专题1.6 相似三角形的应用（举一反三讲义）数学新教材湘教版九年级上册

本讲义聚焦相似三角形的应用这一核心知识点，基于相似三角形的判定与性质，构建测高（影子、镜面反射模型）、测距（标杆、河宽测量）、盲区计算、裁剪设计等应用体系，形成从理论到实践的学习支架。 资料以9大题型为框架，融合生活情境（如影子测水塔高）、古典文化（《海岛算经》测岛高）、跨学科案例（光学成像、杠杆原理），培养学生用数学眼光观察现实世界，通过例题变式训练发展推理能力，课中辅助情境化教学，课后助力学生巩固应用，查漏补缺。

专题1.6 相似三角形的应用（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 利用影子测物体高度】 2 【题型2 利用平面镜测物高】 3 【题型3 利用标杆测物高】 5 【题型4 测量不可达河宽距离】 7 【题型5 古典文化中的测量】 9 【题型6 光学成像中的测量】 10 【题型7 利用相似求盲区范围】 12 【题型8 裁剪问题】 14 【题型9 实物抽象出相似问题】 16 考点1 相似三角形的应用 知识点 相似三角形的应用 1. 测量高度（测高问题） 利用影子或镜面反射测量无法直接到达顶部的物体高度. 平行光（影子）模型： 原理： 同一时刻，太阳光线是平行的，故物高与影长成正比. 公式： . 注意： 必须是同一时刻；影长是指从物体底部到影子顶端的水平距离. 镜面反射模型： 原理： 入射角 = 反射角，故两个直角三角形相似. 构造： 人眼、镜子、物体顶端构成两个直角三角形. 公式： . 2. 测量宽度/距离（测距问题） 利用“人”或“标杆”作为中间桥梁，测量河宽、池塘宽等. 人字模型 / 标杆模型： 场景： 站在岸边，通过标杆或手臂遮挡对岸目标. 原理： 构造“X”型或“A”型相似. 关键： 找准对应边. 通常是： 或. 3. 盲区与视线问题 原理： 视线是直线，障碍物边缘与视线相切. 应用： 判断能否看到物体、计算刚好看到物体时的距离. 方法： 连接“眼睛”与“障碍物顶端”并延长，与地面/目标线的交点即为临界点. 【题型1 利用影子测物体高度】 【例1】（25-26九年级上·陕西汉中·阶段检测）如图，为了测量一座水塔的高度，在阳光下，小亮走进水塔的影子里，使自己的影子刚好被水塔的影子遮住．已知小亮的身高，此时，他的影子的长，他距水塔的底部E处，水塔的顶部为点D．根据以上数据，你能算出水塔的高度是多少吗？ 【变式1-1】（24-25九年级上·四川成都·阶段检测）小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如图所示，小明边移动边观察，发现站到点处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度，已知小明的身高为2，，（点，，在同一直线上），请你帮小明求出楼高． 【变式1-2】（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，公路旁有两个高度相等的路灯．小明上午上学时发现路灯在太阳光下的影子恰好落到里程碑E处，他自己的影子恰好落在路灯的底部C处．晚自习放学时，站在上午同一个地方，发现在路灯的灯光下自己的影子恰好落在里程碑E处． (1)在图中画出小明的位置（用线段表示），并画出光线，标明太阳光、灯光． (2)若上午上学时候高的木棒的影子为，小明身高为，他离里程碑E恰好，求路灯高． 【变式1-3】如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距18米，路灯的高度比路灯的高度低1米．夜晚，身高为1.6米的小明以1米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为t秒．当行走3秒时，他走到了P处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点B）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)若小明身高是影子与的比例中项，求此时t的值． (3)有言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离． ①从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长 （用含t的代数式表示）； ②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的！请直接写出小明在路灯下的影子的顶端N在地面上移动的速度为   米/秒． 【题型2 利用平面镜测物高】 【例2】【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小亮在湖对面P处放置一面平面镜（平面镜的大小忽略不计），他站在C处通过平面镜恰好能看到塔的顶端A，此时测得小亮到平面镜的距离为4米．已知平面镜到塔底部中心的距离为米，小亮眼睛到地面的距离为米，C，P，B在同一水平直线上，且，均垂直于．请你帮小亮计算出长安塔的高度． 【变式2-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，强强同学为了测量学校一座高楼的高度，在操场上的点A处放一面平面镜，从点A处沿方向移动到达点B处（即），恰好在平面镜中看到高楼的顶部点E的像；强强从点B处沿方向移动到达点C处（即），测得．强强同学的眼睛距地面的高度为，已知点O，A，B，C在同一水平线上，，．求高楼的高度．（平面镜的大小忽略不计） 【变式2-2】如图①，“丝绸之路群雕”刻画和表达了一队来往于丝路中途的中外混合的骆驼商旅，已成为西安著名的城市标志之一．为了测量群雕某处的高度，小明和晓璐带着平面镜和皮尺去进行测量．测量过程如下：如图②，首先，小明在处放置了一面平面镜，然后沿后退，当小明蹲在点处时恰好能在平面镜中看到雕塑顶端的像，此时小明的眼睛到地面的距离米，米；然后小明在处起立站直，晓璐眼睛贴地观察发现地面上点、小明头顶和顶端重合，测得小明的身高米，米，，，点、、、在同一条水平线上，点在上，请你求出该处雕塑的高．（平面镜的大小、厚度忽略不计，晓璐眼睛贴地观察时眼睛到地面的距离忽略不计） 【变式2-3】在学习了光的反射定律后，数学综合实践小组想利用光的反射定律（反射角等于入射角）测量池塘对岸一棵树的高度，测量步骤如下： ①如图，在地面上的点E处放置一块平面镜（镜子大小忽略不计），小阳站在的延长线上，当小阳从平面镜中刚好看到树的顶点A时，测得小阳到平面镜的距离m，小阳的眼睛点C到地面的距离m； ②将平面镜从点E沿的延长线移动6m放置到点H处，小阳从点D处移动到点G，此时小阳的眼睛点F又刚好在平面镜中看到树的顶点A，这时测得小阳到平面镜的距离m．请根据以上测量过程及数据求出树的高度． 【题型3 利用标杆测物高】 【例3】（24-25九年级上·福建泉州·期中）某市科研考察队为了求出某海岛上的山峰的高度，如图，在同一海平面的处和处分别树立标杆和，标杆的高都是米，两处相隔80米，从标杆向后退11米的处，可以看到顶峰和标杆顶端在一条直线上；从标杆向后退13米的处，可以看到顶峰和标杆顶端在一条直线上．求山峰的高度及它和标杆的水平距离？注：图中各点都在一个平面内． 【变式3-1】（25-26九年级上·贵州六盘水·期末）小明利用标杆在阳光下测量旗杆的高度．如图，将标杆底端和旗杆影子顶端重合，已知标杆，测得标杆的影长，旗杆的影长，则旗杆的高_____m． 【变式3-2】（2025·广东阳江·一模）综合与实践 【实践主题】借助标杆测量校园内路灯的高度． 【素材】标杆、皮尺、激光仪等工具． 【实践操作】如图，表示路灯的高度实验小组在路灯旁的水平空地上直立一根高米的标杆，调整地面上激光仪的位置点，使从点处发出的激光束恰好同时经过点，（图中各点均在同一竖立平面内），测得米，米．      【问题解决】 （1）根据实验小组的测量数据，计算路灯的高度； 【反思交流】 （2）在交流中，一位同学对实验小组的方案提出质疑：如果路灯底部不可以直接到达，将无法测得线段的长，最后不能求得路灯的高度所以实验小组在此基础上对原有方案进行补充改进：如图，在点处再直立一根同样高度的标杆，调整地面上激光仪的位置点，使从点处发出的激光束恰好同时经过点，若，请你根据实验小组改进后的方案用含的代数式表示路灯的高度． 【变式3-3】（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是，已知在路灯光下的影长分别为，． (1)在图中画出路灯O的位置； (2)求标杆的影长． 【题型4 测量不可达河宽距离】 【例4】如图，要测量河宽，可在两岸找到相对的两点、，先从出发与成方向向前走米，到处立一标杆，然后方向不变继续朝前走米到处，在处转，沿方向走到处，若、、三点恰好在同一直线上，且米，你能根据题目提供的数据和图形求出河宽吗？ 【变式4-1】（24-25九年级上·湖南郴州·期中）为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处测得河北岸的树恰好在的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从点向东走到点，此时测得点恰好在东南方向上． 观测者从点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得． 观测者从点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走一定的路程到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一直线上． 测量示意图 (1)第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段______的长度． (2)第二小组测得米，则______米． (3)第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 【变式4-2】如图，为了估算河面的宽度，即的长，在离河岸点2米远的点，立一根长为1米的标杆，在河对岸的岸边有一块高为米的安全警示牌，警示牌的顶端M在河里的倒影为点N，即，两岸均高出水平面米，即米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，若均垂直于河面，求河宽是多少米？ 【变式4-3】如图，为一条宽为4米的河，河的西岸建有一道防洪堤，防洪堤与东岸的高度差为3米（即米），因为施工需要，现准备将东岸的泥沙通过滑轨送到西岸的防洪堤上，防洪堤上已经建好一座固定滑轨一端的钢架，现准备在东岸找一个点P作为另一端的固定点，已知吊篮的截面为直径为1米的半圆（直径米），绳子米，钢架高度米（米），距离防洪堤边缘为米（米）． (1)西岸边缘点C与东岸边缘点D之间的距离为多少米？ (2)滑轨在运送货物时保持笔直，要想做到运输过程中吊篮一定不会碰到点C，则的长度应大于多少米． 【题型5 古典文化中的测量】 【例5】（2025·广东深圳·二模）立一表高八尺，影长六尺；今有一楼，影长四丈五尺．问楼高几何?（选自《海岛算经》）题目大意：直立一根8尺高的标杆，其影子长度为6尺；此时有一栋楼，影长4丈5尺（即45尺），这栋楼有多高?根据题意，可求得这栋楼高________尺． 【变式5-1】（25-26九年级上·江苏南京·期末）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门一十五步有木，问出南门几何步见木？”其大意如下：如图，、分别是正方形边和的中点，正方形的边长为步，出东门继续往东走步有一树木点，问出南门继续往南走多少步恰好能看到位于点处的树木即点在直线上？则根据以上信息，算出的长是 ______ 步 【变式5-2】《海岛算经》中记载：“今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合．问岛高几何．”其大意是：如图，为了求海岛上的山峰的高度，在处和处树立高都是3丈丈步）的标杆和，，相隔1000步，并且，和在同一平面内，从处后退123步到处时，，，在一条直线上；从处后退127步到处时，，，在一条直线上，则山峰的高度为 _____步． 【变式5-3】（24-25九年级上·重庆·期中）《周髀算经》中记载：“偃矩以望高”，是指把“矩”（图中）的一边仰着放平，可以测量高度．如图，“矩”的一边紧贴地面，和旗杆均垂直地面．测得长，长，长，则旗杆的高度为_____． 【题型6 光学成像中的测量】 【例6】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段检测）《墨经》最早述及的小孔成像，是世界上最早的关于光学问题的论述，如图是小孔成像原理示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像的长是（   ）    A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26九年级上·山西晋城·期中）照相机是人们生活中不可或缺的工具，用于记录生活、科学研究等，小明同学想利用某照相机的参数及实地测量测算某不可及景物的高度．如图所示是小明同学绘制的测量示意图，调节照相机的焦距（相机摄像头到成像面的距离）为，测得像高（成像面上成像的高度）为．若测得物距（景物到相机摄像头的距离）为，则景物的高度为___________m． 【变式6-2】（2026·辽宁朝阳·二模）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐述了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．若物体的高为，小孔的高度为，则实像的高度为_____． 【变式6-3】（2025·广西来宾·三模）综合与实践 如图1，小银同学在物理光学实验课上，想要通过自己的数学知识探索凸透镜成像规律，请你帮助他完成探索． 【成像原理】 如图2，当光线通过凸透镜时，由于透镜中央较厚、边缘较薄的特性，光线会发生折射，从而改变传播路径．具体来说，平行于主光轴的光线经过凸透镜后会聚到一点，这个点被称为焦点；光心是凸透镜的中心，若光线穿过光心，则路径不变． 【成像规律】 1．当物距大于2倍焦距时，则像距在1倍焦距和2倍焦距之间，成倒立、缩小的实像．此时相距小于物距，像比物小，物像异侧； 2．当物距等于2倍焦距时，则像距在2倍焦距，成倒立、等大的实像，物像异侧； 3．当物距小于2倍焦距、大于1倍焦距时，则像距大于2倍焦距，成倒立、放大的实像．此时像距大于物距，像比物大，物像异侧； 4．当物距等于1倍焦距时，则不成像，光线平行射出； 5．当物距小于1倍焦距时，则成正立、放大的虚像．此时像距大于物距，像比物大，物像同侧； 【规律探究】 已知：为垂直于主光轴的物体，O为光心，为成的像． （1）①如图3，这是当时成像的简易图，请你运用所学知识证明规律1． ②如图4，这是当时成像的简易图，请你运用所学知识证明规律2． 【实践感知】 （2）小银找来了一个焦距为的凸透镜，将蜡烛和光屏放在相距的地方，想要用该凸透镜来让光屏上承接到清晰的像，请你找到凸透镜的位置并求出透镜与蜡烛之间的距离，并写出你是如何找到透镜的位置的． 【拓展实验】 （3）接着小银找来了一个焦距为的凸透镜，将长度为的蜡烛放在透镜前，来回移动蜡烛，请你帮助他找到使得物距与像的长度满足时，物距的大小（直接写出答案，像可以是虚像）． 【题型7 利用相似求盲区范围】 【例7】如图所示，某种品牌小轿车左右两个参照点A和F的距离为米，这两个参照点到地面的距离米，若驾驶员的眼睛点P到地面的距离米，则驾驶员的视野盲区的长度为__________米．    【变式7-1】（2024·陕西西安·一模）随着社会车辆的增多，儿童安全问题成为社会关注的焦点，建议司机和行人时刻“警惕汽车视线盲区，谨防看不见的安全隐患”．如图，在某小区内住宅楼拐角处的一段道路上，有一儿童在处玩耍，一辆汽车从被住宅楼遮挡的拐角另一侧的处驶来，已知 ，汽车从处前行多少米才能发现处的儿童．（结果保留到，参考数据： 【变式7-2】如图，直角坐标平面内，小明站在点A（﹣10，0）处观察y轴，眼睛距地面1.5米，他的前方5米处有一堵墙DC，若墙高DC＝2米，则小明在y轴上的盲区（即OE的长度）为_____米．    【变式7-3】（2026·江苏盐城·模拟预测）为进一步确保汽车安全性能，技术人员对汽车前视野盲区做了研究，研究时简化模型：如图2，线段为驾驶员，与地面垂直，车头近似看成矩形，驾驶员视线被车头遮挡形成视野盲区，发现视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域（梯形）． 测量数据：驾驶员眼睛距地面的高度为，车头的高度为，宽度为，车头到点的水平距离为． 问题解决： (1)根据以上信息，参考立体图形，在图3上用无刻度直尺补全汽车主视图的视野盲区平面图形，并求出盲区长度（视野盲区的前沿到车头的水平距离为盲区长度）； (2)在问题1的基础上，在图4上补全汽车俯视图的视野盲区平面图形，并求出视野盲区的面积； (3)①若调高主驾驶座椅，使得驾驶员眼睛距地面的高度增大，其余条件不变，则前视野盲区的面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”）； ②若设计时增加整车宽度（包括车头），其余条件不变，则视野盲区面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”） 【题型8 裁剪问题】 【例8】如图，一张底边长为、底边上的高为的等腰三角形纸片，沿底边依次从下往上裁剪宽度均为的矩形纸条．若剪得的纸条是一张正方形，则这张正方形纸条是（    ）    A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张 【变式8-1】三八妇女节，同学们准备送小礼物给妈妈，首先利用正方形纸板，制作一个正方体礼品盒（如图所示裁剪）．已知正方形纸板边长为分米，则这个礼品盒的体积__________分米． 【变式8-2】在综合实践课中，小慧将一张长方形卡纸如图1所示裁剪开，无缝隙不重叠的拼成如图2所示的“”形状，且成轴对称图形.裁剪过程中卡纸的消耗忽略不计，若已知，，. 求（1）线段与的差值是___ （2）的长度. 【变式8-3】（2024·浙江·二模） 探究不同裁剪方式的面积大小问题 素材1 图1是一张直角三角形纸板，两直角边分别为，，小华、小明、小富同学分别用这样的纸板裁剪出不一样的矩形，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上．    素材2 小华同学按图2的方式裁剪出一个正方形；小明同学按图3的方式裁剪，且．    素材3 小富同学对纸板的裁剪按如下步骤：如图4， 步骤1：在直角纸板上裁下一个矩形，矩形的四个顶点都在的边上； 步骤2：取剩下的纸板裁下一个正方形，正方形的四个顶点都在边上；且满足矩形的边长是正方形边长的两倍小．    问题解决 任务1 请比较小华、小明同学裁处的两种矩形的面积大小，通过计算说明． 任务2 请求出小富同学裁下的矩形各边长． 【题型9 实物抽象出相似问题】 【例9】（2026·辽宁铁岭·二模）杠杆原理在生活中随处可见．如图是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆的一端时，另一端就会撬动石头．若动力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图是一个常见铁夹的剖面图，表示铁夹的两个面，C是轴，，垂足为D，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则A，B两点间的距离为______ ． 【变式9-2】（24-25九年级上·海南儋州·期中）如图，图①是生活中常见的人字梯，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，因而把它形象的称为“人字梯”．图②是其工作时的示意图，拉杆，，当米时，两梯杆跨度、之间的距离为_____米 【变式9-3】（2024·广东清远·一模）综合与实践 【主题】探索家用脚踏式翻盖垃圾桶的神奇构造 【素材】为了隔绝异味，拒绝细菌传播，脚踏式翻盖垃圾桶成为许多家庭和公共场合的常见物品，它方便我们在不用手接触的情况下打开垃圾桶，更加卫生、便捷．图1所示是家用脚踏式翻盖垃圾桶在地面上水平放置的侧面实物图，它主要由桶体、桶盖、杠杆和脚踏部分组成，桶盖为圆形，在打开桶盖的过程中，桶盖可以绕点O逆时针方向旋转，桶身为圆柱体． 在数学活动课上，班级各兴趣小组为了探究家用脚踏式翻盖垃圾桶的神奇构造，绘制了如2图所示的简化示意图．连接杆与圆管垂直，与地面平行，支点P固定在垃圾桶底部的某一位置，圆珠B始终在一根固定的圆管内上下滑动，通过脚向下踩踏点A到，圆珠B上升到点，绕支点P转动，转动过程中始终保持 ，与此同时传动杆向上运动，由点H上升到点，从而使桶盖打开． 【实践操作】 步骤1：仔细观察脚踏式翻盖垃圾桶的整体结构； 步骤2：反复操作脚踏板，观察桶盖的运动过程； 步骤3：测量垃圾桶的相关数据：脚踏板到支点的距离 厘米，支点到桶盖连接点的距离 厘米，厘米， 厘米，当脚踩踏板时垃圾桶盖打开最大张角； 步骤4：根据观察到的现象和测量得到的数据，利用数学知识进行分析和计算． 【实践探索】 (1)请用数学知识说明直径为的7号篮球能扔进垃圾桶吗? （参考数据：） (2)若脚踏板下压的垂直距离为时，求桶盖边缘点M掀起的高度是多少? 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.6 相似三角形的应用（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 利用影子测物体高度】 2 【题型2 利用平面镜测物高】 7 【题型3 利用标杆测物高】 11 【题型4 测量不可达河宽距离】 16 【题型5 古典文化中的测量】 22 【题型6 光学成像中的测量】 25 【题型7 利用相似求盲区范围】 32 【题型8 裁剪问题】 37 【题型9 实物抽象出相似问题】 43 考点1 相似三角形的应用 知识点 相似三角形的应用 1. 测量高度（测高问题） 利用影子或镜面反射测量无法直接到达顶部的物体高度. 平行光（影子）模型： 原理： 同一时刻，太阳光线是平行的，故物高与影长成正比. 公式： . 注意： 必须是同一时刻；影长是指从物体底部到影子顶端的水平距离. 镜面反射模型： 原理： 入射角 = 反射角，故两个直角三角形相似. 构造： 人眼、镜子、物体顶端构成两个直角三角形. 公式： . 2. 测量宽度/距离（测距问题） 利用“人”或“标杆”作为中间桥梁，测量河宽、池塘宽等. 人字模型 / 标杆模型： 场景： 站在岸边，通过标杆或手臂遮挡对岸目标. 原理： 构造“X”型或“A”型相似. 关键： 找准对应边. 通常是： 或. 3. 盲区与视线问题 原理： 视线是直线，障碍物边缘与视线相切. 应用： 判断能否看到物体、计算刚好看到物体时的距离. 方法： 连接“眼睛”与“障碍物顶端”并延长，与地面/目标线的交点即为临界点. 【题型1 利用影子测物体高度】 【例1】（25-26九年级上·陕西汉中·阶段检测）如图，为了测量一座水塔的高度，在阳光下，小亮走进水塔的影子里，使自己的影子刚好被水塔的影子遮住．已知小亮的身高，此时，他的影子的长，他距水塔的底部E处，水塔的顶部为点D．根据以上数据，你能算出水塔的高度是多少吗？ 【答案】水塔的高度是 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意得，进而得，可得，最后，代入相关数据计算即可． 【详解】解：能算出水塔的高度，；理由如下： 如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，，， ∴， 解得：， ∴水塔的高度是． 【变式1-1】（24-25九年级上·四川成都·阶段检测）小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如图所示，小明边移动边观察，发现站到点处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度，已知小明的身高为2，，（点，，在同一直线上），请你帮小明求出楼高． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，中心投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，交于点，根据题意可得：，，，，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，交于点， 由题意得：，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴楼高为． 【变式1-2】（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，公路旁有两个高度相等的路灯．小明上午上学时发现路灯在太阳光下的影子恰好落到里程碑E处，他自己的影子恰好落在路灯的底部C处．晚自习放学时，站在上午同一个地方，发现在路灯的灯光下自己的影子恰好落在里程碑E处． (1)在图中画出小明的位置（用线段表示），并画出光线，标明太阳光、灯光． (2)若上午上学时候高的木棒的影子为，小明身高为，他离里程碑E恰好，求路灯高． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题综合考查了相似三角形的判定和性质的运用，掌握平行投影的光线是平行的是解题的关键． （1）根据题意画出图形，即可求解； （2）证明，即可求解． 【详解】（1）解：如图． （2）解：∵上午上学时候高的木棒的影子为，小明身高为， ∴小明的影长为． ∵，， ∴， ∴，， ∴． ∴， 即， 解得：． 即路灯高． 【变式1-3】如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距18米，路灯的高度比路灯的高度低1米．夜晚，身高为1.6米的小明以1米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为t秒．当行走3秒时，他走到了P处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点B）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)若小明身高是影子与的比例中项，求此时t的值． (3)有言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离． ①从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长 （用含t的代数式表示）； ②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的！请直接写出小明在路灯下的影子的顶端N在地面上移动的速度为   米/秒． 【答案】(1)米 (2)4或14 (3)①；② 【分析】本题考查了相似三角形的应用，能根据题意列出比例式是解题的关键； （1）根据题意表示出，，长度，设米，则米，由可得，代入计算即可； （2）设，由可得，，由可得，再由是影子与的比例中项，可求t； （3）设O是小明在路灯下影子的起止位置，根据求出即可得出影子的速度． 【详解】（1）解：由题意得米，米，米， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：路灯的高度为米； （2）由题意可知：， ∵， ∴， 设，则有， 解得： ， ∵， ∴， 设，则有， 解得， ∵是影子与的比例中项， ∴，即， 化简得：， 解得：，， ∴t的值为：4或14； （3）①∵， ， ∴， ②如图设O是小明在路灯下影子的起止位置，小明由B到P则影子有O到B，影子交于点G， 有（1）得， ， ， ， ， ， 移动的速度为（米/秒） 故答案为：①；②． 【题型2 利用平面镜测物高】 【例2】【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小亮在湖对面P处放置一面平面镜（平面镜的大小忽略不计），他站在C处通过平面镜恰好能看到塔的顶端A，此时测得小亮到平面镜的距离为4米．已知平面镜到塔底部中心的距离为米，小亮眼睛到地面的距离为米，C，P，B在同一水平直线上，且，均垂直于．请你帮小亮计算出长安塔的高度． 【答案】长安塔的高度是米 【分析】本题主要考查以物理反射光线为背景的相似三角形问题，利用相似三角形模型可以解决，入射角反射角，可以直接证明，在利用对应边之比，即可求出的长度． 【详解】由光的反射定律得到：； ∵，均垂直于； ∴； ∴； ∴； ∴； ∴（米）； 答：长安塔的高度是米． 【变式2-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，强强同学为了测量学校一座高楼的高度，在操场上的点A处放一面平面镜，从点A处沿方向移动到达点B处（即），恰好在平面镜中看到高楼的顶部点E的像；强强从点B处沿方向移动到达点C处（即），测得．强强同学的眼睛距地面的高度为，已知点O，A，B，C在同一水平线上，，．求高楼的高度．（平面镜的大小忽略不计） 【答案】 【分析】本题考查测高，涉及相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质和平面镜测高等，熟练掌握是解答本题的关键，由平面镜测高题型的解法，利用，得到相似比，代值求解得到，再由等腰直角三角形的性质列式求解即可得到答案． 【详解】解：由题意知：， ，， ， ， ， 即， ， ，， ， ， 解得：， ， 答：高楼OE的高度为． 【变式2-2】如图①，“丝绸之路群雕”刻画和表达了一队来往于丝路中途的中外混合的骆驼商旅，已成为西安著名的城市标志之一．为了测量群雕某处的高度，小明和晓璐带着平面镜和皮尺去进行测量．测量过程如下：如图②，首先，小明在处放置了一面平面镜，然后沿后退，当小明蹲在点处时恰好能在平面镜中看到雕塑顶端的像，此时小明的眼睛到地面的距离米，米；然后小明在处起立站直，晓璐眼睛贴地观察发现地面上点、小明头顶和顶端重合，测得小明的身高米，米，，，点、、、在同一条水平线上，点在上，请你求出该处雕塑的高．（平面镜的大小、厚度忽略不计，晓璐眼睛贴地观察时眼睛到地面的距离忽略不计） 【答案】该处雕塑的高为7米． 【分析】根据已知条件证得，，根据相似三角形的性质即可求出． 【详解】解：由题意可得：，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴该处雕塑的高为7米． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，根据已知条件证得，是解决问题的关键． 【变式2-3】在学习了光的反射定律后，数学综合实践小组想利用光的反射定律（反射角等于入射角）测量池塘对岸一棵树的高度，测量步骤如下： ①如图，在地面上的点E处放置一块平面镜（镜子大小忽略不计），小阳站在的延长线上，当小阳从平面镜中刚好看到树的顶点A时，测得小阳到平面镜的距离m，小阳的眼睛点C到地面的距离m； ②将平面镜从点E沿的延长线移动6m放置到点H处，小阳从点D处移动到点G，此时小阳的眼睛点F又刚好在平面镜中看到树的顶点A，这时测得小阳到平面镜的距离m．请根据以上测量过程及数据求出树的高度． 【答案】树的高度为． 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．证明，列出比例式进行求解即可．解题的关键是证明三角形相似． 【详解】解：由题意可知， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 解得，， ∴， 答：树的高度为． 【题型3 利用标杆测物高】 【例3】（24-25九年级上·福建泉州·期中）某市科研考察队为了求出某海岛上的山峰的高度，如图，在同一海平面的处和处分别树立标杆和，标杆的高都是米，两处相隔80米，从标杆向后退11米的处，可以看到顶峰和标杆顶端在一条直线上；从标杆向后退13米的处，可以看到顶峰和标杆顶端在一条直线上．求山峰的高度及它和标杆的水平距离？注：图中各点都在一个平面内． 【答案】山峰的高度为米，它和标杆的水平距离为440米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据垂直的定义得到，利用相似三角形的判定得到和，根据相似三角形的性质分别得到，，再联立解方程即可得到结论． 【详解】解：由题意得：，，， ， 又，， ，， ，， ，， 解得：米，米， 答：山峰的高度为米，它和标杆的水平距离为440米． 【变式3-1】（25-26九年级上·贵州六盘水·期末）小明利用标杆在阳光下测量旗杆的高度．如图，将标杆底端和旗杆影子顶端重合，已知标杆，测得标杆的影长，旗杆的影长，则旗杆的高_____m． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确理解题意是关键．先证明，即可根据相似三角形的性质列方程求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 解得（m）． 故答案为：12． 【变式3-2】（2025·广东阳江·一模）综合与实践 【实践主题】借助标杆测量校园内路灯的高度． 【素材】标杆、皮尺、激光仪等工具． 【实践操作】如图，表示路灯的高度实验小组在路灯旁的水平空地上直立一根高米的标杆，调整地面上激光仪的位置点，使从点处发出的激光束恰好同时经过点，（图中各点均在同一竖立平面内），测得米，米．      【问题解决】 （1）根据实验小组的测量数据，计算路灯的高度； 【反思交流】 （2）在交流中，一位同学对实验小组的方案提出质疑：如果路灯底部不可以直接到达，将无法测得线段的长，最后不能求得路灯的高度所以实验小组在此基础上对原有方案进行补充改进：如图，在点处再直立一根同样高度的标杆，调整地面上激光仪的位置点，使从点处发出的激光束恰好同时经过点，若，请你根据实验小组改进后的方案用含的代数式表示路灯的高度． 【答案】（1）米，（2） 【分析】根据可知，根据米，米，米，可知，从而可求的长度； 首先根据据可知，根据米，米，，从而可得，根据可知，根据米，米，，可得，等量代换可得，整理可得． 本题主要考查了相似三角形的性质和应用，解决本题的关键是根据相似三角形对应边成比例求出相应的线段的长度． 【详解】解：， ， ， 米，米，米， 米， ， 解得：米； ， ， ， 又米，米， ， 整理得：， ， ， ， 又米，米，， ， ， 解得：． 【变式3-3】（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是，已知在路灯光下的影长分别为，． (1)在图中画出路灯O的位置； (2)求标杆的影长． 【答案】(1)见解析 (2)标杆的影长为 【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影；中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．解决本题的关键是灵活运用相似三角形的判定与性质． （1）连接并延长，交点即为点，过点O作于点H，则路灯即为； （2）如图，为路灯的高，设，先证明,得到①，再证明,得到②，则，可解得，所以，，然后证明,得到，再利用比例性质求出即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解： ∵， ∴， ∴，即①， ∵， ∴， ∴，即②，   由①②得，，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 答：标杆的影长为． 【题型4 测量不可达河宽距离】 【例4】如图，要测量河宽，可在两岸找到相对的两点、，先从出发与成方向向前走米，到处立一标杆，然后方向不变继续朝前走米到处，在处转，沿方向走到处，若、、三点恰好在同一直线上，且米，你能根据题目提供的数据和图形求出河宽吗？ 【答案】河宽为． 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，易证明，根据相似三角形的性质可得，据此代值计算即可． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴河宽为． 【变式4-1】（24-25九年级上·湖南郴州·期中）为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处测得河北岸的树恰好在的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从点向东走到点，此时测得点恰好在东南方向上． 观测者从点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得． 观测者从点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走一定的路程到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一直线上． 测量示意图 (1)第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段______的长度． (2)第二小组测得米，则______米． (3)第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 【答案】(1) (2)30 (3)可行，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形、相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点并运用数学结合思想． （1）由题意得为等腰直角三角形，即可解答； （2）由题意得为等腰三角形，即可解答； （3）由题意得，即可解答． 【详解】（1）解：∵点C恰好在点A东南方向， ∴为等腰直角三角形， ∴要知道河宽，只需要知道线段的长度， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ， ∴， ∴米， 故答案为：30米； （3）解：可行，理由如下： 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴只要测得就能得到河宽， 故第三小组的方案可行． 【变式4-2】如图，为了估算河面的宽度，即的长，在离河岸点2米远的点，立一根长为1米的标杆，在河对岸的岸边有一块高为米的安全警示牌，警示牌的顶端M在河里的倒影为点N，即，两岸均高出水平面米，即米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，若均垂直于河面，求河宽是多少米？ 【答案】河宽是米 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的应用．熟练掌握矩形的判定与性质，相似三角形的应用是解题的关键． 如图，延长交的延长线于点H，则四边形是矩形，，，证明，则，可求，则，（米），证明，则，可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点H，则四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∵， ∴（米）， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴（米）， ∴河宽是米． 【变式4-3】如图，为一条宽为4米的河，河的西岸建有一道防洪堤，防洪堤与东岸的高度差为3米（即米），因为施工需要，现准备将东岸的泥沙通过滑轨送到西岸的防洪堤上，防洪堤上已经建好一座固定滑轨一端的钢架，现准备在东岸找一个点P作为另一端的固定点，已知吊篮的截面为直径为1米的半圆（直径米），绳子米，钢架高度米（米），距离防洪堤边缘为米（米）． (1)西岸边缘点C与东岸边缘点D之间的距离为多少米？ (2)滑轨在运送货物时保持笔直，要想做到运输过程中吊篮一定不会碰到点C，则的长度应大于多少米． 【答案】(1)西岸边缘点C与东岸边缘点D之间的距离为5米； (2)的长度应大于米． 【分析】本题考查了勾股定理、圆的切线、相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点，学会构造相似三角形求线段长度是解题的关键． （1）连接，利用勾股定理求解即可； （2）延长交与点G，过点Q作于点K，延长与相交于点O，根据勾股定理和等腰三角形的性质求得米，结合吊篮一定不会碰到点C，得出米，再利用可得，设设米，根据比例关系即可求出． 【详解】（1）解：如图所示，连接， 由题意可知，米，米， 则由勾股定理可得：米． 答：西岸边缘点C与东岸边缘点D之间的距离为5米． （2）如图所示，延长交与点G，过点Q作于点K，延长与相交于点O， 米， 是等腰三角形， ，米， 米， 米； 滑轨在运送货物时保持笔直，要想做到运输过程中吊篮一定不会碰到点C，设切点为J，延长交于点W， 由题意得，， ， 切点为J， ， ， ， ， ，即， 米， 米， 米， ，， ， ， 设米，则米， 米， 又米， ， 解得， 由题意得，要想做到运输过程中吊篮一定不会碰到点C ，则米． 答：的长度应大于米． 【题型5 古典文化中的测量】 【例5】（2025·广东深圳·二模）立一表高八尺，影长六尺；今有一楼，影长四丈五尺．问楼高几何?（选自《海岛算经》）题目大意：直立一根8尺高的标杆，其影子长度为6尺；此时有一栋楼，影长4丈5尺（即45尺），这栋楼有多高?根据题意，可求得这栋楼高________尺． 【答案】60 【分析】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记．根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解． 【详解】解：设这栋楼的高度为x尺， 由题意得，， 解得， 则这栋楼高尺． 故答案为：． 【变式5-1】（25-26九年级上·江苏南京·期末）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门一十五步有木，问出南门几何步见木？”其大意如下：如图，、分别是正方形边和的中点，正方形的边长为步，出东门继续往东走步有一树木点，问出南门继续往南走多少步恰好能看到位于点处的树木即点在直线上？则根据以上信息，算出的长是 ______ 步 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键． 证明，得到，即可求出的长． 【详解】解：由题意可知，步，步，步， ∴， ， 又， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式5-2】《海岛算经》中记载：“今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合．问岛高几何．”其大意是：如图，为了求海岛上的山峰的高度，在处和处树立高都是3丈丈步）的标杆和，，相隔1000步，并且，和在同一平面内，从处后退123步到处时，，，在一条直线上；从处后退127步到处时，，，在一条直线上，则山峰的高度为 _____步． 【答案】1255 【分析】先证明，利用相似比得到①，再证明得到，即②，所以，接着利用比例的性质求出，然后计算的长． 【详解】解：根据题意得步，步，步，步， ， ， ，即①， ， ， ，即②， 由①②得， 即， ， ， ， ， （步）， 即山峰的高度为1255步． 故答案为：1255． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等计算相应线段的长． 【变式5-3】（24-25九年级上·重庆·期中）《周髀算经》中记载：“偃矩以望高”，是指把“矩”（图中）的一边仰着放平，可以测量高度．如图，“矩”的一边紧贴地面，和旗杆均垂直地面．测得长，长，长，则旗杆的高度为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 根据题意可得，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵和均为直角， ∴， ∴， ∵长，长，长， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型6 光学成像中的测量】 【例6】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段检测）《墨经》最早述及的小孔成像，是世界上最早的关于光学问题的论述，如图是小孔成像原理示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像的长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，还有会用相似三角形对应边成比例．据小孔成像原理可知，利用它们的对应边成比例就可以求出之长． 【详解】解：如图过O作直线，交于F，    则， 依题意， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵分别是它们的高， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式6-1】（25-26九年级上·山西晋城·期中）照相机是人们生活中不可或缺的工具，用于记录生活、科学研究等，小明同学想利用某照相机的参数及实地测量测算某不可及景物的高度．如图所示是小明同学绘制的测量示意图，调节照相机的焦距（相机摄像头到成像面的距离）为，测得像高（成像面上成像的高度）为．若测得物距（景物到相机摄像头的距离）为，则景物的高度为___________m． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形实际应用，相似三角形的判定与性质综合，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先分别得出，，再列出比例式，得出，代入已知数据即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴，， ∴，， ∴， ∵调节照相机的焦距（相机摄像头到成像面的距离）为，测得像高（成像面上成像的高度）为，若测得物距（景物到相机摄像头的距离）为， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式6-2】（2026·辽宁朝阳·二模）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐述了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．若物体的高为，小孔的高度为，则实像的高度为_____． 【答案】3 【分析】由题意可得出，，再根据相似三角形的性质得出比例式求出的长即可． 【详解】解：，，， ， ，， ， ， ， ． 【变式6-3】（2025·广西来宾·三模）综合与实践 如图1，小银同学在物理光学实验课上，想要通过自己的数学知识探索凸透镜成像规律，请你帮助他完成探索． 【成像原理】 如图2，当光线通过凸透镜时，由于透镜中央较厚、边缘较薄的特性，光线会发生折射，从而改变传播路径．具体来说，平行于主光轴的光线经过凸透镜后会聚到一点，这个点被称为焦点；光心是凸透镜的中心，若光线穿过光心，则路径不变． 【成像规律】 1．当物距大于2倍焦距时，则像距在1倍焦距和2倍焦距之间，成倒立、缩小的实像．此时相距小于物距，像比物小，物像异侧； 2．当物距等于2倍焦距时，则像距在2倍焦距，成倒立、等大的实像，物像异侧； 3．当物距小于2倍焦距、大于1倍焦距时，则像距大于2倍焦距，成倒立、放大的实像．此时像距大于物距，像比物大，物像异侧； 4．当物距等于1倍焦距时，则不成像，光线平行射出； 5．当物距小于1倍焦距时，则成正立、放大的虚像．此时像距大于物距，像比物大，物像同侧； 【规律探究】 已知：为垂直于主光轴的物体，O为光心，为成的像． （1）①如图3，这是当时成像的简易图，请你运用所学知识证明规律1． ②如图4，这是当时成像的简易图，请你运用所学知识证明规律2． 【实践感知】 （2）小银找来了一个焦距为的凸透镜，将蜡烛和光屏放在相距的地方，想要用该凸透镜来让光屏上承接到清晰的像，请你找到凸透镜的位置并求出透镜与蜡烛之间的距离，并写出你是如何找到透镜的位置的． 【拓展实验】 （3）接着小银找来了一个焦距为的凸透镜，将长度为的蜡烛放在透镜前，来回移动蜡烛，请你帮助他找到使得物距与像的长度满足时，物距的大小（直接写出答案，像可以是虚像）． 【答案】（1）①设，，，， ∵，， ∴ ∴，即， ∵， ∴ ∴即， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴，， ∴， 即规律1得证． ②连接， ∵ ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， 又∵，， ∴ ∴，，即规律2得证． （2）或 （3）或或 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解题意，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）①证明，得到，证明，得到，即可推导解题即可； ②连接，即可得到四边形为平行四边形，证明，即可得到结论； （2）根据题意可证，，根据对应边成比例解答即可； （3）分为或两种情况，根据相似三角形的对应边成比例解答即可． 【详解】（1）证明：①略 ②略 （2）解：设物体的长为a，，则， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴，，即蜡烛和透镜的距离为或． （3）解：或或． ①当时， ∵， 设，， ∵， ∴，即， ∴ ∵， ∴，即 ∴，（舍去） ∴． ②当时 ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即 ∴，， ∴或， 综上所述，u的值为或或． 【题型7 利用相似求盲区范围】 【例7】如图所示，某种品牌小轿车左右两个参照点A和F的距离为米，这两个参照点到地面的距离米，若驾驶员的眼睛点P到地面的距离米，则驾驶员的视野盲区的长度为__________米．    【答案】9 【分析】本题考查视点、视角和盲区，相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明，推出，由此求解即可． 【详解】解：设与交于， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9．    【变式7-1】（2024·陕西西安·一模）随着社会车辆的增多，儿童安全问题成为社会关注的焦点，建议司机和行人时刻“警惕汽车视线盲区，谨防看不见的安全隐患”．如图，在某小区内住宅楼拐角处的一段道路上，有一儿童在处玩耍，一辆汽车从被住宅楼遮挡的拐角另一侧的处驶来，已知 ，汽车从处前行多少米才能发现处的儿童．（结果保留到，参考数据： 【答案】汽车从处前行米才能发现处的儿童． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解直角三角形的应用；连接，并延长交于点，证明得出，在中，求得，进而即可求解． 【详解】解：连接，并延长交于点， 由图知：， ， ，即， ． 在 中， ，即， ， ． 答：汽车从处前行米才能发现处的儿童 【变式7-2】如图，直角坐标平面内，小明站在点A（﹣10，0）处观察y轴，眼睛距地面1.5米，他的前方5米处有一堵墙DC，若墙高DC＝2米，则小明在y轴上的盲区（即OE的长度）为_____米．    【答案】2.5 【详解】首先作出BM⊥EO，得出△BND∽△BME，即可得出，再利用已知得出BN，BM，DN的长，即可求出EM，进而求出EO即可． 解：过点B作BM⊥EO，交CD于点N， ∵CD∥EO， ∴△BND∽△BME， ∴， ∵点A（﹣10，0）， ∴BM=10米， ∵眼睛距地面1.5米， ∴AB=CN=MO=1.5米， ∵DC=2米， ∴DN=2﹣1.5=0.5米， ∵他的前方5米处有一堵墙DC， ∴BN=5米， ∴， ∴EM=1米， ∴EO=1+1.5=2.5米． 故答案为2.5．    【变式7-3】（2026·江苏盐城·模拟预测）为进一步确保汽车安全性能，技术人员对汽车前视野盲区做了研究，研究时简化模型：如图2，线段为驾驶员，与地面垂直，车头近似看成矩形，驾驶员视线被车头遮挡形成视野盲区，发现视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域（梯形）． 测量数据：驾驶员眼睛距地面的高度为，车头的高度为，宽度为，车头到点的水平距离为． 问题解决： (1)根据以上信息，参考立体图形，在图3上用无刻度直尺补全汽车主视图的视野盲区平面图形，并求出盲区长度（视野盲区的前沿到车头的水平距离为盲区长度）； (2)在问题1的基础上，在图4上补全汽车俯视图的视野盲区平面图形，并求出视野盲区的面积； (3)①若调高主驾驶座椅，使得驾驶员眼睛距地面的高度增大，其余条件不变，则前视野盲区的面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”）； ②若设计时增加整车宽度（包括车头），其余条件不变，则视野盲区面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”） 【答案】(1)如图所示： 盲区长度为； (2)如图所示 ； (3)①减小；②增大 【分析】（1）根据题意补全汽车主视图的视野盲区平面图形，证明，根据相似三角形的性质列式计算即可求解； （2）根据题意补全汽车主视图的视野盲区平面图形，证明，根据相似三角形的性质列式计算即可求解； （3）结合（1）（2）求解即可． 【详解】（1）解：图略 ∵，， ∴， ∴，即，解得， ∴盲区长度为； （2）解：图略 作于，交于， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴（平方米）； （3）解：①∵，即， ∴， 当增大时，减小，则前视野盲区的面积会减小； ②∵，增加整车宽度即增大，则也增大，其余条件不变， ∴视野盲区面积会增大． 【题型8 裁剪问题】 【例8】如图，一张底边长为、底边上的高为的等腰三角形纸片，沿底边依次从下往上裁剪宽度均为的矩形纸条．若剪得的纸条是一张正方形，则这张正方形纸条是（    ）    A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，正方形的性质．设剪得正方形纸条是第张，根据相似三角形的性质，得到，从而求出的值，即可得到答案．掌握相似三角形对应边成比例是解题关键． 【详解】解：字母标注如图， 由题意可知，，，， 设剪得正方形纸条是第张， ， ， ， ， 解得：， 即剪得正方形纸条是第张， 故选：C．    【变式8-1】三八妇女节，同学们准备送小礼物给妈妈，首先利用正方形纸板，制作一个正方体礼品盒（如图所示裁剪）．已知正方形纸板边长为分米，则这个礼品盒的体积__________分米． 【答案】8 【分析】设，判断出和为等腰直角三角形，证明，得到，可求出，即可得到正方体礼品盒的棱长，从而计算体积． 【详解】解：如图，在正方形中，， 设， 由此裁剪可得：和为等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴正方体礼品盒的棱长为2， ∴体积为立方分米， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，读懂裁剪的方法，找到相似三角形． 【变式8-2】在综合实践课中，小慧将一张长方形卡纸如图1所示裁剪开，无缝隙不重叠的拼成如图2所示的“”形状，且成轴对称图形.裁剪过程中卡纸的消耗忽略不计，若已知，，. 求（1）线段与的差值是___ （2）的长度. 【答案】 9 6 【分析】如图1，延长FG交BC于H，设CE＝x，则E'H'＝CE＝x，根据轴对称的性质得：D'E'＝DC＝E'F'＝9，表示GH，EH，BE的长，证明△EGH∽△EAB，则，可得x的值， 即可求出线段、及FG的长，故可求解. 【详解】(1)如图1，延长FG交BC于H， 设CE＝x，则E'H'＝CE＝x， 由轴对称的性质得：D'E'＝DC＝E'F'＝9， ∴H'F'＝AF＝9＋x， ∵AD＝BC＝16， ∴DF＝16−（9＋x）＝7−x， 即C'D'＝DF＝7−x＝F'G'， ∴FG＝7−x， ∴GH＝9−（7−x）＝2＋x，EH＝16−x−（9＋x）＝7−2x， ∴EH∥AB， ∴△EGH∽△EAB， ∴， ∴， 解得x＝1或31（舍），、及FG ∴AF=9+x=10，EC=1，故AF-EC=9 故答案为：9; (2)由（1）得FG＝7−x =7-1=6. 【点睛】本题考查了图形的拼剪，轴对称的性质，矩形、直角三角形、相似三角形等相关知识，积累了将实际问题转化为数学问题经验，渗透了数形结合的思想，体现了数学思想方法在现实问题中的应用价值． 【变式8-3】（2024·浙江·二模） 探究不同裁剪方式的面积大小问题 素材1 图1是一张直角三角形纸板，两直角边分别为，，小华、小明、小富同学分别用这样的纸板裁剪出不一样的矩形，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上．    素材2 小华同学按图2的方式裁剪出一个正方形；小明同学按图3的方式裁剪，且．    素材3 小富同学对纸板的裁剪按如下步骤：如图4， 步骤1：在直角纸板上裁下一个矩形，矩形的四个顶点都在的边上； 步骤2：取剩下的纸板裁下一个正方形，正方形的四个顶点都在边上；且满足矩形的边长是正方形边长的两倍小．    问题解决 任务1 请比较小华、小明同学裁处的两种矩形的面积大小，通过计算说明． 任务2 请求出小富同学裁下的矩形各边长． 【答案】任务一：小华：设正方形的边长为x， 由题意得： ，得： 小明：由题意得： ∵ ，得． ∵ ，得： ∵   ． 任务二：矩形的各边长为，，， 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质， 任务1：小华：设正方形的边长为x，，由题意得：，再利用相似三角形的性质求得x，小明：由题意得：，再由及求得，然后比较大小即可； 任务2：由题意得：，可设，，，再由可得，求得，，由列出比例式，求得得：，从而得出．最后求解即可； 【详解】解：任务一：略； 任务二：由题意得： 设：，， 同理： ，得 ∵ ，得： ． 矩形的边长为：；． 【题型9 实物抽象出相似问题】 【例9】（2026·辽宁铁岭·二模）杠杆原理在生活中随处可见．如图是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆的一端时，另一端就会撬动石头．若动力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明，得到，代入相关数值并求出的值即可． 【详解】解：，， ， ∴， ∵，， ∴ 解得． 【变式9-1】（24-25九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图是一个常见铁夹的剖面图，表示铁夹的两个面，C是轴，，垂足为D，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则A，B两点间的距离为______ ． 【答案】30 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，轴对称图形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等，连结，延长交于H，先证，再根据相似三角形对应边成比例进行求解． 【详解】解：连结，延长交于H，如图， 在中，， 铁夹的剖面图是轴对称图形， ，， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：30． 【变式9-2】（24-25九年级上·海南儋州·期中）如图，图①是生活中常见的人字梯，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，因而把它形象的称为“人字梯”．图②是其工作时的示意图，拉杆，，当米时，两梯杆跨度、之间的距离为_____米 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用．证明，则，再将数据代入计算即可．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴两梯杆跨度、之间的距离为米． 【变式9-3】（2024·广东清远·一模）综合与实践 【主题】探索家用脚踏式翻盖垃圾桶的神奇构造 【素材】为了隔绝异味，拒绝细菌传播，脚踏式翻盖垃圾桶成为许多家庭和公共场合的常见物品，它方便我们在不用手接触的情况下打开垃圾桶，更加卫生、便捷．图1所示是家用脚踏式翻盖垃圾桶在地面上水平放置的侧面实物图，它主要由桶体、桶盖、杠杆和脚踏部分组成，桶盖为圆形，在打开桶盖的过程中，桶盖可以绕点O逆时针方向旋转，桶身为圆柱体． 在数学活动课上，班级各兴趣小组为了探究家用脚踏式翻盖垃圾桶的神奇构造，绘制了如2图所示的简化示意图．连接杆与圆管垂直，与地面平行，支点P固定在垃圾桶底部的某一位置，圆珠B始终在一根固定的圆管内上下滑动，通过脚向下踩踏点A到，圆珠B上升到点，绕支点P转动，转动过程中始终保持 ，与此同时传动杆向上运动，由点H上升到点，从而使桶盖打开． 【实践操作】 步骤1：仔细观察脚踏式翻盖垃圾桶的整体结构； 步骤2：反复操作脚踏板，观察桶盖的运动过程； 步骤3：测量垃圾桶的相关数据：脚踏板到支点的距离 厘米，支点到桶盖连接点的距离 厘米，厘米， 厘米，当脚踩踏板时垃圾桶盖打开最大张角； 步骤4：根据观察到的现象和测量得到的数据，利用数学知识进行分析和计算． 【实践探索】 (1)请用数学知识说明直径为的7号篮球能扔进垃圾桶吗? （参考数据：） (2)若脚踏板下压的垂直距离为时，求桶盖边缘点M掀起的高度是多少? 【答案】(1)直径为24.6cm的7号篮球不能扔进垃圾桶 (2)桶盖边缘点M掀起的高度是厘米 【分析】（1）过点 作于点 ，在中利用 求出，即桶盖打开后最大间隙高度，与篮球直径 比较即可判断． （2） 踏板下压 后，过作 于 ，过点 作 于点Q，利用求出 点上升量，再由，在中用勾股定理求，最后利用的比例关系求出点掀起高度． 【详解】（1）解：如图（1），过点M作于点Q，则 当脚踩踏板垃圾桶盖打开最大张角时， 在中， ∵7号篮球的直径为24.6cm 且 ∴直径为24.6cm的7号篮球不能扔进垃圾桶 （2）解：如图（2），过点作 于点C，过点 作 于点Q， 则 ∴ ∵点A的对应点是 厘米， 在中， 厘米， 厘米， 厘米 解得：， ∵当圆珠B上升到点时，点H上升到点 过点作 于点N，则 在中， 厘米，厘米 ， 厘米 答：桶盖边缘点M掀起的高度是厘米． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $