专题03全等三角形判定12大题型专项训练（题型专练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 以5种判定方法为纲，构建"基础判定-性质综合-条件补充-综合应用"的12级题型体系，突出推理逻辑与几何直观 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |SSS|2题型/4典例|公共边/线段和差找边，规范书写|从判定到性质应用递进| |SAS|2题型/4典例|夹角识别，排除SSA误区|结合平行线等角条件推理| |ASA/AAS|4题型/8典例|夹边/对边区分，内角和推导|两角一边条件的灵活选择| |HL|2题型/4典例|直角标注，斜边直角边匹配|直角三角形专属判定应用| |综合|2题型/6典例|5种判定取舍，隐藏条件提取|多方法融合与条件补全训练|

专题03 全等三角形判定 12 大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 用SSS证明三角形全等 题型02 全等的性质与SSS综合 题型03 用SAS证明三角形全等 题型04 全等的性质与SAS综合 题型05 用ASA证明三角形全等 题型06 全等的性质与ASA综合 题型07 用AAS证明三角形全等 题型08 全等的性质与AAS综合 题型09 用HL证明三角形全等 题型10 全等的性质与HL综合综合 题型11 添加条件使得三角形全等 题型12 全等三角形的判定综合 ▌题型01 用SSS证明三角形全等 1. SSS 判定定理：三边对应相等的两个三角形全等。 2. 找相等边常用来源： ①公共边（两个三角形共用的边天然相等）； ②线段和差：，若，则； ③已知线段相等、中点（中点分线段为两条等长线段）。 3. 书写规范：按三边对应顺序罗列条件，最后写。 4. 核心思路：凑齐三组对应相等的边。 【典例1】 （25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，已知，，是的中点，求证：． 【变式1-1】如图，已知，．求证：． 【变式1-2】（2026·云南昭通·一模）如图，已知点A、B、E、D在同一条直线上，，，． 求证：． 【变式1-3】（2026·云南保山·二模）如图，是线段的中点，，．求证：． ▌题型02 全等的性质与SSS综合 1. 先掌握 SSS 判定（同题型 01）； 2. 全等三角形性质：全等三角形对应边相等、对应角相等； 3. 解题逻辑：先用 SSS 证全等→再用全等性质求线段长度、角度大小； 4. 等量代换：利用全等得到的等角、等边，推导其他线段 / 角度关系。 【典例2】（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）已知． (1)求证：； (2)，求的度数． 【变式1-1】（2025·江苏常州·模拟预测）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)求证：． 【变式1-2】（25-26八年级上·江苏连云港·期中）已知：如图，，，点、、在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若．求的度数． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，，．    (1)求证：． (2)若，求的度数． ▌题型03 用SAS证明三角形全等 1. SAS 判定定理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（关键：角必须是两条已知边中间的夹角，对角不行）； 2. 找相等角常用来源： · 公共角、对顶角相等； · 平行线内错角 / 同位角相等； · 角平分线分两角相等； · 等角加 / 减同一个角，和差相等； 3. 易错提醒：SSA 不能判定全等。 【典例3】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，点是线段的中点，，．求证：． 【变式1-1】如图，，，．求证：． 【变式1-2】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知：如图，A、D是CF上的两点，且，，．求证：． 【变式1-3】如图，在和中，延长交于F．，，．求证：． ▌题型04 全等的性质与SAS综合 1. 熟练运用 SAS 判定（同题型 03）； 2. 全等性质：对应边、对应角相等； 3. 题型套路：给出两组边、一组夹角条件，先用 SAS 证全等，再借助全等推导边平行、线段相等、角度互余 / 互补。 【典例4】已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)试猜想、有何特殊位置关系，并证明． 【变式1-1】 （25-26七年级下·江苏淮安·期末）已知：如图，在同一直线上，． (1)求证：； (2)判断线段与满足的数量关系和位置关系，并给出证明． 【变式1-2】（25-26八年级上·四川南充·阶段检测）如图，，，，延长至点使， (1)求证：． (2)若，求． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知四边形中，，，，是中点，与相交于点，连接． (1)判断线段与关系，并说明理由； (2)若，求面积． ▌题型05 用ASA证明三角形全等 1. ASA 判定定理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（边必须在两个已知角中间）； 2. 等角获取方法：对顶角、平行线、角平分线、同角的余角 / 补角相等； 3. 夹边识别：两个角共用的那条边为夹边，优先找公共边作为夹边。 【典例5】已知：如图，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2，点D在AC边上． 求证：△AEC≌△BED． 【变式1-1】如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【变式1-2】已知：如图，点、在上，与交于点，，，．求证：． 【变式1-3】如图，在△ABC和△ADE中，∠C＝∠E，AC＝AE，∠CAD＝∠EAB． 求证：△ABC≌△ADE． ▌题型06 全等的性质与ASA综合 1. 掌握 ASA 判定规则； 2. 全等三角形性质：对应边、对应角相等； 3. 解题步骤：先找两组等角 + 一组夹边，ASA 证全等，再利用等角等边证明线段平行、线段相等、角度求值。 【典例6】如图，四边形中，对角线、交于点，，点是上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式1-1】如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，且． (1)求证：； (2)若，试求的长． 【变式1-2】（23-24八年级上·安徽·期末）如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【变式1-3】（25-26八年级上·安徽滁州·阶段检测）如图，，点D在边上，与相交于点O． (1)求证：． (2)求证：平分． (3)若，求与的周长之和． ▌题型07 用AAS证明三角形全等 1. AAS 判定定理：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等； 2. 区分 ASA 与 AAS：ASA 是两角夹边，AAS 是两角 + 非夹边； 3. 推导逻辑：三角形内角和 180°，AAS 可由 ASA 推导得出，做题二选一即可； 4. 适用场景：题目易给出两组角相等，仅有一组对边相等。 【典例7】已知：如图，在和中，点D在上，，，．求证：． 【变式1-1】如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E． 求证：△ABE≌△ACD； 【变式1-2】如图，在中，直角顶点A在直线l上，，过点B、C分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E．求证：． 【变式1-3】如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，连接BD，AE⊥AB交BD于点E，CF⊥CD交BD于点F，DE＝BF，求证：△ABE≌△CDF． ▌题型08 全等的性质与AAS综合 1. 熟练使用 AAS 判定； 2. 全等性质：对应边、对应角相等； 3. 常见考法：结合平行线、角平分线提供等角，AAS 证全等后，计算线段、证明线段等量关系。 【典例8】（25-26八年级上·山西忻州·阶段检测）如图，已知和，，，，且，A，D，E三点在一条直线上． (1)求证：． (2)求证：． 【变式1-1】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，，，，是依次排列在一条直线上的四点，，，且． (1)求证； (2)若，求的长． 【变式1-2】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）如图，是的边上一点，，交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式1-3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图所示，在中，于，于，与交于点，且． (1)求证：； (2)已知，，求的长． ▌题型09 用HL证明三角形全等 1. HL 适用范围：仅针对直角三角形； 2. HL 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等； 3. 前置条件：必须先标注两个三角形有直角（）； 4. 直角三角形也可使用 SSS/SAS/ASA/AAS，HL 是专属简便判定方法。 【典例9】如图，已知在线段上，与交于点，且，，求证：． 【变式1-1】如图，A，E，B，D在同一直线上，，，，，求证：． 【变式1-2】（23-24八年级上·陕西商洛·期末）如图，在与中，于点E，于点D，，．证明：． 【变式1-3】（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，分别是、上的点，分别是上的点，若、，求证：． ▌题型10 全等的性质与HL综合 1. HL 判定规则（仅限 Rt△）； 2. 全等三角形通用性质：对应直角边、斜边、锐角全部相等； 3. 常考模型：角平分线、垂直模型、双直角三角形，先用 HL 证全等，再求边长、角度，证明线段相等。 【典例10】（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，是的中点，，，垂足分别是、，且. 求证：． 【变式1-1】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）已知：如图，相交于点．求证： (1)； (2)． 【变式1-2】在中，于点D，点E为AD上一点，连接CE，CE＝AB，ED＝BD． （1）求证：； （2）若，则的度数为 ． 【变式1-3】（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． (1)求证：； (2)若， ，求的长． ▌题型11 添加条件使得三角形全等 1. 先梳理题干已有相等条件（已知等边、等角、公共边、公共角）； 2. 根据已有条件匹配判定定理，补充缺失条件： · 已有两边：补夹角（SAS）或第三条边（SSS），不能补对角； · 已有一边一角：补另一组角（AAS/ASA）或夹角的另一边（SAS）； · 直角三角形：已有斜边补直角边、已有直角边补斜边（HL）； 3. 注意区分 “唯一条件”“多种可行条件”，排除 SSA 这类无效条件。 【典例11】如图，点，，，在同一直线上，，，若__________，则． 请从①；②；③这个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并加以证明． 【变式1-1】如图，，请添加一个条件，使． (1)你添加的条件是______（只需添加一个条件）； (2)利用（1）中添加的条件，求证：． 【变式1-2】如图，已知点A、B、C、D在同条直线上，．用“”证明，需添加什么条件？并写出你的证明过程． 解：需要添加的条件是________________； 证明： 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）在①；②这两个条件中选一个合适的条件作为题目条件，补充在下面的横线上（填序号），并加以解答． 如图，点A、B、C、D在同一直线上，，，______． 求证：． ▌题型12 全等三角形的判定综合 1. 熟记全部 5 种判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（Rt△专用）； 2. 判定取舍技巧： · 三边齐全→SSS； · 两边一角，角在中间→SAS； · 两角一边，边夹在中间→ASA； · 两角一边，边不夹中间→AAS； · 直角三角形斜边 + 直角边→HL； 3. 几何隐藏条件快速提取：公共边、公共角、对顶角、平行线等角、中点等线段、垂直直角； 4. 综合大题思路：先推导出足够等边 / 等角，选合适判定证全等，再用全等性质解决后续求证（线段相等、平行、角度计算）。 【典例12】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，，D，E分别是上的点，交于点O，且． 求证： (1)； (2)． 【变式1-1】如图，四边形中，，，E、F分别为、的中点，连接、． (1)与相等吗？请说明理由； (2)求证：． 【变式1-2】（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，，垂足分别为，连接． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，延长至点E，过点E作，使，连接交于点D． (1)求证：； (2)若G是上一点，满足，连接，请你判断和的关系，并证明你的结论． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 全等三角形判定 12 大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 用SSS证明三角形全等 题型02 全等的性质与SSS综合 题型03 用SAS证明三角形全等 题型04 全等的性质与SAS综合 题型05 用ASA证明三角形全等 题型06 全等的性质与ASA综合 题型07 用AAS证明三角形全等 题型08 全等的性质与AAS综合 题型09 用HL证明三角形全等 题型10 全等的性质与HL综合综合 题型11 添加条件使得三角形全等 题型12 全等三角形的判定综合 ▌题型01 用SSS证明三角形全等 【典例1】 【答案】见解析 【分析】本题考查两个三角形全等，掌握三角形全等的判定定理是关键；由是的中点，可得，再结合已知条件用边边边的判定即可证明． 【详解】证明：∵是的中点， ∴， 在与中， ， ∴． 【变式1-1】 【答案】 证明：∵在和中， ∴（） 【分析】本题考查全等三角形的判定（SSS），运用了直接判定的方法，解题关键是识别公共边，找全条件证明． 【详解】略 【变式1-2】 【答案】 解：， ， 即． 在和中， ， ． 【分析】根据“”直接证明全等即可． 【详解】略 【变式1-3】 【答案】 证明：是线段的中点， ． 在和中， ，                         ． 【分析】根据中点的性质得到，再由证明三角形全等． 【详解】略 ▌题型02 全等的性质与SSS综合 【典例2】 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用定理证明两三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． 【变式1-1】 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定； （1）三边相等的两个三角形全等，由得即，与就具备了全等的条件； （2）全等三角形的对应角相等，由得到，这两个角是一组同位角，同位角相等两直线平行. 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在与中 ∴. （2）（2）证明：∵， ∴， ∴． 【变式1-2】 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据“”即可证明； （2）根据得出，据此得到． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：∵， ∴， ∴． 【变式1-3】    【答案】(1) 证明：， ， ， 在和中， ； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，再根据即可求解． 【详解】（1）略 （2）解： 由（1)可知：， ， ， ， ． ▌题型03 用SAS证明三角形全等 【典例3】 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定（SAS）．先根据线段中点的定义得到，再结合已知的和，利用SAS判定定理证明两个三角形全等． 【详解】证明：是的中点， ， 在和中， ， ． 【变式1-1】 【答案】证明： ， ，即， 在和中， ， ． 【分析】由，得到，结合已知条件，即可得证． 【详解】略 【变式1-2】 【答案】见解析 【分析】根据线段的和差求出，根据平行线的性质求出，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【变式1-3】 【答案】 证明：，， ， 在和中， ， ． 【分析】本题考查了用三角形全等的判定方法，找到对应的两边及其夹角相等是解题的关键，根据和，可得，再用的判定方法证明全等即可． 【详解】略 ▌题型04 全等的性质与SAS综合 【典例4】 【答案】(1) 证明：， ， 即， 在和中， ． (2) 解：、特殊位置关系为． 证明如下：由（1）知， ． ， ． ． 即． 、特殊位置关系为． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，两条直线的位置关系，熟练运用全等三角形的判定是解题的关键． （1）已知，，由可得，利用“”即可证明； （2）由（1）知，可得，通过角之间的等量代换，得出即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-1】 【答案】(1)证明：∵， ∴， 即． 在和中： ， ∴． (2)，且，证明如下： 由（1）得， ∴，． ∴， ∴． 综上，，且． 【分析】（1）因为已知，所以先对该等式同时减去公共线段，推导得到，结合已知的、，用全等判定定理证明． （2）和的关系，先根据全等三角形的性质得到对应边相等，直接确定数量关系；再由全等得到对应角，推导其补角，根据平行线的判定定理确定位置关系． 【详解】（1）略． （2）略． 【变式1-2】 【答案】(1) 解：∵延长至点使， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． (2)6 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、三角形中线的性质等知识点，证得是解题的关键． （1）先根据同角的补角相等可得，进而得到，再说明，然后运用即可证明结论； （2）先根据三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分可得，再根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵延长至点使， ∴， ∵， ∴． 【变式1-3】 【答案】(1) 解：，，理由如下 ，是的中点， ，， ， ，， ， ， 在和中 ； ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； (2) 【分析】此题考查是平行线的性质和全等三角形的判定， （1）先根据已知条件和中点定义证出：，然后根据平行线的性质证出：，最后利用即可证出：，根据全等三角形的性质即可得，再由角的转化可得，即可证明； （2）根据计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ∵，， ． ▌题型05 用ASA证明三角形全等 【典例5】 【答案】答案见解析 【分析】由∠1＝∠2，得到∠AEC＝∠BED，又∠A＝∠B，AE＝BE，由ASA即可证明△AEC≌△BED． 【解答】证明：∵∠1＝∠2， ∴∠AEC＝∠BED， 在△AEC和△BED中， ， ∴△AEC≌△BED（ASA）． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是由∠1＝∠2，得到∠AEC＝∠BED，由ASA即可证明问题． 【变式1-1】 【答案】答案见解析 【分析】先根据平行线的性质得到，再利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴． 在和中 ， ∴． 【变式1-2】 【答案】答案见解析 【分析】先证明，再利用“角边角”证明即可． 【详解】解：， ， ， 在和中， ． 【变式1-3】 【答案】答案见解析 【分析】根据ASA证明即可． 【详解】证明：∵∠CAD＝∠EAB， ∴∠CAD+∠DAB＝∠EAB+∠DAB， 即∠CAB＝∠EAD， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（ASA）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． ▌题型06 全等的性质与ASA综合 【典例6】 【答案】(1) 证明：， ， 即：， 在和中， ， ∴， ； (2)3 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，可得出结论； （2）根据全等三角形的性质求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ，， ． 【变式1-1】 【答案】(1) 证明：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； (2)3 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由三角形中线的定义得到，由平行线的性质得到，据此利用可证明； （2）由线段的和差关系可得的长，由全等三角形的性质可得，据此可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式1-2】 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2)6 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）平行线的性质，得到，利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质结合线段之间的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1-3】 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （）由得，进而由即可求证； （）根据全等三角形的性质得到，进而得到，即可证明平分； （3）由已知可得，由全等三角形的性质得，，又由三角形的周长公式可得与的周长之和，代入计算即可求解. 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）证明：， ， ， ， 平分； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴与的周长之和 ． ▌题型07 用AAS证明三角形全等 【典例7】 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据，得到，利用，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即：， 在和中， ， ∴． 【变式1-1】 【答案】见解析 【分析】利用“AAS”可证明△ABE≌△ACD； 【解答】证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠AEB＝∠ADC＝90°， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（AAS）； 【点睛】本题考查全等三角形的判定，平行线的性质，垂直的定义，关键是掌握全等三角形的判定方法． 【变式1-2】 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，等腰直角三角形,熟练掌握一线三垂直模型是解题的关键．根据已知易得：，再利用垂直定义可得，从而可得，然后利用同角的余角相等可得，从而利用证明，即可解答． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 【变式1-3】 【答案】见解析 【分析】根据AAS证明△ABE≌△CDF． 【解答】证明：∵BF＝DE， ∴BF+EF＝DE+EF，即BE＝DF， ∵AE⊥AB，CF⊥CD， ∴∠BAE＝∠DCF＝90°， 又∵AB∥CD ∴∠ABD＝∠CDB 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF（AAS）． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． ▌题型08 全等的性质与AAS综合 【典例8】 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质的应用． （1）要证明，需根据已知条件，结合全等三角形的判定定理来证明； （2）要证明，可利用全等三角形的性质得到对应边相等，再通过线段的等量代换得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴. （2）证明∵， ∴，， ∵， ∴. 【变式1-1】 【答案】(1) 证明：如图，延长交于点， ∵，， ∴，， ∴ ∵， ∴； (2)4 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，全等三角形的判定与性质． （1）先由平行得到，再由即可证明； （2）可得，由得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 【变式1-2】 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴； (2) 【分析】（）由平行线的性质得，进而由判定定理“”即可求证； （）由全等三角形的性质得，进而由线段的和差关系即可求解； 本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴ ∵， ∴． 【变式1-3】 【答案】(1) 证明：∵于，于， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2)2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解答此题的关键． （1）由同角的余角相等得出，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． ▌题型09 用HL证明三角形全等 【典例9】 【答案】 【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由推出，利用进行判定． 【详解】证明：， ，即， ， ， 与都为直角三角形， 在和中， ． 【变式1-1】 【答案】见解析 【分析】利用证明即可． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， 即． 【变式1-2】 【答案】 证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】本题考查全等三角形判定．根据题意利用判定即可得到本题答案． 【详解】略 【变式1-3】 【答案】见详解. 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．利用“”证明全等即可． 【详解】证明：∵AM⊥CE、AN⊥BD， 在和中， ， ▌题型10 全等的性质与HL综合 【典例10】 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，中点定义，垂线定义，由垂直定义可得，又是的中点，所以，然后通过“”证明全等即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式1-1】 【答案】(1) 证明： ， 和是直角三角形， 在和中， ， ； (2) 证明：在和中， ， ， ． 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，熟记直角三角形全等的判定定理、三角形全等的判定定理是解决问题的关键． （1）由两个直角三角形全等的判定定理求证即可得到答案； （2）由两个三角形全等的判定定理得到，再由全等三角形性质即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-2】 【答案】 （1）证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠CDE＝90°， 在与中， ， ∴； （2） 【分析】（1）由HL证明即可； （2）由全等三角形的性质，即可得出答案． 【详解】解：（1）略 （2）∵， ∴AD＝CD， ∴是等腰直角三角形， ∴∠ACD＝45°， ∴∠ECD＝∠ACD﹣∠ACE＝45°﹣22°＝23°， ∴∠CED＝90°﹣23°＝67°， ∴∠B＝∠CED＝67°． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定、几何图形中角度的计算、等腰直角三角形的性质；关键在于熟练掌握证明三角形全的方式方法、运用等腰直角三角形的性质． 【变式1-3】 【答案】(1)证明：， ， ， ， 在和中， ， ； (2)3 【分析】（1）根据，得，即可证明； （2）根据全等三角形的性质及线段的和差即可求得的长． 【详解】（1）略 （2）解： ， ， ， ， ， ， ， ， ． ▌题型11 添加条件使得三角形全等 【典例11】 【答案】或；证明见解析 【分析】根据平行线的性质可得，再已知，故再确定一对等角证明三角形全等，或者一对等边根据证明即可，注意不可以证明全等． 【详解】解：方法一：选择作为条件； 证明：， ． ， ，即． 在和中， ， ， ． 方法二：选择作为条件； 证明：， ， 在和中， ， ， ． 【变式1-1】 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的两锐角互余，三角形的内角和定理，垂直的定义．解题的关键是正确寻找判定三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题． （1）由题意得到，推出，，再根据判定定理得添加一个条件为，即可使； （2）根据三角形全等的判定定理证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， 由得添加一个条件为， 故答案为：（答案不唯一）； （2）证明：， ， ， 即， 在和中， ， ． 【变式1-2】 【答案】，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，解题的关键是能正确理解所需条件． 先求出，，再根据定理推出即可． 【详解】解：条件是， 证明：， ， ， ，， ， 在和中 故答案为：． 【变式1-3】 【答案】②，证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定与性质等知识点，掌握全等三角形的判定方法成为解题的关键．选择①不能证明舍去；选择②，利用证明可得，然后根据平行线的判定定理即可证明结论． 【详解】证明：选条件①， ∵， ， ， ∵， 不能判定， ∴不符合题意，舍去， 选条件②， ∵， ， ， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ▌题型12 全等三角形的判定综合 【典例12】 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）利用“边角边”即可证明； （2）由全等三角形的性质推得，即可通过“角角边”证明，再由全等三角形的性质即可证明． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， 在和中， ， ， ． 【变式1-1】 【答案】(1)与相等，理由见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，以及线段中点定义， （1）在和 中，利用即可证明，则； （2）根据题意得 ， ，则，结合（1）得，即可证明，有． 【详解】（1）解：与相等， 理由如下：连接， 在和 中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵点E与F分别是、的中点， ∴ ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式1-2】 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2)10 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂线的定义可得，由同角的余角相等可得，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，再结合四边形的面积计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即四边形的面积为10． 【变式1-3】 【答案】(1) 证明：，， ， 在和中， ， ， ； (2) ，证明如下： ∵， ∴， ∵， ，即， 在和中， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过角和边的关系证明全等三角形． （1）利用垂直得直角，结合对顶角和，证明，得； （2）证明，得． 【详解】（1）略 （2）略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 全等三角形判定 12 大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 用SSS证明三角形全等 题型02 全等的性质与SSS综合 题型03 用SAS证明三角形全等 题型04 全等的性质与SAS综合 题型05 用ASA证明三角形全等 题型06 全等的性质与ASA综合 题型07 用AAS证明三角形全等 题型08 全等的性质与AAS综合 题型09 用HL证明三角形全等 题型10 全等的性质与HL综合综合 题型11 添加条件使得三角形全等 题型12 全等三角形的判定综合 ▌题型01 用SSS证明三角形全等 1. SSS 判定定理：三边对应相等的两个三角形全等。 2. 找相等边常用来源： ①公共边（两个三角形共用的边天然相等）； ②线段和差：，若，则； ③已知线段相等、中点（中点分线段为两条等长线段）。 3. 书写规范：按三边对应顺序罗列条件，最后写。 4. 核心思路：凑齐三组对应相等的边。 【典例1】 （25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，已知，，是的中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查两个三角形全等，掌握三角形全等的判定定理是关键；由是的中点，可得，再结合已知条件用边边边的判定即可证明． 【详解】证明：∵是的中点， ∴， 在与中， ， ∴． 【变式1-1】如图，已知，．求证：． 【答案】 证明：∵在和中， ∴（） 【分析】本题考查全等三角形的判定（SSS），运用了直接判定的方法，解题关键是识别公共边，找全条件证明． 【详解】略 【变式1-2】（2026·云南昭通·一模）如图，已知点A、B、E、D在同一条直线上，，，． 求证：． 【答案】 解：， ， 即． 在和中， ， ． 【分析】根据“”直接证明全等即可． 【详解】略 【变式1-3】（2026·云南保山·二模）如图，是线段的中点，，．求证：． 【答案】 证明：是线段的中点， ． 在和中， ，                         ． 【分析】根据中点的性质得到，再由证明三角形全等． 【详解】略 ▌题型02 全等的性质与SSS综合 1. 先掌握 SSS 判定（同题型 01）； 2. 全等三角形性质：全等三角形对应边相等、对应角相等； 3. 解题逻辑：先用 SSS 证全等→再用全等性质求线段长度、角度大小； 4. 等量代换：利用全等得到的等角、等边，推导其他线段 / 角度关系。 【典例2】（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）已知． (1)求证：； (2)，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用定理证明两三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． 【变式1-1】（2025·江苏常州·模拟预测）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定； （1）三边相等的两个三角形全等，由得即，与就具备了全等的条件； （2）全等三角形的对应角相等，由得到，这两个角是一组同位角，同位角相等两直线平行. 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在与中 ∴. （2）（2）证明：∵， ∴， ∴． 【变式1-2】（25-26八年级上·江苏连云港·期中）已知：如图，，，点、、在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若．求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据“”即可证明； （2）根据得出，据此得到． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：∵， ∴， ∴． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，，．    (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：， ， ， 在和中， ； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，再根据即可求解． 【详解】（1）略 （2）解： 由（1)可知：， ， ， ， ． ▌题型03 用SAS证明三角形全等 1. SAS 判定定理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（关键：角必须是两条已知边中间的夹角，对角不行）； 2. 找相等角常用来源： · 公共角、对顶角相等； · 平行线内错角 / 同位角相等； · 角平分线分两角相等； · 等角加 / 减同一个角，和差相等； 3. 易错提醒：SSA 不能判定全等。 【典例3】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，点是线段的中点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定（SAS）．先根据线段中点的定义得到，再结合已知的和，利用SAS判定定理证明两个三角形全等． 【详解】证明：是的中点， ， 在和中， ， ． 【变式1-1】如图，，，．求证：． 【答案】证明： ， ，即， 在和中， ， ． 【分析】由，得到，结合已知条件，即可得证． 【详解】略 【变式1-2】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知：如图，A、D是CF上的两点，且，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据线段的和差求出，根据平行线的性质求出，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【变式1-3】如图，在和中，延长交于F．，，．求证：． 【答案】 证明：，， ， 在和中， ， ． 【分析】本题考查了用三角形全等的判定方法，找到对应的两边及其夹角相等是解题的关键，根据和，可得，再用的判定方法证明全等即可． 【详解】略 ▌题型04 全等的性质与SAS综合 1. 熟练运用 SAS 判定（同题型 03）； 2. 全等性质：对应边、对应角相等； 3. 题型套路：给出两组边、一组夹角条件，先用 SAS 证全等，再借助全等推导边平行、线段相等、角度互余 / 互补。 【典例4】已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)试猜想、有何特殊位置关系，并证明． 【答案】(1) 证明：， ， 即， 在和中， ． (2) 解：、特殊位置关系为． 证明如下：由（1）知， ． ， ． ． 即． 、特殊位置关系为． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，两条直线的位置关系，熟练运用全等三角形的判定是解题的关键． （1）已知，，由可得，利用“”即可证明； （2）由（1）知，可得，通过角之间的等量代换，得出即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-1】 （25-26七年级下·江苏淮安·期末）已知：如图，在同一直线上，． (1)求证：； (2)判断线段与满足的数量关系和位置关系，并给出证明． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 即． 在和中： ， ∴． (2)，且，证明如下： 由（1）得， ∴，． ∴， ∴． 综上，，且． 【分析】（1）因为已知，所以先对该等式同时减去公共线段，推导得到，结合已知的、，用全等判定定理证明． （2）和的关系，先根据全等三角形的性质得到对应边相等，直接确定数量关系；再由全等得到对应角，推导其补角，根据平行线的判定定理确定位置关系． 【详解】（1）略． （2）略． 【变式1-2】（25-26八年级上·四川南充·阶段检测）如图，，，，延长至点使， (1)求证：． (2)若，求． 【答案】(1) 解：∵延长至点使， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． (2)6 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、三角形中线的性质等知识点，证得是解题的关键． （1）先根据同角的补角相等可得，进而得到，再说明，然后运用即可证明结论； （2）先根据三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分可得，再根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵延长至点使， ∴， ∵， ∴． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知四边形中，，，，是中点，与相交于点，连接． (1)判断线段与关系，并说明理由； (2)若，求面积． 【答案】(1) 解：，，理由如下 ，是的中点， ，， ， ，， ， ， 在和中 ； ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； (2) 【分析】此题考查是平行线的性质和全等三角形的判定， （1）先根据已知条件和中点定义证出：，然后根据平行线的性质证出：，最后利用即可证出：，根据全等三角形的性质即可得，再由角的转化可得，即可证明； （2）根据计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ∵，， ． ▌题型05 用ASA证明三角形全等 1. ASA 判定定理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（边必须在两个已知角中间）； 2. 等角获取方法：对顶角、平行线、角平分线、同角的余角 / 补角相等； 3. 夹边识别：两个角共用的那条边为夹边，优先找公共边作为夹边。 【典例5】已知：如图，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2，点D在AC边上． 求证：△AEC≌△BED． 【答案】答案见解析 【分析】由∠1＝∠2，得到∠AEC＝∠BED，又∠A＝∠B，AE＝BE，由ASA即可证明△AEC≌△BED． 【解答】证明：∵∠1＝∠2， ∴∠AEC＝∠BED， 在△AEC和△BED中， ， ∴△AEC≌△BED（ASA）． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是由∠1＝∠2，得到∠AEC＝∠BED，由ASA即可证明问题． 【变式1-1】如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【答案】答案见解析 【分析】先根据平行线的性质得到，再利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴． 在和中 ， ∴． 【变式1-2】已知：如图，点、在上，与交于点，，，．求证：． 【答案】答案见解析 【分析】先证明，再利用“角边角”证明即可． 【详解】解：， ， ， 在和中， ． 【变式1-3】如图，在△ABC和△ADE中，∠C＝∠E，AC＝AE，∠CAD＝∠EAB． 求证：△ABC≌△ADE． 【答案】答案见解析 【分析】根据ASA证明即可． 【详解】证明：∵∠CAD＝∠EAB， ∴∠CAD+∠DAB＝∠EAB+∠DAB， 即∠CAB＝∠EAD， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（ASA）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． ▌题型06 全等的性质与ASA综合 1. 掌握 ASA 判定规则； 2. 全等三角形性质：对应边、对应角相等； 3. 解题步骤：先找两组等角 + 一组夹边，ASA 证全等，再利用等角等边证明线段平行、线段相等、角度求值。 【典例6】如图，四边形中，对角线、交于点，，点是上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：， ， 即：， 在和中， ， ∴， ； (2)3 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，可得出结论； （2）根据全等三角形的性质求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ，， ． 【变式1-1】如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，且． (1)求证：； (2)若，试求的长． 【答案】(1) 证明：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； (2)3 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由三角形中线的定义得到，由平行线的性质得到，据此利用可证明； （2）由线段的和差关系可得的长，由全等三角形的性质可得，据此可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式1-2】（23-24八年级上·安徽·期末）如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2)6 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）平行线的性质，得到，利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质结合线段之间的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1-3】（25-26八年级上·安徽滁州·阶段检测）如图，，点D在边上，与相交于点O． (1)求证：． (2)求证：平分． (3)若，求与的周长之和． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （）由得，进而由即可求证； （）根据全等三角形的性质得到，进而得到，即可证明平分； （3）由已知可得，由全等三角形的性质得，，又由三角形的周长公式可得与的周长之和，代入计算即可求解. 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）证明：， ， ， ， 平分； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴与的周长之和 ． ▌题型07 用AAS证明三角形全等 1. AAS 判定定理：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等； 2. 区分 ASA 与 AAS：ASA 是两角夹边，AAS 是两角 + 非夹边； 3. 推导逻辑：三角形内角和 180°，AAS 可由 ASA 推导得出，做题二选一即可； 4. 适用场景：题目易给出两组角相等，仅有一组对边相等。 【典例7】已知：如图，在和中，点D在上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据，得到，利用，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即：， 在和中， ， ∴． 【变式1-1】如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E． 求证：△ABE≌△ACD； 【答案】见解析 【分析】利用“AAS”可证明△ABE≌△ACD； 【解答】证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠AEB＝∠ADC＝90°， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（AAS）； 【点睛】本题考查全等三角形的判定，平行线的性质，垂直的定义，关键是掌握全等三角形的判定方法． 【变式1-2】如图，在中，直角顶点A在直线l上，，过点B、C分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，等腰直角三角形,熟练掌握一线三垂直模型是解题的关键．根据已知易得：，再利用垂直定义可得，从而可得，然后利用同角的余角相等可得，从而利用证明，即可解答． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 【变式1-3】如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，连接BD，AE⊥AB交BD于点E，CF⊥CD交BD于点F，DE＝BF，求证：△ABE≌△CDF． 【答案】见解析 【分析】根据AAS证明△ABE≌△CDF． 【解答】证明：∵BF＝DE， ∴BF+EF＝DE+EF，即BE＝DF， ∵AE⊥AB，CF⊥CD， ∴∠BAE＝∠DCF＝90°， 又∵AB∥CD ∴∠ABD＝∠CDB 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF（AAS）． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． ▌题型08 全等的性质与AAS综合 1. 熟练使用 AAS 判定； 2. 全等性质：对应边、对应角相等； 3. 常见考法：结合平行线、角平分线提供等角，AAS 证全等后，计算线段、证明线段等量关系。 【典例8】（25-26八年级上·山西忻州·阶段检测）如图，已知和，，，，且，A，D，E三点在一条直线上． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质的应用． （1）要证明，需根据已知条件，结合全等三角形的判定定理来证明； （2）要证明，可利用全等三角形的性质得到对应边相等，再通过线段的等量代换得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴. （2）证明∵， ∴，， ∵， ∴. 【变式1-1】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，，，，是依次排列在一条直线上的四点，，，且． (1)求证； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，延长交于点， ∵，， ∴，， ∴ ∵， ∴； (2)4 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，全等三角形的判定与性质． （1）先由平行得到，再由即可证明； （2）可得，由得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 【变式1-2】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）如图，是的边上一点，，交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴； (2) 【分析】（）由平行线的性质得，进而由判定定理“”即可求证； （）由全等三角形的性质得，进而由线段的和差关系即可求解； 本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴ ∵， ∴． 【变式1-3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图所示，在中，于，于，与交于点，且． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵于，于， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2)2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解答此题的关键． （1）由同角的余角相等得出，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． ▌题型09 用HL证明三角形全等 1. HL 适用范围：仅针对直角三角形； 2. HL 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等； 3. 前置条件：必须先标注两个三角形有直角（）； 4. 直角三角形也可使用 SSS/SAS/ASA/AAS，HL 是专属简便判定方法。 【典例9】如图，已知在线段上，与交于点，且，，求证：． 【答案】 【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由推出，利用进行判定． 【详解】证明：， ，即， ， ， 与都为直角三角形， 在和中， ． 【变式1-1】如图，A，E，B，D在同一直线上，，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】利用证明即可． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， 即． 【变式1-2】（23-24八年级上·陕西商洛·期末）如图，在与中，于点E，于点D，，．证明：． 【答案】 证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】本题考查全等三角形判定．根据题意利用判定即可得到本题答案． 【详解】略 【变式1-3】（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，分别是、上的点，分别是上的点，若、，求证：． 【答案】见详解. 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．利用“”证明全等即可． 【详解】证明：∵AM⊥CE、AN⊥BD， 在和中， ， ▌题型10 全等的性质与HL综合 1. HL 判定规则（仅限 Rt△）； 2. 全等三角形通用性质：对应直角边、斜边、锐角全部相等； 3. 常考模型：角平分线、垂直模型、双直角三角形，先用 HL 证全等，再求边长、角度，证明线段相等。 【典例10】（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，是的中点，，，垂足分别是、，且. 求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，中点定义，垂线定义，由垂直定义可得，又是的中点，所以，然后通过“”证明全等即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式1-1】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）已知：如图，相交于点．求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明： ， 和是直角三角形， 在和中， ， ； (2) 证明：在和中， ， ， ． 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，熟记直角三角形全等的判定定理、三角形全等的判定定理是解决问题的关键． （1）由两个直角三角形全等的判定定理求证即可得到答案； （2）由两个三角形全等的判定定理得到，再由全等三角形性质即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-2】在中，于点D，点E为AD上一点，连接CE，CE＝AB，ED＝BD． （1）求证：； （2）若，则的度数为 ． 【答案】 （1）证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠CDE＝90°， 在与中， ， ∴； （2） 【分析】（1）由HL证明即可； （2）由全等三角形的性质，即可得出答案． 【详解】解：（1）略 （2）∵， ∴AD＝CD， ∴是等腰直角三角形， ∴∠ACD＝45°， ∴∠ECD＝∠ACD﹣∠ACE＝45°﹣22°＝23°， ∴∠CED＝90°﹣23°＝67°， ∴∠B＝∠CED＝67°． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定、几何图形中角度的计算、等腰直角三角形的性质；关键在于熟练掌握证明三角形全的方式方法、运用等腰直角三角形的性质． 【变式1-3】（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． (1)求证：； (2)若， ，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ， ， 在和中， ， ； (2)3 【分析】（1）根据，得，即可证明； （2）根据全等三角形的性质及线段的和差即可求得的长． 【详解】（1）略 （2）解： ， ， ， ， ， ， ， ， ． ▌题型11 添加条件使得三角形全等 1. 先梳理题干已有相等条件（已知等边、等角、公共边、公共角）； 2. 根据已有条件匹配判定定理，补充缺失条件： · 已有两边：补夹角（SAS）或第三条边（SSS），不能补对角； · 已有一边一角：补另一组角（AAS/ASA）或夹角的另一边（SAS）； · 直角三角形：已有斜边补直角边、已有直角边补斜边（HL）； 3. 注意区分 “唯一条件”“多种可行条件”，排除 SSA 这类无效条件。 【典例11】如图，点，，，在同一直线上，，，若__________，则． 请从①；②；③这个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并加以证明． 【答案】或；证明见解析 【分析】根据平行线的性质可得，再已知，故再确定一对等角证明三角形全等，或者一对等边根据证明即可，注意不可以证明全等． 【详解】解：方法一：选择作为条件； 证明：， ． ， ，即． 在和中， ， ， ． 方法二：选择作为条件； 证明：， ， 在和中， ， ， ． 【变式1-1】如图，，请添加一个条件，使． (1)你添加的条件是______（只需添加一个条件）； (2)利用（1）中添加的条件，求证：． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的两锐角互余，三角形的内角和定理，垂直的定义．解题的关键是正确寻找判定三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题． （1）由题意得到，推出，，再根据判定定理得添加一个条件为，即可使； （2）根据三角形全等的判定定理证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， 由得添加一个条件为， 故答案为：（答案不唯一）； （2）证明：， ， ， 即， 在和中， ， ． 【变式1-2】如图，已知点A、B、C、D在同条直线上，．用“”证明，需添加什么条件？并写出你的证明过程． 解：需要添加的条件是________________； 证明： 【答案】，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，解题的关键是能正确理解所需条件． 先求出，，再根据定理推出即可． 【详解】解：条件是， 证明：， ， ， ，， ， 在和中 故答案为：． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）在①；②这两个条件中选一个合适的条件作为题目条件，补充在下面的横线上（填序号），并加以解答． 如图，点A、B、C、D在同一直线上，，，______． 求证：． 【答案】②，证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定与性质等知识点，掌握全等三角形的判定方法成为解题的关键．选择①不能证明舍去；选择②，利用证明可得，然后根据平行线的判定定理即可证明结论． 【详解】证明：选条件①， ∵， ， ， ∵， 不能判定， ∴不符合题意，舍去， 选条件②， ∵， ， ， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ▌题型12 全等三角形的判定综合 1. 熟记全部 5 种判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（Rt△专用）； 2. 判定取舍技巧： · 三边齐全→SSS； · 两边一角，角在中间→SAS； · 两角一边，边夹在中间→ASA； · 两角一边，边不夹中间→AAS； · 直角三角形斜边 + 直角边→HL； 3. 几何隐藏条件快速提取：公共边、公共角、对顶角、平行线等角、中点等线段、垂直直角； 4. 综合大题思路：先推导出足够等边 / 等角，选合适判定证全等，再用全等性质解决后续求证（线段相等、平行、角度计算）。 【典例12】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，，D，E分别是上的点，交于点O，且． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）利用“边角边”即可证明； （2）由全等三角形的性质推得，即可通过“角角边”证明，再由全等三角形的性质即可证明． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， 在和中， ， ， ． 【变式1-1】如图，四边形中，，，E、F分别为、的中点，连接、． (1)与相等吗？请说明理由； (2)求证：． 【答案】(1)与相等，理由见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，以及线段中点定义， （1）在和 中，利用即可证明，则； （2）根据题意得 ， ，则，结合（1）得，即可证明，有． 【详解】（1）解：与相等， 理由如下：连接， 在和 中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵点E与F分别是、的中点， ∴ ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式1-2】（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，，垂足分别为，连接． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2)10 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂线的定义可得，由同角的余角相等可得，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，再结合四边形的面积计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即四边形的面积为10． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，延长至点E，过点E作，使，连接交于点D． (1)求证：； (2)若G是上一点，满足，连接，请你判断和的关系，并证明你的结论． 【答案】(1) 证明：，， ， 在和中， ， ， ； (2) ，证明如下： ∵， ∴， ∵， ，即， 在和中， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过角和边的关系证明全等三角形． （1）利用垂直得直角，结合对顶角和，证明，得； （2）证明，得． 【详解】（1）略 （2）略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $