第2章 有理数专题提优2：绝对值的几何意义及数轴与绝对值巩固练习 2026-2027学年苏科版数学七年级上册

**基本信息** 以绝对值几何意义为核心，构建从基础定义到综合应用的系统化训练，强化数形结合与逻辑推理 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |绝对值几何意义基础|2个典例|距离定义及推广：|a-b|表示两点距离|从原点距离推广到两点距离，建立几何直观| |数轴上两点间的距离|3个典例|距离公式：|a-b|直接计算|几何直观转化为数形结合公式，培养抽象能力| |数轴上点的移动|4个典例|平移规律：左减右加|动态变化规律的代数表达，发展推理意识| |绝对值非负性(00模型)|3个典例|00模型：非负性之和为0则各部分为0|距离非负性的代数应用，强化模型意识| |绝对值几何意义进阶|1个典例|距离和最值：中间点法|几何意义拓展到多距离和最值问题，提升创新意识|

专题提优2：绝对值的几何意义及数轴与绝对值 绝对值的几何意义 1. 我们知道的几何意义是：数轴上表示数的点与原点的距离，即.这个结论可以推广为： ①表示在数轴上表示数的两点间的距离； ②表示在数轴上表示数的两点间的距离. 根据以上结论探究： (1) 表示5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，所以21表示5与－2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，所以________. (2) 数轴上表示数的点在1与3之间移动时，的值是一个固定的值，为________. (3) 当式子取最小值时，求出的值. 2. 综合与探究 问题情境：如下图，数轴上有四点，它们表示的数分别是. 易知点间的距离可以表示为，点间的距离可以表示为，点间的距离可以表示为. 【数学思考】 (1) 若两点在数轴上表示的数分别是－10和两点间的距离可以表示为________. 【深入探究】 (2) 如下图，若点在数轴上表示的数分别为－4，3，点在数轴上表示的数为为整数且满足条件，求1的值. (3) 如下图，某工厂流水线——(点表示的数为－4，点表示的数为1)上依次排列的6个工作台(包括点).每个工作台只有一名工人，现要在流水线上设置一个工具台方便工人拿取工具，工具台表示的数为整数，假如设置工具台的位置刚好使这6名工人到工具台的路程之和最小，请直接写出这个最小路程之和. 数轴与绝对值 一、数轴上两点间的距离 数轴是数形结合的重要工具，数轴上两点之间的距离是数轴和绝对值的巧妙结合，是由“数”到“形”的转化. 一般地，如果数轴上有两点，它们所对应的数分别为，则两点之间的距离可以表示为，即数轴上两点间的距离等于对应两数之差的绝对值. 1. 数轴上的两个点表示的数为－3与，并且－3，它们之间的距离可以表示为（ ） A. B. C. a－3 D. 2. 我们知道，若在数轴上，点分别表示数，则之间的距离为，已知点，在数轴上分别表示数，且，则点间的距离为________。 3. 已知数轴上有两点，它们对应的数分别为1和－2.5，解答下面的问题： (1) 观察数轴，与点的距离为4的点表示的数是________； (2) 数轴上有点，且点到点的距离是点到点的距离的2倍，则点表示的数是________； (3) 若将数轴折叠，使得点与表示－3的点重合，求与点重合的点表示的数. 二、数轴上点的移动 当一个点在数轴上左右移动时，其对应的数的变化具有规律.若数轴上一个点对应的数为，当点向左移动个单位长度后，其对应的数为，当点向右移动个单位长度后，其对应的数为，运用这个规律可通过列式计算求移动后点对应的数. 4. 数轴上点表示有理数－3，将点向右平移2个单位长度到达点，点到点的距离为4，则点表示的有理数为（ ） A. 3 B. －5或3 C. －9或－1 D. －1 5. 如图，直径为2的圆上有一点，且点与数轴上表示2的点重合，将这个圆在数轴上向左无滑动的滚动，当点再次与数轴上的某个点重合时，这个点的位置可能在（ ） A. 8与9之间 B. 7与8之间 C. －4与－3之间 D. －5与－4之间 6. 数轴上，点的初始位置表示的数为2，现点做如下移动：第1次点向左移动1个单位长度至点，第2次从点向右移动2个单位长度至点，第3次从点向左移动3个单位长度至点，按照这种移动方式进行下去，点表示的数是________. 7. 点在数轴上的位置如图所示，已知点之间的距离为2，点之间的距离为5，点之间的距离是点之间距离的6倍. (1) 若点为原点，则点表示的数是________. (2) 若点分别从两点同时出发，点沿数轴正方向以每秒3个单位长度的速度向右运动，到达点后立即按原速向点折返；点沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度向左运动.当中的某点到达点时，两点同时停止运动，设运动时间为(单位：). ①当时，点与点之间的距离为________； ②当________时，点与点相遇. 三、绝对值的非负性(00模型) 通过绝对值与数轴的关系，可知“绝对值”是“距离”这一几何量的代数表示，由于“距离”不可能是负数，因此任何一个数的绝对值都为非负数，即大于或等于0，绝对值的这一特征易与非负数的性质综合考查，本书我们主要接触绝对值的非负性和偶次方的非负性. 8. 若与互为相反数，则________，________. 9. (1) 当________时，有最小值，为________. (2) 当________时，有最大值，为________. 10. 已知与互为相反数，试求的值. 四、绝对值的几何意义进阶 的几何意义是数轴上表示数的点到表示数两点的距离之和. 11. 【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离.若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： (1) 若，则的值为________. (2) 当取最小值时，可以取整数________；的最大值为________. (3) 当________时，的值最小，最小值为________. (4) 如图，一条笔直的公路边有三个居民区和市民广场，居民区分别位于市民广场左侧，右侧，右侧.居民区有居民1000人，居民区有居民2000人，居民区有居民3000人.现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为1元/(千份·千米)，那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题提优2：绝对值的几何意义及数轴与绝对值 绝对值的几何意义 1. 我们知道的几何意义是：数轴上表示数的点与原点的距离，即.这个结论可以推广为： ①表示在数轴上表示数的两点间的距离； ②表示在数轴上表示数的两点间的距离. 根据以上结论探究： (1) 表示5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，所以21表示5与－2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，所以________. (2) 数轴上表示数的点在1与3之间移动时，的值是一个固定的值，为________. (3) 当式子取最小值时，求出的值. 答案： (1) 7 (2) 4 (3) 当在数轴上对应的点是2时，式子取得最小值，相应的的值是2. 2. 综合与探究 问题情境：如下图，数轴上有四点，它们表示的数分别是. 易知点间的距离可以表示为，点间的距离可以表示为，点间的距离可以表示为. 【数学思考】 (1) 若两点在数轴上表示的数分别是－10和两点间的距离可以表示为________. 【深入探究】 (2) 如下图，若点在数轴上表示的数分别为－4，3，点在数轴上表示的数为为整数且满足条件，求1的值. (3) 如下图，某工厂流水线——(点表示的数为－4，点表示的数为1)上依次排列的6个工作台(包括点).每个工作台只有一名工人，现要在流水线上设置一个工具台方便工人拿取工具，工具台表示的数为整数，假如设置工具台的位置刚好使这6名工人到工具台的路程之和最小，请直接写出这个最小路程之和. 答案： (1) (2) 由(1)可知，，所以. 因为两点之间的距离为7，所以点不在点之间.当点在点的右侧时，即时，因为9，解得，所以点表示的数为4，所以. 当点在点的左侧时，即时，因为.，解得，所以点表示的数为－5，所以. 综上所述，的值为－7或－19. (3) 最小路程之和为9.解析:当工具台设置在表示的数为－4的点时，6名工作人员所走的路程和为.当工具台设置在表示的数为－3的点时，6名工作人员所走的路程和为.当工具台设置在表示的数为－2的点时，6名工作人员所走的路程和为.当工具台设置在表示的数为－1的点时，6名工作人员所走的路程和为.当工具台设置在表示的数为0的点时，6名工作人员所走的路程和为4＋3＋2＋.当工具台设置在表示的数为1的点时，6名工作人员所走的路程和为.所以当工具台设置在表示的为－2或－1的点的位置时，6名工人所走的路程之和最小，最小路程之和为9. 数轴与绝对值 一、数轴上两点间的距离 数轴是数形结合的重要工具，数轴上两点之间的距离是数轴和绝对值的巧妙结合，是由“数”到“形”的转化. 一般地，如果数轴上有两点，它们所对应的数分别为，则两点之间的距离可以表示为，即数轴上两点间的距离等于对应两数之差的绝对值. 1. 数轴上的两个点表示的数为－3与，并且－3，它们之间的距离可以表示为（ ） A. B. C. a－3 D. 答案：D 2. 我们知道，若在数轴上，点分别表示数，则之间的距离为，已知点，在数轴上分别表示数，且，则点间的距离为________。 答案：5或1 解析:因为，所以点在点和点之间.因为，所以，不妨设点在点左侧， 如图①: 点间的距离为5; 如图②: 点间的距离为1. 综上所述:点间的距离为5或1. 3. 已知数轴上有两点，它们对应的数分别为1和－2.5，解答下面的问题： (1) 观察数轴，与点的距离为4的点表示的数是________； (2) 数轴上有点，且点到点的距离是点到点的距离的2倍，则点表示的数是________； (3) 若将数轴折叠，使得点与表示－3的点重合，求与点重合的点表示的数. 答案： (1) 5或－3 (2) 4.5或－9.5 解析:点到点的距离为，所以点到点的距离为，故点表示的数为4.5或－9.5. (3) 因为点到表示－3的点的距离为，所以点到折叠点的距离为2，所以折叠点表示的数为－1，点到表示－1的点的距离为，所以与点重合的点表示的数是0.5. 注意： 解决数轴折叠问题时，可以借助身边实物辅助理解，如在一个纸带上画出数轴并进行折叠. 二、数轴上点的移动 当一个点在数轴上左右移动时，其对应的数的变化具有规律.若数轴上一个点对应的数为，当点向左移动个单位长度后，其对应的数为，当点向右移动个单位长度后，其对应的数为，运用这个规律可通过列式计算求移动后点对应的数. 4. 数轴上点表示有理数－3，将点向右平移2个单位长度到达点，点到点的距离为4，则点表示的有理数为（ ） A. 3 B. －5或3 C. －9或－1 D. －1 答案：B 5. 如图，直径为2的圆上有一点，且点与数轴上表示2的点重合，将这个圆在数轴上向左无滑动的滚动，当点再次与数轴上的某个点重合时，这个点的位置可能在（ ） A. 8与9之间 B. 7与8之间 C. －4与－3之间 D. －5与－4之间 答案：D 解析:因为这个圆在数轴上无滑动的滚动，所以滚动一周行进的距离为圆的周长(向左或者向右的距离).因为该圆的直径为2，所以周长为，所以将这个圆在数轴上向左无滑动的滚动，当点再次与数轴上的某个点重合时，这个点可能为，因为，所以这个点的位置可能在－5与－4之间.故选D. 6. 数轴上，点的初始位置表示的数为2，现点做如下移动：第1次点向左移动1个单位长度至点，第2次从点向右移动2个单位长度至点，第3次从点向左移动3个单位长度至点，按照这种移动方式进行下去，点表示的数是________. 答案：－1011 解析:第次移动个单位长度，则第2025次向左移动个单位长度，每左移右移各一次后，点右移1个单位长度，所以表示的数是. 7. 点在数轴上的位置如图所示，已知点之间的距离为2，点之间的距离为5，点之间的距离是点之间距离的6倍. (1) 若点为原点，则点表示的数是________. (2) 若点分别从两点同时出发，点沿数轴正方向以每秒3个单位长度的速度向右运动，到达点后立即按原速向点折返；点沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度向左运动.当中的某点到达点时，两点同时停止运动，设运动时间为(单位：). ①当时，点与点之间的距离为________； ②当________时，点与点相遇. 答案： (1) －12 解析:因为点，之间的距离为2，点，之间的距离是点，之间距离的6倍，所以点，之间的距离是12.因为点为原点，所以点表示的数是－12. (2) ①2 解析:因为点之间的距离是12，(s)，所以点经过到达点，当时，点之间的距离是9，点之间的距离是14，所以此时点之间的距离是，所以点与点之间的距离为. ②或5 解析:当或时，点之间的距离是，点之间的距离是，当时，点与点相遇，得；当或时，点之间的距离是，点之间的距离是，当时，点与点相遇，得.综上，或5时，点与点相遇. 三、绝对值的非负性(00模型) 通过绝对值与数轴的关系，可知“绝对值”是“距离”这一几何量的代数表示，由于“距离”不可能是负数，因此任何一个数的绝对值都为非负数，即大于或等于0，绝对值的这一特征易与非负数的性质综合考查，本书我们主要接触绝对值的非负性和偶次方的非负性. 8. 若与互为相反数，则________，________. 答案：6 －9 9. (1) 当________时，有最小值，为________. (2) 当________时，有最大值，为________. 答案：(1) 3 5 (2) 9 10. 已知与互为相反数，试求的值. 答案：由题意得，所以，所以，则原式 四、绝对值的几何意义进阶 的几何意义是数轴上表示数的点到表示数两点的距离之和. 11. 【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离.若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： (1) 若，则的值为________. (2) 当取最小值时，可以取整数________；的最大值为________. (3) 当________时，的值最小，最小值为________. (4) 如图，一条笔直的公路边有三个居民区和市民广场，居民区分别位于市民广场左侧，右侧，右侧.居民区有居民1000人，居民区有居民2000人，居民区有居民3000人.现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为1元/(千份·千米)，那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 答案： (1) 1或－11 (2) 解析:根据题意可得的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数－3的点和与表示有理数1的点之间的距离之和，当取最小值时，则在－3和1之间(包含－3和1)，即可以取整数； 的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数－3的点和与表示有理数1的点之间的距离的差，当在1的右边时，则为表示有理数－3的点与表示有理数1的点之间的距离，即为4; 当在1的左边时，则，所以的最大值为4. (3) －2 7 解析:根据题意可得的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数－2的点和与表示有理数－6的点和与表示有理数1的点之间的距离之和，当时，的值最小，此时即为－6和1之间的距离，即为7，所以的最小值为7. (4) 设菜鸟驿站在处，根据题意可得，运输成本为的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数－5的点和与表示有理数1的点和与表示有理数3的点之间的距离之和，由(3)得，在－5和3之间才能取最小值，因为居民区有居民1000人，居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人， 所以当在1和3之间时，取得最小值，则，所以最低成本为12元，所以菜鸟驿站建在点，点之间才能使总运输成本最低，最低成本是12元. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $