5.5.1　第4课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练通过基础巩固、中档综合、提升探究三层设计，实现二倍角公式从直接应用到跨情境创新的递进，适配新授课知识内化与能力进阶需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|二倍角公式直接应用|选择1-5题聚焦tan2α、cos2α等单一公式计算，夯实运算能力| |中档|公式变形与简单综合|填空7-9题结合符号判断、三角形内角关系，培养推理意识| |提升|跨情境综合与探究|16题探究恒等式推广，融入黄金分割情境，发展创新意识与模型观念|

第4课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.已知tan α＝－，则tan 2α＝（　　） A. B.－ C. D.－ 2. ( 2026·邵阳学业考试 ) 若, 则＝（　　） A.  B.  C.  D.  3.设－3π＜α＜－，化简的结果是（　　） A.sin B.cos C.－cos D.－sin 4. ) A.  B.  C.  D.  5. 已知，且，则（　　） A.  B.  C.  D.  6.（多选）下列各式中，值为的是（　　） A. B.cos2－sin2 C.cos 15°sin 45°－sin 15°cos 45° D. 7.化简：·＝　　　　. 8.＋＝　　　　. 9.等腰三角形一个底角的余弦为，那么这个三角形顶角的正弦值为　　　　. 10. 已知，且. (1)求的值; (2)若，求的值. 11.在锐角△ABC中，若B＝2A，则的取值范围是（　　） A.（，） B.［－，］ C.（，） D.（－，） 12.数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比m＝的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin 18°，则＝（　　） A.4 B.＋1 C.2 D.－1 13. 已知，，且，，则的值为　　　　. 14.已知θ∈（0，π），且sin θ＋cos θ＝. （1）求的值； （2）求的值. 15. ( 2026·三亚学业考试 ) 已知，则 ( ) A.  B.  C.  D.  16.某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数. cos215°＋cos215°－sin 15°sin 15°； cos280°＋cos2（－50°）－sin 80°sin（－50°）； cos2170°＋cos2（－140°）－sin 170°sin（－140°）. （1）求出这个常数； （2）结合（1）的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论. 第4课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.B　tan 2α＝＝＝－. 2.C　  , 则,故选: C. 3.C　因为－3π＜α＜－，所以－＜＜－，所以＝＝＝－cos. 4.A　因为， 化简得，，解得或. 因为，所以，所以，所以. 所以. 故选：A. 5.D　因为，所以，展开整理得，即. 6.AB　选项A，＝＝sin 60°＝；选项B，cos2－sin2＝cos ＝；选项C，cos 15°sin 45°－sin 15°cos 45°＝sin（45°－15°）＝sin 30°＝；选项D，＝×＝tan 30°＝×＝. 7.tan 2α　解析：原式＝·＝tan 2α. 8.4　解析：原式＝＝＝＝＝4. 9.　解析：设A是等腰△ABC的顶角，则cos B＝，sin B＝＝＝.所以sin A＝sin（180°－2B）＝sin 2B＝2sin Bcos B＝2××＝. 10.解：(1) . (2) 由，所以， 所以，所以， 所以. 11.A　在锐角△ABC中，由B＝2A，可得C＝π－3A，于是解得＜A＜，所以＜cos A＜，则＝＝2cos A∈（，）.故选A. 12.C　由题意可知2sin 18°＝m＝，所以m2＝4sin218°，则＝ ＝＝＝2. 13. 　解析：因为，所以， 所以， 化简得：，所以， 又由，可得， 所以，即，所以， 所以，又，， 所以，所以． 14.解：由sin θ＋cos θ＝， ① 两边平方并化简得2sin θcos θ＝－＜0， ∵θ∈（0，π），∴sin θ＞0，cos θ＜0， sin θ－cos θ＝＝＝，② 由①②得sin θ＝，cos θ＝－. （1） ＝ ＝＝. （2） ＝ ＝ ＝2sin θcos θ＝－. 15.B　由，可得，化简得， 所以， ， 可得. 故选：B. 16.解：（1）cos215°＋cos215°－sin 15°·sin 15°＝2cos215°－sin215° ＝1＋cos 30°－（1－cos 30°） ＝1＋－×＝. （2）推广：当α＋β＝30°时，cos2α＋cos2β－sin αsin β＝. 证明：∵α＋β＝30°，∴β＝30°－α， cos2α＋cos2β－sin αsin β＝cos2α＋cos2（30°－α）－sin αsin（30°－α）＝cos2α＋－sin α·（cos α－sin α） ＝cos2α＋cos2α＋cos αsin α＋sin2α－cos αsin α＋sin2α ＝cos2α＋sin2α＝. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $