23.2（第3课时）用待定系数法求一次函数解析式（大单元分层作业）数学新教材人教版八年级下册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦“用待定系数法求一次函数解析式”，采用A夯基础、B提能力、C拓展培优三阶分层设计，梯度递进覆盖从基础求解到综合应用，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A夯基础|单一待定系数法求解析式|以选择填空为主，直接应用公式，巩固概念理解| |B提能力|结合图像平移、对称的综合应用|增加解答题，强化推理能力，衔接知识关联| |C拓展培优|几何情境中的函数建模与探究|含动态几何、新定义问题，发展创新意识与空间观念|

23.2（第3课时）用待定系数法求一次函数解析式（解析版） 目 录 A.夯基础 1 B.提能力 24 C.拓展培优 34 1．在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图象向左平移3个单位长度经过点，则的值为（     ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一次函数平移的“左加右减”规律得到平移后的解析式，再将已知点代入解析式，用待定系数法求解的值即可． 【详解】解：根据一次函数图象平移规则，原函数向左平移3个单位后，对加3，可得平移后的解析式为， ∵平移后的图象经过点， ∴把，代入解析式得， 整理得， 解得． 2．一次函数的图象经过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知点坐标代入解析式，解一元一次方程即可得到的值． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴将代入得：， 移项得：， 解得：． 3．已知两点与，点在轴上且使最短，则的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用轴对称性质和两点之间线段最短求解，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为使最短的点，再通过求直线的解析式得到点坐标． 【详解】解：∵两点之间线段最短， ∴作关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求点，如图， 设直线的解析式为，将，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵在轴上，横坐标为，将代入解析式得， ∴点坐标为． 4．已知一次函数的图象经过点，则的值为（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】将已知点的坐标代入一次函数解析式，即可求出的值． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点 ∴将，代入解析式得 解得． 5．如图，一次函数的图象经过，两点，则这个一次函数的解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设一次函数的解析式是， 由函数图象得，一次函数过， ， 解得， ． 6．下列四个点中只有一个点不在一次函数的图象上，这个点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先选取两个点求出一次函数的解析式，再将剩余两个点代入解析式验证，不满足解析式的点即为不在图象上的点． 【详解】解：选取点和代入得： ，解得：， ∴该一次函数解析式为， ∴当时，则；当时，则； ∴选项C在该一次函数图象上，而选项D不在这个一次函数图象上． 7．在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度后恰好经过点，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据平移规则得到平移后的函数解析式，再代入已知点坐标即可计算出的值，掌握“上加下减”的平移规律是解题关键． 【详解】解：∵将一次函数的图象沿轴向上平移（）个单位长度后的函数解析式为． 又∵平移后的图象经过点， ∴将，代入解析式得： 解得． 8．已知一次函数的图象经过点和，则、的值分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】将两个已知点代入一次函数解析式，得到关于和的二元一次方程组，解方程组即可得到结果． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点和， ∴把点和代入中，得： ， 解得：． 9．点P在一次函数的图象上，若函数值y随着x的增大而减小，则点P的坐标不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数性质，y随x增大而减小可得，将各选项点坐标代入函数解析式求出k，判断k是否满足，不满足的即为不可能的坐标． 【详解】解：∵一次函数中，y随着x的增大而减小 ， ∴， A．将代入解析式得： ， 解得， 不满足，点P不可能为， ∴该项符合题意． B．将代入，得 ， 解得，点P可能为， ∴该项不符合题意； C．将代入，得 ，解得 ，点P可能为， ∴该项不符合题意； D．将代入，得 ， 解得，点P可能为， ∴该项不符合题意． 10．已知一次函数，下表是与的几组对应值，则该一次函数的图象经过（     ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】C 【分析】先利用表格中的对应值求出一次函数的解析式，再根据一次项系数和常数项的符号，结合一次函数的性质判断图象经过的象限． 【详解】解：一次函数解析式为，由表格可知，当时，，代入得， 取，代入解析式得 ， 解得， 一次函数解析式为， ，， 函数图象经过第一、二、四象限． 11．一次函数的图象经过点M，且y的值随x值的增大而增大，则点M的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质与一次函数图象上点的坐标特征，由随增大而增大可得，将各选项点的坐标代入解析式求出，即可判断符合条件的选项． 【详解】解：∵一次函数中，随值的增大而增大，∴． A．将代入得，解得，不符合要求； B．将代入得，解得，不符合要求； C．将代入得，解得，符合要求； D．将代入得，解得，不符合要求． 12．将一次函数的图象沿y轴向上平移m个单位长度后经过点，则m的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先根据平移规则得到平移后的函数解析式，再代入已知点的坐标即可求解的值． 【详解】解：∵将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度， ∴平移后得到的函数解析式为， ∵平移后的图象经过点， ∴将代入解析式得， 解得：． 13．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数（b为常数）的图象分别交x轴、y轴于点、B，则的面积为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】先将代入，得出，进一步可得出点的坐标，进而可得出，的长，结合三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意，将代入得，， 解得，， ， 当时，，即， ． ， ， 的面积为． 14．在平面直角坐标系中，将某个一次函数的图象向下平移2个单位后，恰好经过点和，则这个一次函数的表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用待定系数法求出平移后一次函数的解析式，再根据一次函数图象平移“上加下减”的规律，求出原一次函数的表达式． 【详解】解：设平移后得到的一次函数解析式为， ∵平移后的图象经过点和， ∴将代入解析式，得， 将和代入解析式，得，解得， ∴平移后的一次函数解析式为， ∵原一次函数向下平移2个单位得到平移后的函数，根据平移“上加下减”的规律，将平移后的函数向上平移2个单位即可得到原函数， ∴原一次函数的表达式为． 15．已知一次函数（k为常数），y随x的增大而减小，若点N在该函数的图象上，则点N的坐标不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一次函数增减性得到，再将各选项坐标代入函数解析式，计算的值，判断是否满足，即可得到不可能的坐标． 【详解】解：∵一次函数中，随增大而减小， ∴． A．将代入解析式得：，解得，符合条件，故A可能； B．将代入解析式得：，解得，符合条件，故B可能； C．将代入解析式得：，解得，符合条件，故C可能； D．将代入解析式得：，解得，不符合，故D不可能． 16．已知直线和，若直线经过点且满足，则、的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】先根据两直线平行的问题得到，然后把代入求出b即可． 【详解】解：∵直线与直线平行， ， ∵直线经过点， ， ． 17．在中，当时，；当时，；则当时，（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用待定系数法求解一次函数的解析式，再代入计算对应的值即可． 【详解】解：∵在中，当时，当时， ∴将两组值代入解析式可得方程组， 解得， ∴一次函数解析式为， 当时，． 18．已知一次函数的图象经过第二、三、四象限，则下列各点不可能位于该函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一次函数图象经过的象限确定的取值范围，再将各选项点代入解析式求出，判断是否符合取值范围，不符合的即为不可能在图象上的点． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴． A．代入得，解得，符合要求，该点可能在图象上； B．代入得，解得，符合要求，该点可能在图象上； C．代入得，解得，符合要求，该点可能在图象上； D．代入得，解得，不符合的要求，因此该点不可能在函数图象上． 19．若点在正比例函数的图象上，则这个正比例函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题使用待定系数法求解正比例函数表达式，先设正比例函数的一般形式，再将已知点的坐标代入求出比例系数，即可得到函数表达式． 【详解】解：设这个正比例函数的表达式为， ∵点在该正比例函数的图象上， ∴，解得， ∴这个正比例函数的表达式是． 20．在平面直角坐标系中，直线（、为常数，且）与直线关于轴对称，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用关于轴对称的点的坐标特征，先求出已知直线与坐标轴的交点，再得到对应对称点坐标，代入求出的值，即可计算出的结果. 【详解】解： 对于直线， 令得，得交点； 令得，得交点， ，关于轴对称的点分别为，， 直线经过上述两个对称点， ∴将代入得， 将和代入得： ，解得， . 21．已知函数的图象过点，那么________． 【答案】6 【分析】将点代入函数的解析式，即可求出的值． 【详解】解：函数的图象过点， ， 解得． 22．一次函数图像向下平移后经过点，则平移后图像的函数表达式是______． 【答案】 【分析】一次函数图象上下平移时，一次项系数保持不变，根据平移性质设出平移后的解析式，代入已知点的坐标求解即可； 【详解】解：一次函数图象上下平移时，一次项系数不变，原函数一次项系数为， 设平移后函数表达式为， 将点代入得：，解得， 平移后图像的函数表达式是． 23．已知一次函数的图象与直线平行，且经过点，则其解析式为______． 【答案】 【分析】先根据两直线平行的性质确定的值，再将已知点的坐标代入解析式求出的值，即可得到该一次函数的解析式． 【详解】解：一次函数的图象与直线平行， ， 一次函数经过点， 将点代入，得， 解得， 该一次函数的解析式为． 24．一次函数过点，则该直线与坐标轴围成的三角形的面积是________． 【答案】/0.25 【分析】先利用待定系数法，将已知点的坐标代入一次函数解析式求出参数的值，再求出直线与轴和轴的交点坐标，最后根据三角形面积公式计算得到结果. 【详解】解：将点代入，得， 解得， 因此一次函数的解析式为， 令，得，即直线与轴的交点坐标为 令，得，解得，即直线与轴的交点坐标为 直线与坐标轴围成的三角形为直角三角形，两条直角边的长度分别为和 根据三角形面积公式，得. 25．若直线经过点和，则关于的函数解析式为_________． 【答案】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，将两点坐标代入直线解析式，消去参数，整理即可得到关于的函数解析式． 【详解】解：直线经过点和． 将两点坐标代入直线解析式，得 整理第一个等式，移项得 整理第二个等式，移项得 联立得 移项，合并同类项得． 26．将一次函数的图象向下平移4个单位长度后经过点，则______． 【答案】 【分析】先根据一次函数平移中“上加下减”的规律，求出平移后的解析式，再代入点坐标求解的值． 【详解】解：将的图象向下平移个单位长度后，所得图象的解析式为， 整理得， 将点代入，得， 解得． 27．当直线与直线互相垂直时，．例如直线与直线互相垂直．若直线与直线互相垂直，且直线经过点，则b的值为________． 【答案】2 【分析】先求出直线的值，再将点的坐标和值代入直线解析式，即可求出的值. 【详解】解：直线与直线互相垂直， ， 解得， 又直线经过点， 将，，代入得：， 整理得， 解得. 28．将一次函数的图象向左平移个单位，若平移后的图象恰好经过点，则的值为______． 【答案】1 【分析】先根据一次函数图象平移的“左加右减”规律得到平移后的解析式，再将已知点代入解析式求解的值即可． 【详解】解：根据一次函数图象平移规律，将的图象向左平移个单位后，得到的新函数解析式为 整理得 平移后的图象经过点 将，代入解析式得 解得 29．已知正比例函数经过点，请写出一个平行于图象的一次函数表达式_____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先求出正比例函数表达式的k值，再由一次函数图象平行，相同，不同求解即可． 【详解】解：正比例函数经过点 则， 解得 则一个平行于图象的一次函数表达式可以是（答案不唯一）． 30．若一次函数的图象向上平移3个单位长度后经过点，则________． 【答案】 【分析】先根据平移规律得到平移后函数解析式，再代入已知点坐标求解即可. 【详解】解：将一次函数的图象向上平移个单位长度后，得到解析式， 将点代入，得， 解得. 31．写出一个函数表达式，使它的图象经过，且时，y随x的增大而增大，这个函数表达式可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】设所求函数为一次函数，根据一次函数的增减性确定一次项系数的取值范围，再利用函数图象经过已知点求解未知参数，即可得到符合要求的函数表达式，答案不唯一． 【详解】解：设所求函数为一次函数，表达式为． 时，随的增大而增大， ． 令，可得函数为． 将点代入得，解得． 因此符合条件的函数表达式可以为（答案不唯一）． 32．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点，这个一次函数的解析式______． 【答案】 【分析】将已知两点的坐标代入一次函数解析式，得到关于和的二元一次方程组，解方程组得到和的值，即可确定一次函数解析式． 【详解】解：∵一次函数图象经过点，， ∴， 解得， ∴这个一次函数的解析式为． 33．一次函数图象过点和，那么它的函数解析式为：______________． 【答案】 【分析】先设出一次函数解析式为，再将已知两点坐标代入解析式，解方程组求出未知系数，即可得到函数解析式． 【详解】解：设该一次函数的解析式为， 将点，分别代入解析式得： ，解得：， ∴该一次函数的解析式为． 34．若点是一次函数图象上的一点，且函数图象经过第一、二、四象限，请写出一个满足条件的函数表达式：________． 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象与性质确定系数的取值范围，再结合已知点的坐标求解即可． 【详解】解：设满足条件的一次函数表达式为， 一次函数图象经过第一、二、四象限， ，， 将点代入， 得， 可取， 则满足条件的一次函数表达式为． 35．将直线沿y轴向上平移2个单位长度后经过点，则________． 【答案】 【分析】由平移得平移后的函数式，再把点代入即可求解． 【详解】解：将直线沿y轴向上平移2个单位长度后得到， ∵经过点， ∴， 解得：． 36．在平面直角坐标系中，将直线向上平移2个单位后经过点，则b的值为________． 【答案】 【分析】根据一次函数平移的规律：上加下减，改变常数项；左加右减，改变自变量得出平移后的函数表达式，再将平移后的点代入中计算即可求出b的值． 【详解】解：根据题意得平移后的函数表达式为． 平移后过点， ， 解得． 37．已知一次函数的图像经过点和点，这个一次函数的解析式为______． 【答案】/ 【详解】解：一次函数解析式为， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为 ． 38．定义为一次函数的特征数，若点在特征数是的一次函数上，则的值是_________． 【答案】3 【分析】根据特征数的定义得到对应一次函数的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，代入点的坐标计算得到的值． 【详解】解：由题意得，特征数对应的一次函数为， ∵点在该一次函数图象上， ∴将代入函数解析式得， 解得． 39．如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点． (1)当时，的取值范围是________； (2)将向下平移（）个单位长度得到直线，若平移后的直线经过点关于轴的对称点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据可得随的增大而减小，把和代入求解即可； （2）先求出点的坐标为，得出点关于轴的对称点为，设出直线的解析式，代入求解即可； 【详解】（1）的解析式为， ， 随的增大而减小， ， 当时，， 当时，， ； （2）对于直线：，令，则， ， 关于轴的对称点为， 向下平移（）个单位长度得到直线， 直线的解析式为， 直线过点， ， ． 40．已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数解析式； (2)画出该一次函数的图象． 【答案】(1)； (2)图见解析 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为，把点和点代入，得 ， 解得， ∴； （2）解：由题意，画图如下： 41．已知一次函数的图象经过点与点． (1)求该一次函数的表达式； (2)画函数图象． 【答案】(1)该一次函数的表达式为； (2)该函数图象如图所示： 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）描点、连线画出函数图象即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点与点， ∴， 解得， ∴该一次函数的表达式为； （2）略 42．已知一次函数的图象过点与． (1)求这个一次函数的解析式； (2)判断点是否在该函数图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2) 点不在该函数图象上，理由如下： 将代入， 得： ， ∵， ∴点不在该函数图象上． 【分析】（1）使用待定系数法求解，先设出一次函数解析式，将已知两点坐标代入得到方程组，解方程组得到和的值，即可得到函数解析式； （2）将点的横坐标代入已求得的解析式，计算出对应的纵坐标，将计算结果与点的纵坐标比较，即可判断点是否在函数图象上． 【详解】（1）解：设这个一次函数的解析式为， 将点和代入解析式得： ， 解得， ∴这个一次函数的解析式为． （2）略 43．一个一次函数，当自变量时，函数值；当时，函数值． (1)求这个一次函数的解析式； (2)在所给平面直角坐标系中画出该函数的图象，并直接写出图象与两条坐标轴围成的三角形面积； (3)当时，自变量的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)图象见解析，4； (3) 【分析】（1）设一次函数的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）先画出函数图象，再根据一次函数与坐标轴的交点求面积即可； （3）分别求出和时自变量的值，再结合图象即可得出取值范围． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， ， 解得：， 一次函数的解析式为； （2）解：由题意可知，函数图象过点和， 画函数图象如下： 令，则， 图象与两条坐标轴围成的三角形面积为； （3）解：当时，，解得：， 当时，，解得：， 结合图象可知，当时，自变量的取值范围是． 44．已知与成正比例，并且当时，． (1)求与之间的函数解析式； (2)如果这个函数的图象经过点，求的值． 【答案】(1)（或） (2) 【分析】（1）设，代入时，求解即可； （2）把代入解析式求解即可； 【详解】（1）解：设，由题意得， 解得， 与之间的函数关系式是（或）； （2）解：函数图象经过点， ， 解得． 45．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点，与轴交于点C． (1)求该函数的解析式； (2)的面积为________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）令直线交轴于点，求出，则，再由计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点和点， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：如图，令直线交轴于点， 在中，当时，，即， ∴， ∴ ． 46．若y与成正比，且当时，，求y与x之间的函数关系式． 【答案】 【分析】设函数关系式为，再将，代入函数关系式，求出k的值，即可得出答案． 【详解】解：∵y与成正比， ∴设函数关系式为， 将，代入函数关系式得， 解得， 将代入所设关系式，得， ∴y与x之间的函数关系式为． 47．在平面直角坐标系中，函数的图象过点和． (1)求和的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且大于1，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将两个已知点的坐标代入一次函数解析式，得到关于k和b的二元一次方程组，解方程组即可得到结果； （2）根据题意列出时恒成立的两个不等式，分情况讨论不等式恒成立的条件，结合的范围推导得到m的取值范围． 【详解】（1）解：将点和代入， 得， 解得； （2）解：由（1）得， 根据题意得，当时，且恒成立， ∴且， 对于，若，则， ∴， 当时，x可取任意小于2的数，无法满足常数， ∴无解，舍去， 若，可得，不等式恒成立； 若，则， ∴， ∵对所有恒成立， ∴， ∴ 解得； ∴第一个不等式要求， 对于，若，则当时，满足， 又∵在中，不可能都满足， ∴舍去， 若，可得，不等式恒成立； 若，则， ∵对所有恒成立， ∴， ∴； 解得； ∴第二个不等式成立的条件是 ． 又∵， ∴m的取值范围为． 48．已知与成正比例，且当时，． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求的最大值． 【答案】(1) (2)当时，x的最大值为 【分析】（1）依据正比例的定义设出，再将的已知数值代入，通过解方程确定系数，进而整理得到与的函数表达式； （2）先根据一次函数一次项系数正负判断函数增减性，结合的取值范围确定取得最大时对应的值，再代入函数式计算的最大值． 【详解】（1）解：设， 把，代入，得， 解得， ， 则与之间的函数表达式为； （2）解：中， 随的增大而减小， ， 当时，取到最大值， 把代入，得， 当时，的最大值为． 49．在平面直角坐标系中，一次函数：的图象与直线平行，且经过点． (1)求该一次函数的解析式； (2)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线平行，得到，待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求得当时，；当时，；再根据可知，随的增大而减小，即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数：的图象与直线平行， ∴， 将点代入中，得，解得， ∴该一次函数的解析式为； （2）解：当时，； 当时，； ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，． 50．已知一次函数的图象经过两点． (1)求的值； (2)若一次函数的图象与轴，轴的交点分别为．求交点坐标以及函数图象与坐标轴围成三角形的面积（为坐标原点）． 【答案】(1)， (2)，，的面积为 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）求出的坐标，然后根据三角形的面积公式求得即可． 【详解】（1）解：把，两点坐标代入， 得，， 解得：，； （2）解：由（1）得，，即， 当时，； 当时，； ∴，， ∴的面积为． 1．在平面直角坐标系中，将点沿箭头方向按如图所示规律移动，当点首次位于轴上时，停止移动．甲、乙、丙三位同学的结论如下， 甲：点的坐标为； 乙：若在直线两侧的点（点，，，）的个数相等，则的取值范围为； 丙：直线与折线相交于点，从到的运动中的值先减小后增大． 其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得出点的移动规律，写出前10个点的坐标，从而确定的值；根据坐标验证甲的结论；根据直线将点集分为数量相等的两部分，确定的取值范围验证乙的结论；根据分析点运动过程中的变化情况验证丙的结论，最后统计正确个数． 【详解】解：由题意得，当为奇数时，第次移动为向下移动个单位长度，当为偶数时，第次移动为向右移动个单位长度， ， ， 当点首次位于轴上时，停止移动， ，一共有个点， 对于甲：点的坐标为，故甲说法正确； 对于乙：若在直线两侧的点个数相等，则每侧各有个点， 观察各点坐标可知，位于直线左上方，位于直线右下方， 当直线经过时， ， 解得， 当直线经过时， ，解得， 当时，直线两侧点的个数相等，故乙说法正确； 对于丙：， 当点在上时，不变，从减小到，则逐渐变小当点在上时，不变，从增大到，则逐渐变小， 从到的运动中的值逐渐变小，故丙说法错误， 综上所述，正确的结论有甲、乙，共个． 2．对x、y定义一种新运算T，规定： （其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如 ，若 ， ，则下列结论正确的个数为（    ） （1）； （2）若 ，则； （3）若 ，则 m、n有且仅有1组正整数解； （4）若 ，且、为非负数，则 的最小值为15，最大值为25． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意建立方程组求解即可判断（1）；根据题意得出，进行整理化简即可判断（2）；由得是4的正因数，然后确定4的正因数为，依次代入计算即可判断（3）；根据题意建立不等式组，然后根据一次函数的性质求解即可判断（4） 【详解】解：∵ ， ，， ∴ ， 整理得 将代入，得 ， 解得，，故结论(1)正确； ∵ ，代入得 ， 整理得 ∵ ， ∴ ，故结论(2)正确； 若为正整数，由得是4的正因数， 4的正因数为 ∴ 时，不是正整数，舍去； 时，不是正整数，舍去； 时，，符合要求； 故仅有1组正整数解，结论(3)正确； ∵ ，代入得 ，即 ∵ 为非负数， ∴ ， 解得 将代入 得 ∵ ，随增大而减小 ∴ 当时， ； 当时， ，故结论(4)正确； 综上，4个结论都正确． 3．已知一次函数的图像经过点．则下列各点可能在该函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用已知点得到k与b的关系式，再将各选项点坐标代入函数解析式，判断求出的是否满足即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图像经过点， ∴将代入解析式得，即， ∴函数解析式为； A．将代入解析式，得，解得，不满足，故该点不在函数图像上； B．将代入解析式，得，解得，不满足，故该点不在函数图像上； C．将代入解析式，得，解得，不满足，故该点不在函数图像上； D．将代入解析式，得，解得，满足，故该点可能在函数图像上． 4．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点关于y轴的对称点Q落在内（不包括边），则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出直线、直线的解析式，求出点Q的运动范围，再根据轴对称的性质即可求出a的取值范围． 【详解】解：设直线的解析式为， 将，代入得： 解得： ∴直线的解析式为， 当时，； 设直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，； 即点Q在范围内运动， ∵点关于y轴的对称点Q， ∴． 5．如图，平面直角坐标系中两点，，下列坐标的点不能与，两点构成等腰三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的判定．利用勾股定理求得，利用待定系数法求得直线的解析式为，根据等腰三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：∵点，， ∴， 对于点， ， ∴点能与，两点构成等腰三角形，则选项A不符合题意； 对于点， ， ∴点能与，两点构成等腰三角形，则选项B不符合题意； 对于点， ， ∴点能与，两点构成等腰三角形，则选项C不符合题意； 对于点， 设直线的解析式为，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点在直线上， ∴点不能与，两点构成三角形，则选项D符合题意； 故选：D． 6．已知一次函数的图象经过点，，若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查的是一次函数的性质，通过将已知点代入一次函数解析式，联立方程求出a、b的表达式，再结合c的取值范围，利用有理数正负性判断规则确定a、b的符号，进而选出正确选项． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点和 ∴将两点代入解析式得： ， ②①得：， ∵， ∴，， ∴， 由①得：，将代入得： ， ∵，，， ∴， ∴，， 故选：D． 7．已知点是直线（）上一点，下列四个点中有三个点在该直线上，则不在该直线上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质、求一次函数解析式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的性质可得，再分别求出当选项中的点也在直线上时对应的值，即可得出答案． 【详解】解：∵点是直线（）上一点， ∴， 若点在该直线上，则， 整理得：， ∴， 解得， ∴直线解析式为； 若点在该直线上，则， 整理得：， ∴， 解得， ∴直线解析式为； 若点在该直线上，则， 整理得：， ∴， 解得， ∴直线解析式为； 若点在该直线上，则， 整理得：， ∴， 解得， ∴直线解析式为； ∴点，，都在直线上， ∴不在该直线上的点是． 故选：A． 8．如图，过点作轴于，作轴于，以为边作等边，连，则直线的解析式为__________． 【答案】 或 【分析】根据点 的坐标及垂直关系求出点 的坐标，从而得到 的长度，根据等边三角形的性质求出点 的坐标，设直线 的解析式为 ，利用待定系数法求出 的值即可，注意点 可能在 的上方或下方，需分类讨论． 【详解】解：，轴于， ， ， 当点在 上方时，如图，作， 是等边三角形 ， ∴，， ∴，， ∵轴，， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， 直线的解析式为， 当点在下方时，同理可得， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， 直线的解析式为， 综上所述，直线的解析式为或． 9．我们学习过光的反射定律：反射光线和入射光线、法线在同一平面内，反射光线和入射光线分居法线两侧，反射角等于入射角．在平面直角坐标系中，放置一块平面镜（点在轴上），从点处发射的光线照射到平面镜的点处，反射光线为，如图所示．若恰好经过点，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】作点关于法线的对称点，设的解析式为，则，，用待定系数法，即可求解． 【详解】解：作点关于法线的对称点， 设反射光线的解析式为，则点， 点是点关于法线的对称点， ， 恰好经过点，代入得： ，解得， ， 点． 10．已知一次函数（，是常数），当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围是，那么该一次函数的表达式是________． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论①，②，待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】解：①当时，一次函数（，是常数），随增大而增大，函数必过，，则， 解得． ∴该一次函数的表达式是． ②当时，一次函数（，是常数），随增大而减小，函数必过，，则， 解得． ∴该一次函数的表达式是． 综上所述，该一次函数的表达式是或． 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴轴分别交于两点，与正比例函数的图象交于点． (1)求，的值； (2)求点到直线的距离； (3)在轴上是否存在一点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）点代入得出，则，代入得出； （2）分别求得的坐标，根据勾股定理求得的长，进而根据等面积法，即可求解； （3）设轴上点坐标为，分求得，进而根据为直角边，分类讨论，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数上，代入得：， 解得，即． 又∵在一次函数上，代入得：， 解得． （2）由（1）得直线的解析式为， 令得，即， ∴； 令得，即， ∴． 在中，． 设到直线的距离为，由三角形面积公式：， 代入得， 解得． 即点到直线的距离为． （3）存在满足条件的点，设轴上点坐标为， ∴，，． ∵以为直角边的直角三角形， 分两种情况：①直角顶点为：满足， 代入整理得， 解得， 得； ②直角顶点为：满足， 代入整理得， 解得， 得． 综上，存在点，坐标为或． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值，并求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)点在轴上，若为等腰三角形，直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点的坐标为或或或 【分析】（1）先把点纵坐标代入正比例函数解析式求出，确定点横坐标，再将、两点坐标代入一次函数用待定系数法求解析式； （2）求出点的坐标后以为底，点横坐标为高，套用面积公式算面积； （3）设点的坐标为，然后表示出，，，分、、三种情况分类讨论，进而求出点坐标． 【详解】（1）解：在上， 将点坐标代入可得，， 解得， 点的坐标为， 将，代入， 可得， 解得， 一次函数的解析式为． （2）解：如图，过点作轴， 已知一次函数的解析式为， 当，可得， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， 故． （3）解：设点的坐标为， ，， ，，， 当时，， 可得， 解得或， 若，点与点重合，舍去， 此时点的坐标为； 当时，， ， 解得或， 此时点的坐标为或； 当时，， 可得， 解得， 此时点的坐标为． 综上，点的坐标为或或或． 3．如图，直线与直线交于点，交x轴于点B，直线分别与x轴、y轴交于点C，，连接．点为线段上的一个动点，连接． (1)求直线的解析式； (2)若将的面积分为两部分，求点P的坐标； (3)点是点P关于y轴的对称点，当在内部时（不含边界），直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）先将点代入，得出点的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先求得，再分两种情况讨论求解即可； （3）先求出，根据关于轴对称的点的性质得到，作点关于轴的对称点，则，连接，与交于点．利用待定系数法求出直线和直线的解析式，联立得到点的坐标，再根据点在线段之间（不含线段端点），即可求解． 【详解】（1）解：将点代入得， ，即． 将点，代入得， ， 解得：，． 直线的解析式为； （2）解：在中，令，则， ，． ， ． 点P是线段AC上的动点， ． ①当时，，解得． 点在直线上， ，符合题意， ． ②当时：解得． 点在直线上， ，符合题意， ． 综上，点P的坐标为或； （3）解：由（1）知直线的解析式为． 令，则，解得：， ． 是关于轴的对称点， ． 如图，作点关于轴的对称点，则，连接，与交于点． 设直线的解析式为， 把代入得，解得， 直线的解析式为； 设直线的解析式为，则有， ，． 直线的解析式为， 联立可得：，解得，． 点， 当在内部时（不含边界），点在线段之间（不含线段端点）， ． ． 4．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的横坐标为a，点A的纵坐标为b，且实数a，b满足． (1)如图1，求点A的坐标； (2)如图2，过点A作x轴的垂线，垂足为点B．已知点，连接，，请在y轴上找一点P，使的面积与的面积相等，并求出点P的坐标． (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使为等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或； (3)符合要求的Q点坐标为或或或或． 【分析】（1）根据非负数的性质求得的值，即可确定点的坐标； （2）设直线的解析式为：，利用待定系数法可得直线的解析式为：，设直线交y轴于点G，可得，求出，即，根据题意设，则有，利用三角形面积公式列方程，据此求解即可； （3）分别以A、C为圆心，长为半径画圆，与x轴依次交于点、、、，的垂直平分线交x轴于点，过点C作轴于点D，以上、、、、即是满足要求的Q点，先利用勾股定理求出，采用勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵实数，满足， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为； （2）解：设直线的解析式为：， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设直线交y轴于点G，如图， 当时，， ∴， ∵轴，， ∴，即， 根据题意设， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得：或， ∴点P的坐标为或； （3）解：如图，分别以A、C为圆心，长为半径画圆，与x轴依次交于点、、、，的垂直平分线交x轴于点，过点C作轴于点D，如图， ∴，， ∵，，轴， ∴，，， ∴， ∵轴， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴， 同理可得：， ∵轴， ∴， ∴在中，   ， ∴， ∴， 同理可得：， ∵，，设点点坐标为，且，即， ∴， 解得， ∴， 综上所述：符合要求的Q点坐标为或或或或． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.2（第3课时）用待定系数法求一次函数解析式（原卷版） 目 录 A.夯基础 1 B.提能力 6 C.拓展培优 8 1．在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图象向左平移3个单位长度经过点，则的值为（     ） A．3 B． C． D． 2．一次函数的图象经过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．已知两点与，点在轴上且使最短，则的坐标是（     ） A． B． C． D． 4．已知一次函数的图象经过点，则的值为（     ） A． B．2 C． D．4 5．如图，一次函数的图象经过，两点，则这个一次函数的解析式是（     ） A． B． C． D． 6．下列四个点中只有一个点不在一次函数的图象上，这个点是（   ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度后恰好经过点，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知一次函数的图象经过点和，则、的值分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 9．点P在一次函数的图象上，若函数值y随着x的增大而减小，则点P的坐标不可能是（     ） A． B． C． D． 10．已知一次函数，下表是与的几组对应值，则该一次函数的图象经过（     ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 11．一次函数的图象经过点M，且y的值随x值的增大而增大，则点M的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 12．将一次函数的图象沿y轴向上平移m个单位长度后经过点，则m的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数（b为常数）的图象分别交x轴、y轴于点、B，则的面积为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 14．在平面直角坐标系中，将某个一次函数的图象向下平移2个单位后，恰好经过点和，则这个一次函数的表达式为（     ） A． B． C． D． 15．已知一次函数（k为常数），y随x的增大而减小，若点N在该函数的图象上，则点N的坐标不可能是（     ） A． B． C． D． 16．已知直线和，若直线经过点且满足，则、的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 17．在中，当时，；当时，；则当时，（     ） A． B． C． D． 18．已知一次函数的图象经过第二、三、四象限，则下列各点不可能位于该函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 19．若点在正比例函数的图象上，则这个正比例函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 20．在平面直角坐标系中，直线（、为常数，且）与直线关于轴对称，则的值是（    ） A． B． C． D． 21．已知函数的图象过点，那么________． 22．一次函数图像向下平移后经过点，则平移后图像的函数表达式是______． 23．已知一次函数的图象与直线平行，且经过点，则其解析式为______． 24．一次函数过点，则该直线与坐标轴围成的三角形的面积是________． 25．若直线经过点和，则关于的函数解析式为_________． 26．将一次函数的图象向下平移4个单位长度后经过点，则______． 27．当直线与直线互相垂直时，．例如直线与直线互相垂直．若直线与直线互相垂直，且直线经过点，则b的值为________． 28．将一次函数的图象向左平移个单位，若平移后的图象恰好经过点，则的值为______． 29．已知正比例函数经过点，请写出一个平行于图象的一次函数表达式_____________． 30．若一次函数的图象向上平移3个单位长度后经过点，则________． 31．写出一个函数表达式，使它的图象经过，且时，y随x的增大而增大，这个函数表达式可以是______． 32．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点，这个一次函数的解析式______． 33．一次函数图象过点和，那么它的函数解析式为：______________． 34．若点是一次函数图象上的一点，且函数图象经过第一、二、四象限，请写出一个满足条件的函数表达式：________． 35．将直线沿y轴向上平移2个单位长度后经过点，则________． 36．在平面直角坐标系中，将直线向上平移2个单位后经过点，则b的值为________． 37．已知一次函数的图像经过点和点，这个一次函数的解析式为______． 38．定义为一次函数的特征数，若点在特征数是的一次函数上，则的值是_________． 39．如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点． (1)当时，的取值范围是________； (2)将向下平移（）个单位长度得到直线，若平移后的直线经过点关于轴的对称点，求的值． 40．已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数解析式； (2)画出该一次函数的图象． 41．已知一次函数的图象经过点与点． (1)求该一次函数的表达式； (2)画函数图象． 42．已知一次函数的图象过点与． (1)求这个一次函数的解析式； (2)判断点是否在该函数图象上，并说明理由． 43．一个一次函数，当自变量时，函数值；当时，函数值． (1)求这个一次函数的解析式； (2)在所给平面直角坐标系中画出该函数的图象，并直接写出图象与两条坐标轴围成的三角形面积； (3)当时，自变量的取值范围是 ． 44．已知与成正比例，并且当时，． (1)求与之间的函数解析式； (2)如果这个函数的图象经过点，求的值． 45．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点，与轴交于点C． (1)求该函数的解析式； (2)的面积为________． 46．若y与成正比，且当时，，求y与x之间的函数关系式． 47．在平面直角坐标系中，函数的图象过点和． (1)求和的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且大于1，直接写出的取值范围． 48．已知与成正比例，且当时，． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求的最大值． 49．在平面直角坐标系中，一次函数：的图象与直线平行，且经过点． (1)求该一次函数的解析式； (2)当时，直接写出y的取值范围． 50．已知一次函数的图象经过两点． (1)求的值； (2)若一次函数的图象与轴，轴的交点分别为．求交点坐标以及函数图象与坐标轴围成三角形的面积（为坐标原点）． 1．在平面直角坐标系中，将点沿箭头方向按如图所示规律移动，当点首次位于轴上时，停止移动．甲、乙、丙三位同学的结论如下， 甲：点的坐标为； 乙：若在直线两侧的点（点，，，）的个数相等，则的取值范围为； 丙：直线与折线相交于点，从到的运动中的值先减小后增大． 其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 2．对x、y定义一种新运算T，规定： （其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如 ，若 ， ，则下列结论正确的个数为（    ） （1）； （2）若 ，则； （3）若 ，则 m、n有且仅有1组正整数解； （4）若 ，且、为非负数，则 的最小值为15，最大值为25． A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知一次函数的图像经过点．则下列各点可能在该函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点关于y轴的对称点Q落在内（不包括边），则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．如图，平面直角坐标系中两点，，下列坐标的点不能与，两点构成等腰三角形的是（   ） A． B． C． D． 6．已知一次函数的图象经过点，，若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 7．已知点是直线（）上一点，下列四个点中有三个点在该直线上，则不在该直线上的点是（   ） A． B． C． D． 8．如图，过点作轴于，作轴于，以为边作等边，连，则直线的解析式为__________． 9．我们学习过光的反射定律：反射光线和入射光线、法线在同一平面内，反射光线和入射光线分居法线两侧，反射角等于入射角．在平面直角坐标系中，放置一块平面镜（点在轴上），从点处发射的光线照射到平面镜的点处，反射光线为，如图所示．若恰好经过点，则点的坐标为________． 10．已知一次函数（，是常数），当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围是，那么该一次函数的表达式是________． 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴轴分别交于两点，与正比例函数的图象交于点． (1)求，的值； (2)求点到直线的距离； (3)在轴上是否存在一点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值，并求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)点在轴上，若为等腰三角形，直接写出点的坐标． 3．如图，直线与直线交于点，交x轴于点B，直线分别与x轴、y轴交于点C，，连接．点为线段上的一个动点，连接． (1)求直线的解析式； (2)若将的面积分为两部分，求点P的坐标； (3)点是点P关于y轴的对称点，当在内部时（不含边界），直接写出m的取值范围． 4．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的横坐标为a，点A的纵坐标为b，且实数a，b满足． (1)如图1，求点A的坐标； (2)如图2，过点A作x轴的垂线，垂足为点B．已知点，连接，，请在y轴上找一点P，使的面积与的面积相等，并求出点P的坐标． (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使为等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $