专题2.2 解直角三角形（举一反三讲义）数学新教材湘教版九年级上册

本讲义聚焦解直角三角形核心知识点，系统梳理概念、依据（勾股定理、两角互余、边角关系）及四种基本类型解法，构建从已知两边、一锐角一边到非直角三角形、四边形等复杂情境的递进学习支架。 资料以12类分层题型为特色，涵盖网格、折叠、旋转等情境，通过例题与变式训练，培养几何直观、推理能力与应用意识，课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺，提升解决综合问题的能力。

专题2.2 解直角三角形（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 已知两边解直角三角形】 2 【题型2 已知一锐角和一边解直角三角形】 3 【题型3 已知一锐角的三角函数的值和一边解直角三角形】 3 【题型4 解一图多三角形的直角三角形】 4 【题型5 解非直角三角形】 5 【题型6 四边形中解直角三角形】 6 【题型7 网格中解直角三角形】 7 【题型8 折叠问题中解直角三角形】 8 【题型9 旋转问题中解直角三角形】 9 【题型10 坐标系中解直角三角形】 10 【题型11 解直角三角形与函数】 11 【题型12 解直角三角形解决动点问题】 13 考点1 解直角三角形 知识点1 解直角三角形的概念 一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 知识点2 解直角三角形的依据 在中，，，的对边分别为a，b，c． （1）三边之间的关系：（勾股定理）； （2）两锐角之间的关系：（两角互余）； （3）边角之间的关系：，，． 知识点3 解直角三角形的基本类型及解法 解直角三角形有四种基本类型：①已知斜边和一直角边；②已知两直角边；③已知斜边和一锐角；④已知一直角边和一锐角．其解法步骤列表如下： 已知类型 已知条件 解法步骤 图示 两边 斜边c、一直角边（如a） （1）； （2）由，求； （3） 中，，，的对边分别为a，b，c，如图所示： 两直角边（a，b） （1）； （2）由，求； （3） 一边 一角 斜边c、一锐角（如） （1）； （2）由，得； （3）由，得 一直角边、一锐角（如a、） （1）； （2）由，得； （3）由，得 【题型1 已知两边解直角三角形】 【例1】（25-26九年级上·全国·单元复习）在中，的对边分别为a，b，c，已知，解这个直角三角形． 【变式1-1】（25-26九年级上·山东东营·开学考试）在中，，则的度数为_______． 【变式1-2】（25-26九年级上·河北邯郸·期末）已知在中，，、、所对的边分别是、、．其中，解这个直角三角形． 【变式1-3】（25-26九年级上·江西九江·期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点．若，则的度数为_____ 【题型2 已知一锐角和一边解直角三角形】 【例2】（2026·天津河西·一模）在 中，，，斜边，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 【变式2-1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）两个大小一样的矩形如图摆放，为， ，已知，则的长为（  ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）是直角三角形，，，则的长为______． 【变式2-3】（2026·福建泉州·二模）将一副三角尺按如图所示摆放，其中点、、在同一条直线上，，，，若，则的长是（     ） A． B． C． D． 【题型3 已知一锐角的三角函数的值和一边解直角三角形】 【例3】（2026·安徽阜阳·二模）如图，是的高．若，，则边的长为（   ） A． B．10 C． D．12 【变式3-1】（25-26九年级上·河南周口·期末）在中， ，则_______． 【变式3-2】（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）如图，在中，，，，则中线的长为______． 【变式3-3】在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【题型4 解一图多三角形的直角三角形】 【例4】（2026·北京朝阳·二模）如图，在矩形中，点在边上，的延长线与的延长线相交于点，连接．若，，，则的面积为________． 【变式4-1】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，，为的中点，连接，过点作的垂线交于点，则的长为（     ）． A． B． C．4 D．5 【变式4-2】（2026·广东广州·二模）如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A 是对应点，点与点 B 是对应点．若点恰好落在边上，则点A到直线的距离等于（     ） A．3 B． C．2 D．3 【变式4-3】（2026·海南省直辖县级单位·二模）如图，正方形的边长为，点为的中点，点在上，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【题型5 解非直角三角形】 【例5】如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（   ）    A． B． C． D．2 【变式5-1】如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB=，AC=2，则AB的长是（　　） A．4 B．3+ C．5 D．2+2 【变式5-2】（24-25九年级上·重庆·期中）如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则________． 【变式5-3】已知：如图，△ABC中，AB＝3，∠BAC＝120°，AC＝1，D为AB延长线上一点，BD＝1，点P在∠BAC的平分线上，且满足△PAD是等边三角形． （1）求证：BC＝BP； （2）求点C到BP的距离． 【题型6 四边形中解直角三角形】 【例6】（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，在四边形中，，，对角线平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【变式6-1】（25-26九年级下·广东惠州·期中）如图，四边形是矩形，四边形是边长为4的正方形，点E在边上，点C在边上．若，则的长为（     ） A． B．3 C． D． 【变式6-2】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，矩形中，，点E在边上，点F在边上，点G、H在对角线上．若四边形是菱形，则的长是（   ）． A． B． C．18 D． 【变式6-3】新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形中，，，，，那么边的长为______． 【题型7 网格中解直角三角形】 【例7】（25-26九年级上·贵州黔东南·期中）如图所示的网格是正方形网格，点、、、、是网格交点，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25九年级上·山东潍坊·期中）如图，A，B，C，D均为正方形网格图中的格点，线段与相交于点，则的正切值为 _____． 【变式7-2】（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，点、、在边长为的正方形网格格点上，则______． 【变式7-3】（24-25九年级上·山东淄博·阶段检测）如图是由六个全等的菱形组成的网格图，菱形的顶点称为格点，A、O、B、C均在格点上，当菱形的边长为1且时，则____________________ 【题型8 折叠问题中解直角三角形】 【例8】如图，矩形纸片中，，，将纸片沿折叠，使点落在边上的处，折痕分别交边、于点、，且.再将纸片沿折叠，使点落在线段上的处，折痕交边于点.连接，则的长是______. 【变式8-1】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，若，，则线段______，折痕______． 【变式8-2】如图，矩形中，，对折矩形使得与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点的对应点落在上，折痕是，连接，若，则点的长是（    ）    A． B． C． D． 【变式8-3】如图，在矩形中，，，是边上一动点，将沿折叠得到． (1)连接，若，求此时的面积． (2)①若点P，E，D在同一直线上，求此时的长度．②若射线与矩形的边交于点M，当时，求的长． 【题型9 旋转问题中解直角三角形】 【例9】（25-26九年级上·河南许昌·期中）如图，在中，，，，将绕点C旋转得到，当点D恰好落在射线上时，的长为________． 【变式9-1】（25-26九年级上·山东威海·期中）如图，若将绕点按逆时针方向旋转后，得到，且，则的长（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】如图，将边长为的两个正方形纸片完全重合，按住其中一个不动，另一个绕点顺时针旋转一个角度，若使重叠部分的面积为，则这个旋转角度为（　　）    A． B． C． D． 【变式9-3】如图，在中，，将绕直角边的中点O旋转，得到，连接，若恰好经过点C，且交于点G，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型10 坐标系中解直角三角形】 【例10】（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，矩形的顶点O为平面直角坐标系的原点，点B在y轴正半轴上，连接交于点D，若且，则顶点A的坐标为________． 【变式10-1】（24-25九年级上·陕西商洛·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】如图，在平面直角坐标系中，，，，…的斜边都在坐标轴上，．若点的坐标为，，，…，则依此规律，点的纵坐标为（　　） A． B． C．0 D． 【变式10-3】（2024·江西·二模）如图，已知正六边形的边长为6，连接，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，是射线上的点，若是等腰三角形，则点的坐标可能是_________. 【题型11 解直角三角形与函数】 【例11】在平面直角坐标系内，已知点A的坐标为（-6，0），直线l：y=kx+b不经过第四象限，且与x轴的夹角为30°，点P为直线l上的一个动点，若点P到点A的最短距离是2，则b的值为（　　） A． 或 B． C．2 D．2或10 【变式11-1】已知等边△AOB的边长为4，以O为坐标原点，OB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求点A的坐标； （2）若直线y＝kx（k＞0）与线段AB有交点，求k的取值范围； （3）若点C在x轴正半轴上，以线段AC为边在第一象限内作等边△ACD，求直线BD的解析式． 【变式11-2】（2025·河南焦作·一模）如图（），在矩形中，是对角线，动点从点出发，沿折线运动到点停止，过点作 于点． 设点 运动的路程为， （当点，或，重合时，设或），与的函数关系的图象如图（）所示，则的值为______． 【变式11-3】（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与探究 已知：如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点B的坐标为，点A的坐标为，m、n满足，将沿直线折叠，使点O在上，点O的对应点为点D，折痕交x轴于点C． (1)求点D的坐标； (2)点是射线上的一点，连接，的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围； (3)在（2）的条件下，当点M在x轴正半轴运动，满足时，点M的坐标为______； (4)在（3）的条件下，在平面直角坐标系内是否存在点K，使以C、B、M、K为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出K的坐标；若不存在，说明理由． 【题型12 解直角三角形解决动点问题】 【例12】如图，中，，D为BC的中点，若动点E以的速度从A点出发，沿着的方向运动，设E点的运动时间为t秒，连接DE，当是直角三角形时，t的值为________． 【变式12-1】（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，点E在线段上从点A至点O运动，连接，以为边作等边三角形，点F和点A分别位于两侧，则点F运动的路径长是___________． 【变式12-2】如图所示，在四边形中，，，M为中点，动点P从点B出发沿向终点C运动，连接，，取中点N，连接，求线段的最小值 _____． 【变式12-3】如图，已知矩形，E为对角线上一动点，过点C作垂直于的射线点F在射线上，且，连接．若，点E在上运动，当四边形为轴对称图形时，线段的长为_______________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 解直角三角形（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 已知两边解直角三角形】 2 【题型2 已知一锐角和一边解直角三角形】 4 【题型3 已知一锐角的三角函数的值和一边解直角三角形】 6 【题型4 解一图多三角形的直角三角形】 9 【题型5 解非直角三角形】 12 【题型6 四边形中解直角三角形】 16 【题型7 网格中解直角三角形】 21 【题型8 折叠问题中解直角三角形】 25 【题型9 旋转问题中解直角三角形】 31 【题型10 坐标系中解直角三角形】 35 【题型11 解直角三角形与函数】 40 【题型12 解直角三角形解决动点问题】 49 考点1 解直角三角形 知识点1 解直角三角形的概念 一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 知识点2 解直角三角形的依据 在中，，，的对边分别为a，b，c． （1）三边之间的关系：（勾股定理）； （2）两锐角之间的关系：（两角互余）； （3）边角之间的关系：，，． 知识点3 解直角三角形的基本类型及解法 解直角三角形有四种基本类型：①已知斜边和一直角边；②已知两直角边；③已知斜边和一锐角；④已知一直角边和一锐角．其解法步骤列表如下： 已知类型 已知条件 解法步骤 图示 两边 斜边c、一直角边（如a） （1）； （2）由，求； （3） 中，，，的对边分别为a，b，c，如图所示： 两直角边（a，b） （1）； （2）由，求； （3） 一边 一角 斜边c、一锐角（如） （1）； （2）由，得； （3）由，得 一直角边、一锐角（如a、） （1）； （2）由，得； （3）由，得 【题型1 已知两边解直角三角形】 【例1】（25-26九年级上·全国·单元复习）在中，的对边分别为a，b，c，已知，解这个直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形， 根据勾股定理求出c，再根据正弦求出，则此题可解． 【详解】解：∵， ∴ . ∵， ∴ ∴． 【变式1-1】（25-26九年级上·山东东营·开学考试）在中，，则的度数为_______． 【答案】/45度 【分析】本题考查解直角三角形，根据正弦的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】（25-26九年级上·河北邯郸·期末）已知在中，，、、所对的边分别是、、．其中，解这个直角三角形． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了勾股定理、锐角三角函数以及直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理和直角三角形两锐角互余的性质是解题的关键．先利用勾股定理求出未知直角边，再通过正弦函数求出，最后根据直角三角形两锐角互余求出 【详解】解：∵在中，，，， ∴由勾股定理： ， ∵， ∴， ∵， ∴， 综上，，， 【变式1-3】（25-26九年级上·江西九江·期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点．若，则的度数为_____ 【答案】或度 【分析】本题考查了解直角三角形的计算，掌握锐角三角函数值的计算是关键． 根据题意得到，则，结合矩形的性质得到，则，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 故答案为： ． 【题型2 已知一锐角和一边解直角三角形】 【例2】（2026·天津河西·一模）在 中，，，斜边，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形中锐角三角函数的定义，利用正弦的定义即可推导出BC的表达式，得到答案． 【详解】解：∵ 在中，， 根据锐角正弦的定义，可得， 又∵ ，， ∴ ， ∴ ． 【变式2-1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）两个大小一样的矩形如图摆放，为， ，已知，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握直角三角形边角之间的转化． 由矩形可得，，再由正弦的定义即可求解． 【详解】解：由矩形可得，， ∴在中，， ∴， 故选：B． 【变式2-2】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）是直角三角形，，，则的长为______． 【答案】或 【分析】本题考查了解直角三角形，解题关键是分类讨论．分和两种情况讨论，利用特殊角的锐角三角函数解直角三角形即可． 【详解】解：是直角三角形，， 存在和两种情况， 若，则， ， 若，则， ， 的长为或． 故答案为：或． 【变式2-3】（2026·福建泉州·二模）将一副三角尺按如图所示摆放，其中点、、在同一条直线上，，，，若，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形中，，求出，根据即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴． 【题型3 已知一锐角的三角函数的值和一边解直角三角形】 【例3】（2026·安徽阜阳·二模）如图，是的高．若，，则边的长为（   ） A． B．10 C． D．12 【答案】B 【分析】先利用已知条件求出的长度，再根据的值求出高的长度，最后在中用勾股定理计算的长． 【详解】解：是的高， ． ， ． ， ． 在中， ，， ． 【变式3-1】（25-26九年级上·河南周口·期末）在中， ，则_______． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形及勾股定理的应用，关键是掌握余弦函数的定义：在直角三角形中，锐角的余弦等于邻边与斜边的比值．先利用余弦的定义求出直角边的长度，再根据勾股定理计算出另一条直角边的长度． 【详解】解：在中，， ，， ； 根据勾股定理，； 故答案为：． 【变式3-2】（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）如图，在中，，，，则中线的长为______． 【答案】/ 【分析】过点A作于点，得到，然后解，得到，然后根据线段和差以及三角形中线得到，则，再对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点A作于点， ， ， ， ∵， ， ， ， 是中线， ， ． 【变式3-3】在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直角三角形中锐角余弦的定义求出斜边的长度，再结合勾股定理计算的长度，即可得到答案. 【详解】解：∵ 如图：在中，， 根据锐角余弦定义得， 又，， ，解得， 由勾股定理得，代入，得：. 【题型4 解一图多三角形的直角三角形】 【例4】（2026·北京朝阳·二模）如图，在矩形中，点在边上，的延长线与的延长线相交于点，连接．若，，，则的面积为________． 【答案】 【分析】解直角三角形求出，，再求出，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴． ∴，， ∴， ∴． 【变式4-1】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，，为的中点，连接，过点作的垂线交于点，则的长为（     ）． A． B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】过点作于点，根据三角函数可得，，，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：过点作于点， ，， ， 为的中点， ， ， ，， 为的中点， ， ， ， ， 在中，． 【变式4-2】（2026·广东广州·二模）如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A 是对应点，点与点 B 是对应点．若点恰好落在边上，则点A到直线的距离等于（     ） A．3 B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】过点A作于点D，由旋转得，，可得为等边三角形，则．在中，求得，进而在中，求得，可得答案． 【详解】解：过点A作于点D． 由旋转得，，， 又， ∴为等边三角形， ∴． ∴ 在中，， 在中，， ∴点A到直线的距离等于3． 【变式4-3】（2026·海南省直辖县级单位·二模）如图，正方形的边长为，点为的中点，点在上，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质，同角的余角相等，得到，进而得到，求出的长，勾股定理求出的长，再利用勾股定理求出的长即可. 【详解】解：∵正方形，边长为， ∴， ∵点为的中点，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 在中，. 【题型5 解非直角三角形】 【例5】如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（   ）    A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长． 【详解】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：    由，且可知，， 由，且可知，， ∴在中，由勾股定理有：． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解． 【变式5-1】如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB=，AC=2，则AB的长是（　　） A．4 B．3+ C．5 D．2+2 【答案】C 【分析】作CD⊥AB于点D. 在Rt△ACD中，求出CD和AD的长，在Rt△BCD中，求出BD的长，即可求出AB的长. 【详解】作CD⊥AB于点D. 在Rt△ACD中， ∵∠A=30°，AC=2， ∴CD=, ∴AD=. 在Rt△BCD中， ∵tanB= ， ∴BD=2， ∴AB=AD+BD=3+2=5. 故选C. 【点睛】本题考查了解直角三角形，如果没有直角三角形则作垂线构造直角三角形，然后利用直角三角形的边角关系来解决问题，有时还会用到勾股定理等知识才能解决问题. 【变式5-2】（24-25九年级上·重庆·期中）如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解非直角三角形，过点作交延长线于，先由，，得到，即可得到，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求得，即可得到，，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，过点作交延长线于，则， ，， ， ∵， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式5-3】已知：如图，△ABC中，AB＝3，∠BAC＝120°，AC＝1，D为AB延长线上一点，BD＝1，点P在∠BAC的平分线上，且满足△PAD是等边三角形． （1）求证：BC＝BP； （2）求点C到BP的距离． 【答案】（1）见解析（2） 【分析】（1）连接PC，根据SAS证明△PAC≌△PDB，得PC=PB，∠2=∠3，再根据有一个角是60°的等腰三角形证明等边三角形；（2）作CE⊥PB于E，PF⊥AB与F，根据等边三角形APD求得PF和BF的长，再根据勾股定理求得BP的长，即为BC的长，从而求得等边三角形的一边上的高CE的长. 【详解】（1）证明：如图，连结PC． ∵AC＝1，BD＝1， ∴AC＝BD． ∵∠BAC＝120°，AP平分∠BAC， ∴∠1= ∵△PAD是等边三角形， ∴PA＝PD，∠D＝60°． ∴∠1＝∠D． ∴△PAC≌△PDB． ∴PC＝PB，∠2＝∠3． ∴∠2＋∠4＝∠3＋∠4，∠BPC＝∠DPA＝60°． ∴△PBC是等边三角形，BC＝BP． （2）如图，作CE⊥PB于E，PF⊥AB于F． ∵AB＝3，BD＝1， ∴AD＝4． ∵△PAD是等边三角形，PF⊥AB， ∴DF= PF=PD·sin60°=2 ∴BF＝DF－BD＝1， BP= ∴CE=BC·sin60°= BP·sin60°= 即点C到BP的距离等于 【题型6 四边形中解直角三角形】 【例6】（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，在四边形中，，，对角线平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，解题的关键是熟练掌握菱形的判定与性质． （1）先证明四边形是平行四边形，然后根据平行结合角平分线证明出，即可证明其为菱形； （2）连接交于点，则由菱形可得，，，然后解，结合已知得到，即，然后对运用勾股定理求解，最后由菱形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵对角线平分． ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：连接交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵在中， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∵中，， ∴， 解得或， ∴或， ∴或，则或， ∴菱形的面积为或． ∴菱形的面积为96． 【变式6-1】（25-26九年级下·广东惠州·期中）如图，四边形是矩形，四边形是边长为4的正方形，点E在边上，点C在边上．若，则的长为（     ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形及矩形的性质可得，即，进而列出边的比例关系即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，四边形是边长为4的正方形，其中点在边上，点在边上， ∴，， 则， ∴， ∴， ∴，即：， ∴． 【变式6-2】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，矩形中，，点E在边上，点F在边上，点G、H在对角线上．若四边形是菱形，则的长是（   ）． A． B． C．18 D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形、矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练运用定理是解题的关键． 连接，证明，可得，从而得到，再由，可设，结合，可得 ，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴，即，， ∴， 在中，． 即． 故选：D 【变式6-3】新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形中，，，，，那么边的长为______． 【答案】 【分析】连接，过点A作于点E，过点C作于点F，根据求出和的 长度，进而求出的长度，根据对余四边形的定义得出，则 ，即可求出的长度，再根据勾股定理求出的长度，最 后根据即可求解． 【详解】解：连接，过点A作于点E，过点C作于点F， ∵，， ∴， 设， 根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为对余四边形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 设， 根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了四边形的综合问题，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法和步骤，勾股定理的内容，正确作出辅助线，构建直角三角形． 【题型7 网格中解直角三角形】 【例7】（25-26九年级上·贵州黔东南·期中）如图所示的网格是正方形网格，点、、、、是网格交点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，分母有理化，结合网格的特点正确添加辅助线是解题关键．设正方形网格的边长为，则，，，在中，，证明，得到，同理可证，，由等腰三角形的性质，得到，在中，，则，从而得出，即可得解． 【详解】解：如图， 设正方形网格的边长为， ，，， 在中，， 由网格可知，，，， ， ， 同理可证，， 由网格可知，，， ， 在中，， ， ， ， 故选：B． 【变式7-1】（24-25九年级上·山东潍坊·期中）如图，A，B，C，D均为正方形网格图中的格点，线段与相交于点，则的正切值为 _____． 【答案】3 【分析】本题主要考查了解直角三角形．将点与图中的格点连接，再连接，构造出直角三角形即可解决问题． 【详解】解：连接，，如图所示， 令网格的边长为， 则由勾股定理得， ， ． 在中， ． 因为， 所以， 所以． 故答案为：3． 【变式7-2】（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，点、、在边长为的正方形网格格点上，则______． 【答案】/ 【分析】本题考查解直角三角形，锐角三角函数，勾股定理，熟练掌握解直角三角形的性质是解题的关键； 如图，标记格点、、，连接，根据勾股定理，求得的长度，进而求得的长度，进而求解的值； 【详解】解：如图，标记格点、、，连接； ，均为等腰直角三角形， ， ， 标记格点，， 中，，， ， 中，， ， 中，； 故答案为： 【变式7-3】（24-25九年级上·山东淄博·阶段检测）如图是由六个全等的菱形组成的网格图，菱形的顶点称为格点，A、O、B、C均在格点上，当菱形的边长为1且时，则____________________ 【答案】 【分析】如图，连接．只要证明即可解决问题． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判断和性质、直角三角形的判定和性质等、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 【题型8 折叠问题中解直角三角形】 【例8】如图，矩形纸片中，，，将纸片沿折叠，使点落在边上的处，折痕分别交边、于点、，且.再将纸片沿折叠，使点落在线段上的处，折痕交边于点.连接，则的长是______. 【答案】 【分析】过点E作EG⊥BC于G，根据矩形的性质可得：EG=AB=8cm，∠A=90°，，然后根据折叠的性质可得：cm，，，，根据勾股定理和锐角三角函数即可求出cos∠，再根据同角的余角相等可得，再根据锐角三角函数即可求出，从而求出，最后根据勾股定理即可求出. 【详解】过点E作EG⊥BC于G ∵矩形纸片中，，， ∴EG=AB=8cm，∠A=90°， 根据折叠的性质cm，，， ∴BF=AB－AF=3cm 根据勾股定理可得：cm ∴cos∠ ∵， ∴ ∴ 解得：cm ∴AE=10cm， ∴ED=AD－AE=2cm ∴ ∴ 根据勾股定理可得： 故答案为：. 【点睛】此题考查的是矩形的性质、折叠的性质、勾股定理和锐角三角函数，掌握矩形的性质、折叠的性质、用勾股定理和锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键. 【变式8-1】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，若，，则线段______，折痕______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形中的折叠问题，勾股定理，正切函数．解题的关键在于找出线段的数量关系，多次运用勾股定理求解．由矩形的性质得，，，由折叠的性质得：，，证得，得到，可求出，根据勾股定理可求出，进而求出，根据，得到，最后根据勾股定理求出、即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 由折叠可得：，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 故答案为：，． 【变式8-2】如图，矩形中，，对折矩形使得与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点的对应点落在上，折痕是，连接，若，则点的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形性质和折叠性质可得，，，，可得，从而可得，可得，从而可得的长，，即可求解，进而求出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ， 由折叠性质可得：，，，， 在中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查折叠性质，长方形的性质，角的直角三角形等知识点，解题的关键是利用边之间的关系推出． 【变式8-3】如图，在矩形中，，，是边上一动点，将沿折叠得到． (1)连接，若，求此时的面积． (2)①若点P，E，D在同一直线上，求此时的长度．②若射线与矩形的边交于点M，当时，求的长． 【答案】(1) (2)①，②的长为或． 【分析】（1）在中，解直角三角形求出，由折叠的性质得到，过点作于点，求出，即可求解； （2）①利用勾股定理求出，证明，利用全等三角形的性质，即可得出结果；分当点在边上时，当点在边上时，两种情况讨论，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ， ． 由折叠知， ． 如图1，过点作于点， ， ； （2）解：①如图2， 由折叠知， ． ， ． 又，， ， ， ， ； ②如图3，当点在边上时， 设，则，， ， ． 如图4，当点在边上时， 设，则，， ， ． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，三角形全等的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【题型9 旋转问题中解直角三角形】 【例9】（25-26九年级上·河南许昌·期中）如图，在中，，，，将绕点C旋转得到，当点D恰好落在射线上时，的长为________． 【答案】6 【分析】本题考查了直角三角形的性质角所对直角边为斜边的一半）、图形旋转的性质（对应边相等）及勾股定理，解题的关键是通过作高构造直角三角形，利用勾股定理计算线段长度． 先在中，利用“角所对直角边为斜边的一半”得，再由勾股定理得；作，在中，结合（直角三角形两锐角互余），得、；由旋转性质知 ，在中用勾股定理求出，进而得；最后由，算出． 【详解】解：在中， ∵， ∴，； 过点C作于H，在中，， ∴，； 由旋转性质，得，在中， ， ∴， ∴． 故答案为：6． 【变式9-1】（25-26九年级上·山东威海·期中）如图，若将绕点按逆时针方向旋转后，得到，且，则的长（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的旋转，等腰三角形的性质，解直角三角形，连接，过点作于点，根据旋转的性质可得，，根据，进而得出的长． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 旋转的性质可得 ∴， ∴ ∴ 故选：A． 【变式9-2】如图，将边长为的两个正方形纸片完全重合，按住其中一个不动，另一个绕点顺时针旋转一个角度，若使重叠部分的面积为，则这个旋转角度为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转前后图形不变得出，进而得出的度数，从而得出的度数，即可得出答案． 【详解】解：连接BM，    在和中， 重叠部分的面积为， 和的面积相等为， ， 解得， ， ， 这个旋转角度为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质和全等三角形的判定，得出是解题问题的关键． 【变式9-3】如图，在中，，将绕直角边的中点O旋转，得到，连接，若恰好经过点C，且交于点G，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接OG，由勾股定理求出AB=5，由直角三角形的性质求出CG，CD，AD的长，由锐角三角函数的定义可得出答案． 【详解】 解：连接OG， 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3， ∴AB==5， ∵点O是AC边的中点， ∴OC=OA=OD=AC=2， ∴∠GCO=∠ODC=∠BAC，∠ADC=90°， ∴AG=CG， ∴OG⊥AC， 在Rt△ABC中，sin∠BAC=，cos∠BAC=， ∴sin∠OCG=，cos∠OCG=， 在Rt△OCG中，CG=， 在Rt△ACD中， CD=AC•cos∠OCG=，AD=AC•sin∠OCG=， ∴DG=CD-CG=-=， ∴tan∠DAG=． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【题型10 坐标系中解直角三角形】 【例10】（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，矩形的顶点O为平面直角坐标系的原点，点B在y轴正半轴上，连接交于点D，若且，则顶点A的坐标为________． 【答案】 【分析】由矩形的性质得出，再证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，，过点A作轴于E，通过解，分别求出和，进一步即可求出点A的坐标． 【详解】解：∵是矩形， ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， 过点A作轴于E， 在中， ，． ∴，， ∵点A在第二象限， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形的相关计算，坐标与图形，等边三角形的判定和性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． 【变式10-1】（24-25九年级上·陕西商洛·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形，菱形的性质，锐角三角函数，掌握特殊角的三角函数值是解题关键．根据菱形的性质可知，，再结合特殊角的三角函数值，求出的长，即可得到点的坐标． 【详解】解：点的坐标为， ， 四边形是菱形，， ，， 在中，， ， ， 点在轴的负半轴上， ， 故选：A 【变式10-2】如图，在平面直角坐标系中，，，，…的斜边都在坐标轴上，．若点的坐标为，，，…，则依此规律，点的纵坐标为（　　） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】根据含30度的直角三角形三边的关系得；；，于是可得到，再根据2022与4的商和余数判断出点与位置相同，在y轴的正半轴上，从而得解． 【详解】解：，， 在中，，则， 同理可得；，……， ， ， ∴点与都在y轴的正半轴上， 点的纵坐标为 故选：B． 【点睛】本题考查了规律型问题探究点的坐标：通过从一些特殊的点的坐标发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．也考查了含30度的直角三角形三边的关系． 【变式10-3】（2024·江西·二模）如图，已知正六边形的边长为6，连接，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，是射线上的点，若是等腰三角形，则点的坐标可能是_________. 【答案】或或 【分析】本题考查了正六边形的性质、解直角三角形、等腰三角形的判定与性质、坐标与图形，分三种情况：当时；当时；当时；分别作出图形，利用等腰三角形的性质、解直角三角形，求解即可得出答案，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于， 正六边形的边长为6， ，，， ， ，， ， ， 是等腰三角形， ∴如图，当时，则， ， 延长交轴于，则轴， ， ， ，故此时； 如图，当时，作轴于， ， 则，，故此时； 如图，当时，作于，轴于， 则， ，，故此时； 综上所述，点的坐标可能是或或， 故答案为：或或． 【题型11 解直角三角形与函数】 【例11】在平面直角坐标系内，已知点A的坐标为（-6，0），直线l：y=kx+b不经过第四象限，且与x轴的夹角为30°，点P为直线l上的一个动点，若点P到点A的最短距离是2，则b的值为（　　） A． 或 B． C．2 D．2或10 【答案】A 【分析】直线l：y=kx+b不经过第四象限，可能过一、二、三象限，与x轴的夹角为30°，又点A的坐标为（-6，0），因此两种情况，分别画出每种情况的图形，结合图形，利用已学知识进行解答． 【详解】解：如图：分两种情况： （1）在Rt△ABP1中，AP1=2，∠ABP1=30°， ∴AB=2AP1=4， ∴OB=OA-AB=6-4=2， 在Rt△BCO中，∠CBO=30°，∴OC=tan30°×OB=，即：b=； （2）同理可求得AD=4，OD=OA+AD=10， 在Rt△DOE中，∠EDO=30°，∴OE=tan30°×OD=，即：b=； 故选A． 【点睛】考查一次函数的图象和性质、直角三角形的边角关系等知识，分类讨论得出答案，注意分类的原则既不重复，又不能遗漏，可根据具体问题合理灵活地进行分类． 【变式11-1】已知等边△AOB的边长为4，以O为坐标原点，OB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求点A的坐标； （2）若直线y＝kx（k＞0）与线段AB有交点，求k的取值范围； （3）若点C在x轴正半轴上，以线段AC为边在第一象限内作等边△ACD，求直线BD的解析式． 【答案】（1）点A的坐标为（2，2）；（2）0＜k≤；（3）y＝x﹣4 【分析】（1）如下图所示，过点A作AD⊥x轴于点D，则AD＝OAsin∠AOB＝4sin60°＝2，同理OA＝2，即可求解； （2）若直线y＝kx（k＞0）与线段AB有交点，当直线过点A时，将点A坐标代入直线的表达式得：2k＝2，解得：k＝，即可求解； （3）证明△ACO≌△ADB（SAS），而∠DBC＝180°﹣∠ABO﹣∠ABD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，即可求解． 【详解】解：（1）如下图所示，过点A作AD⊥x轴于点D， 则AD＝OAsin∠AOB＝4sin60°＝， 同理OA＝2， 故点A的坐标为（2，2）； （2）若直线y＝kx（k＞0）与线段AB有交点， 当直线过点A时，将点A坐标代入直线的表达式得：2k＝2，解得：k＝， 直线OB的表达式为：y＝0，而k＞0， 故：k的取值范围为：0＜k≤； （3）如下图所示，连接BD， ∵△OAB是等边三角形，∴AO＝AB， ∵△ADC为等边三角形，∴AD＝AC， ∠OAC＝∠OAB+∠CAB＝60°+∠CAB＝∠DAC+∠CAB＝∠DAB， ∴△ACO≌△ADB（SAS）， ∴∠AOB＝∠ABD＝60°， ∴∠DBC＝180°﹣∠ABO﹣∠ABD＝180°﹣60°﹣60°＝60°， 故直线BD表达式的k值为tan60°=， 设直线BD的表达式为：y＝x+b， 将点B（4，0）代入上式得 解得：b＝﹣4， 故：直线BD的表达式为：y＝x﹣4． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质及特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键. 【变式11-2】（2025·河南焦作·一模）如图（），在矩形中，是对角线，动点从点出发，沿折线运动到点停止，过点作 于点． 设点 运动的路程为， （当点，或，重合时，设或），与的函数关系的图象如图（）所示，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形，动点问题的函数图象，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据图象可得，由题图（）可知，当时，，即，此时点在线段上，则，，又当时，点在上，，此时，，然后用线段和差即可求解． 【详解】解：当点运动到点处时，， ∴， ∴， 由题图（）可知，当时，，即，此时点在线段上， ∴，， 如图，在中，由勾股定理，得， ∴， ∴， ∴，， 如图，当时，点在上，， 此时，， ∴， 故答案为：． 【变式11-3】（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与探究 已知：如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点B的坐标为，点A的坐标为，m、n满足，将沿直线折叠，使点O在上，点O的对应点为点D，折痕交x轴于点C． (1)求点D的坐标； (2)点是射线上的一点，连接，的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围； (3)在（2）的条件下，当点M在x轴正半轴运动，满足时，点M的坐标为______； (4)在（3）的条件下，在平面直角坐标系内是否存在点K，使以C、B、M、K为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出K的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)或或 【分析】（1）过D作于H，由，可得，即得，，根据将沿直线折叠，使点O落在上，点O的对应点为点D，可得，设，有，解得，用面积法得，即可得； （2）当，即M在线段上不含时，；当，即M在射线上时，； （3）作关于y轴的对称点R，连接，过C作于T，可得，用面积法得，可得，根据C，R关于y轴对称，有，又，故，可得； （4）的面积为，设，而，分三种情况：①若为对角线，则的中点重合，；②若为对角线，则的中点重合，③若为对角线，则的中点重合，，分别解方程组得K的坐标为：或或． 【详解】（1）（1）过D作于H，如图： ， ， ， ， ， ， 将沿直线折叠，使点O落在上，的对应点为点D， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， ， ， ， ； （2）当，即M在线段上不含时，如图， ， ， ， ； 当，即M在射线上时，如图， ， ； 综上所述，； （3）作关于y轴的对称点R，连接，过C作于T，如图 ， ， ， ， ， ， ，R关于y轴对称， ， ， ， ， ，即， ， ， 故答案为：； （4）在平面直角坐标系内存在点K，使以C、B、M、K为顶点的四边形是平行四边形，理由如下； 设，而， ①若为对角线，则的中点重合， ， 解得， ； ②若为对角线，则的中点重合， 解得， ， ③若为对角线，则的中点重合， ， 解得， ， 的坐标为：或或 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及非负数性质，勾股定理及应用，三角形面积，平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度． 【题型12 解直角三角形解决动点问题】 【例12】如图，中，，D为BC的中点，若动点E以的速度从A点出发，沿着的方向运动，设E点的运动时间为t秒，连接DE，当是直角三角形时，t的值为________． 【答案】2秒或3.5秒或4.5秒 【分析】先求出AB的长，再分①∠BDE=90°时，DE是△ABC的中位线，然后求出AE的长度，再分点E在AB上和在BA上两种情况列出方程求解即可；②∠BED=90°时，利用∠B的余弦列式求出BE，然后分点E在AB上和在BA上两种情况列出方程求解即可． 【详解】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm， ∴AB=BC÷cos60°=2÷=4（cm）， ①∠BDE=90°时， ∵D为BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴AE=AB=×4=2（cm）， 点E在AB上时，t=2÷1=2（秒）， 点E在BA上时，点E运动的路程为4×2-2=6（cm）， ∴t=6÷1=6（秒）（舍去）； ②∠BED=90°时，BE=BD•cos60°=×2×=0.5（cm）， 点E在AB上时，t=（4-0.5）÷1=3.5（秒）， 点E在BA上时，点E运动的路程为4+0.5=4.5（cm）， t=4.5÷1=4.5（秒）， 综上所述，t的值为2秒或3.5秒或4.5秒， 故答案为：2秒或3.5秒或4.5秒． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，解直角三角形的相关知识，难点在于分情况讨论． 【变式12-1】（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，点E在线段上从点A至点O运动，连接，以为边作等边三角形，点F和点A分别位于两侧，则点F运动的路径长是___________． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．连接，由矩形的性质推出，，判定是等边三角形，得到，，由等边三角形的性质推出，，得到，推出，判定，推出，因此点F运动的路径是由，求出，得到的长，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点F运动的路径是， ∵， ∴， ∴， ∴点F运动的路径长是． 故答案为：． 【变式12-2】如图所示，在四边形中，，，M为中点，动点P从点B出发沿向终点C运动，连接，，取中点N，连接，求线段的最小值 _____． 【答案】2 【分析】过点D作于E，根据垂线段最短得到点P与点E重合时，最小，根据解直角三角形的性质求出，根据三角形中位线定理计算，得到答案． 【详解】解：如图，过点D作于E， 则当点P与点E重合时，最小， 在中，，， ∴， ∵M为中点，N是中点， ∴是的中位线， ∴， ∴线段的最小值为， 故答案为：2． 【点睛】本题考查解直角三角形的性质、垂线段最短，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 【变式12-3】如图，已知矩形，E为对角线上一动点，过点C作垂直于的射线点F在射线上，且，连接．若，点E在上运动，当四边形为轴对称图形时，线段的长为_______________． 【答案】2或 【分析】本题是几何变换综合题，考查了轴对称的性质，直角三角形的性质，矩形的性质等知识；解题的关键是正确作出图形解决问题． 分两种情况，由轴对称的性质及直角三角形的性质可求出的长． 【详解】分两种情况讨论： ①当四边形关于所在直线对称时，如图所示， 此时． ∵，是矩形，， ∴ ∴． ∵， ∴． ∴． ②当四边形为矩形时，如图所示， ∵， ∴ 此时， 综上所述，线段的长为2或． 故答案为：2或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $