专题提优3 整式的应用与综合实践 巩固作业 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

**基本信息** 聚焦整式应用，分层设计从基础代数运算到几何与实际问题综合，再到跨情境拓展，培养抽象能力、模型意识与创新思维。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用|整式比较大小、整除判定、销售/行程基础计算|以作差法、代数式表示为核心，强化运算能力，如比较大小问题(1)(2)直接应用整式加减| |综合实践|图形面积周长、分段计费、方案优化|结合几何直观与实际情境，如阴影面积计算(3)需列代数式并比较，培养模型意识| |拓展探究|密码加密解密、规律探究|跨学科情境应用，如密码问题(2)需抽象运算程序并发现周期规律，发展创新意识|

专题提优3 整式的应用与综合实践 整式加减的代数与几何应用 一、比较大小问题 1. 根据等式和不等式的性质，可以得到：若，则；若，则；若，则这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小. (1) 试比较代数式与的值的大小. 解：，因为是非负数，所以，所以.(用“>”或“<”填空) (2) 已知3，请你运用前面介绍的方法比较代数式与的大小. (3) 已知，比较代数式与的大小. 二、整除问题 2. 一个两位数的十位上的数为，个位上的数为，这个两位数记作；一个三位数的百位上的数为，十位上的数为，个位上的数为，这个三位数记作. (1) 能被11整除吗？请说明理由. (2) 小明发现：如果能被3整除，那么就能被3整除.请补全小明的证明思路. 三、图形面积问题 3. 如图，正方形和正方形ECGF的边长分别为和6，点在一条直线上，点在一条直线上，将依次连接点所围成的阴影部分的面积记为. (1) 试用含的代数式表示； (2) 当时，比较与面积的大小. 四、图形周长问题 4. 三张大小不一的正方形纸片按如图①和图②方式分别放置于相同的长方形中，它们既不重叠也无空隙，记图①阴影部分周长之和为，图②阴影部分周长为，要求与的差，只需知道一个图形的周长，这个图形是________.(填①或②或③) 整式加减的实际应用 一、销售问题 1. 今年春季，果园喜获丰收，某批发公司组织10辆汽车装运甲、乙两种水果去外地销售，按计划10辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种水果，且必须装满，设装运甲种水果的汽车有辆，根据下表提供的信息，解答以下问题： (1) 求这10辆汽车共装运水果的质量；(用含有的式子表示) (2) 求销售完装运的这批水果后所获得的总利润；(用含有的式子表示) (3) 现为了促销，公司决定甲种水果每吨让利元，乙种水果每吨利润不变，若无论装运甲种水果的汽车为多少辆，这10辆车装运的水果销售完后，总利润都保持不变，求的值. 二、行程问题 2. 如图是港珠澳大桥主体工程示意图.港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大桥.一辆汽车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为，在海底隧道和主桥上行驶的平均速度分别为和.请根据这些数据回答下列问题： (1) 汽车在主桥上行驶的路程是________km. (2) 如果汽车通过海底隧道需要，从香港口岸行驶到东人工岛的时间是通过海底隧道时间的1.25倍.请用含的代数式表示香港口岸到西人工岛的全长为________km. (3) 如果汽车通过主桥需要，通过海底隧道所需时间比通过主桥的时间少.请列式计算主桥与海底隧道的长度相差多少千米?计算结果如果是单项式，请写出它的系数和次数；如果是多项式，请写出它的次数和项数. 三、分段计费问题 3. 某超市在双十一期间对顾客实行优惠，规定如下： (1) 若王老师一次性购物600元，他实际付款________元，若王老师实际付款160元，那么王老师一次性购物可能是________元. (2) 如果王老师有两天去超市购物原价合计900元，第一天购物的原价为元300)，用含的代数式表示这第一天购物王老师实际付款多少元?第二天购物王老师实际付款多少元(结果要化简)?当元时，王老师两天一共节省了多少元? 四、方案问题 4. 又到吃大闸蟹的季节了，特别是阳澄湖的大闸蟹远近闻名.某水产养殖场为了控制大闸蟹的质量，制定了大闸蟹的品质标准，将养殖大闸蟹分成了10个等级，1级大闸蟹的品质最好，2级次之，以此类推，第10级品质最差，大闸蟹的销售价格制定如下：第5级售价为80元/千克，从第5级起，品质每提升1级每千克的售价将提升6元；品质每下降1级，每千克的售价将降低4元. (1) 3级蟹的售价为________元/千克；8级蟹的售价为________元/千克； (2) 若大闸蟹的等级为，请用含的代数式表示该等级蟹的售价(单位：元/千克)； (3) 水产老板小峰计划在该养殖场购进1级蟹m千克，养殖场可以送货上门，但要收200元的运费，因为小峰是养殖场的老客户，负责人给出了如下两种优惠方案： 方案一：降价8%，并减免全部运费； 方案二：降价10%，但运费不减. 请用含的代数式表示小峰分别用这两种方案购买需付的费用，并请你帮小峰计算一下若购买200千克哪种优惠方案更加合算. 综合与实践 密码中的数学 1. 现将10个数字按图所示排成一个圈，并设置了一种数字信息的加密规则：加密钥匙为“”它代表把明文换成图中从它开始顺时针跳过5个数字的那个数字.例如明文是3，对应的密文是9.若收到的密文是2024，那么通过解密，它对应的明文是________.(明文是0~9之间的数字) 2. 【阅读材料】 在生活中，密码的应用随处可见，如电子支付、电子门禁、密码认证等.如今，密码学已成为网络信息安全的核心，密码学的研究使用了越来越多的数学工具. 有一种密码的明文(真实文)按计算机键盘上的字母顺序排列，如，这26个字母依次对应这26个自然数(见下表).设明文的任一字母所对应的自然数为，通过某种规定的运算程序把转化为对应的自然数对应的字母为密文. 运算程序为： 例如：将明文转换成密文：(26被4除余，即的密文为；将密文转换成明文，，即的明文为. 【解决问题】 (1) 按照以上程序加密1次，明文对应的密文为________；明文对应的密文为________. (2) 按照以上程序加密1次的密文为“康居学子”的首字母“KJXZ”，则其对应的明文为________. (3) 加密可以重复进行，按照以上程序加密2024次，求明文对应的密文. 答案 整式加减的代数与几何应用 1.(1) > 解析：，因为是非负数，所以，所以. (2) 因为，所以.因为是非正数，所以，则. (3) 因为，所以，当时，，则；当时，0，则；当时，，则. 2.(1) ()能被11整除. 理由：一个两位数的十位上的数为，个位上的数为，则，所以，所以能被11整除. (2) ① ② 解析：因为，代数式都能被3整除，所以能被3整除. 3.(1) 由题意得 (2) 当时，12)，所以. 4.③ 解析：设正方形①的边长为，正方形②的边长为，正方形③的边长为，由题意，得，所以，所以只需要知道正方形③的周长即可得到与的差，故答案为③. 整式加减的实际应用 1.(1) 因为装运甲种水果的汽车有辆，则装运乙种水果的车有(10－辆，所以装运的总质量为. 故这10辆汽车共装运水果的质量为. (2) 令总利润为，则.故销售完装运的这批水果后所获得的总利润为元. (3) 由题知48000，又因为无论装运甲水果的汽车为多少辆，这10辆车装运的水果销售完后，总利润都保持不变，即利润的表达式的取值与的值无关，所以，得.故的值为200. 2.(1) 92t (2) 192a 解析：汽车通过海底隧道需要，则从香港口岸到东人工岛的时间是，香港口岸到西人工岛的全长为 (3) 汽车通过主桥需要，在主桥上行驶路程是； 汽车在海底隧道行驶的时间是，行驶路程为，因此，主桥与海底隧道的长度相差是多项式，次数为1，项数为2. 3.(1) 470 160或200 解析：王老师一次性购物600元，他实际付款为(元)； 若王老师实际付款160元，有两种可能： 一是一次性购物160元，没有优惠； 二是一次性购物不低于200元时，则有八折优惠，实际付款160元，则王老师一次性购物原价为(元). 所以，王老师一次性购物可能是160或200元. (2) 因为第一天购物原价为元，则第二天购物原价为元，易知，第一天购物优惠后实际付款元，第二天购物优惠后实际付款：元，王老师两天一共付款680)元，当元时，实际一共付款705(元)，一共节省(元). 4.(1) 92 68 (2) 根据题意可得①当时，售价为(100－元/千克；②当时，售价为元/千克. (3) 一级蟹售价为每千克：－6×1＋110=104(元)，方案一费用：；方案二费用：93.6m＋200. 当时，方案一：(元)，方案二：(元)，因为，所以方案二更加合算. 综合实践 1.6468 解析：因为“”代表“把明文换成图中从它开始顺时针跳过5个数字的那个数字”，所以解密过程就是把密文数字换成图中从它开始逆时针跳过5个数字的那个数字，即密文2对应明文6，密文0对应明文4，密文4对应明文8.故密文2024对应的明文是6468. 2.(1) 解析：明文对应的密文为(8被4整除)被4除余3)被4整除.所以明文I对应的密文为；明文对应的密文为. (2) CKTQ 解析：12)19)，所以“”对应的明文为CKTQ. (3) (23被4除余3)； ； ； ； ； ； . 又回到第一个字母，所以这些字母是以为一组重复出现.因为，所以加密2024次，明文对应的密文为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $