3.5 一元二次方程的应用教案 2026-2027学年湘教版九年级数学上册

该教案聚焦一元二次方程的应用，涵盖增长率、利润及图形面积问题。通过商场贺年卡盈利、封面设计等实际情境导入，衔接方程解法，搭建从现实问题到数学模型的学习支架。 资料特色在于以真实情境培养数学眼光，通过增长率问题列方程、利润问题取舍解、动态面积问题验根等探究，训练数学思维，方法总结构建模型体现数学语言。助力学生提升建模与问题解决能力，为教师提供结构化教学流程与实例参考。

3.5 一元二次方程的应用 第1课时 增长率问题与利润问题 【教学目标】 1.会用列一元二次方程的方法解决有关实际问题；(重点，难点) 2.进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生应用数学的意识. 【教学过程】 一、情境导入 某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？ 二、合作探究 探究点一：增长(降低)率问题 某商场今年1月份的销售额为60万元，2月份的销售额下降10%，改进经营管理后月销售额大幅度上升，到4月份销售额已达到121.5万元，求3，4月份销售额的月平均增长率. 解：设3，4月份销售额的月平均增长率为x. 根据题意，得60×(1－10%)(1＋x)2＝121.5，则(1＋x)2＝2.25， 解得x1＝0.5，x2＝－2.5(不合题意，舍去). 答：3，4月份销售额的月平均增长率为50%. 方法总结：解决平均增长率(或降低的百分数)问题的关键是明确基础量和变化后的量.如果设基础量为a，变化后的量为b，平均每年的增长率(或降低率)为x，则两年后的值为a(1±x)2.由此列出方程a(1±x)2＝b，求出所需要的量. 探究点二：经济问题 某超市将进价为40元的商品按定价50元出售时，能卖500件.已知该商品每涨价1元，销售量就会减少10件，为获得8 000元的利润，且尽量减少库存，售价应为多少？ 解：设每件商品涨价x元，根据题意，得 (50＋x－40)(500－10x)＝8 000，即x2－40x＋300＝0.解得x1＝10，x2＝30. 经检验，x1＝10，x2＝30都是原方程的解. 当x＝10时，售价为10＋50＝60(元)，销售量为500－10×10＝400(件). 当x＝30时，售价为30＋50＝80(元)，销售量为500－10×30＝200(件). ∵要尽量减少库存，∴售价应为60元. 答：售价应为60元. 方法总结：理解商品销售量与商品价格的关系是解答本题的关键，另外，不能忽视“尽量减少库存”，它是取舍答案的一个重要依据. 【板书设计】 一元二次方程的应用 第2课时 图形面积问题 【教学目标】 1.掌握列出一元二次方程解图形问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性；(重点，难点) 2.学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题. 【教学过程】 一、情境导入 要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1cm). 二、合作探究 探究点：利用一元二次方程解决图形问题 【类型一】 面积问题 要对一块长60米，宽40m的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化，设计方案如图所示，矩形P，Q为两块绿地，其余为硬化路面，P，Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD的面积的，求P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽. 解：设P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽为x米. 根据题意，得(60－3x)·(40－2x)＝60×40×，解得x1＝10，x2＝30. 检验：如果硬化路面宽为30米，则2×30＝60＞40，所以x2＝30不符合题意，舍去，故x＝10. 答：P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽为10米. 易错提醒：在应用题中，未知数的允许值往往有一定的限制，因此除了检验未知数的值是否满足所列方程外，还必须检验它在实际问题中是否有意义.在求出方程的解为10或30时，如果不进行验根，就会误以为本题有两个答案，而题目中明确有“荒地ABCD是一块长60米，宽40米的矩形”这个已知条件，显然x＝30不符合题意. 【类型二】 动点问题 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动. (1)如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？ (2)点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由. 解析：这是一道动点问题，可设出未知数，表示出PC与CQ的长，根据面积公式建立方程求解. 解：因为∠C＝90°，所以AB＝＝＝10(cm). (1)设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2，所以AP＝xcm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2xcm. 则根据题意，得·(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x＋8＝0，解这个方程，得x1＝2，x2＝4. 所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2. (2)设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半. 则根据题意，得·(6－x)·2x＝××6×8.整理，得x2－6x＋12＝0. 由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等于△ABC面积一半的时刻. 方法总结：解决动态几何问题的关键是寻找点运动的过程中变化的量与不变的量，寻找等量关系列方程.对于动点问题，常先假设出点的位置，根据面积关系列出方程，如果方程的根符合题目的要求，就说明假设成立，否则，假设不成立. 【板书设计】 利用一元二次方程解决图形问题： 0 1 学科网（北京）股份有限公司 $