5.6函数y=Asin(ωx+φ)(一) 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，从y=sinx出发，依次讲解φ对平移的影响、ω对横向伸缩的影响、A对纵向伸缩的影响，再整合先平移后伸缩与先伸缩后平移两种变换步骤，搭建递进式学习支架。 其亮点在于通过“明辨是非”辨析平移方向、伸缩倍数等易错点，“解题有招”提炼变换规律，结合典例与即学即练，培养数学抽象、直观想象和逻辑推理素养。如典例3对比不同变换顺序的差异，帮助学生深化参数意义理解，教师可直接用于课堂，提升教学效率。

5.6　函数y=Asin(ωx+φ)(一) 【学习目标】 1.结合具体实例,了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义.(数学抽象、直观想象) 2.能借助图象理解参数的意义,了解参数ω,φ,A的变化对函数图象的影响.(数学抽象、数学运算) 一、φ对y=sin (x+φ),x∈R图象的影响   二、ω(ω>0)对y=sin (ωx+φ)图象的影响 三、A(A>0)对y=A sin (ωx+φ)图象的影响 四、三角函数图象变换 [点睛] 1.函数y=Asin(ωx+φ)图象平移变换的注意点 (1)y=sin(x+φ)与y=sin x的图象形状是完全一样的,y=sin(x+φ)的图象可以由y=sin x的图象向左或向右平移得到. (2)左右平移是对x本身而言的,如果x前面的系数不是1,应提取系数,然后进行左右平移. 2.ω对函数y=Asin(ωx+φ)图象影响的注意点 (1)ω(ω>0)影响函数y=sin(ωx+φ)的周期. (2)y=sin(ωx+φ)(ω≠1)与y=sin(x+φ)的图象形状不同,此变换称为横向伸缩变换. 3.A对函数y=Asin(ωx+φ)图象影响的注意点 (1)|A|的大小反映了曲线y=Asin(ωx+φ)波动幅度的大小. (2)y=Asin(ωx+φ)与y=sin(ωx+φ)的图象形状不同,此变换称为纵向伸缩变换. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)由函数y=sin (x+)的图象得到y=sin x的图象,必须向左平移个单位长 度.( ) 提示:由函数y=sin (x+)的图象得到y=sin x的图象,可以向右平移个单位长 度. × (2)把函数y=sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数 y=sin 3x的图象.( ) 提示:把函数y=sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数 y=sin x的图象. (3)利用图象变换作图时,“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的长度 是一致的.( ) 提示:利用图象变换作图时,“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的长 度不一定是一致的.当ω=1时,是一致的,当ω≠1时,是不一致的. × × 类型1 平移变换(数学抽象) 【典例1】(1)将函数y=sin x的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数解析式是(　　) A.y=sin(x+) B.y=sin(x-) C.y=cos x D.y=-cos x 【解析】选D.y=sin x的图象向右平移个单位长度得到函数y=sin(x-) =-cos x. √ (2)(多选)为了得到函数f(x)=2cos(3x+)的图象,只需(　　) A.将函数y=2cos 3x的图象向左平移个单位长度 B.将函数y=2cos 3x的图象向左平移个单位长度 C.将函数y=2sin 3x的图象向左平移个单位长度 D.将函数y=2sin 3x的图象向右平移个单位长度 √ √ √ 【解析】选ACD.对于选项A,y=2cos 3x的图象向左平移个单位长度, 可得y=2cos 3(x+)=2cos(3x+)的图象,故A正确; 对于选项B,y=2cos 3x的图象向左平移个单位长度, 可得y=2cos 3(x+)=2cos(3x+π)=-2cos 3x的图象,故B错误; 对于选项C,y=2sin 3x的图象向左平移个单位长度, 可得y=2sin 3(x+)=2sin(3x+)=2cos(3x+)的图象,故C正确; 对于选项D,y=2sin 3x的图象向右平移个单位长度, 可得y=2sin 3(x-)=2sin(3x-)=2sin(-3x)=2cos(3x+)的图象,故D正确. 【解题有招】 图象平移变换的关注点 (1)解题关键:确定平移方向和平移的量. (2)平移方法: ①当x的系数是1时,若φ>0,则左移φ个单位长度;若φ<0,则右移|φ|个单位长度. ②当x的系数是ω(ω>0)时,若φ>0,则左移个单位长度;若φ<0,则右移个单位长度. 【即学即练】 将函数y=cos(2x+)的图象　　　　可得到函数y=cos 2x的图象.(　　)  A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 【解析】选D.因为y=cos(2x+)=cos2(x+),所以y=cos(2x+)的图象向右平移个单位长度可得到函数y=cos 2x的图象. √ 类型2 伸缩变换(数学抽象) 【典例2】(1)(2026·咸阳高一检测)为了得到函数y=cos 2x的图象,只需把余弦曲线y=cos x上所有点的(　　) A.横坐标缩短到原来的,纵坐标不变 B.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 C.纵坐标缩短到原来的,横坐标不变 D.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变 【解析】选A.只需把余弦曲线y=cos x上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,即可得到函数y=cos 2x的图象. √ (2)函数y=sin(2x-)图象上所有点的横坐标保持不变,将纵坐标　　　　(填“伸长”或“缩短”)为原来的　　　　,将会得到函数y=3sin(2x-)的图象.  【解析】A=3>1,故函数y=sin(2x-)图象上所有点的横坐标保持不变,将纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y=3sin(2x-)的图象. 答案:伸长　3倍 【解题有招】 图象伸缩变换的关注点 (1)两个弄清:弄清是横向还是纵向,要弄清是伸还是缩; (2)两个规律:ω>0时,横向伸缩规律为“ω乘伸缩倍数的倒数”,A>0时,纵向伸缩规律为“A乘伸缩的倍数”. 【即学即练】 1.函数y=cos x图象上各点的纵坐标不变,把横坐标变为原来的2倍,得到图象的解析式为y=cos ωx,则ω的值为　　　　.  【解析】函数y=cos x y=cos x,所以ω=. 答案: 2.(2025·黔江高一检测)将函数f(x)=sin(x+)图象上的所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,则g()=　　　.  【解析】由题意得g(x)=sin(2x+),则g()=sin(2×+)=. 答案: 类型3 变换的综合应用(逻辑推理) 角度1　同名三角函数变换 【典例3】(多选)若曲线C1:y=sin x,C2:y=sin(2x+),则下列说法正确的是(　　) A.把C1向左平移个单位长度,再将所有点的横坐标变为原来的2倍,得到C2 B.把C1向左平移个单位长度,再将所有点的横坐标变为原来的,得到C2 C.把C1上所有点的横坐标变为原来的,再向左平移个单位长度,得到C2 D.把C1上所有点的横坐标变为原来的,再向左平移个单位长度,得到C2 √ √ 【解析】选BD.变换方式一:把函数y=sin x的图象向左平移个单位长度,得到y=sin(x+)的图象,再将所有点的横坐标变为原来的,得到y=sin(2x+)的图象; 变换方式二:把函数y=sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的,得到y=sin 2x的图象,再向左平移个单位长度,得到y=sin2(x+)=sin(2x+)的图象. 【解题有招】 同名三角函数图象变换主要有两个过程:先平移后伸缩和先伸缩后平移,两种情况下平移的单位长度不一定相同. 【即学即练】 已知曲线C1:y=sin (x+),把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2,则曲线C2为(　　) A.y=sin (x+π) B.y=sin (3x+π) C.y=sin (x+π) D.y=sin (3x+π) √ 【解析】选D.把C1:y=sin (x+)上各点的横坐标缩短到原来的得到曲线的函数解析式为y=sin (3x+),纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度得到曲线C2:y=sin (3x+π). 角度2　异名三角函数变换 【典例4】(2026·潍坊高一检测)要得到函数y=4cos (x+)的图象,只需将函数y=4sin (x-)的图象(　　) A.向左平移2个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向右平移2个单位长度 D.向左平移个单位长度 【解析】选A.因为y=4cos (x+)=4sin (x++)=4sin [(x+2)-], 所以要得到函数y=4cos (x+)的图象,只需将函数y=4sin (x-)的图象向左平移2个单位长度. √ 【解题有招】 异名三角函数图象变换的关注点 (1)步骤:先用诱导公式将不同名三角函数化为同名三角函数,再根据平移、伸缩变换,得出最终结果. (2)注意:由y=sin x的图象能经过图象变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象,若先左右平移,则左(右)平移|φ|个单位长度,若先在x轴方向上伸缩再平移,则左(右)平移||个单位长度. 【即学即练】 已知函数f(x)=8cos(-),将函数f(x)的图象上每一点横坐标变为原来的一半,再向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则g(x)+g(x+π)的最大值为　　　　　.  【解析】将函数f(x)=8cos(-)的图象上每一点横坐标变为原来的一半, 此时函数解析式为y=8cos(-),再向左平移个单位长度,得g(x)=8cos[(x+)-]=8cos(+), 则g(x)+g(x+π)=8cos(+)+8cos(+) =8cos(+)-8sin(+)=-8sin , 所以g(x)+g(x+π)的最大值为8. 答案:8 $