专题3.4 一元二次方程根与系数的关系（5大题型+高效培优讲义）数学新教材湘教版九年级上册

本讲义聚焦一元二次方程根与系数的关系这一核心知识点，在学生已掌握方程解法的基础上，系统梳理两根之和x₁+x₂=-b/a、两根之积x₁x₂=c/a（a≠0，Δ≥0）的关系及应用，构建从原理探索到验根、求参数等多维度的学习支架。 该资料通过观察实践活动引导学生发现规律，培养抽象能力与推理意识，结合矩形边长、菱形面积等实际问题设计题型，渗透模型意识。典例与变式分层呈现，课中助力教师系统授课，课后通过多样化练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题3.5一元二次方程根与系数的关系 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01一元二次方程的根与系数的关系 2.知识清单 知识点02一元二次方程的根与系数的关系的应用 题型01利用一元二次方程根与系数的关系求值 元二次方程根与 题型02通过化简、变形利用一元二 次方程根与系数的关系求值 系数的关系 3.题型精讲 题型03利用一元二次方程根与系数的关系求参数 题型04利用一元二次方程根与系数的关系分 析、判断命题真假 题型05与一元二次方程根与系数有关的解答证明题 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系，及其 教学目标 此关系的运用。 2通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程。 1.重点：观察数字系数的一元二次方程的两个根之和，及两个根之积与原方程系数之 教学重难点 间的关系 2难点：对一元二次方程的根与系数这一性质进行应用。 知识清单 知识点01一元二次方程的根与系数的关系 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如果一元二次方程m+br+C=0(a≠0)的两个实数根是x,Y,那么 a a 注意它的使用条件为≠0,4≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程 的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 【即学即练】1.若，x2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，则x+x-x2的值是() A.-11 B.11 C.1 D.-1 2.已知方程x2+3x=2,则下列说法正确的是() A.方程的两根之和是3 B.方程的两根之和是-3 C.方程的两根之积是2 D.方程的两根之差是-2 3.已知m,n是一元二次方程x2+2x-5=0的两个根，则m2+2m+mn=_ 知识点02一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根.不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根： (2)己知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数： (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值.此时，常常涉及代数式的一些重要变 1+1=￥+ 形：如：①+米=(G+)-2x西，②5书·书：③2+x为=6（年+x): 飞+生=+x出+)-2 ④龙七5x Xx2 :同-x)=(g+)尸-45； ©G+x,+)=x,+k+)+:O-x=VG-x)=VG+)-4红x,； 1+1=+x=+为)-2x西 ⑧xx (￥x2) :⑨5-=yG-)=G+x)-4x； @+=V+x)=V++2xx=G+x)2-2xx,+2x·x (4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数x2为根的一元二次方程是 x2-(x1+x2)x+xx2=0 (⑤)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围： (6)利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程w+br+c=0(a≠0)的两根为：、七，则 2/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 O当△≥0且X七>0时，两根同号. 当△≥0且>0，+x>0时， 两根同为正数： 当△≥0且x,>0,￥+x<0时，两根同为负数. ②当△>0且<0时，两根异号. 当△>0且<0，x+x>0时，两根异号且正根的绝对值较大： 当△>0且YX,<0,X+x,<0时，两根异号且负根的绝对值较大. 要点： (1)利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的△.一些考试中，往往利 用这一点设置陷阱： (2)若有理系数一元二次方程有一根a+V历，则必有一根a-历(a,b为有理数). 【即学即练】4.已知矩形的两条邻边长是方程x2-10x+24=0的两个根，则矩形的周长是() A.10 B.12 C.20 D.24 5.菱形的两条对角线的长是方程x2-7x+6=0的两根，则菱形的面积是 6.已知矩形的两条边长分别是一元二次方程2x2-4x+1=0的两个根，则该矩形的对角线长为 题型精讲 题型01利用一元二次方程根与系数的关系求值 【典例1】(25-26八年级下·吉林长春期末)若，七2是方程x2-2x-5=0的两个根，则3x+3x的值为 () A.6 B.-6 C.15 D.-15 【变式1】(25-26八年级下·广西贺州期末)已知方程2x2-5x+1=0的两根分别为x,x,则x+的值为 () A.2 B.2 C. D.-2 【变式2】(25-26八年级下·福建泉州期末)已知，x2是方程x2-3x-8=0的两个根，则xx2+x+x2= 3/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】(25-26八年级下·云南昆明期末)已知m,n(m≠n)是一元二次方程x2-x-2026=0的两个实 数根，则代数式m+n+mn的值为 题型02通过化简、变形利用一元二次方程根与系数的关系求值 【典例1】(25-26八年级下·浙江宁波期末)设，2是一元二次方程3x2+2x-1=0的两个根，则代数 1.1 式x:的值为() 2 c.3 2 A.2 B.2 D.-3 【变式1】(25-26八年级下·山东烟台期末)若x,x2是一元二次方程x2-2x-2026=0的两个实数根，则 -x+x2的值是() A.2024 B.2026 C.2028 D.4052 【变式2】(25-26八年级下山东烟台期末)已知实数m、n满足m2-5m=1,n2-5n=1,m≠n,则 1 mn的值为 【变式3】(25-26八年级下·浙江台州期末)若a,B是方程x2+2x-6=0的两个实数根，则a2+3a+B 的值为 题型03利用一元二次方程根与系数的关系求参数 【典例1】(25-26八年级下·福建福州·期末)若关于x的一元二次方程x2-6x+m=0两根为，x2,且 x=2x2,则m的值为（) A.10 B.8 C.6 D.4 【变式1】（25-26九年级下山东烟台期末)若关于x的一元二次方程2+(k-2x+ 4=0的两根互为倒 数，则k的值为() A.-2 B.2 C.2或-2 D.1 【变式2】(25-26八年级下陕西西安·期末)已知x,分别是关于x的方程2x2-+3=0的两个根，且 满足+三4，则k的值为 4/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】(25-26八年级下·北京·期末)已知x,x2是关于x的方程x2+4x+m=0的两个根，满足 (x-1(化-1)=2，则m的值是 题型04利用一元二次方程根与系数的关系分析、判断命题真假 【典例1】(2026河北邯郸模拟预测)已知x,x为关于x的一元二次方程x2-4x-k=0的实数根，嘉 嘉，淇淇两人作出了如下判断.嘉嘉：当k=-3时，≠x2;淇淇：当x=x2+2时，k<0. 则关于两人的判断说法正确的是() A.嘉嘉正确，淇淇错误 B.嘉嘉错误，淇淇正确 C.嘉嘉、淇淇都正确 D.嘉嘉、淇淇都错误 【变式1】(2024浙江模拟预测)已知二次函数y=x2+1,点A(m,k)在其第一象限的图象上，点 B(n,k+)在其第二象限图象上，则关于x的一元二次方程mx2+x+k=0的两根，X,判断正确的是 () A.x1+x2>0.x·x2>0 B.+x2>1,Xx2>0 C.0<x+x2<1.xx2>0 D.+x2与·x2的符号都不确定 【变式2】(25-26九年级上江苏无锡期中)定义：已知x,2是关于x的一元二次方程 a2+b加+c=0(a≠0)的两个实数根，若5<5<0：且3<克<4，则称这个方程为“特根方程”.现有以 下三个结论： ①方程x2+9x+14=0是“特根方程”： ②若关于x的一元二次方程2x+(k+7)x+k2+3=0是“特根方程”，且方程的两根x、x满足 x+2+xx2=-1,则k的值为2或-1： ③若关于x的一元二次方程x+(2-m)x-2m=0是“特根方程”，则m有且只有一个整数解。 这三个结论中判断正确的是() A.① B.①② C.①③ D.①②③ 【变式3】(23-24九年级上山东滨州期末)关于方程x-7x+16=0有如下判断：(1)该方程无实数根： (2)该方程的两根之和是7；(3)该方程的两根之积是16，以上三个判断中正确的有一个。 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型05与一元二次方程根与系数有关的解答证明题 【典例1】(25-26八年级下江苏扬州期末)已知关于x的一元二次方程x2-2x-m2=0. ()求证：方程总有两个不相等的实数根： (②)若方程的两个实数根分别为a,B,且a+2B=5,求m的值. 【变式1】(25-26八年级下北京房山期末)已知关于x的一元二次方程r2-(m+2)x+2m=0 (1)求证：该方程总有两个实数根： (2)若该方程的两个实数根互为相反数，求m的值， 【变式2】(25-26八年级下浙江金华期中)已知关于x的方程x2-(k+4)x+2k+4=0. (1)求证：该方程总有两个实数根： (②)记该方程的两个实数根为，2，求代数式(：-2(：，-2) 【变式3】(25-26八年级下河北张家口期末)已知关于x的方程(x-1(x-2)=m2 (1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根： (2)若，x2是方程的两根， ①当x=-1时，求的值； ②直接写出代数式(：-1)1-x)的最小值， 强化训练 基础自测 一、单选题 1.若一元二次方程x2-2x-1=0的两个实数根为X,x2,则x的值为() A.1 B.-1 C.-2 D.2 2.已知关于x的一元二次方程x2+5x-m=0的一个根是-6，则另一个根是() A.-2 B.2 C.-1 D.1 3.若一元二次方程x2=2x+3,X1,x2是它的两个不相等的实数根，则x+x的值为() A.8 B.√13 C.9 D.10 6/10 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.已知实数a,b满足a2=2a+5,b2=2b+5,且a≠b,则下列说法正确的是() A.a+b=-2 B.ab=5 b,a14 C.a2+b=6 D.a+6-5 5.关于x的一元二次方程x+px+9=0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y+少y+p=0也 有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是( A.p是正数，q是负数 B.(p-2)}+(g-2)<8 C.q是正数，P是负数 D.（p-2)+(q-2)>8 二、填空题 6.关于x的一元二次方程2x2+x-4=0的一个根x=-2,则另一个根x2= 7.关于x的一元二次方程x2-mx-3=0有两根，其中一根为x=-1,则两根之和为 8.若两个不等实数m、n满足条件：m2-2m-3=0,n2-2n-3=0,则mn的值是 9.若a,B是方程x2+2x-2025=0的两个实数根，则代数式2a2+6a+2f+5的值为 10.若x,x,是关于x的方程x2+(2k+3)x+k2=0的两实数根，且满足玉石 1+上=-1，则k的值为一 三、解答题 11.已知，x2是方程2x2+5x-4=0的两个根，求下列代数式的值. 1,1 x+方： 2)x2+x2. 12.已知一元二次方程x2+bx+1=0. (1)当b=2时，求方程的根。 (2)若b=3,X1,2是该方程的两根，求x2--x2的值 13.己知关于x的一元二次方程x-(2k-3)x+2-2=0有实数根. (1)求k的取值范围. (2)若方程的两个实数根为x,x,且x2+x=3,求k的值. A.【同读材料】若关于x的一元二次方程ar+低+c=0口≠0)的两根为x:,则气+号= a 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 xx,=c a 这就是一元二次方程根与系数的关系，根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： 【材料理解】一元二次方程2x2-5x-1=0的两根为X1,x,则x+x=一，x=一-： 【类比运用】已知关于x的一元二次方程x2-(m+2)x+2m=0, (1)求证：不论为何值，该方程总有两个实数根： (2)若该方程的两个实数根1，x2满足x3-x-七，=13，求m的值。 15.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，那么称这 样的方程为“二倍根方程”.例如，方程x2-3x+2=0的两个根是1和2，则这个方程就是“二倍根方 程”. (1)下列方程是“二倍根方程”的有一一一一；（填序号即可） ①x2+6x+8=0:②x2-2x=0:③x2+3x-18=0. (2)如果关于x的方程x2-9x+c=0是“二倍根方程”，求C的值： 如果点(，4)在反比例函数y的图象上，那么关于的方程2一3x+g=0是“二倍根方程”吗 说明理由. (4)如果关于x的一元二次方程ar2+bx+c=0(a≠0)是“二倍根方程”，试探究a、b、c应满足的数量关 系 能力提升 一、单选题 11 1,(25-26八年级下山东青岛期末)若。'B是一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根，则。十B的值为 1 B.3 B.3 D.3 2.(2024广东清远二模)若关于x的一元二次方程x2-mx+27=0两根为X、为，且×，=3x2,则m的 值为() 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.12 B.9 C.±12 D.9 3.(25-26八年级下江苏苏州期末)若关于x的一元二次方程x2+mx-3=0的一个实数根为1，则另一实 数根为() A.-4 B.-3 C.2 D.3 4.(25-26九年级上四川南充阶段检测)已知实数a、b是方程x2-2x-1=0的两个根，则a+a+6b的 值是() A.14 B.-14 C.172 D.10 5.(25-26八年级下·江苏宿迁期末)若x,2是方程x2+2x-5=0的两个根，则2xx2+2x2的值为 () A.-9 B.-1 C.1 D.0 二、填空题 6.(25-26八年级下·安徽合肥期中)已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2-6x+8=0的 两根，则这个三角形的斜边长一· 7.(2026山东烟台一模)设x,x是方程x2+3x-2026=0的两个实数根，则+2x-,+3的值为一， 8.(25-26八年级下山东烟台期末)若a,b是方程x2+2x-2028=0的两个实数根，则a2+3a+b的值为 9.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨期末)设x,x2是关于x的一元二次方程x2-x-20=0的两个实数根， 则x2+xx的值为 10.(25-26八年级下·浙江杭州期末)已知关于x的一元二次方程x+bx+1=0有两个不相等的实数根m 和n,且m2+n2=6,则b=一 三、解答题 11.(25-26八年级下·安徽蚌埠期末)若关于x的一元二次方程x-2(k+)x+k2+2=0有两个不相等的 实数根. (1)求k的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为a,B,且(a+1(B+1)=13,求k的值. 12.(25-26八年级下安徽宣城期末)已知关于x的一元二次方程2+(m-3)x+m-5=0, (1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根： 9/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若方程有两个实数根x,x2,且x+七3+2xx2=3,求m值 13.(25-26八年级下·山东青岛期末)已知关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个不相等的实数 根，x2. (1)求m的取值范围； (2)若x-(6+x)=m2-15,求m的值. 14.(25-26八年级下·吉林长春期末)在复习一元二次方程r2+br+c=0(a≠0)时，旺仔同学总结了三 个知识点： 知识点一：根的判别式△=b2-4ac； 知识点二：求根公式x=-b±V公 2a 知识点三：若一元二次方程的两个实数根为5，店，则+书=么西=二 a 根据以上知识点完成下列问题： (1)若一元二次方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围： (2)若一元二次方程x2-2x-1=0的两个实数根为，x2, ①计算x+x2=_,x2=_； ②求(：-1(x2-1)的值： (3)若一元二次方程x-2x+k+1=0的两个实数根为x’5,且x五 ⊥+1=k-1,直接写出k的值. 15.(25-26八年级下安徽毫州期末)若关于x的一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的两根为x2,则 与+名=合西分这就是一元二次方程根与系数的关系。 (1)一元二次方程2x2-5x-1=0的两根为x2,则x+x=一xx2=-: (2②已知关于x的一元二次方程2-(2k+1)x+k2-2=0. ①求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根： ②若方程的两个实数根为、名，满足x+x=2x+5,求k的值. 10110 专题3.5 一元二次方程根与系数的关系 教学目标 1.在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系，及其此关系的运用。 2.通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程。 教学重难点 1.重点：观察数字系数的一元二次方程的两个根之和，及两个根之积与原方程系数之间的关系 2.难点：对一元二次方程的根与系数这一性质进行应用。 知识点01 一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 【即学即练】1．若，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A． B．11 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，，，， ∴，， ∴． 2．已知方程，则下列说法正确的是（     ） A．方程的两根之和是3 B．方程的两根之和是 C．方程的两根之积是2 D．方程的两根之差是 【答案】B 【分析】一元二次方程的两个根，，则满足，． 【详解】解： 原方程为 ，移项整理得一般形式： ． 其中 ， ，， ∴ ，即方程有两个实数根， ∴两根之和为，两根之积为， 解方程得，， 故：，， 对比选项，只有B说法正确． 3．已知是一元二次方程的两个根，则________． 【答案】0 【分析】根据一元二次方程解的定义和一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：已知是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， ∴． 知识点02 一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①；②；③； ④；⑤； ⑥；⑦； ⑧；⑨； ⑩． (4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是. (5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则 ①当△≥0且时，两根同号． 当△≥0且，时，两根同为正数； 当△≥0且，时，两根同为负数． ②当△＞0且时，两根异号． 当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大； 当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大． 要点： （1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱； （2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）． 【即学即练】4．已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 【答案】C 【分析】设矩形两条邻边长分别为，，由根与系数的关系可知，即可求解． 【详解】解：设矩形两条邻边长分别为，， ，是方程的两个根， 由根与系数的关系得． 矩形的周长为． 5．菱形的两条对角线的长是方程的两根，则菱形的面积是______． 【答案】 3 【分析】利用根与系数的关系得到菱形两条对角线的乘积，结合菱形面积公式计算结果即可． 【详解】解：设方程的两个根为，， 由根与系数的关系得：， ∵菱形的两条对角线的长是该方程的两根， ∴菱形两条对角线的乘积为， ∵菱形的面积等于对角线乘积的， ∴菱形的面积为． 6．已知矩形的两条边长分别是一元二次方程的两个根，则该矩形的对角线长为__________． 【答案】 【分析】设矩形两条边长分别为，，由题意得，是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再结合勾股定理表示出矩形对角线长，利用完全平方公式变形计算即可得到结果． 【详解】解：设矩形的两条边长分别为，． 由题意得，，是一元二次方程的两个根， ∴，． ∵矩形的对角线长为， ∴． 题型01 利用一元二次方程根与系数的关系求值 【典例1】（25-26八年级下·吉林长春·期末）若，是方程的两个根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根与系数的关系求出的值，再根据可得答案． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·广西贺州·期末）已知方程的两根分别为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，确定方程中二次项系数和一次项系数后代入公式计算即可得到结果． 【详解】对于一元二次方程 ， 若方程两根为 ， 则两根之和 ， ∵ 原方程为 ， ∴ ，， ∴ ． 【变式2】（25-26八年级下·福建泉州·期末）已知，是方程的两个根，则__________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出、，整体代入代数式求值． 【详解】解：，是方程的两个根， 则，， 故． 【变式3】（25-26八年级下·云南昆明·期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出和的值，再代入所求代数式计算即可得到结果． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得，， ∴ ． 题型02 通过化简、变形利用一元二次方程根与系数的关系求值 【典例1】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）设，是一元二次方程的两个根，则代数式的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ，． ． 【变式1】（25-26八年级下·山东烟台·期末）若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用方程根的定义降次替换二次项，化简代数式后结合韦达定理得到两根之和，整体代入算出结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知实数m、n满足，，，则的值为________________． 【答案】 【分析】由已知条件可知，，满足同一个一元二次方程，因此，可看作一元二次方程的两个不相等实数根，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求式子通分后整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：实数，满足，，且， ，是一元二次方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系可得，，， ． 【变式3】（25-26八年级下·浙江台州·期末）若，是方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】4 【分析】根据一元二次方程解的定义得到，根据根与系数的关系得到，将所求式子变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∵是方程的根，满足方程等式， ∴，即， ∴． 题型03 利用一元二次方程根与系数的关系求参数 【典例1】（25-26八年级下·福建福州·期末）若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用两根之和与已知条件先求出方程的两个根，再通过两根之积计算的值． 【详解】∵ 方程的两根为、， ∴ 根据根与系数的关系可得 ， ， ∵ ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ∴ ． 【变式1】（25-26九年级下·山东烟台·期末）若关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则k的值为（     ） A． B．2 C．2或 D．1 【答案】A 【分析】先根据两根互为倒数得到两根乘积为1，求出k的可能值，再利用判别式验证方程存在实根，舍去不符合的解得到结果． 【详解】解：设方程的两根为． ∵ 方程两根互为倒数， ∴ ． 又∵由根与系数的关系得． ∴ ，解得或． ∵ 一元二次方程有两个实数根， ∴． ∴． ∵ ，不符合要求舍去， ∴ ． 【变式2】（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知，分别是关于x的方程的两个根，且满足，则k的值为______． 【答案】 【分析】关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 【详解】解：∵，分别是关于x的方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·北京·期末）已知，是关于x的方程的两个根，满足，则m的值是________． 【答案】 【分析】将给定等式展开后代入计算得到的值，再验证方程存在两个实根，即可得到最终结果． 【详解】解：∵，是方程的两个根 ， ∴由一元二次方程根与系数的关系得 ，， ∵， ∴， ∴， 将，代入上式得， 解得， 此时方程的判别式，满足方程有两个根的条件， 因此的值为． 题型04 利用一元二次方程根与系数的关系分析、判断命题真假 【典例1】（2026·河北邯郸·模拟预测）已知，为关于的一元二次方程的实数根，嘉嘉，淇淇两人作出了如下判断．嘉嘉：当时，；淇淇：当时，． 则关于两人的判断说法正确的是（     ） A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．嘉嘉、淇淇都正确 D．嘉嘉、淇淇都错误 【答案】C 【分析】分别验证嘉嘉和淇淇的判断，验证嘉嘉时用一元二次方程根的判别式判断根的个数，验证淇淇时结合根与系数的关系和已知条件求出k，再判断结论是否成立． 【详解】解：对于一元二次方程，，， ∴ 验证嘉嘉的判断： 当时， ∴方程有两个不相等的实数根，即，嘉嘉判断正确； 验证淇淇的判断： 由根与系数的关系可得，， ∵，代入得 解得，则 ∴，解得 ∴淇淇判断正确； 综上，嘉嘉、淇淇都正确． 【变式1】（2024·浙江·模拟预测）已知二次函数，点在其第一象限的图象上，点在其第二象限图象上，则关于x的一元二次方程的两根，，判断正确的是（    ） A．， B．， C．， D．与的符号都不确定 【答案】B 【分析】本题考查的是抛物线上点的特征及一元二次方程根与系数的关系，点在其第一象限的图象上，则，，，点在其第二象限图象上，则，，，即：，则，进而求解，主要考查函数图象上点的坐标特征和求表达式等，由得到是解题的关键． 【详解】解：∵点在其第一象限的图象上，则，，， 点在其第二象限图象上，则，，， 即：，则， ∵、异号，则， 设，即：，亦即， ∴，则， ∴ ∵，，则， ∴由得，，， 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“特根方程”．现有以下三个结论： ①方程是“特根方程”； ②若关于x的一元二次方程是“特根方程”，且方程的两根、满足，则k的值为2或； ③若关于x的一元二次方程是“特根方程”，则m有且只有一个整数解． 这三个结论中判断正确的是（　　） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根据“特根方程”的定义，需满足两个实数根均负且比值在3到4之间．结论①直接计算验证；结论②通过根与系数关系求k，但需检验是否满足定义；结论③通过分析m的取值范围，确定整数解个数． 【详解】解：对于结论①：解方程得：， 满足，且，符合；∴①正确． 对于结论②：由一元二次方程可得：， 由得，解得． 当时，方程，解得，满足定义； 当时，方程，解得，则有，不满足定义，∴②错误． 对于结论③：方程，判别式， 由题意可知需且根均负，故． 解方程得（时）或（）． 比值，当时，，需，解得，无整数m； 当时，，需，解得，则有整数m仅为，∴③正确． 综上，①③正确； 故选C． 【变式3】（23-24九年级上·山东滨州·期末）关于方程有如下判断：（）该方程无实数根；（）该方程的两根之和是；（）该方程的两根之积是，以上三个判断中正确的有______个． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根和系数的关系，直接利用一元二次方程根的判别式及根和系数的关系解答即可求解，掌握一元二次方程根的判别式及根和系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴， ∴该方程无实数根， ∴不存在两根之和与两根之积， ∴只有（）正确， 故答案为：． 题型05 与一元二次方程根与系数有关的解答证明题 【典例1】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1)证明：已知一元二次方程为， 可得，，， ∴， ， ，即， 方程总有两个不相等的实数根． (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算，通过判断证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根之和，联立已知条件求出两根，再根据两根之积得到关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：方程的两个实数根为，，由根与系数的关系得：，， 又， 可得方程组， 解得， 将，代入，得，即， 解得． 【变式1】（25-26八年级下·北京房山·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根互为相反数，求的值． 【答案】(1)证明：对于一元二次方程根的判别式 展开化简得 ∵任意实数的平方为非负数 ∴，即 ∴该方程总有两个实数根． (2) 【分析】（1）通过计算一元二次方程的根的判别式，证明判别式恒大于等于，即可证明方程总有两个实数根； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和，结合互为相反数的两数和为，列方程求解即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：设方程的两个实数根为 由一元二次方程根与系数的关系可得 ∵两个实数根互为相反数 ∴，即 解得． 【变式2】（25-26八年级下·浙江金华·期中）已知关于x的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)记该方程的两个实数根为，，求代数式． 【答案】(1) 证明：由题意可得： ， ， ， ∴该方程总有两个实数根； (2) 【分析】（1）求出，即可得证； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，将所求代数式变形为，整体代入计算即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵该方程的两个实数根为，， ∴，， ∴ ． 【变式3】（25-26八年级下·河北张家口·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是方程的两根． ①当时，求m的值； ②直接写出代数式的最小值． 【答案】(1)将，整理得 ， ∴， 无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根 (2)①；②0 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）①把代入方程，即可求解；②利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①把代入方程，得， ． ②将，整理得 ∵，是方程的两根， ，， ∴， 所以代数式的最小值为0． 一、单选题 1．若一元二次方程的两个实数根为，，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴． 故选：B． 2．已知关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），熟悉韦达定理内容是解题关键．若一元二次方程有两个实数根、，则，，根据一元二次方程根与系数的关系代入数值即可求解． 【详解】解：设一元二次方程的两个根分别是，， 由韦达定理可知，， ∴． 故选：D． 3．若一元二次方程，，是它的两个不相等的实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，完全平方公式的变形运算，先把方程整理成一般式，再利用根和系数的关系可得，，最后利用完全平方公式的变形运算计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：方程整理得，， ∵，是它的两个不相等的实数根， ∴，， ∴， 故选：． 4．已知实数，满足，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数关系和完全平方公式，根据题意可以把，看做一元二次方程的两个根，再根据相关知识一一判定即可；解决此题的关键是运用转化思想，把此题，转化成一元二次方程的两个根． 【详解】解：由题意得：，可看做一元二次方程的两个根， ∴化简方程为：， 根据根与系数关系可得：，， ∴，选项A错误，不符合题意； ，选项B错误，不符合题意； ，选项C错误，不符合题意； ，选项D正确，符合题意； 故选∶D． 5．关于x的一元二次方程有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（ ） A．p是正数，q是负数 B． C．q是正数，p是负数 D． 【答案】D 【分析】设方程的两根为，方程的两根为．根据方程解的情况，结合根与系数的关系可得出，，即可判断A与C；②由方程有两个实数根结合根的判别式得出，利用不等式的性质以及完全平方公式得出，即可判断B与D． 【详解】解：方程的两根为，方程的两根为． 根据题意，得，， 故A与C都错误，不符合题意； 由方程有两个实数根，由根的判别式得出， ∴， ∴， ∴， 故选项B说法错误，不符合题意；选项D说法正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，不等式的性质，完全平方公式，逐一分析四个选项说法的正误是解题的关键． 二、填空题 6．关于x的一元二次方程的一个根，则另一个根 ． 【答案】1 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系列出关系式，把一个根代入计算即可求出所求． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 解得：， 即另一个根， 故答案为：1． 7．关于的一元二次方程有两根，其中一根为，则两根之和为 ． 【答案】2 【分析】本题考查根与系数的关系，设方程的另一个根为，根据根与系数的关系，进行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：设方程的另一个根为，则：， ∴，， 即：两根之和为2； 故答案为：2． 8．若两个不等实数、满足条件：，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，由，，得到是关于的一元二次方程的两个不等实数根，由根和系数的关系得到，理解是关于的一元二次方程的两个不等实数根是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴是关于的一元二次方程的两个不等实数根， ∴， 故答案为：． 9．若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】4051 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 将代入原方程，再结合根与系数的关系即可解决问题． 【详解】解：∵α，β是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 则 ， 故答案为：4051． 10．若是关于x的方程的两实数根，且满足，则k的值为 ． 【答案】3 【分析】根据所给一元二次方程有实数根，得出关于k的不等式，利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有两实数根，且， ∴， 解得． 又是方程的两个根， 则，， ∵， ∴， ∴， 解得，（舍去）， 故． 故答案为：3． 三、解答题 11．已知是方程的两个根，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式运算和完全平方公式的变形，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，把所给代数式经过恒等变形为含的形式后，整体代入的值是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系：如果的两个实数根是，那么，得到的值． （1）把原式通分后运算得到，然后利用整体代入法计算即可； （2）利用完全平方公式的变形得到，然后利用整体代入法计算即可． 【详解】（1）方程中，，已知有两个根， 由一元二次方程根与系数的关系得． ； （2）． 12．已知一元二次方程． (1)当时，求方程的根． (2)若，，是该方程的两根，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查解一元二次方程和根与系数的关系， 将已知值b代入，利用直接开平方法解方程即可， 将已知值b代入，结合根与系数的关系即可求得代数式的值． 【详解】（1）解：当时，方程为， 则， 解得． （2）解：若，则方程为． ∵，是该方程的两根， ∴，， ∴． 13．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围． (2)若方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元二次根的判别式和根与系数关系等知识． （1）根据关于的一元二次方程有实数根得到，即可求出的取值范围； （2）由根与系数关系和得到，解方程得到，又由（1）中求得的即可得到答案． 【详解】（1）∵关于的一元二次方程有实数根． ∴ ． （2）由题意可得，，． 解得 ∵ ． 14．【阅读材料】若关于x的一元二次方程的两根为，，则，． 这就是一元二次方程根与系数的关系，根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： 【材料理解】一元二次方程的两根为，，则________，________； 【类比运用】已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根，满足，求m的值． 【答案】[材料理解]，；[类比运用]（1）证明见解析；（2） 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． [材料理解]根据一元二次方程根与系数的关系进行计算即可； [类比运用]（1）证明即可； （2）通过一元二次方程根与系数的关系表示出两根和，以及两根乘积，然后代入解方程即可． 【详解】[材料理解]：解，∵一元二次方程的两根为，， ∴， 故答案为：，； [类比运用]（1）证明：∵， ∴， ∴不论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）∵，是一元二次方程的两根， ∴，， 又∵，∴， 解得：． 15．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，那么称这样的方程为“二倍根方程”．例如，方程的两个根是1和2，则这个方程就是“二倍根方程”． (1)下列方程是“二倍根方程”的有_______；（填序号即可） ①；②；③． (2)如果关于的方程是“二倍根方程”，求的值； (3)如果点在反比例函数的图象上，那么关于的方程是“二倍根方程”吗？请说明理由． (4)如果关于的一元二次方程是“二倍根方程”，试探究、、应满足的数量关系． 【答案】(1)① (2) (3)是，理由见解析 (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）分别解各个方程，结合“二倍根方程”的定义判断即可得解； （2）依题意可设关于的方程的两个根为，，由一元二次方程根与系数的关系可知，，求解即可； （3）由题意可得，方程变形为，求出方程的两个根，结合“二倍根方程”的定义判断即可； （4）根据“二倍根方程”的概念设一元二次方程的两个根为和，由根与系数的关系可得：，，求解即可． 【详解】（1）解：解可得：，， ∵， ∴①是“二倍根方程”； 解可得：，， ∵， ∴②不是“二倍根方程”； 解可得，， ∵， ∴③不是“二倍根方程”； （2）解：依题意可设关于的方程的两个根为，， 由一元二次方程根与系数的关系可知：，， ，； （3）解：是“二倍根方程”，理由如下： 点在反比例函数的图象上， ，             方程化为方程， 整理得， 解得，， 方程是“二倍根方程”； （4）解： 根据“二倍根方程”的概念设一元二次方程的两个根为和，       由根与系数的关系可得：，，     消去可得. ，，之间的关系是． 一、单选题 1．（25-26八年级下·山东青岛·期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再对所求代数式通分变形代入计算即可求解． 【详解】∵，是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得：，， ∴． 2．（2024·广东清远·二模）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（     ） A．12 B． C． D．9 【答案】C 【分析】先根据两根的倍数关系和两根之积求出两根，再利用两根之和求出的值． 【详解】解：对于一元二次方程，由根与系数的关系可得 ， ∵ ∴代入得，即 解得或 当时，， 当时，， ∴． 3．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）若关于的一元二次方程的一个实数根为1，则另一实数根为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设原方程的另一个实数根为，由根与系数的关系可得，据此可得答案． 【详解】解：设原方程的另一个实数根为， 由一元二次方程根与系数的关系可得， ∴， ∴原方程的另一个实数根为． 4．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（     ） A．14 B． C． D．10 【答案】A 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，是方程的两根， ∴由根与系数的关系得， ∴原式． 5．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）若是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】先对所求代数式变形，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程 的两个根， ∴，． 整理所求代数式得：， ∴原式． 二、填空题 6．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两根，则这个三角形的斜边长____． 【答案】 【分析】设直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边为，利用根与系数的关系得到与的值，再利用勾股定理结合完全平方公式的变形求出斜边长即可． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边为， ∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根， ∴，， ∴， ∵， ∴． 7．（2026·山东烟台·一模）设是方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】2032 【分析】先利用一元二次方程解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，将所求代数式变形后整体代入计算即可求解． 【详解】解：是方程的实数根， ， ， 是方程的两个实数根， 由根与系数的关系得， ． 8．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程的解得到，根据根与系数的关系得到，将所求代数式变形后整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∵，是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系得， ∴． 9．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求代数式因式分解后整体代入计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的两个实数根， 由根与系数的关系可得，， ． 10．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根和，且，则______． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程的判别式求出的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得到两根和与两根积，利用完全平方公式变形，结合已知条件得到关于的方程，检验根后求解即可． 【详解】∵关于的一元二次方程的两个不相等实数根是和， ∴，即， ∴根据根与系数的关系得：，， ∵，且 ∴，即， ∵， ∴． 三、解答题 11．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等实数根，则判别式，代入系数解不等式得到的范围； （2）先由一元二次方程根与系数关系写出两根和、两根积，展开进行代换，得到关于的一元二次方程，求出解后结合第（1）问的取值范围舍去不符合的解． 【详解】（1）解：∵该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； （2）解：由一元二次方程的根与系数的关系，得 ，． ， ， 整理，得， 解得或． 又， ． 12．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，，且，求值． 【答案】(1)证明： 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)的值为 【分析】本题考查一元二次方程实数根与的关系及实数根和方程的系数关系． （1）当时，方程有两个不相等的实数根； （2）当方程为，，，根据其关系可列方程计算值． 【详解】（1）略 （2）根据题意得， ， ， 解得， 的值为． 13．（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，代入求解即可． （2）根据根与系数的关系得出，，代入到，得出关于m的一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴，， 将，，代入， ∴，即， ∴， 解得， 由（1）知， ∴． 14．（25-26八年级下·吉林长春·期末）在复习一元二次方程时，旺仔同学总结了三个知识点： 知识点一：根的判别式； 知识点二：求根公式； 知识点三：若一元二次方程的两个实数根为，，则． 根据以上知识点完成下列问题： (1)若一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)若一元二次方程的两个实数根为， ①计算 ， ； ②求的值； (3)若一元二次方程的两个实数根为，，且，直接写出的值． 【答案】(1) (2)① ，；② (3) 【分析】（1）利用方程有两个不相等的实数根得判别式大于0，解不等式得到k的取值范围； （2）直接根据根与系数的关系得到两根和与两根积，再展开所求代数式，整体代入计算结果； （3）先由方程有两个实数根得判别式非负，再利用根与系数关系变形已知等式得到关于的方程，求解后舍去不符合条件的解得到的值． 【详解】（1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根， 判别式， 解得：， 的取值范围为； （2）解：①根据题意得：方程， 由根与系数的关系得：，， ② ； （3）解：方程有两个实数根， 判别式， 解得：， 由根与系数的关系得：、， ， ， ， 整理得：， 解得：或， ， ． 15．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）若关于x的一元二次方程的两根为，则这就是一元二次方程根与系数的关系． (1)一元二次方程的两根为，则_____ ； (2)已知关于x的一元二次方程 ①求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②若方程的两个实数根为，满足，求k的值． 【答案】(1)， (2)①证明：∵关于的一元二次方程为 ， ∴，，， ∴根的判别式， 展开化简得， 配方得， ∵无论为任何实数，总有 ， ∴， 即， ∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②或 【分析】（1）直接根据题干给出的根与系数关系代入计算即可； （2）①通过计算根的判别式，证明判别式恒大于0即可得证；②先根据根与系数关系得到两根和与两根积关于的表达式，代入已知等式求解关于的一元二次方程即可得到的值.． 【详解】（1）解：对于一元二次方程，可得，， 根据根与系数的关系得 ，； （2）①略 ②根据根与系数的关系，得 ， ∵， 代入得 ， 化简得 ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $