专项训练04 二次根式的混合运算及规律、新定义型问题（巩固培优）新八年级数学新教材北师大版

**基本信息** 系统整合二次根式运算法则与六大核心题型，以“法则-技巧-创新”三级递进构建方法体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |运算法则|4类（乘/除/加减/混合）|法则推广与逆用|从单一运算到混合运算的递进| |混合运算|2题|整式运算顺序迁移|运算顺序的一致性| |整体代入|2题|代数变形与代入技巧|代数式化简与求值的关联| |分母有理化|2题|有理化因式构造法|根式化简的逆向思维| |复合化简|2题|平方法转化|二次根式与完全平方的联系| |新定义/规律|4题|定义迁移与规律归纳|数学抽象与模型意识的应用|

专项训练04 二次根式的混合运算及规律、新定义型问题 【知识点1 二次根式的运算】 1.二次根式的乘法 （1）二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变） （2）二次根式的乘法法则的推广: ① ②，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. （3）二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） （4）二次根式的乘法法则的逆用的推广： 2.二次根式的除法 （1）二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） （2）二次根式的除法法则的推广：. 3.二次根式的加减法 （1）二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 （2）二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 4.二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【题型1 二次根式的混合运算问题】 1.计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、二次根式的性质等知识点，根据二次根式的性质化简二次根式成为解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，然后再运用二次根式的四则混合运算法则计算即可； （2）先根据二次根式的性质化简，然后再运用二次根式的四则混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 2.计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2)10 【分析】本题考查二次根式混合运算，最简二次根式，同类二次根式，掌握二次根式混合运算法则，最简二次根式，同类二次根式及合并法则是解题关键． （1）先化简为最简二次根式，先计算括号里的，再计算二次根式乘法即可， （2）先计算二次根式的乘法、化简绝对值和立方根，然后再算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【题型2 含二次根式的整体代入求值】 3.已知，，则代数式的值是 ； 【答案】 【分析】根据题中条件，利用二次根式性质化简，代入求值即可得到答案． 【详解】解：，， ，， ， 故答案为：． 4．已知：，求的值． 【答案】 【分析】根据进行计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 【题型3 二次根式中的分母有理化】 5.[核心素养]阅读下面的解答过程： ； ； …… 根据以上解答过程解决下列问题： (1) ； (2)试求的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题是材料阅读题，考查了二次根式的混合运算，关键是读懂题中材料提供的解法，并能正确应用． （1）根据阅读材料提供的方法即可完成； （2）对每一项用阅读材料中提供的方法化简再相加即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 6.阅读材料：在解决问题“若，求的值”时，小俊是这样分析与解答的： ∵，∴，∴，∴． ∴． 请你根据小俊的解答过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方差公式，将分母有理化即可； （2）先将化简，得出，则，进而得出，得出，代入计算即可． 本题主要考查了二次根式的化简，分母有理化，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 则， ∴ 则， ∴， 【题型4 复合二次根式的化简】 7．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．设（其中、、、均为正整数），则有，∴，．这样可以把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ______； (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次根式的恒等变形，弄清材料中解题的方法，熟练掌握和灵活运用二次根式的相关运算法则是解题的关键． （1）根据，比较对应项系数即可． （2）根据，得；根据得，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 8．【阅读理解】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a，b，m，n均为正整数），则有，，．这样小明就找到了一种把化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题． 【实践探究】 （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，则________，________； （2）若，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值． 【拓展延伸】 （3）化简________． 【答案】（1）；；（2）或；（3） 【分析】本题考查了二次根式的恒等变形，弄清材料中解题的方法，熟练掌握和灵活运用二次根式的相关运算法则是解题的关键． （1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式； （2）根据题意，展开得到，然后根据，m，n为正整数进行求解； （3）先设，m，n为正整数，再由例题的方法求解即可． 【详解】解：（1）， ， ， 故答案为：；． （2） 由 得， 又，m，n为正整数 或 （3）设，m，n为正整数 ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型5 二次根式运算中的新定义型问题】 9．若最简二次根式与是同类二次根式． (1)求a的平方根； (2)对于任意不相等的两个数x，y，定义一种运算“”如下：，如：，请求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，求平方根，新定义下的实数运算,二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式和同类二次根式的定义及二次根式的化简是解题的关键． （1）根据同类二次根式的定义得出，求出a，再根据平方根的定义求出a的平方根即可； （2）先根据新运算求出，再根据新运算求出的值即可． 【详解】（1）最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得， 的平方根是； （2）， ， ． 10．定义：若，是有理数，则称与是关于c的“美好数”例如：，则称与是关于的“美好数”． (1)关于的“美好数”是______； (2)化简：； (3)若是关于的“美好数”，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了“美好数”的新定义，分母有理化，二次根式的运算，因式分解的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用“美好数”的新定义，分母有理化解答即可求解； （）利用“美好数”的新定义，分母有理化解答即可求解； （）利用“美好数”的新定义，分母有理化求出，再把变形为，最后代入求值即可． 【详解】（1）解：由“美好数”的新定义可得， 则关于的“美好数”是， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：关于的“美好数”， ∴ ． 【题型6 二次根式运算中的规律探究问题】 11.先观察下列等式，再回答问题： ① ② ③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想 的结果： (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式： (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，数字的变化类规律型及有理数加减混合运算，根据题意，理解题目所给的规律，并应用规律进行计算是解决本题的关键． （1）根据题目所给的例题可知可化为，计算即可得出答案； （2）利用根据前面等式的规律求解； （3）根据题意可化为，根据有理数加法计算即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得： （2）第n个式子为：； （3） ． 12.观察下列各式及验证过程：， 验证；， 验证， 验证 (1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想的变形结果并进行验证． (2)针对上述各式反映的规律，写出用为任意的自然数，且表示的等式，并给出证明． 【答案】(1)，验证见解析 (2)，验证见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的性质．此题是一个找规律的题目，观察时，既要注意观察等式的左右两边的联系，还要注意右边必须是一种特殊形式． （1）通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质，把根号内的移到根号外； （2）根据上述变形过程的规律，即可推广到一般．表示左边的式子时，观察根号外的和根号内的分子、分母之间的关系可得：． 【详解】（1） 验证： ； （2）． 验证： ． 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，包括加减乘除及乘法公式的应用．需逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：选项A：中，与不是同类二次根式，无法合并，结果应为，故错误． 选项B：，而非，故错误． 选项C：利用平方差公式，，结果应为，故错误． 选项D：将除法分配至每一项：结果与选项一致，故正确． 故选：D． 2．用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题属于新定义运算，二次根式混合运算，理解新定义运算法则，掌握二次根式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键． 根据定义新运算法则列式，然后先算乘方和乘法，再算加减． 【详解】解： 故选：D． 3．先观察下列的计算，再完成习题： ；；根据你的猜想、归纳，运用规律计算：的结果为（   ） A．1 B．2014 C．2013 D． 【答案】C 【分析】此题考查了分母有理化，由题意得出规律，再根据得出的规律将原式化简即可得到结果． 【详解】解：∵；；， ∴得出规律， ∴ ， 故选：C． 4．若规定，，则 ， 【答案】 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，二次根式的混合运算；根据新定义运算法则先列式，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：，． 5．观察下列等式，如果为大于的正整数，请用含的等式表示这个运算规律： ． ；；； 【答案】（，且为整数）． 【分析】本题考查了算术平方根，数字的变化规律，掌握算术平方根的定义是关键． 根据算术平方根的定义和数字的变化规律进行计算． 【详解】解：根据题意可知，， ， ， ∴． 故答案为：（，且为整数）． 6．定义：因为，可以有效的去掉根号，我们称与为一对“对偶式”．若，则 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的乘法运算及题中所给运算是解题的关键．易知与是一对“对偶式”，可根据化简计算即可． 【详解】解：根据材料可知，与是一对“对偶式”， ∵， ∴ 故答案为：7． 7．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． （1）先算乘除，再算加减即可； （2）先算平方差公式，完全平方公式，再算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 8．定义新运算：对于任意实数，都有，例如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义实数运算，涉及二次根式混合运算法则等知识，读懂题意，理解新定义运算公式，代值后由二次根式混合运算求解是解决问题的关键． （1）根据新定义的实数运算，代值求解即可得到答案； （2）先计算，再根据新定义的实数运算，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ． 9．对于任意实数a，b，定义一种运算“”如下：．如：． (1)______，______； (2)已知，求的值． 【答案】(1)1，3 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是理解新定义的含义，列出正确的算式． （1）根据已知条件中的新定义，列出算式，根据二次根式的性质进行计算即可； （2）根据新定义，列出含有的等式，再根据平方差公式分解因式，然后进行解答可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：1，3； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴． 10．观察下列等式，解答下列问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)请直接写出第5个等式：______（不用化简）； (2)根据上述规律，请用含n的式子表示第n个等式（为正整数），并证明等式成立； (3)利用（2）的结论计算：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、规律型数字的变化美，解决本题的关键是根据示例发现规律写出式子． （1）根据示例，可得第5个等式：不用化简； （2）； （3）利用（2）的结论，将数据代入计算即可． 【详解】（1）解：第5个等式是：不用化简， 故答案为：； （2）第n个等式为正整数为：， 证明：因为n为正整数， 所以有： ； （3） ． 1．对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下： ，如 ． (1)填空，　 　． (2)若，求x的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据定义得到计算即可． （2）根据定义得到，代入方程计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， 故答案为：3． （2）∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故x的值为． 2．学习二次根式时，小昆发现一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的变化，竟然可以“跑”到根号的外面，好像“穿墙”，数字2称为“穿墙数”．类似的“穿墙”现象还有许多，例如：等． (1)根据上述规律，__________； (2)请你用一个正整数（为“穿墙数”，）表示含有上述规律的等式__________（不需要证明）； (3)按此规律，若（为正整数），求的值． 【答案】(1) (2) (3)71 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）根据二次根式的性质化简二次根式即可得到答案； （2）根据题意得出规律，进行计算即可； （3）根据规律计算求出a，b的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：，证明如下： ； 故答案为：； （3）解：由条件可知， ∴， ∴． 3．先阅读，后解答： ． 在上述解题过程中，与相乘，与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． (1)的有理化因式是______；的有理化因式是______； (2)将下列式子进行分母有理化： ①______；②______； ③______；④______； (3)类比（2）中④的计算结果，计算：． 【答案】(1)； (2)①；②；③；④ (3)44 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键． （1）根据分母有理化的定义即可得到答案； （2）按照分母有理化的方法进行计算即可； （3）把每个式子分别进行有理化，再进行二次根式的加减法即可． 【详解】（1）解：的有理化因式是；的有理化因式是； 故答案为：；． （2）①； ②； ③； ④． （3） ． 4．【观察·发现】 填空： ①；        ②；    ③ ④__________；    ⑤__________；    ⑥__________； …… 【归纳·猜想】 如果为正整数，按照此规律，第个式子可以表示为__________； 【应用·运算】 ①用发现的规律填空，并通过计算验证：__________； ②直接写出结果：若，则__________． 【答案】 【观察·发现】④；⑤；⑥ 【归纳·猜想】 【应用·运算】①，验证见解析；② 【分析】本题考查了实数的规律题． [观察·发现]由题干中的已知等式即可得出答案； [归纳•猜想]由已知等式总结规律即可； [应用•运算]①由所得规律即可求得答案，然后将原式计算并验证即可； ②由所得规律求得m，n的值后代入原式计算即可． 【详解】解：[观察·发现]由已知等式可得④，⑤，⑥， 故答案为：④；⑤；⑥； [归纳·猜想]如果n为正整数，按照此规律，第n个式子可以表示为， 故答案为：； [应用·运算]①由所得规律可得，验证如下： ， 故答案为：； ②若， 则，， 解得：，， 则， 故答案为：． 5．定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)已知：，则___________； (2)化简：___________；___________； (3)计算： 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（）根据阅读材料的方法进行求解即可； （）分母有理化即可得答案； （）将每个加数分母有理化后相加，再进行乘法运算即可； 本题考查分母有理化及二次根式的混合运算，解题的关键是读懂阅读材料，运用“对偶式”进行分母有理化． 【详解】（1）解：因为， 所以， 故答案为：； （2）解：； ； 故答案为：；； （3）解：原式 ． 6．形如的化简，只要找到两个正数a，b，使，，即，，那么便有． 例如：化简． 解：，这里，，由于， ∴． 请仿照上例解下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)化简：（请写出计算过程）； (3)化简： 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的化简，二次根式的混合运算，熟练掌握题干给定的化简方法，是解题的关键： （1）根据题干给定的化简方法，进行化简即可； （2）根据题干给定的化简方法，进行化简即可； （3）根据题干给定的化简方法，先化简，再进行计算即可． 【详解】（1）解：； ； ； （2）解：， ∴，，， ∴； （3）原式 ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专项训练04二次根式的混合运算及规律、新定义型问题 知识复盘卡 【知识点1二次根式的运算】 1.二次根式的乘法 (1)二次根式的乘法法则：VaV6=Vab(a≥0，b≥0)（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不 变) (2)二次根式的乘法法则的推广： √aV6V=√abc(a≥0，b≥0，c≥0) ① aV6·cā=ac/bd(b之0，d≥0)，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进 行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. (3)二次根式的乘法法则的逆用：Vb=VaVb(a≥0，b≥0)（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算 数平方根的性质) (4)二次根式的乘法法则的逆用的推广：√abcd=aV6VCVa(a≥0，b≥0，c≥0，d≥0) 2.二次根式的除法 aa (1)二次根式的除法法则： 石-1万(a≥0，b>0)(二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变) (2)二次根式的除法法则的推广：Va÷V万÷VC=a÷b÷c(a≥0，b>0,c>0) 3.二次根式的加减法 (1)二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 (2)二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式： ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式： ③合：合并被开方数相同的二次根式一一将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 4.二次根式的混合运算 119 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括 号里面的（或先去掉括号） 培优拓展训练 ★巩固提升练 【题型1二次根式的混合运算问题】 1.计算： a-月 2.计算： 25(5+1-2-5--27. 【题型2含二次根式的整体代入求值】 4已知：+2+5，求+京的值 【题型3二次根式中的分母有理化】 5.[核心素养]阅读下面的解答过程： 1 1×(2- 2+1（N2+12-1) =2-1； 8j8万5-， 1 Ix(3-2) t 根据以上解答过程解决下列问题： 219 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 (105+2- 1 1 1 1 1 2i试求1+2+2+V5+5+V4++79+80+80+v8的值. 2 6.阅读材料：在解决问题“若a=2 3-V7,求2a2-12a-5的值”时小俊是这样分析与解答的： q= 28+020-3t5,5a-3=7o-3=1。-60=2 (3-V7)3+√7)9-7 .2a2-12a-5=2(a2-6a)-5=2×(-2)-5=-9. 请你根据小俊的解答过程，解决如下问题： (1)化简：4+15 4 3-V5,求2a2-12a+1的值. (2)若a= 【题型4复合二次根式的化简】 7.一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=(1+2).设a+2-(m+mN2)(其中a、 b、m、n均为正整数)，则有a+b2=m2+2n2+2mn2,∴a=m2+2n2,b=2mn.这样可以把部分 a+bW2的式子化为平方式的方法.请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： )当a、b、m、n均为正整数时，若a+bW5=(m+mN,用含m、n的式子分别表示a、b,得：a 一，b= (2)计算：V11+4v7-V16-6万」 8.【阅读理解】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 3+2V2=(1+V2).善于思考的小明进行了以下探索： 设a+b2=(m+n2(其中a,b,m,n均为正整数)，则有a+bN2=m2+2m2+2√2mn ∴.a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把a+√2b化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索 并解决下列问题， 【实践探究】 319 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)当ab、m、n均为正整数时，若a+bW5=(m+n5,用含m、n的式子分别表示a、b,则a= b= (2)若x+65=(m+mN5,且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值. 【拓展延伸】 (3)化简V8-215=」 【题型5二次根式运算中的新定义型问题】 9.若最简二次根式V2a-2与V-a+16是同类二次根式. (1)求a的平方根： 2测于任意不的个数定义一-种a家“装”如下：，号加漫2要5， 3-2 请求a※[a※(-2)]的值 10.定义：若a+b)(Na-b)=c,c是有理数，则称a+6与后-6是关于c的“美好数”例如： (5+2(5-2)=(5矿-(2=1，则称5+2与5-2是关于1的“美好数”. (1)2+5关于1的“美好数”是一一 1 1 1 2化简：9++1+5++19+2： (3)若y是V0-1关于9的“美好数”，请直接写出4)y-8y+2025的值. 【题型6二次根式运算中的规律探究问题】 11.先观察下列等式，再回答问题： .1 11+12 ，11 ②+2+=1+ 1111 =1 22+16 +1=1 33+112 4/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11 (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想V1 ++ 的结果： (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用的式子表示的等式： 11 11 11 11 3)计算： V1+下+2+1+2+++3+年++1+g9+1o0 12观察下列各式及验证过程： 1_1-12 V232V3, 正2得8-5限 111 2-12 1(11 1 313111-14 验证V54)2x3×42x3×43V83454i51 111 1 414 验证45 =V3x4×5V3x42×54V15 111 (1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想45司的变形结果并进行验证。 (2)针对上述各式反映的规律，写出用n(为任意的自然数，且”≥2)表示的等式，并给出证明. ★能力培优练 1.下列计算正确的是() A.25+3V2=5V5 B.4V7-√7=4 c.(3+23)3-25)=3 D.(4W2-6)÷2=4-5 2.用※定义一种新运算：对于任意实数和n,规定m※n=mn-mn,如：1※2=1×2-1×2=0.则 (（√2)※5的值为() A.6+V5 B.V6-√5 C.25-√6 D.23+√6 3.先观察下列的计算，再完成习题： √2-1 V5-2 5=-2, 6+2+1)2-可V2-；3+2(N3+V2N3-2 5/9 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 √4-5 4+5(4+3)V4-⑤ =4-5根据你的猜想、归纳，运用规律计算： 、1 1+22+53+4 √2013+√2014 ×(√2014+1)的结果为() A.1 B.2014 C.2013 D.V2014-1 4.若规定m@n=面历+份，m@n=m-r2,则285=一，2@(5-)小-一 m 5.观察下列等式，如果n为大于1的正整数，请用含n的等式表示这个运算规律： 6.定义：因为(a+b)(Va-b)=(a-(b=a-b,可以有效的去掉根号，我们称(Na+b)与 (a-⑥)为一对“对偶式”.若8-x-1-x=1,则8-x+1-x=一 7.计算： ①原5-压+a (②(5-2)(2+5)-(5-2). &.定义新运算：对于任意实数a、b,都有a⊕b=a(a-b)+1,例如2田5=2×(2-5)+1=-5. ①求(V7+3)®(N万+)的值 ②求(5-)(5©)的值. 9.对于任意实数a,b,定义一种运算“田”如下：a⑧b=a2-b2.如： 3⊕2=(5-(2=3-2=1. (①)2⊕3=一，22⊕V5= (2已知(m+2)®(22-m)=3v6,求(m+2)-(22-m)的值. 10.观察下列等式，解答下列问题： 第1个等写2得 619 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第2个等式： 3.T +4-34: 第3个等式： (1)请直接写出第5个等式： (不用化简)： (2)根据上述规律，请用含n的式子表示第n个等式(n为正整数)，并证明等式成立； 1 (3)利用(2)的结论计算：√2022+ ×V2024- 2021+ ×√2023 2024 2023 ★7创新拓展练 1.对于任意两个不相等的数a,b,定义一种新运算“⊕”如下： a©b=Va+b Ja-b; 如3®2=8+2-5 V3-2 (1)填空，5⊕4= (2)若12⊕4=V3x,求x的值. 2.学习二次根式时，小昆发现一个有趣的现象： 这个根号里的2经 过适当的变化，竟然可以“跑”到根号的外面，好像“穿墙”，数字2称为“穿墙数”.类似的“穿墙” 34 4 现象还有许多，例如 5 (1)根据上述规律， 24 (2)请你用一个正整数n(n为“穿墙数”，n≥2)表示含有上述规律的等式 (不需要证明)： 8 (3)按此规律，若Va 8 +6的值. a+6=aV方（a,b为正整数)，求a ( 3.先阅读，后解答： 719 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11x22V3 33+2) 3+6 万2x22'-万(W3-23+2)-(2 =3+V6 在上述解题过程中，√2与√2相乘，√5-√2与5+2相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称 为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化. (①)V7的有理化因式是 5+2的有理化因式是 (2)将下列式子进行分母有理化： 5 1 2 一：②5 1 1 ③5+2：@2+1— 1 1 1 ()类比(2)中④的计算结果，计算：2+15++V4+V5+…+2025+V2024: 4.【观察·发现】 填空： 1 ④/4+ 6 ⑤5+7 【归纳猜想】 如果n为正整数，按照此规律，第n个式子可以表示为 【应用运算】 ①用发现的规律填空，并通过计算验证： 2024+ 2026 1 ②直接写出结果： 若m+=19√，则m 5.定义：我们将(a+b)与(a-b)称为一对“对偶式” 因为(Na+vb)(Va-b)=(Na-(Nb=a-b,可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对 偶式”来解决. 例如：已知V2-x-8-x=2,求2-x+V8-x的值，可以这样解答： 819 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为(2-x-8-x)×(12-x+8-x)=(2-x-(8-x=12-x-8+x=4, 所以V12-x+V8-x=2」 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)已知：V18-x+V6-x=6,则V18-x-V6-x= 1 1 (2)化简：6+√5 ；5-5 1 1 1 (3)计算： 1+5++5+5+V7++ 2023+√2025 ×+2025) 6.形如Vm±2√n的化简，只要找到两个正数a,b,使a+b=m,h=,即(Na)+(Wb)=m, √ab=n,那么便有√m±2vn=Va±b)}2=Va±b(a>b). 例如：化简V7+4V5. 解：√7+45=√7+212，这里m=7,n=12,由于4+3=7,4×3=12， v7+4W5=7+21=4+5=2+5 请仿照上例解下列问题： (1)填空：V4+2√5=」 ,V9-45=, V8-√60= (2)化简：V3+5(请写出计算过程)： 1 1 1 1 3化简：3+85+V27+军V9+80i1+20 9/9