式求解即可． 【详解】解：原方程两边同乘，得，解得， 分式方程的解为非负数， ，， 又分母不为0， ，即， ， 综上可知，且． 故选：D． 【变式6-2】（25-26八年级下·四川成都·期中）已知关于的方程的解大于1，则的取值范围是___________ 【答案】且 【分析】将分式方程转化为整式方程，得到方程的解，再根据解大于1，结合分式有意义的条件列出不等式，即可求出的取值范围． 【详解】解：， 去分母得：， 移项合并得：， ∵关于的方程的解大于， ∴，且， 解得，且． 【变式6-3】（25-26八年级下·河南洛阳·期中）关于的分式方程． (1)当时，求此时方程的解； (2)若此方程有增根，求的值； (3)若此方程的解为正数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】（1）原方程变为，两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，求得整式方程的解，再检验即可求解； （2）方程两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出的x的值，然后代入进行计算即可求出的值； （3）解分式方程得，根据方程的解为正数得出，且，解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入方程，得， 去分母得， 整理得， 即， 解得， 检验：当时，， 分式方程的解为； （2）解：方程两边都乘以得， ， 分式方程有增根， ， 解得， ， 解得； （3）解：方程两边都乘以得， ， 解得， 方程的根为正数， ，且， ∴且． 【题型7 分式方程中的新定义问题】 【例7】（25-26八年级下·河南周口·期中）对于实数a，b，定义一种新运算“☆”：☆ ，则方程☆的解是______． 【答案】 【分析】根据新定义将原方程转化为分式方程，再按照分式方程的解法求解并检验． 【详解】解：根据新定义☆ ，代入，， 方程☆ 可转化为： ， 整理得 ， 解得， 检验：当时， ， 所以是原方程的解． 【变式7-1】（25-26九年级上·全国·期末）定义运算，则方程的解是_______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，解分式方程，解不等式，理解新定义，将新定义中的计算转化为常规运算是求解本题的关键．分两种情况计算：若，若，根据新定义将方程转化为分式方程，解分式方程并检验即可得解． 【详解】解：若，即时，方程为：， 即， ，解得， 检验：当时，，且满足， 是原分式方程的解； 若，即时，方程为：， 即， ，解得，与相矛盾，故舍去； 原方程的解是． 故答案为：． 【变式7-2】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）题目：当时，定义一种新运算： 例：，．若，则的值为（） A． B． C．或0 D．0 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，分式的加减运算，解分式方程；根据定义，分和两种情况计算和，代入方程求解，并验证是否满足大小关系． 【详解】，且， 分两种情况讨论： 当时， ， ， ， 即， 解得 ， 但 ，与矛盾，无解． 当时， ， ， ， 即， 解得， 且，满足条件． ， 故选：D． 【变式7-3】（25-26八年级下·江西抚州·期末）【提炼题型】 我们定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 【识别模型】 (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”（请在横线上填“是”或“否”）． ______ ______ 【应用模型】 (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 【答案】(1)否，是； (2)． 【分析】根据“关联数对”定义分别判断即可； 根据“关联数对”定义得到，然后求解即可； 【详解】（1）解：当，时，分式方程无解，不符合“关联数对”的定义， ∴数对不是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程， ，解得， 经检验：是原分式方程的解， ∴分式方程的解为， ∵， ∴数对是关于的分式方程的“关联数对”； 故答案为：否，是； （2）解：∵数对是关于的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴，解得． 【题型8 分式方程中的规律探索题】 【例8】（25-26八年级上·山东东营·阶段检测）观察下列各式：；；； 请你类比上面三个等式反映的规律，解下列方程： ．该方程的解是____． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程和数字的变化类，解题关键是找出已知条件中各式的规律，熟练掌握解分式方程的一般步骤．根据已知条件中的等式，找出规律，方程两边同时乘2，然后按照规律计算方程的左边，再按照解分式方程的方法求出x,并进行检验即可． 【详解】解：； ； ； ； ， ， ， ， ， ， 解得：， 经检验是原方程的解， 故答案为：． 【变式8-1】（24-25八年级上·山东潍坊·期中）阅读资料： 使等式成立的x的值为或； 使等式成立的x的值为或； 使等式成立的x的值为或； …… 按此规律，使等式成立的m的值为______． 【答案】10或 【分析】本题考查了利用规律解分式方程，根据已知所得出的规律将等式化为，即可求解． 【详解】解： 或， 解得：或． 故答案：10或． 【变式8-2】（25-26八年级上·广西防城港·期末）探究与应用 【特例分析】 （1）填空： ①的解为x= ； ②的解为x= ； ③的解为x= ； ...... 【总结规律】 （2）根据你发现的规律直接写出第4个分式方程及它的解： ． 【解决问题】 （3）请你按照上述规律写出第n（n为正整数）个分式方程，并求出它的解．（写出解答过程） 【答案】①②③；（2）第4个分式方程为，解为；（3）第个分式方程为，解为 【分析】本题考查分式的规律以及分式方程，本题通过三个具体的分式方程，引导学生观察并归纳解的规律．首先解出前三个方程的解，从中发现解与序号之间的关系，进而推广到第四个方程，并最终写出第个方程及其解．解题的关键在于观察方程结构和解的变化规律，理解分式方程的解法过程，并进行代数推导与归纳总结． （1）①两边同乘以，去括号，移项合并即可，注意代入检验增根； ②两边同乘以，去括号，移项合并即可，注意代入检验增根； ③两边同乘以，去括号，移项合并即可，注意代入检验增根； （2）直接根据规律写出第四个分式方程及它的解即可； （3）根据规律，第n个方程为：，两边同乘，移项整理即可． 【详解】（1）解：①解方程：， 两边同乘以，得： 去括号：， 移项合并得：， 检验：当时，分母，解成立， 所以解为； 故答案为：； ②解方程：， 两边同乘以，得： 去括号：， 移项合并得：， 检验：当时，分母，解成立， 所以解为； 故答案为：； ③解方程：， 两边同乘以，得：， 去括号：， 移项合并得：， 检验：当时，分母，解成立， 所以解为， 故答案为：； （2）观察前三个方程： ①， ②， ③， 规律：左边分子为，右边分子为，且结构为， 因此第4个方程为： 解法同上： 两边同乘：， 整理，得：， 移项合并得：， 检验成立，解为， 所以第4个方程是，解为； 故答案为：，； （3）根据规律，第n个方程为：， 解方程： 两边同乘： 移项整理：， 解得：， 检验：当时，（因n为正整数），分母不为零，解成立， 所以第n个方程的解为． 【变式8-3】（24-25八年级下·福建泉州·期中）阅读下列材料，完成探究证明与运用． 【材料】工程队为推进修筑公路的进度，特引进新设备，引进后平均每天比原计划多修5米，现在修60米与原计划修45米所需时间相同，问现在平均每天修多少米？ 解：设现在平均每天修x米，则可列出分式方程，… 同学们在解答完成后，张老师介绍了另一种解法： 由， 从而可得：，解得，经检验是原方程的解，… 【探究】小亮同学对老师的解法很感兴趣，于是再进行探究，由比例式得成立，同时也成立，由此发现规律． （1）请将他发现的规律补充完整：已知a，b，c，d均不为0，且，若，则______，______； 【证明】 （2）已知，且，求证：． 【运用】 （3）①请用上述规律，解分式方程． ②若，求k的值． 【答案】（1）k，k； （2）证明：设， 则，，， ， ∴ ； （3）①；② 【分析】（1）设，，然后分别代入计算即可； （2）设，则，，， ，然后分别代入等式左边计算即可得出结论； （3）①直接利用（2）中的规律解分式方程即可； ②直接利用（2）中的规律即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∴，， 故答案为：k，k； （2）略 （3）①∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为； ②∵， ∴，即， ∴． 【题型9 换元法解分式方程】 【例9】（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下面材料，解答下列问题： 解方程：． 解：设，则原方程化为．方程两边同乘以y，得，解得．经检验，都是方程的解，所以当时，，解得；当时，，解得．经检验，或都是原分式方程的解，所以原分式方程的解是或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． (1)在方程中，设，则原方程换元后为_______； (2)根据上述换元法解方程：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查换元法解分式方程：（1）将代入分式方程即可；（2）令，代入分式方程求解即可． 【详解】（1）将代入中， 得： 即： （2）可化为： 即： 令 则： 解得： 当时，即，此时方程无解 当时，即，解得： 经检验，是原方程的解． 【变式9-1】（24-25八年级下·四川眉山·期中）已知关于x的方程的解为，则关于y的方程的解是（    ） A． B． C． D．无解 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解的概念，解题关键是通过变量替换将第二个方程转化为第一个方程的形式，利用已知解求解． 【详解】解：已知方程的解为， 令， 则此时第二个方程分母变为，且，与第一个方程形式完全相同， 当时，代入，解得； 验证分母：当时，和均不为零，符合条件，因此解为， 故选：A ． 【变式9-2】用换元法解方程，设，那么换元后，方程可化为整式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，则，然后将其代入原方程即可. 【详解】解：∵ ∴ ∴可化为，即． 故答案为D． 【点睛】本题考查了用换元法解分式方程，掌握换元法和解分式方程的去分母是解答本题的关键． 【变式9-3】若关于的方程的解是，则关于的方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】设，则关于y的方程可化为，从而可得，然后解方程，再一步计算解答即可． 【详解】设，则关于y的方程可化为 方程的解是， ， 检验：当时， 是原方程的根， ， 故选：B． 【点睛】本题考查解分式方程、分式方程的解，熟练掌握换元法是解决本题的关键． 【题型10 裂项相消法解分式方程】 【例10】在计算 的值时，大家可以利用裂项的思想方法，即 请你利用裂项的思路解决下列问题． (1)化简： (2)解分式方程： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察数字的变化规律，利用裂项的思路即可求得结果； （2）利用裂项的思路化简后，解分式方程即可． 本题考查了规律型：数字的变化类、有理数的混合运算，解分式方程，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：依题意， ∵ ∴原方程化简为 去分母，得． 整理，得． 解得． 经检验，是原分式方程的解． 【变式10-1】李华在计算时，探究出了一个“裂项”的方法，如：，利用上面这个运算规律解决以下问题： (1)求的值； (2)证明：； (3)解方程：． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据“裂项”的方法，计算即可； （2）根据“裂项”的方法，计算证明即可； （3）首先根据“裂项”的方法化简方程左边，然后把分式方程化为整式方程，计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）证明： ， ∵， ∴， ∴； （3）解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 检验：是原分式方程的解， ∴原方程的解为． 【点睛】本题考查了有理数四则混合运算、解分式方程，解本题的关键在理解题意，充分利用运算规律计算． 【变式10-2】阅读下列材料： ∵，，，……， ∴ = = =． 解答下列问题： （1）在和式中，第6项为______，第n项是__________． （2）上述求和的想法是通过逆用________法则，将和式中的各分数转化为两个数之差，使得除首末两项外的中间各项可以_______，从而达到求和的目的． （3）受此启发，请你解下面的方程： ． 【答案】（1）；（2）分式减法，对消；（3）x=2是原分式方程的根． 【分析】认真审题，找到规律（两个连续奇数的积的倒数等于它们的倒数差的一半），再依据规律解题即可． 【详解】（1）根据题中的规律可得：; （2）分式减法，对消; （3）解析：将分式方程变形为 整理得， 方程两边都乘以2x（x+9），得 2（x+9）-2x=9x，解得x=2． 经检验，x=2是原分式方程的根． 【点睛】方程若用常规方法来解，显然很难，这种先拆分分式化简后再解分式方程的方法不失是一种技巧． 【变式10-3】（24-25七年级上·上海黄浦·阶段检测）类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题的途径和方法． 观察下列计算过程： 这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项恰当拆分，使得其中部分分数相互抵消，简化计算． 阅读下面一道例题的解答过程： 因式分解： 解：我们可以将拆成和 即原式 在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项拆成两项或多项，其目的是使多项式能进行因式分解，像这样的方法称为拆项法． 请用类比的方法，解决以下问题： (1)①已知，，，……，则依据此规律_______． ②请你利用拆项法进行因式分解：． (2)若，满足，求的值． (3)受此启发，解方程：． 【答案】(1)①；②； (2)； (3)． 【分析】本题考查了有理数的混合运算、因式分解与解分式方程，解题的关键是明确题意，理解裂项相消法的应用以及熟练求解分式方程． （1）①类比题材即可得解； ②类比题材即可因式分解； （2）根据绝对值和偶次方的非负性得，，然后代入所求式子利用裂项相消法即可求解； （3）利用拆项法因式分解后再利用裂项相消法化简方程，解化简后的分式方程即可． 【详解】（1）解：①∵ ∴类比得， 故答案为：； ②； （2）解：∵满足，即 ∴，， 解得，， ∴， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $