专题16 分式方程与参数、规律、新定义型问题的七类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

专题16 分式方程与参数、规律、新定义型问题的七类综合题型 目录 典例详解 类型一、解分式方程 类型二、解分式方程错解复原问题 类型三、已知分式方程的增根求参数 类型四、已知分式方程的无解求参数 类型五、根据分式方程解的情况求值 类型六、分式方程中的规律探究问题 类型七、分式方程中的新定义型问题 压轴专练 类型一、解分式方程 1.去分母，化为整式方程：首先找到所有分母的最简公分母。然后方程两边同时乘以这个最简公分母。这样可以消去所有分母，把方程变成一个整式方程。 2.解这个整式方程：用学过的方法解这个整式方程，求出未知数的值。 3.检验根的有效性：这是最关键的一步。把求出的未知数的值代入最简公分母。如果结果不等于0，这个解就是原分式方程的解。如果等于0，这个解就是增根，原方程无解。 例1．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)分式方程无解 【分析】（1）根据解分式方程的步骤计算即可得出结果； （2）根据解分式方程的步骤计算即可得出结果． 【详解】（1）解：去分母可得：， 去括号可得：， 移项可得：， 合并同类项可得：， 检验，当时，， ∴分式方程的解为； （2）解：将方程整理可得：， 去分母可得：， 去括号可得：， 移项可得：， 合并同类项可得：， 检验，当时，， ∴分式方程无解． 【变式1-1】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的关键思想是去分母，把分式方程转化为整式方程，求出解后再代入最简公分母检验是否增根． （1）首先把方程两边同乘，化为一元一次方程，可得：，解一元一次方程求出的值，再把求出的解代入最简公分母检验是否增根； （2）首先把方程两边同乘，化为整式方程，可得：，解整式方程求出的值，再把求出的解代入最简公分母检验是否增根． 【详解】（1）解：， 方程两边同乘， 可得：，    去括号可得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：把代入， 可得：， 是原分式方程的解； （2）解：， 方程两边同乘， 可得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：把代入， 可得：， 是原分式方程的解． 【变式1-2】（25-26八年级上·山东临沂·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【分析】（1）先将方程两边乘转化为整式方程，再解整式方程，注意检验是否为原方程的根； （2）先将方程两边乘转化为整式方程，再解整式方程，注意检验是否为原方程的根． 【详解】（1）解： 方程两边乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以，原分式方程无解； （2）解： 方程两边乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以，原分式方程的解为． 【变式1-3】（25-26八年级上·江西宜春·期末）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程． （1）方程两边同乘最简公分母，化为整式方程，解方程，并检验，即可求解； （2）去分母 方程两边同乘最简公分母，化为整式方程，解方程，并检验，即可求解． 【详解】（1）解： 方程两边同乘最简公分母，得： ， 解得： 当时，，因此是原方程的解． （2）解： 方程两边同乘最简公分母，得： ， 解得 当时，，因此是增根，原方程无解． 类型二、解分式方程错解复原问题 1.定位错误，反推条件：仔细阅读题目，找出"小明"或"小红"是在哪一步出错的。 通常是去分母时漏乘了不含分母的项，或忘记检验导致保留了增根。 顺着他的错误步骤和得到的结果，反向推算出题目中隐藏的关键信息。 2.使用正确条件，重新求解：拿到正确的条件后，把它当作一道全新的解分式方程问题。 完全忘掉之前的错误解法，按照**"去分母、解整式方程、检验"**的正确步骤重新解一遍。 3.得出正确答案：最后，根据正确的解题过程，得出原分式方程的正确解。 例2．（25-26八年级上·河南安阳·期末）下面是婷婷同学解分式方程的部分过程： 解：方程两边同时乘以________，得：    第一步 移项，得：        第二步 合并同类项，得：        第三步 系数化为1，得：        第四步 检验：当时，．    第五步 ∴原方程的解为．        第六步 (1)这位同学解题过程中的横线处应该填________，解题过程错误在第________步；错误原因是________． (2)请你帮她写出正确的解答过程． 【答案】(1)，第一步，见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程去分母的方法及解后检验的必要性是解题的关键． （1）先根据分式方程去分母的规则，确定方程两边应乘的最简公分母； 再对照每一步变形，找出错误步骤并分析原因． （2）先确定最简公分母，将分式方程化为整式方程；再按整式方程的步骤求解，最后进行检验． 【详解】（1）解：， 方程两边同时乘以 ，得， 婷婷同学的第一步写成了 ，漏乘了常数项 与 的乘积． 故答案为：；；去分母时，漏乘了常数项“”． （2）解：， 解：方程两边同乘，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 检验，时， 原方程的解为 【变式2-1】（25-26八年级上·江西赣州·期末）下面是某位同学解分式方程的过程： 解：方程两边同乘以，得：，① 去括号，得：，② 移项，得：，③ 解得：，④ 检验：当时，，⑤ 所以，原分式方程的解为． (1)填空：第___________步开始出现了错误（只填序号）； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)② (2)见解析 【分析】（）根据去括号法则判断即可求解； （）按照解分式方程的步骤解答即可求解； 本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：该同学的做法从第②步去括号未变号，出现了错误， 故答案为：②； （2）解：方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 【变式2-2】（25-26八年级上·河南·期末）对于分式方程，小叶同学的求解过程如下． 解：第一步：方程两边乘，得． 第二步：． 第三步：． 第四步：检验：当时，． 所以，是分式方程的解． 小芳同学发现小叶的解法有错误，请你回答： (1)小叶的解法从第_____________步开始出现错误，错误的原因是_________________________； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1) 一；去分母时方程右边的常数项没有乘以公分母 (2) 无解，过程见解析 【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程需要把方程两边同时乘以公分母化为整式方程，求出的整式方程的解要代入公分母检验是否增根． （1）根据解分式方程的步骤可知小叶在第一步去分母时发生了错误，小叶去分母时方程右边的常数项没有乘以公分母； （2）根据解分式方程的步骤求出方程的解，再把求出的解代入公分母检验是否增根． 【详解】（1）解：小叶在第一步去分母时发生了错误， 去分母应把等式的两边同时乘以公分母， 小叶去分母时方程右边的常数项没有乘以公分母； 故答案为：一，去分母时方程右边的常数项没有乘以公分母； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：当时，， 是原分式方程的增根， 原分式方程无解． 【变式2-3】（25-26八年级上·贵州铜仁·期末）下面是小亮同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务． 解：去分母得，，…………………………第一步 去括号得，，…………………………第二步 解得，，…………………………第三步 检验：当时，，…………………………第四步 ∴是原方程的根．…………………………第五步 任务： (1)小亮同学的求解过程从第______步开始出现错误，错误的原因是______； (2)请你写出正确的解方程过程； 【答案】(1)一；方程两边同乘以最简公分母时，漏乘了不含分母的项“3” (2)见解析 【分析】此题考查了解分式方程，分式方程的增根，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）观察小亮解分式方程的过程，找出出错的步骤，分析错误原因即可； （2）写出正确的解方程过程即可． 【详解】（1）解：小亮同学的求解过程从第一步开始出现错误， 错误的原因是方程两边同乘以最简公分母时，漏乘了不含分母的项“3”； 故答案为：一；方程两边同乘以最简公分母时，漏乘了不含分母的项“3”； （2）解：原方程可化为． 方程两边都乘以去分母，得． 去括号得：，移项得：， 合并同类项得：，解得． 检验：当时，，所以不是原分式方程的解， 故原方程无解． 类型三、已知分式方程的增根求参数 1. 确定增根的可能值：让原分式方程的每个分母都等于0，解出的x值就是增根的"候选"。 这一步是解题的关键前提。 2. 代入整式方程求参数：把第一步找到的增根x值，代入去分母后得到的整式方程中。 这样就可以解出题目中要求的参数值。 3. 结果验证：把求出的参数值代入原分式方程。 检查它是否真的会导致方程产生增根，而不是让方程无解。 这一步能确保你的答案万无一失。 例3．（25-26八年级上·河南许昌·期末） 若关于x的分式方程有增根，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，把原方程去分母化为整式方程，再解方程得到，分式方程有增根的条件是分母为零，则可得到关于a的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 解得， ∵原方程有增根， ∴，即 ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-1】（25-26八年级上·河南周口·期末）若关于x的分式方程有增根，则________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了分式方程有增根的问题，先确定分式方程的增根，再将分式方程去分母化为整式方程，把增根代入整式方程即可求出k的值． 【详解】解：原方程可变形为， 两边同乘最简公分母，得， 因为分式方程有增根，所以最简公分母，即增根为， 将代入整式方程，得， 即， 解得． 故答案为：2． 【变式3-2】（25-26七年级上·上海·期末）若关于的方程有增根，则的值为________． 【答案】或22 【分析】本题考查了分式方程的增根．首先把分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到或，据此求出或，分别代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解：方程两边都乘以，得 ， ∵方程有增根， ∴或， 解得或， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 故答案为：或22． 【变式3-3】（25-26八年级上·上海·月考）已知关于的分式方程有增根，则________． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，根据分式方程增根的定义，将分式方程转化为整式方程后，再代入增根到整式方程求解参数即可． 【详解】解： 去分母，得， 整理得：， 代入到方程得，， 解得， 故答案为：． 类型四、已知分式方程的无解求参数 1.整式方程本身无解：把分式方程去分母后，会得到一个整式方程。 如果这个整式方程是  0x = 非零数  的形式，那么它本身就没有解。 这种情况下，原分式方程自然也无解。 2.整式方程的解是增根：整式方程有解，但这个解会让原分式方程的分母为零。 这个解就是增根。因此，原分式方程无解。 这种情况的解法和上一轮"已知增根求参数"是一样的。 例4．（25-26八年级上·山东日照·期末）若关于x的分式无解，则a的值是______． 【答案】1或3 【分析】本题考查分式方程的解法与恒等变形，分式方程的无解问题，分式方程无解的情况包括化简后的整式方程无解或解出的根为增根，据此解答即可． 【详解】解：， ，即 ， 整理得：， 当时，即时，方程无解； 当时，， 若，则，解得，此时为增根，方程无解； 综上，或， 故答案为：1或3． 【变式4-1】（25-26八年级上·陕西商洛·期末）若关于的分式方程无解，则______． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，关键是将分式方程化为整式方程后，讨论无解的条件；将分式方程化为整式方程得到，把增根代入求解． 【详解】解： ， 两边同乘 （）得 ： ， 整理得 ， 移项得 ， 即 ， 解得 ， ∵分式方程无解时， ∴根为增根，即 ， 代入得 ， 解得 ． 故答案为：． 【变式4-2】（25-26八年级上·山东济宁·期末）已知关于的分式方程无解，则的值为__________． 【答案】2 【分析】本题考查了分式方程的无解问题． 将分式方程化为整式方程，通过增根条件求解． 【详解】解：原方程可化为， 即． 两边同乘，得， 解得． 当时，分母为零，为增根，代入得， 解得． 故当时，方程无解． 故答案为：2． 【变式4-3】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）若关于x的方程无解，则m的值______． 【答案】，， 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的定义是解题的关键． 分式方程无解的情况有两种：整式方程无解或整式方程的解为增根．先化为整式方程，再分别讨论系数为0时整式方程无解，以及解为增根1或2的情况． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得 整理得 移项得 当且时，整式方程无解 解得； 当整式方程的解为增根时，原方程无解， 增根为或 若，代入整式方程得 解得； 若，代入整式方程得 解得； 综上，的值为，，． 类型五、根据分式方程解的情况求值 1.方程有解：先把分式方程化为整式方程。 再将解代入，确保分母不为零。 这是最基础的"先解方程，后代入"思路。 2.方程无解：这种情况要分两种子情况讨论： - 情况一：转化后的整式方程本身无解。 - 情况二：整式方程有解，但这个解是原方程的增根。 3.方程解为正/负数：先求出整式方程的解。 然后根据要求列出不等式，如解 > 0 或解 < 0。 最后，一定要加上一个重要条件：解不能让原方程的分母为零。 例5．（25-26八年级上·河南许昌·期末）若关于的分式方程的解为非负数，则实数的取值范围是______． 【答案】且 【分析】此题主要考查了分式方程的解，先解分式方程，用表示，再根据为非负数和分母不为零求的取值范围． 【详解】解： 方程两边同乘（），得， 化简得， 移项得， 解得． 由，得，即； 由，得，即． 故的取值范围是且 故答案为：且． 【变式5-1】（25-26八年级上·广东广州·期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，解一元一次不等式，先化简分式方程，求解得到关于的表达式，然后根据解为正数及分母不为零的条件列不等式求的取值范围． 【详解】解： 方程两边同乘（其中），得， 整理得， 当，即时，方程无解，即此时原方程无解，不符合题意； 当，即时 解得， ∵原方程的解为正数，即， ， 解得， ∵，即， ∴， ∴， 综上所述，的取值范围是． 故答案为：． 【变式5-2】（25-26八年级上·湖南湘西·期末）若关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是______． 【答案】且 【分析】本题主要考查分式方程的解、解分式方程、不等式的解法等知识点，解分式方程需要考虑分母不为零的条件是解题的关键． 先解分式方程得到，再根据解为负数列不等式，解得：，并排除使分母为零的a的值，进而确定a的取值范围． 【详解】解：方程两边同乘，得： ， 展开并化简： 移项整理：，解得： ∵关于x的方程的解为负数， ∴，解得：， 又∵分母， ∴，即， ∴且， ∴且． 故答案为：且． 【变式5-3】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是____． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解，先解分式方程得到关于的表达式，再根据解是正数且分母不为零的条件列出不等式求解的取值范围． 【详解】解：解分式方程， 可得， 两边同乘得， 解得， ∵方程的解是正数， ∴，即， 解得， 又∵， ∴， 解得， 故的取值范围是且． 故答案为：且． 类型六、分式方程中的规律探究问题 1. 解前几个方程，找规律：题目通常会给你 n=1, n=2, n=3... 时的分式方程。 你先把这几个方程的解都求出来，然后把解和序号 n 放在一起观察。 2. 猜想并写出通项公式：看看解的分子、分母和序号 n 之间有什么联系。 试着用含 n 的式子把这个规律表示出来，这就是通项公式。 3. 验证规律的正确性：找到规律后，最好再用 n=4 或 n=5 来验证一下。 把 n 值代入你总结的通项公式，看得到的解是否能满足对应的分式方程。 例6．（25-26八年级上·广东湛江·期末）探索发现：；；…根据你发现的规律，回答下列问题： (1)______，______； (2)利用你发现的规律计算：______； (3)灵活利用规律解方程：． 【答案】(1)， (2) (3)方程的解为 【分析】本题考查找规律：数字的变化类、裂项相消法计算、解分式方程，熟练掌握有理数的混合运算法则，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）观察已知等式，写出所求即可； （2）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （3）根据得出的规律化简方程，求出解即可． 【详解】（1）解：根据上述规律， 可得，， 故答案为：，． （2）解： ， 故答案为：． （3）解：化简： 故可得 解上述分式方程，化简得， 解得，经检验：当时，原方程各分母均不为0，故是原方程的解， 故方程的解为． 【变式6-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）阅读理解并回答问题： (1)观察下列各式： …… 请你猜想出表示（1）中的特点的一般规律，用含（表示整数）的等式表示出来________； (2)请利用上述规律计算：（要求写出计算过程）； (3)请利用上述规律，解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了分式的加减法和分式方程的解法，弄清题中的拆项法是解本题的关键． （1）由题干中的各式总结规律即可； （2）原式变形后，利用拆项法变形，抵消合并即可得到结果； （3）方程利用拆项法变形后，即可通过解分式方程求出解． 【详解】（1）由题意得，； （2） ； （3） ， 整理得：， 去分母得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， 则原方程的根是． 【变式6-2】（25-26八年级上·全国·期末）探索规律： (1)直接写出计算结果： = ． (2)仿照（1）的方法探究可知， 可变形为 ． (3)运用规律解方程： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的裂项相消法及分式方程的求解，解题的关键是掌握裂项公式，并利用其化简计算． （1）利用裂项相消法，将每一项拆分为两个分数的差，再抵消中间项计算； （2）仿照（1）的方法探究可得出的变形形式； （3）先利用裂项相消法化简方程左边，再解分式方程并检验． 【详解】（1）解：原式 故答案为：． （2）解： 故答案为：． （3）解：原方程可化为 ， 即， ∴， 即． 两边同乘（)得，， 解得． 检验：当时，原方程各分母均不为0，故是原方程的解． 答：原方程的解为． 【变式6-3】（25-26八年级上·广西防城港·期末）探究与应用 【特例分析】 （1）填空： ①的解为x= ； ②的解为x= ； ③的解为x= ； ...... 【总结规律】 （2）根据你发现的规律直接写出第4个分式方程及它的解： ． 【解决问题】 （3）请你按照上述规律写出第n（n为正整数）个分式方程，并求出它的解．（写出解答过程） 【答案】①②③；（2）第4个分式方程为，解为；（3）第个分式方程为，解为 【分析】本题考查分式的规律以及分式方程，本题通过三个具体的分式方程，引导学生观察并归纳解的规律．首先解出前三个方程的解，从中发现解与序号之间的关系，进而推广到第四个方程，并最终写出第个方程及其解．解题的关键在于观察方程结构和解的变化规律，理解分式方程的解法过程，并进行代数推导与归纳总结． （1）①两边同乘以，去括号，移项合并即可，注意代入检验增根； ②两边同乘以，去括号，移项合并即可，注意代入检验增根； ③两边同乘以，去括号，移项合并即可，注意代入检验增根； （2）直接根据规律写出第四个分式方程及它的解即可； （3）根据规律，第n个方程为：，两边同乘，移项整理即可． 【详解】（1）解：①解方程：， 两边同乘以，得： 去括号：， 移项合并得：， 检验：当时，分母，解成立， 所以解为； 故答案为：； ②解方程：， 两边同乘以，得： 去括号：， 移项合并得：， 检验：当时，分母，解成立， 所以解为； 故答案为：； ③解方程：， 两边同乘以，得：， 去括号：， 移项合并得：， 检验：当时，分母，解成立， 所以解为， 故答案为：； （2）观察前三个方程： ①， ②， ③， 规律：左边分子为，右边分子为，且结构为， 因此第4个方程为： 解法同上： 两边同乘：， 整理，得：， 移项合并得：， 检验成立，解为， 所以第4个方程是，解为； 故答案为：，； （3）根据规律，第n个方程为：， 解方程： 两边同乘： 移项整理：， 解得：， 检验：当时，（因n为正整数），分母不为零，解成立， 所以第n个方程的解为． 类型七、分式方程中的新定义型问题 1. 仔细审题，吃透定义：这是最关键的一步。题目会用一个新的符号（比如※、⊕、△等）来定义一种新的运算。你需要仔细阅读这个定义，弄清楚它到底代表什么样的计算过程。 2. 套用公式，列出方程：理解新定义后，把题目给出的具体数字或字母，严格按照定义的运算顺序代入进去。根据题目要求的等量关系，列出一个新的分式方程。 3. 求解并检验：列出分式方程后，就按照解分式方程的常规步骤来解。别忘了最后一定要检验，确保解的有效性，避免出现增根。 例7．（25-26七年级上·河北保定·期末）对于实数，定义一种新运算“”为，这里等式右边是通常的实数运算．例如：． (1)求的值； (2)求方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算，解分式方程； （1）按照新运算的公式计算即可； （2）先将目标式变形为分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解： 当，，所以是原方程的解。 【变式7-1】（24-25七年级上·上海·期末）定义：如果两个代数式的和与这两个代数式的积相等，那么称这两个代数式互为“关联式”． (1)判断与是否互为“关联式”，并说明理由； (2)求与互为“关联式”的代数式； (3)填空：已知一个整式与一个最简分式互为“关联式”，请写出一组符合该条件的代数式可以是_____与______．（只要写一组即可） 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3)， 【分析】本题考查的是新定义的含义，分式的加减运算，乘法运算，分式方程的解法； （1）根据新定义列式计算，再判断即可． （2）设的关联式为，可得，再进一步解答即可． （3）由一个整式与一个最简分式互为“关联式”，当这个整式为，设的关联式为，可得，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴与不互为“关联式”． （2）解：设的关联式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵一个整式与一个最简分式互为“关联式”， 当这个整式为，设的关联式为， ∴， ∴， ∴， ∴整式为，最简分式为． 【变式7-2】（24-25七年级下·浙江金华·期末）定义：形如，两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．如，其中，． (1)试判断，是不是十字分式方程？若是，求该方程的解． (2)若十字分式方程的解为，，求下列代数式的值： ①； ②． 【答案】(1)是，， (2)①10；② 【分析】本题考查解分式方程、代数式求值，理解“十字分式方程”的定义是解答的关键． （1）验证，是方程的解，再根据“十字分式方程”的定义可得结论； （2）由“十字分式方程”的定义得到，，． ①化为，再代值求解即可； ②化为，再代值求解即可． 【详解】（1）解：解分式方程， 去分母，得， 或， ， 经检验，、都是方程的解． 原分式方程的解为：，． ，， 方程是十字分式方程． （2）解：是十字分式方程，其解为，， ，，． ①，， ； ② ． 【变式7-3】（24-25八年级下·山东枣庄·期末）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对” (1)下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有________．（填字母） A．； B． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 【答案】(1)B (2)． 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当，时， 分式方程，解得， ， 不是“关联数对”； 当，时， 分式方程，解得， ， 是“关联数对”； 故答案为：B； （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ， 解得， ， ， 解得． 一、单选题 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，方程两边同时乘以，解方程，检验，即可求解． 【详解】解：方程两边同时乘以得 ，解得 ． 检验，当时，， 故是原方程的解． 故选：A． 2．（25-26八年级上·广东汕头·期末）若关于x的方程有增根，则m的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程无解问题，掌握增根是使分母为零的根是解题关键． 将分式方程转化为整式方程求得，再由增根得出，从而求m． 【详解】解： 方程两边同时乘得，， 解得：， 方程有增根， ， 解得：， ， 解得：， 故选：D． 3．（25-26八年级上·河南新乡·期末）已知关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查了解分式方程和一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的一般步骤．解分式方程，得到解x关于k的表达式，根据解为非负数且分母不为零，得到k的取值范围． 【详解】解：， 两边乘以，得， 解得， ∵分式方程的解为非负数， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴k的取值范围是且， 故选：D． 4．（2025八年级下·河南郑州·专题练习）新定义  对于实数a、b，定义一种新运算“⊕”为：，这里等式右边是实数运算．按此规定，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义，解分式方程，根据新定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得， ∴ ∴， ∴ 解得， 经检验是分式方程的解． 故选A． 5．（24-25八年级上·山东烟台·期中）观察下列式子的变形规律： ①，②，③，④，…… 请尝试回答下面问题： 若，则的值为（   ） A．1000 B．998 C．1 D．2 【答案】B 【分析】此题考查了解分式方程，以及规律型：数字的变化类，已知等式左边利用裂项求和变形，然后解方程求出的值． 【详解】解：已知等式整理得： ， ∴ 去分母得： 解得： 经检验：是分式方程的解. 故选: B． 二、填空题 6．（25-26八年级上·福建厦门·期末）分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤． 将分式方程两边通分后交叉相乘，化为整式方程求解，并检验分母是否为零． 【详解】解： ， ， ， ， ， 检验：当时，分母且， 故原方程的解为． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·河北石家庄·月考）关于x的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了分式方程无解的情况，解题的关键是弄清分式方程无解的条件． 先把分式方程化为，再根据分式方程无解得到有增根，然后代入求解即可． 【详解】解： 去分母得，， 整理得，， ∵关于x的分式方程无解， ∴， ∴有增根， ∴代入，得， 解得，． 故答案为：4． 8．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，．若，则x的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查实数的概念及分式方程的解法，熟练掌握实数的概念及分式方程的解法是解题的关键；根据新运算的定义，将方程转化为分式方程，通过分子为零求解即可． 【详解】解：由定义可知：， ∴， 解得； 经检验，当时，分母， 故是方程的解； 故答案为． 9．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）关于的方程的解为正数，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先解分式方程，得到，再根据解为正数且方程不能有增根，列式求解即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， ∵关于的方程的解为正数， ∴， ∴； 又∵原方程不能有增根， ∴， ∴， ∴， 综上所述，且， 故答案为：且． 10．（24-25八年级上·湖南张家界·期中）观察下列等式的规律，并回答下列问题： ； ； ； 请运用上述等式的特点规律解下列方程，则该方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程，分析等式特点得到规律，应用规律到方程是解决本题的关键．先根据上面的规律化简方程，解分式方程求出解，检验得结论． 【详解】解：， ， ， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·山东聊城·月考）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)原分式方程无解 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． （1）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解； （2）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】（1）解： ， 去分母得：， 解得， 检验，当时，， 原分式方程的解是； （2）解：， 去分母得：， 解得， 检验：当时，最简公分母， 原分式方程无解． 12．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）小珍解方程过程如下： 解：去分母，得……第一步 去括号，得 ……第二步 合并同类项，得……第三步 解得 ……第四步 检验：当时， 不是分式方程的根，原分式方程无解．……第五步 (1)你认为小珍从第______步出现错误； (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)第一步 (2)，过程见解析 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题关键．注意：解分式方程，最后需要检验，避免出现增根． （1）根据解题过程逐步判断解答； （2）根据解分式方程的步骤写出正确的解答过程即可． 【详解】（1）解：小珍从第一步出现错误，去分母时，方程右边没有乘以公分母， 故答案为：第一步 （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 13．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）定义新运算：对于非零的两个实数，，规定，如． (1)求的值； (2)计算． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查新定义运算，分式的混合运算，解分式方程： （1）根据列式计算即可； （2）根据及分式的混合运算法则计算； （3）将变形为分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， 检验：当时，， ∴原分式方程的解是． 14．（25-26八年级上·河北沧州·月考）计算 （1）解下列方程，直接填空： ①的解为　　　； ②的解为　　　； ③的解为　　　； ④的解为　　　； ...... 归纳 （2）请根据“计算”中发现的规律写出第⑥个方程并直接写出该方程的解； 总结 （3）请用一个含正整数n的式子表示上述方程的规律，并求出该方程的解． 【答案】（1）①0，②1，③2，④3；（2），；（3）， 【分析】本题考查了分式方程的求解及规律探究． （1）根据解分式方程的法则分别进行求解即可； （2）观察上述方程及解的规律可得到第⑥个方程并求解即可； （3）根据上述规律，第n个方程为，再对该分式方程进行求解即可． 【详解】解：（1）①方程两边都乘以得：，解得， 经检验是原分式方程的解； ②方程两边都乘以得：，解得， 经检验是原分式方程的解； ③方程两边都乘以得：，解得， 经检验是原分式方程的解； ④方程两边都乘以得：，解得， 经检验是原分式方程的解； 故答案为：①0，②1，③2，④3． （2）第⑥个方程为， 解得． （3）第n个方程为， 方程两边同乘，得，解得， 经检验是原分式方程的解． 15．（25-26八年级上·全国·期末）探索规律： (1)直接写出计算结果： = ． (2)仿照（1）的方法探究可知， 可变形为 ． (3)运用规律解方程： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的裂项相消法及分式方程的求解，解题的关键是掌握裂项公式，并利用其化简计算． （1）利用裂项相消法，将每一项拆分为两个分数的差，再抵消中间项计算； （2）仿照（1）的方法探究可得出的变形形式； （3）先利用裂项相消法化简方程左边，再解分式方程并检验． 【详解】（1）解：原式 故答案为：． （2）解： 故答案为：． （3）解：原方程可化为 ， 即， ∴， 即． 两边同乘（)得，， 解得． 检验：当时，原方程各分母均不为0，故是原方程的解． 答：原方程的解为． 16．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）不妨定义：如果两个代数式A，B的值满足，则称A，B具有和谐关系．当具有和谐关系的两个代数式A，B都是整式时，则称A，B互为和谐整式；当具有和谐关系的两个代数式A，B都是分式时，则称A，B互为和谐分式． (1)判断下列说法的正误，对的打“√”，错误的打“×”． ①整式与对任意x都具有和谐关系；（  ） ②分式 与 互为和谐分式；（  ） ③如果分式与互为和谐分式，则．（  ） (2)当时， 如果分式与始终互为和谐分式，求a和b的值； (3)已知x，y都是整数，当整式与互为和谐整式时，求x、y的值． 【答案】(1)① ×；②√；③ × (2) (3)或 或或 【分析】本题主要考查了解分式方程，解二元一次方程组，因式分解的应用，分式的加法运算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据和谐分式和和谐整式的定义可判断①②；根据和谐分式的定义可得方程，解方程可判断③； （2）根据和谐分式的定义可得，则可得到，进而得到，解之即可得到答案； （3）根据题意可得，则可推出，再把5分解成2个整数的乘积，则可得到关于x、y的方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：①， ∵对于任意的x，的值不一定为1， ∴整式与对任意x不一定具有和谐关系，故错； ②， ∴分式 与 互为和谐分式，故对； ③当分式与互为和谐分式时，则， ∴， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，故错； （2）解：∵当时， 如果分式与始终互为和谐分式， ， ∴， ∴， ∵当时，等式恒成立， ∴， ∴； （3）解：∵与互为和谐整式， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵都是整数， ∴都是整数， ∵， ∴或 或 或 解得或 或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题16分式方程与参数、规律、新定义型问题的七类综合题型 目录 典例详解 类型一、解分式方程 类型二、解分式方程错解复原问题 类型三、已知分式方程的增根求参数 类型四、已知分式方程的无解求参数 类型五、根据分式方程解的情况求值 类型六、分式方程中的规律探究问题 类型七、分式方程中的新定义型问题 压轴专练 典例详解 类型一、解分式方程 1,去分母，化为整式方程：首先找到所有分母的最简公分母。然后方程两边同时乘以这个最简公分母。 这样可以消去所有分母，把方程变成一个整式方程。 2.解这个整式方程：用学过的方法解这个整式方程，求出未知数的值。 3.检验根的有效性：这是最关键的一步。把求出的未知数的值代入最简公分母。如果结果不等于0，这 个解就是原分式方程的解。如果等于0，这个解就是增根，原方程无解。 例1.(25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末)解方程 2 1 (0x-4x+19 22 【变式1-1】(25-26八年级上·湖南株洲期末)解下列方程： 1 3 ()x+12x+1 1/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x 8 =1 (2)x-2xx-2). 【变式1-2】(25-26八年级上·山东临沂·期末)解方程： 2 4 (02x-14x2-19 315 (2)23x-16x-2 【变式1-3】(25-26八年级上江西宜春·期末)解方程 3 (102-9x-3 @-1-l+2 3 类型二、解分式方程错解复原问题 1.定位错误，反推条件：仔细阅读题目，找出”小明”或”小红”是在哪一步出错的。 通常是去分母时漏乘了不含分母的项，或忘记检验导致保留了增根。 顺着他的错误步骤和得到的结果，反向推算出题目中隐藏的关键信息。 2.使用正确条件，重新求解：拿到正确的条件后，把它当作一道全新的解分式方程问题。 完全忘掉之前的错误解法，按照*”去分母、解整式方程、检验”*的正确步骤重新解一遍。 3.得出正确答案：最后，根据正确的解题过程，得出原分式方程的正确解。 例2.(25-26八年级上河南安阳·期末)下面是婷婷同学解分式方程-1 -1十的部分过君 解：方程两边同时乘以 ,得：2x-1=-1 第一步 移项，得：2x=-1+1 第二步 合并同类项，得：2x=0 第三步 系数化为1，得：x=0 第四步 检验：当x=0时，x-1≠0 第五步 ∴.原方程的解为x=0 第六步 (1)这位同学解题过程中的横线处应该填 解题过程错误在第 步：错误原因是 (2)请你帮她写出正确的解答过程. 231 【变式2-1】(25-26八年级上·江西赣州：期末)下面是某位同学解分式方程x+2x-22一4的过程： 2/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解：方程两边同乘以x+2x-2,得：2x-2列-3x+2列-1,0 去括号，得：2x-4-3x+6=1,② 移项，得：2x-3x=1+4-6,③ 解得：x=1,④ 检验：当x=时，(x+2(x-2)≠ , 所以，原分式方程的解为x=1 (1)填空：第 步开始出现了错误（只填序号）： (2)请写出正确的解题过程. 变式2-2】(2526八年级上河南期末)对于分式方程十打，小叶同学的求解过程如 解：第步：方强两边乘-，8-×- x-1 第二步：1=x+1。 第三步：x=0」 第四步：检验：当x=0时，x-1=-1≠0. 所以，x=0是分式方程的解. 小芳同学发现小叶的解法有错误，请你回答： (1)小叶的解法从第 步开始出现错误，错误的原因是 (2)请写出正确的解答过程. 1=3-x-1 【变式2-3】(25-26八年级上：贵州铜仁期末)下面是小亮同学解方程2一x3x一2的过程，请阅读并 完成相应任务 1=3+(x-1) 解：去分母得， …第一步 去括号得，1=3+x-1,…第二步 解得，X=一l,…第三步 检验：当x=一1时，2-x≠0，…第四步 x=一1是原方程的根.…第五步 任务： (1)小亮同学的求解过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 3/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)请你写出正确的解方程过程： 类型三、已知分式方程的增根求参数 1.确定增根的可能值：让原分式方程的每个分母都等于0，解出的x值就是增根的"候选"。 这一步是解题的关键前提。 2.代入整式方程求参数：把第一步找到的增根x值，代入去分母后得到的整式方程中。 这样就可以解出题目中要求的参数值。 3.结果验证：把求出的参数值代入原分式方程。 检查它是否真的会导致方程产生增根，而不是让方程无解。 这一步能确保你的答案万无一失。 21x+a 例3。(25-26八年级上河南许昌：期末)若关于x的分式方程x一3+3=1有增根，则。三 无+k=3有增根，则k= 【变式3-1】(25-26八年级上河南周口期末)若关于x的分式方程x-2+2-x 3+m=2+m 【变式3-2】(25-26七年级上·上海期未)若关于x的方程x-4x+42-16有增根，则m的值为 2,kx 【变式3-3】(25-26八年级上上海·月考)已知关于x的分式方程x-+x-ix+1有增根x=1,则k= 类型四、已知分式方程的无解求参数 1.整式方程本身无解：把分式方程去分母后，会得到一个整式方程。 如果这个整式方程是Ox=非零数的形式，那么它本身就没有解。 这种情况下，原分式方程自然也无解。 2.整式方程的解是增根：整式方程有解，但这个解会让原分式方程的分母为零。 这个解就是增根。因此，原分式方程无解。 这种情况的解法和上一轮”已知增根求参数”是一样的。 2 4。(25-26八年级上：山东日照期末)若关于x的分式2-X+(一2-3无解，则的值 2+x+"=2无解，则m= 【变式4-1】(25-26八年级上陕西商洛·期末)若关于x的分式方程x-3+3-x 4/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式4-2】(25-26八年级上山东济宁期末)已知关于的分式方程x一1-x1无解，则k的值为 1+m=2m+2 【变式4-3】(25-26八年级上·河北邯郸期末)若关于x的方程x-1'x-2(x-1(x-2)无解，则m的值 类型五、根据分式方程解的情况求值 1.方程有解：先把分式方程化为整式方程。 再将解代入，确保分母不为零。 这是最基础的”先解方程，后代入”思路。 2.方程无解：这种情况要分两种子情况讨论： 情况一：转化后的整式方程本身无解。 情况二：整式方程有解，但这个解是原方程的增根。 3.方程解为正/负数：先求出整式方程的解。 然后根据要求列出不等式，如解>0或解<0。 最后，一定要加上一个重要条件：解不能让原方程的分母为零。 2x+1=3-m 例5.(25-26八年级上河南许昌·期末)若关于x的分式方程x-2 3x-一2的解为非负数，则实数m的 取值范围是 mx-1,1 【变式5-1】(25-26八年级上·广东广州期末)若关于x的分式方程 x+33+x =1的解为正数，则m的 取值范围是 【变式5-2】(25-26八年级上·湖南湘西·期末)若关于x的方程 a,+1=x+0 x+1 1=x-i的解为负数，则a的取值范 围是 【变式5-3】(25-26八年级上黑龙江哈尔滨期末)已知关于x的分式方程，，2=”m 2-3的解是正数， 则m的取值范围是。 5/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型六、分式方程中的规律探究问题 1.解前几个方程，找规律：题目通常会给你n=1,n=2,n=3.时的分式方程。 你先把这几个方程的解都求出来，然后把解和序号放在一起观察。 2.猜想并写出通项公式：看看解的分子、分母和序号n之间有什么联系。 试着用含的式子把这个规律表示出来，这就是通项公式。 3.验证规律的正确性：找到规律后，最好再用n=4或n=5来验证一下。 把值代入你总结的通项公式，看得到的解是否能满足对应的分式方程。 1 11111.11 例6.(25-26八年级上广东湛江期末)探索发现：1×21-2：2×323：3×434…根据你发 现的规律，回答下列问题： 1 1 ()4×5 nx(n+1 1,1,1 (2)利用你发现的规律计算：1×22×3+3x4+…+ nxn+1 1 1 3)灵活利用规律解方程：x+1x+1(x+2+…+x+2025x+2026x+2026】 【变式6-1】(24-25七年级下·安徽合肥·期末)阅读理解并回答问题： (1)观察下列各式： 11111_11111111111 21×212'62×323123×434’204×545… 1 请你猪想出表示(1)中的特点的一般规律，用含x(x表示整数)的等式表示出来x+ 1,1,1 1 1 ②)请利用上述规律计算：（要求写出计算过程）2十6十2++7 (n-1)nn(n+1: 1 1 11 (3)请利用上述规律，解方程：(x-2(x-1)（(x-)xxx+1x+1 【变式6-2】(25-26八年级上·全国·期末)探索规律： 6/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 1 1 1 ()直接写出计算结果：1x22×33×4 n(n+1=. 1 (2)仿照(1)的方法探究可知，nn+2)可变形为_. 1 1 1 (3)运用规律解方程：xx+3)(x+3(x+6)(x+6(x+92x+18 【变式6-3】(25-26八年级上广西防城港·期末)探究与应用 【特例分析】 (1)填空： 12 x+1x+1的解为： ① 2 4 +1x+1的解为： ②- 36 ®x+1x+-1的解为= 【总结规律】 (2)根据你发现的规律直接写出第4个分式方程及它的解：-· 【解决问题】 (3)请你按照上述规律写出第n(n为正整数)个分式方程，并求出它的解.（写出解答过程） 类型七、分式方程中的新定义型问题 1.仔细审题，吃透定义：这是最关键的一步。题目会用一个新的符号（比如必、⊕、△等）来定义一种 新的运算。你需要仔细阅读这个定义，弄清楚它到底代表什么样的计算过程。 2.套用公式，列出方程：理解新定义后，把题目给出的具体数字或字母，严格按照定义的运算顺序代入 进去。根据题目要求的等量关系，列出一个新的分式方程。 3.求解并检验：列出分式方程后，就按照解分式方程的常规步骤来解。别忘了最后一定要检验，确保解 的有效性，避免出现增根。 例7。(25-26七年级上河北保定期未)对于实数a,b,定义一种新运算“⑧”为a®b a-b2，这里等 7/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 式右边是通常的实数运算.例如：1®3=13一8· 1 1 0求3®-2 的值： 2)求方程r⑧(-2)= x二41的解 【变式7-1】(24-25七年级上·上海·期末)定义：如果两个代数式的和与这两个代数式的积相等，那么称 这两个代数式互为“关联式”. 22 ()判断x+与x一1是否互为“关联式”，并说明理由： 1 (2)求与2m+1 m≠0)互为“关联式”的代数式： (3)填空：已知一个整式与一个最简分式互为“关联式”，请写出一组符合该条件的代数式可以是一与_ (只要写一组即可) 【变式7-2】(2425七年级下浙江金华期末)定义：形如x+b =a+b(ab≠0，两个解分别为x=a, x 方程称为“十字分式方程”.如x+三=3，其中a=2 山)试判断x+。5,是不是十字分式方程？若是，求该方程的解。 2)若十字分式方程x3的解为x=,:=b,求下列代数式的值： ①a2+3b: @+ ab· 【变式7-3】(24-25八年级下山东枣庄·期末)新定义：如果两个实数a,b使得关于x的分式方程 、1 是+1=b的解是x=a+6成立，那么我们就把实数a'6组成的数对a,)称为关于，的分式方程+1=b的 2 11 一个“关联数对”.例如：a=2,b=-5使得关于x的分式方程x 5的解是2+-可5成立，所 +1=- 8/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 以数对2,5就是关于x的分式方程+1=b的一个“关联数对” 山下列数对是关于x的分式方程：+1=少的“关联数对”有 (填字母) A.-2,4利：B.〔3-可 「1， 一2+”是关于x的分式方程1=心的“关联数对”，求m的值. 5+n (2)若数对L a+1=b 压轴专练 一、单选题 53 1.(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨期末)方程x+2x的解为（） A.x=3 B.x=-2 C.x=-3 D.x=1 +m+,1=3有增根，则m的值为（） 2.(25-26八年级上：广东汕头期末)若关于x的方程x-2+2-x A.2 B.-2 C.1 D.-1 k1 3.(25-26八年级上河南新乡期末)已知关于x的分式方程2xx一22的解是非负数，则k的取值范 围是() A.k≤3 B.k≥3 C.k≤3且k≠2 D.k≤3且k≠-1 4.(2025八年级下·河南郑州专题练习)新定义对于实数a、b,定义一种新运算“⊕”为： 3 a⊕b= a-ab,这里等式右边是实数运算.按此规定，则方程 到a小是)郑是() 9/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.x=4 B.x=6 C.x=7 D.x=8 5.(24-25八年级上·山东烟台·期中)观察下列式子的变形规律： k2111111110 -2,②2x323,③3x434,④4x5=45,… 请尝试回答下面问题： 1 1 1 若x+x+2x+2x*+x+3x+4++x+991x+100x+10,则x的值为() A.1000 B.998 C.1 D.2 二、填空题 6.(2526八年级上留建厦门期未)分式方程2+1=22 2x+1的解是 7x-2m=5无解，则m的值为一 7.(2425八年级上河北石家庄月考)关于x的分式方程x-x-1 8。（25-26八年级上湖南岳阳期中)定义一种新运算：对于任意的非零实数4,6，a⑧b= ab·若 (x+1)⑧x=0 ,则x的值为一 k。-1=2x 9.(25-26九年级上~黑龙江绥化期末)关于x的方程x-212-x的解为正数，则k的取值范围为一· 10.(24-25八年级上湖南张家界·期中)观察下列等式的规律，并回答下列问题： 1111 62×323 1=1=11 123×434 1111 204×545 请运用上述等式的特点规律解下列方程，则该方程的解为一· 1 1 1 十十 x(x+1)(x+1)x+2)(x+9)(x+10)(x+10) 10/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 11.(25-26八年级上山东聊城月考)解下列方程： w442a 416 (2)x+22-x2-4 x+-3 12.(25-26九年级上河北邯郸期末)小珍解方程x-2十x-2 1过程如下： 解：去分母，得+x-3引=1…第一步 去括号，得x+x-3=1…第二步 合并同类项，得2x-3=1.…第三步 解得x=2…第四步 检验：当x=2时，x-2=0 ∴x=2不是分式方程的根，原分式方程无解.…第五步 ()你认为小珍从第步出现错误； (2)写出正确的解答过程. 13。（24,25八年级上：山西昌梁期末)定义新运算：对于非零的两个实数，6，规定a©6-日 ba,如 2®3=11=-1 326 0)求2(-6的值： (2计算二4灯+4®2-2x x-2 x+2 (3)若-3®(2x-1)=2 求x的值. 14.(25-26八年级上河北沧州月考)计算 (1)解下列方程，直接填空： 1=2 ①x+1x+11的解为； 2=4 ②x中x+1的解为一 11/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 36 ③x中1x+1的解为一： 团x中中11的解为一： 4=8 … 归纳 (2)请根据“计算”中发现的规律写出第⑥个方程并直接写出该方程的解： 总结 (3)请用一个含正整数n的式子表示上述方程的规律，并求出该方程的解. 15.(25-26八年级上·全国期末)探索规律： 1.11 1 十…+ (直接写出计算结果：1×22×33×4n(n+1=. 1 (2)仿照(1)的方法探究可知， n(n+2)可变形为_ 1 1 1 3 (3)运用规律解方程：xx+3)'(x+3)(x+6)(x+6)(x+92x+18 16.(25-26八年级上湖南长沙期末)不妨定义：如果两个代数式A,B的值满足A+B=1,则称A,B具 有和谐关系.当具有和谐关系的两个代数式A,B都是整式时，则称A,B互为和谐整式：当具有和谐关系 的两个代数式A,B都是分式时，则称A,B互为和谐分式. ()判断下列说法的正误，对的打“√”，错误的打“×”. ①整式x-1与x+2对任意x都具有和谐关系：() 2n-1,1-n ②分式n与n互为和谐分式：（） 2 ③如果分式x+与x一互为和谐分式，则x=3:（) ax b (2)当x≠3时，如果分式x-3与x-3始终互为和谐分式，求a和b的值： )尼知x,y都是整数，当整式x+y小与4少+互为和谐整式时，求、y的值。 12/12