第27章相似 -图形研究（三）2025-2026学年人教版数学九年级下册

第二十七章 相似 图形研究（三） 图形研究 7 圆与相似(三)X型相似 方法技巧：构造平行条件，进而得到 X型相似解决问题. 类型一 连半径→平行 1.如图,AB 为⊙O 的直径,AC 为弦, 的平分线交⊙O 于点 D，过点D 作⊙O 的切线交AC 的延长线于点E,OE 交AD 于点 F. (1)求证:DE⊥AE; (2)若 求 的值. 类型二 作切线→平行 2.如图，在 中，AB=AC,⊙O是 的外接圆，BO的延长线交边AC 于点 D. (1)求证: (2)当AD=2,CD=3时,求 BC 的长. 类型三 构直角→平行 3.如图,AB 是⊙O的直径,点 C,D 在⊙O上,OD 平分. 延长 DO 交⊙O 于点 E,连接CE 交OB 于点F,过点 B 作⊙O的切线交DE 的延长线于点 P.若 求⊙O 的半径. 图形研究8 双曲线与相似 方法技巧：作垂线构造直角三角形相似，得线段关系，进而转化为坐标关系，再通过方程求解. 类型一 构A 型 1.如图，O是坐标原点，双曲线 与直线y=-2x 交于点 A,点 B在 的图象上，直线AB 与y轴交于点C，连接OB，若AB=3AC,求OB 的长. 类型二 构K型 2.如图,在矩形 AOBC中,B(4,0),A(0,3),反比例函数 的图象分别与边AC，BC交于E，F 两点，将△CEF 沿EF 折叠，点C 恰好落在边OB 上的点G处，求此时反比例函数的解析式. 类型三 构射影型 3.如图,已知点A(8,1),B(0,-3),反比例函数 的图象经过点 A，动直线.x=t(0<t<8)与反比例函数的图象交于点 M. (1)直接写出k 的值； (2)若 求 t 的值. 图形研究9 抛物线与相似(一)角度问题 方法技巧：利用已知角度(关系)发现或构造相似三角形，得到线段关系，再用方程求解. 类型一 等角构 1.如图，抛物线 与x轴负半轴交于点A，与y 轴交于点C，顶点为 D.其中A(-3,0),D(-1,-4). (1)直接写出该抛物线的解析式； (2)在第三象限内的抛物线上找点 E，使 ，求点 E 的坐标. 类型二 直角构 2.如图，抛物线 的顶点为 A，与y轴的交点为B，C为抛物线上一点，且 求点 C 的坐标. 3.如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P为抛物线上一点，且 是以AC为直角边的直角三角形，求点 P 的坐标. 图形研究10 抛物线与相似(二)线段比 方法技巧：利用已知线段(关系)构造相似三角形，得到铅直或水平线段关系，再用方程求解. 类型一 构A(X)型 1.如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A(3,0),C(0,3). (1)求b,c 的值; (2)D为抛物线上第一象限内一点，连接BD，与直线AC 交于点 E，若 求点 D 的坐标. 类型二 构仿射影型 2.如图，抛物线 与坐标轴交于A，B，C三点，P为抛物线上一点， 于点M,且 求点 P 的坐标. 类型三 构位似形 3.如图，抛物线 分别交x轴，y轴的正半轴于A，B两点，且(OA=2OB. (1)求抛物线的解析式； (2)平移直线AB 交第二象限的抛物线于点 M，交x轴于点 N，且.MN=4AB.求 的面积. 图形研究7 圆与相似(三)X型相似 1.解:(1)连接OD. ∵AD平分∠BAC, ∴∠CAD=∠OAD. ∵OD=OA, ∴∠ODA=∠OAD=∠CAD, ∴OD∥AE, ∵DE与⊙O相切, ∴DE⊥OD, ∴DE⊥AE; (2)连接BC 交OD 于点G. ∵AB 为直径, =∠ODE, ∴四边形 DECG 是矩形, ∴DE=CG=BG, 设AC=6x,则AB=10x, ∴OG=3x, ∴DG=2x=CE, ∴AE=8x, ∵OD∥AE, ∴△ODF∽△EAF, 2.解:(1)连接OA. ∵AB=AC, ∴OA⊥BC, ∴∠BAO=∠CAO, ∵OA=OB, ∴∠ABD=∠BAO, ∴∠BAC=2∠ABD; (2)作AE∥BC,交 BD 的延长线于点E,延长AO交BC 于点 H, 则 △AED ∽ △CBD, △AOE ∽△HOB, 设OB=OA=4a,则OH=3a, 3.解:连接BC,AC,设AC交OD 于点 H. ∵AB 是⊙O的直径, ∴AC⊥BC, ∵OD平分∠AOC,AO=CO, ∴OD⊥AC,∴OD∥BC, ∴△OEF∽△BCF, 设OE=5x,则BC=6x, ∵PB 是⊙O的切线, ∴∠PBO=∠AHO=90°, ∴△AOH∽△POB, 解得 ∴⊙O 的半径为 图形研究8 双曲线与相似 1.解:过点 B 作 BE⊥y轴于点 E,过点 A 作AD∥CE,交 BE 于点D. 由 解得 舍去)， ∵AD∥CE, ∴将 代入 得 2.解:过点 E 作EM⊥OB 于点M,则EM=OA=3,△MEG∽△BGF, ∵点E(ᵏ₃,₃),F(4, ) 解得 在 Rt△GBF 中, 解得 ∴反比例函数的解析式为 3.解:(1)k=8; (2)过点 A 作 AQ⊥y轴于点 Q,延长AM 交y轴于点 P. ∵MA⊥AB, ∴△ABQ∽△PAQ, 即 解得PQ=16, ∴P(0,17). 又∵A(8,1), ∴可求得直线AP 的解析式为 y=-2x+17. ∴由 解得 图形研究9 抛物线与相似(一)角度问题 1.解: (2)过点 D 作 DS⊥x轴于点S,延长CE 交x轴于点G. ∵∠COG=∠ASD=90°,∠OCE=∠OAD, ∴△CGO∽△ADS, 即 ∴OG=6, ∴G(-6,0), ∴可求得直线CG 的解析式为 由 解得 (舍去) ∴点E 的坐标为 2.解:易知A(2,0),B(0,-1),∴OA=2,OB=1. 过点C作CD⊥x轴于点D,则可得△AOB∽△CDA, ∴OB·CD=OA·AD, 设点 则 解得t₁=10,t₂=2(舍去), ∴C(10,-16). 3.解：分2种情况： ①当∠PAC=90°时,设 AP 交 y轴于点F,则△AOC∽△FOA, ∴直线AF: 联立 得 ②当∠PCA=90°时,延长CP 交x轴于点G,则△AOC∽△COG, ∴G(9,0), ∴直线CG: 联立 得 综上， 或 图形研究10 抛物线与相似(二)线段比 1.解:(1)依题意,得 解得 (2)由 解得 ∴B(-1,0), 过点 B，D作y轴的平行线，分别交直线AC 于N,M两点, 则△DME∽△BNE, 由A(3,0),C(0,3),可得直线AC:y=-x+3, 当x=-1时,y=4, ∴BN=4. 设点 则M(t,-t+3), 解得t=1或t=2, ∴点 D 的坐标为(2,3)或(1,4). 2.解:易求A(1,0),B(2,0),C(0,2),连接AC,延长CP 交x轴于点 N. 且∠AOC=∠PMC=90°, ∴△AOC∽△PMC, ∴∠ACO=∠PCM. ∵∠OCB=45°, ∴△ABC∽△ACN, ∴AN=5, ∴N(6,0), 联立 得 3.解:(1) 依题意,得 A (m,0), 将点 B 代入解析式中，得 (舍), (2)过点 M 作MH⊥x轴于点 H,则△MNH∽△BAO, ∴MH=4,NH=8, 当y=4时, ∴xM=-2或xM=6(舍去). ∴ON=8-2=6, 学科网（北京）股份有限公司 $