第二章 实数 单元测试卷 2026—2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册第二章实数单元测试卷，覆盖无理数、平方根、二次根式等核心知识，通过基础辨析、实际应用与规律探究，培养抽象能力、运算能力及模型意识，适配单元复习巩固与素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|无理数识别、平方根计算、二次根式定义|如第6题数值转换器，融合概念辨析与逻辑推理| |填空题|6/18|立方根应用、数轴与实数、规律探究|第14题新定义运算，考查抽象能力与创新意识| |解答题|10/72|二次根式运算、实际问题建模、几何直观|第25题高空抛物问题，体现数学建模与应用意识；第20题格点三角形，发展几何直观与空间观念|

第二章 实数 单元测试卷 2026—2027学年北师大版八年级数学上册 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．在0、π、0.0101101110…（每两个0之间的1依次增加）、﹣3.14、中，无理数的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．下列各式中计算正确的是（　　） A．7 B．±7 C．7 D．（）2＝﹣7 3．（﹣4）2的算术平方根是（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2 4．下列各式中一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 5．大小在和之间的整数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（　　） A．8 B．2 C．2 D．3 7．已知a，b是两个连续整数，a1＜b，则a+b的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|的结果是（　　） A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b 9．若k，m，n都是整数，且，，，则下列关于k，m，n的大小关系，正确的是（　　） A．m＜k＜n B．m＝n＞k C．m＜n＜k D．k＜m＝n 10．设a，b为非零实数，则 所有可能的值为（　　） A．±2 B．±1或0 C．±2或0 D．±2或±1 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．已知一个正方体的体积是1000cm3，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积488cm3，则截去的每小正方体的棱长是 　 ． 12．已知0，则a+2b的值是 　　 ． 13．如图，以OB为对角线的正方形，边长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交数轴正半轴于一点A，则这个点A表示的实数是　　 ． 14．任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝1．现对72进行如下操作：72第一次[]＝8，第二次[]＝2，第三次[]＝1，这样对72只需进行3次操作变为1，类似的，①类似地，对81只需进行3次操作后变为1；那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最小的是 　　 ． 15．若a、b、c为三角形的三边，则　 ． 16．观察并分析下列数据，寻找规律，则第n个数据应是 　　 ． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．计算：（1）（） （2）（2）（2）+（）2（2） （3）2（1）2 18．已知a+1的算术平方根是1，﹣27的立方根是b﹣12，c﹣3的平方根是±2． （1）求a，b，c的值； （2）求a+b+c的平方根和立方根． 19．若a，b为实数，且b，求的值． 20．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． （1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图2中，画一个三角形，使它的三边长都是无理数． 21.（1）已知x，y满足|x﹣4|0，求以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长． （2）已知x，y为实数，且y4，求的值． 22．已知长方形长a，宽b． ①求长方形的周长； ②求与长方形等面积的正方形的周长，并比较长方形周长与正方形周长大小关系． 23．已知． （1）求a2﹣b2的值． （2）若m为a的整数部分，n为b的小数部分，求的值． 25．先计算下列各式： ，，　　 ，　　 ，　　 ． （1）通过观察并归纳，请写出_______． （2）利用（1）中结论计算：． 25．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t（不考虑风速的影响） （1）从50m高空抛物到落地所需时间t1是多少s，从100m高空抛物到落地所需时间t2是多少s； （2）t2是t1的多少倍？ （3）经过1.5s，高空抛物下落的高度是多少？ 26．小明同学在解决问题“已知，求的值”时，他是这样解答的： ，，，． ． 请你认真理解小明的解答过程，解决如下问题： (1) =__________； (2)化简：； (3)已知，求的值． 答 案 第二章 实数 单元测试卷 2026—2027学年北师大版八年级数学上册 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．在0、π、0.0101101110…（每两个0之间的1依次增加）、﹣3.14、中，无理数的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解答】解：0是整数 属于有理数； ﹣3.14是有限小数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 无理数是π、0.0101101110…（每两个0之间的1依次增加），共2个． 故选：C． 2．下列各式中计算正确的是（　　） A．7 B．±7 C．7 D．（）2＝﹣7 【解答】解：A．7，此选项错误； B．7，此选项错误； C．7，此选项正确； D．（）2＝7，此选项错误； 故选：C． 3．（﹣4）2的算术平方根是（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2 【解答】解：根据题意可得， 4． 故选：B． 4．下列各式中一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．当x≥﹣1时，为二次根式，所以A选项不符合题意； B． 为二次根式，所以B选项符合题意； C．当a≤﹣1或a≥1时，为二次根式，所以C选项不符合题意； D．当a＞0时，为二次根式，所以D选项不符合题意； 故选：B． 5．大小在和之间的整数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解答】解：由于23，34， 所以大小在和之间的整数只有3， 故选：B． 6．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（　　） A．8 B．2 C．2 D．3 【解答】解：将64输入，由于其平方根是8， 为有理数，需要再次输入， 得到，为2． 故选：B． 7．已知a，b是两个连续整数，a1＜b，则a+b的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：∵1＜3＜4， ∴12， ∴01＜1， ∴a＝0，b＝1， ∴a+b＝0+1＝1． 故选：A． 8．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|的结果是（　　） A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b 【解答】解：由数轴可得：a＜0，a﹣b＜0， 故|a| ＝﹣a+（b﹣a） ＝﹣a+b﹣a ＝﹣2a+b． 故选：A． 9．若k，m，n都是整数，且，，，则下列关于k，m，n的大小关系，正确的是（　　） A．m＜k＜n B．m＝n＞k C．m＜n＜k D．k＜m＝n 【解答】解：∵，，， ∴k＝3，m＝2，n＝5， ∴m＜k＜n， 故选：A． 10．设a，b为非零实数，则 所有可能的值为（　　） A．±2 B．±1或0 C．±2或0 D．±2或±1 【解答】解：当a＞0，b＞0时，原式2， 当a＞0，b＜0时，原式0， 当a＜0，b＞0时，原式0， 当a＜0，b＜0时，原式2， 综上所述，原式所有可能的值为±2或0， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．已知一个正方体的体积是1000cm3，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积488cm3，则截去的每小正方体的棱长是 　4cm ． 【解答】解：设截去的每小正方体的棱长是xcm， 根据题意得：1000﹣8x3＝488， ∴8x3＝512， ∴x3＝64， ∴x＝4． 故答案为：4cm． 12．已知0，则a+2b的值是 　10　 ． 【解答】解：∵|b﹣2a|＝0， ∴a﹣2＝0，b﹣2a＝0， 解得：a＝2，b＝4， ∴a+2b＝10． 故答案为：10． 13．如图，以OB为对角线的正方形，边长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交数轴正半轴于一点A，则这个点A表示的实数是　　 ． 【解答】解：应用勾股定理得，正方形的对角线的长度为：， OA为圆的半径，则OD，所以数轴上的点A表示的数为． 故答案． 14．任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝1．现对72进行如下操作：72第一次[]＝8，第二次[]＝2，第三次[]＝1，这样对72只需进行3次操作变为1，类似的，①类似地，对81只需进行3次操作后变为1；那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最小的是 　16　 ． 【解答】解：[]＝4，[]＝2，[]＝1， 故答案为：16． 15．若a、b、c为三角形的三边，则　2a ． 【解答】解：∵a、b、c为三角形的三边 ∴a+b＞c，c+a＞b ∴原式＝|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|＝a+b﹣c+c+a﹣b＝2a 故答案为：2a 16．观察并分析下列数据，寻找规律，则第n个数据应是 　　 ． 【解答】解：这列数可化为：，，，，，，… 即，，，，，，… 所以第n个数据为， 故答案为：． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．计算： （1）（） 2 2 2 ； （2）（2）（2）+（）2（2） ＝12﹣11+3+2﹣26+2 ＝0； （3）2（1）2 2（3+1﹣2） ＝223﹣1+2 ＝2． 18．已知a+1的算术平方根是1，﹣27的立方根是b﹣12，c﹣3的平方根是±2． （1）求a，b，c的值； （2）求a+b+c的平方根和立方根． 【解答】解：（1）∵a+1的算术平方根是1， ∴a+1＝1， 解得a＝0； ∵﹣27的立方根是b﹣12， ∴b﹣12＝﹣3， ∴b＝9； ∵c﹣3的平方根是±2， ∴c﹣3＝4， ∴c＝7． （2）由（1）知，a＝0，b＝9，c＝7， ∴a+b+c＝0+9+7＝16， ∴a+b+c的平方根是±4； ∴a+b+c的立方根是． 19．若a，b为实数，且b，求的值． 知识点：二次根式有意义的条件是：被开方数大于或等于0；分母不为0； 【解答】解：由题意得：a2﹣1≥0，1﹣a2≥0， ∴a＝±1， 又∵a+1≠0， ∴a≠﹣1， ∴a＝1， ∴b， ∴3． 20．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． （1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图2中，画一个三角形，使它的三边长都是无理数． 【解答】解：（1）如图1中，△ABC即为所求； （2）如图2中，△ABC即为所求． 21.（1）已知x，y满足|x﹣4|0，求以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长． （2）已知x，y为实数，且y4，求的值． 【解答】解：（1）根据题意得，x﹣4＝0，y﹣8＝0， 解得x＝4，y＝8， ①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8， ∵4+4＝8， ∴不能组成三角形； ②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8， 能组成三角形，周长＝4+8+8＝20． 所以，三角形的周长为20； （2）∵y4， ∴x﹣9＝0， ∴x＝9， ∴y＝4， ∴3+2＝5． 22．已知长方形长a，宽b． ①求长方形的周长； ②求与长方形等面积的正方形的周长，并比较长方形周长与正方形周长大小关系． 【解答】解：①长方形的周长为2×（）＝2×（2）＝6； ②长方形的面积为26， 则正方形的边长为， ∴此正方形的周长为4， ∵6，4，且， ∴64， 则长方形的周长大于正方形的周长． 23．已知． （1）求a2﹣b2的值． （2）若m为a的整数部分，n为b的小数部分，求的值． 【解答】解：（1）∵， ∴，， ∴； （2）∵， ∵， ∴ ∴， ∴即， ∵m为a的整数部分， ∴m＝2， ∵， 即， ∵n为b的小数部分， ∴， ∴． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/9 8:43:27；用户：肖少山；邮箱：272907387@qq.com；学号：10958763 25．先计算下列各式： ，，　3　 ，　4　 ，　5　 ． （1）通过观察并归纳，请写出n ． （2）利用（1）中结论计算：． 【解答】解：1，2，3，4，5． 故答案为：3，4，5． （1）n． 故答案为：n． （2）． 25．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t（不考虑风速的影响） （1）从50m高空抛物到落地所需时间t1是多少s，从100m高空抛物到落地所需时间t2是多少s； （2）t2是t1的多少倍？ （3）经过1.5s，高空抛物下落的高度是多少？ 【解答】解：（1）当h＝50时，t1（秒）； 当h＝100时，t22（秒）； （2）∵， ∴t2是t1的倍． （3）∵t， ∴h＝5t2， ∴当t＝1.5时，h＝5×1.52＝11.25， ∴下落的高度是11.25米． 26．小明同学在解决问题“已知，求的值”时，他是这样解答的： ，，，． ． 请你认真理解小明的解答过程，解决如下问题： (1) = ； (2)化简：； (3)已知，求的值． 【解】（1）解：； （2）解：（n为正整数） ， ∴ ； （3）解：∵， ， ，即， ， ∴ ． 学科网（北京）股份有限公司 $