专题2.4 解直角三角形的应用（7大题型+高效培优讲义）数学新教材湘教版九年级上册

本讲义聚焦解直角三角形的应用，系统梳理仰角、俯角、坡度、方向角等实际测量概念，通过概念定义、即学即练、题型分类构建学习支架，帮助学生从理解概念到建立直角三角形模型，再到运用三角函数和勾股定理解决实际问题。 资料以真实情境问题驱动，如神舟飞船发射、广州塔测量等实例，培养学生用数学眼光观察现实世界。通过构造辅助线转化非直角三角形、列方程求解复杂问题，发展数学思维中的推理与运算能力。课中教师可依托题型示例引导建模，课后学生通过分层练习查漏补缺，强化模型意识与应用意识。

专题2.4 解直角三角形的应用 教学目标 1. 掌握仰角、俯角、坡度等实际测量中的概念，能结合勾股定理和锐角三角函数，熟练进行解直角三角形的计算。 2. 学会将测量高度、距离等实际问题转化为几何图形，提炼出直角三角形模型并求解。 3. 培养数形结合与转化思想，提升将实际问题抽象为数学问题并解决的能力。 教学重难点 1.重点 （1）核心是将实际问题中的数量关系，归结为直角三角形的边角关系，建立数学模型。 （2）熟练运用锐角三角函数、勾股定理等知识，准确求解直角三角形并解决实际问题。 2.难点 （1）面对非直角三角形或复杂图形时，难以通过作高、构造辅助线等方式，转化出可解的直角三角形。 （2）不易根据实际情境选择恰当的边角关系，在复杂问题中灵活运用方程思想和转化思想解决问题。 知识点01 仰角与俯角 仰角与俯角 仰角：在竖直面内的水平线与向上递升线段之间的角度（朝上看时，视线与水平面夹角为仰角）。 俯角：在竖直面内的水平线与向下递降线段之间的角度（朝下看时，视线与水平面夹角为俯角）。也指从测量员的仪器到照准点所观测到的地平线以下的垂直角。另外，视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角也叫俯角。俯角范围0°到180°。 【即学即练】1．2025年10月31日23点44分，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　） A．千米 B．千米 C．千米 D．1米 【答案】B 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用；由题意可知，在中，即可求出结果． 【详解】解：由题意可知，在中， ； 此时火箭距海平面的高度为千米． 故选：B． 2．如图，水平地面上护林员与树根的距离，护林员的眼睛与地面距离，在此处观测到树梢点D的仰角为，则树高______m． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确地作出辅助线是解题的关键． 过作于，则，，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：如图，过作于， 则，， 在中，， ∴， ∴ 故答案为： ． 3．为了让学生进一步了解拉萨市第六中学旗杆高度，组织九年级某班学生利用综合实践课测量旗杆的高度．列珠同学站在如图所示的旗杆前的平地上点处，测得顶部的仰角为，眼睛距离地面，向旗杆前行，到达点处，测得顶部的仰角为，求旗杆高．（参考数据：，，结果精确到） 【答案】旗杆高为 【详解】由题意可得，，，，， 设，在中，， 在中，， ∵， ∴解得， ∴． 答：旗杆高为． 知识点02 坡度 坡度 1. 坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式． 2.坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系：i=h/l=tanα． 3.在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 【即学即练】4．如图，河坝横断面迎水坡的坡比为，坝高为，则坡面的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．根据坡度的概念求出，根据勾股定理求出． 【详解】解：∵河坝横断面迎水坡的坡比为，坝高为， ∴，即， 解得，， 由勾股定理得：， 故选：C． 5．如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为米，则滑梯的长度为_____米． 【答案】4 【分析】根据题意得，，，，，因此，，通过解直角三角形求出，即可． 【详解】解∶由题意得：，，，，， ∴， ∴在中，（米）， ∴米， ∴在中，（米）． 答：滑梯的长度为4米． 6．如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽米，坝高米，斜坡的坡角，斜坡的坡度，求坝底宽的长．（答案保留根号） 【答案】坝底宽的长为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用； 解直角三角形求出，根据坡度的概念求出，证明四边形是矩形，可得的长度，进而可得答案． 【详解】解：由题意得：米， ∵斜坡的坡度， ∴，即， ∴米， ∵坝高，，梯形中，， ∴ ∴四边形是矩形， ∴米， ∴坝底宽米． 知识点03 方向角 方向角 方向角的概念：是指采用某坐标轴方向作为标准方向所确定的方位角。【即学即练】7．一艘轮船在A处测得灯塔S在船的南偏东方向，轮船继续向正东航行30海里后到达B处，这时测得灯塔S在船的南偏西方向，则灯塔S离观测点A、B的距离分别是　　 A．海里、15海里 B．海里、5海里 C．海里、海里 D．海里、海里 【答案】D 【分析】过S作于C，在上截取，根据线段垂直平分线的性质得到，由等腰三角形的性质得到，求得，设，解直角三角形即可得到结果． 【详解】 过S作于C，在上截取， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，在中， ∵， ∴，， ∵海里， ∴， 解得：， ∴海里， ∴海里， ∴则灯塔S离观测点A、B的距离分别是海里、海里． 故选D． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出高线转化成解直角三角形问题是解决本题的关键． 8．如图，为了测量某条河的宽度，先在河的一岸边任选一点A，再在对岸岸边选两个点B，C，并且测得点A在点B的北偏东方向，点A在点C的北偏西方向．量得的长为，则河的宽度约为__________m．（假设河两岸笔直且平行，参考数据：） 【答案】84 【分析】本题考查了方向角的应用，等腰三角形的性质及正切的定义．过点A作，根据已知方位角利用平行线的性质得出，，得出为等腰直角三角形，设，则，利用正切的定义列出方程求解即可得出结果． 【详解】解：如图，过点A作， ∵点A在点B的北偏东方向，点A在点C的北偏西方向， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：84． 9．如图，乡镇在乡镇的正北方向，桥最北端桥墩在乡镇的西南方向，最南端桥墩在乡镇的北偏西方向处．原来从乡镇到乡镇需要经过桥，路线为折线，现在新建了桥，可直接沿直线从乡镇到达乡镇，已知桥和平行．（参考数据：，，，结果保留整数） (1)求点到直线的距离； (2)求现在从乡镇到乡镇比原来少走的路程． 【答案】(1)点到直线的距离为． (2)现在从乡镇到乡镇比原来少走的路程为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）作于点，于点，证明四边形为矩形，得到，，解直角三角形得出的长，即可； （2）解直角三角形得到的长，求出的长，由勾股定理得到的长，根据，即可． 【详解】（1）解：作于点，于点， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中， ，，， ∴， ∴ ， ∴ ． 答：点到直线的距离为． （2）解：在中，，，， ∴ ， 由（1）可得， ，， ∵ ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴现在从乡镇到乡镇比原来少走的路程为：， ． 题型01 仰角俯角问题 【典例1】（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，有一小型科学探测器在空中处探测到地平面目标，此时从探测器上看目标的俯角，探测器飞行的高度，则探测器到目标的距离约为（     ）（其中，计算结果精确到） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据俯角的定义及平行线的性质得出 ，在 中，利用正弦函数的定义 即可求出的长，最后代入近似值计算即可． 【详解】解：由题意可知，水平视线与地面平行， 在 中，，， ， ． 【变式1】（25-26八年级下·山东济南·期末）热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球与楼的水平距离为，这栋楼有多高________（结果保留根号）． 【答案】 【分析】在中，求出，在中，求出，根据即可求出楼的高度． 【详解】解：在中，，， ， 在中，，， ， 米． 【变式2】（2026·湖北武汉·一模）如图，因地形原因，湖泊两端，的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面的点处．从点测得点的俯角为，测得点的俯角为（，，三点在同一竖直平面内），则湖泊两端，的距离为____（结果精确到0.1，参考数据）． 【答案】 【分析】过点作于点，构造两个直角三角形，利用平行线的性质将俯角转化为的内角，分别在和中利用正切函数求出和的长，相加得到的表达式，最后代入参考数据计算并取近似值； 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意可知，，，，， ，， 在中，，， ， 在中，，， ， ， ， ． 【变式3】（25-26九年级下·黑龙江大庆·期末）广州塔又称广州新电视塔，昵称小蛮腰，是中国第一高塔，世界第四高塔．如图，广州塔附近有一大厦高，状状在楼底处测得塔顶的仰角为，上到大厦顶处测得塔顶的仰角为，求广州塔的高．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】广州塔的高约为 【分析】过点作于，可得四边形是矩形，得出，，再证明是等腰直角三角形，得，然后由锐角三角函数得，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于， ∴四边形是矩形， ∴，， 根据题意可知，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：． 答：广州塔的高约为． 题型02 方向角问题 【典例1】（24-25九年级上·山东烟台·期末）定向越野拉练活动是学校素质教育的一次生动实践，我区某校每年组织一次定向越野拉练活动．如图，点A为出发点，途中设置两个检查点分别为点B和点C，行进路线为，点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向，，则检查点B和C之间的距离为（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．4.5千米 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用（方向角问题），添加适当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先求出、和，然后求出、和，最后根据即可得解， 【详解】解：如图，过点作于点， ， 点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 故选：． 【变式1】（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在一笔直的海岸线上有两个观测站，在的正西方向，从观测站测得船在北偏东的方向，从观测站测得船在北偏西的方向，且船离观测站的距离为，则两个观测站之间的距离为_________________．（结果用根号表示）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，解决本题的关键是掌握构建直角三角形． 如图，过点C作于点D，从而两个直角三角形，然后在两个直角三角形中利用直角三角形的边角关系列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点C作于点D， 则，，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】（2024·山西·模拟预测）“天水麻辣烫”火了！如图，太原的小李乘坐高铁由太原南去天水吃麻辣烫时，在距离铁轨100米的B处观察他所乘坐的由太原南开往天水的“和谐号”动车．他观察到，当“和谐号”动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上．根据所学知识，该时段动车的平均速度是______米/秒． 【答案】 【分析】作于点，在中利用三角函数求得的长，在中，利用三角函数求得的长，则即可求得，进而求得速度．本题考查解直角三角形的应用方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 【详解】解：作于点． 在中，， ∴ （米），（米）， 同理，（米）． 则（米）． 则平均速度是（米秒）， 故答案为：． 【变式3】（2026·河南平顶山·三模）机器人竞走比赛（图1）是对机器人运动控制、环境适应等技术的极限测试，能推动技术迭代，还能普及科技知识，点燃大众对前沿科技的热情．如图2，在某次比赛中，机器人从点A沿北偏东方向直行至点B，然后从点B沿南偏西方向直行至点C，若点C在点A的正东方向，求A，C两点间的距离（结果精确到．参考数据：，，，）． 【答案】 【分析】过点B作交的延长线于点D，如图所示，则．依次求出、，根据即可求出答案． 【详解】解：过点B作交的延长线于点D，如图所示，则． 由题意，可知，． 在中，． ∵，， ∴． ∴． 在中，， ∴ ∴ 答：A，C两点间的距离约为． 题型03 坡度坡角问题 【典例1】（25-26九年级上·福建漳州·期末）一辆小车沿着斜坡向上行驶了50米（坡度），则此时该小车的竖直高度上升（    ） A．米 B．25米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查坡度的概念及勾股定理的应用．先根据坡度定义设出竖直高度与水平宽度，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设小车竖直高度上升了米， ∵坡度 ∴水平宽度为米， ∵小车沿斜坡行驶的距离为斜边，长度为50米， 根据勾股定理得：， 解得（舍去负根）， 即此时该小车的竖直高度上升为米． 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）某市为推动旅游产业的发展，计划将某处空地改造成风景园林区．如图为该园林区内梯形池塘的横断面示意图，，池塘斜面的坡度为（即），米，则池塘边缘点到池塘底部的距离为（   ） A．米 B．5米 C．4米 D．3米 【答案】B 【分析】本题考查了坡度问题，勾股定理． 设米，则米，根据勾股定理求出的值，即可求出的值． 【详解】解：设米， ∵， ∴米， ∵，米， ∴， 即， 解得：（负值舍去）， ∴米． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级下·浙江舟山·期末）如图，一道斜坡坡比为，，则斜坡的高度__________． 【答案】 【分析】根据坡比得到，从而求出的值． 【详解】解：斜坡坡比为， ， ， ． 【变式3】（2026·四川巴中·中考真题）“观四龛福城，赏巴河逐浪”，“光雾山杯”2026年国际划联皮划艇马拉松世界杯于5月23日在巴河之畔举行．一架无人机在巴河河堤上N点处竖直升空，当升至距地面的空中P点时，测得C点正前方的河面上两艘皮划艇A和B的俯角分别为和（点M、C、B、A在一条直线上）．已知河堤斜坡的长为，坡比为（计算结果保留整数）．（参考数据：，，，，，） (1)求无人机距河面的高度； (2)求两艘皮划艇之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得：，，则有，然后根据三角函数可进行求解； （2）由题意得：，，然后根据三角函数进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴； 答：无人机距河面的高度的长为 （2）解：由题意得：， 由（1）可知：， 在中，， 在中，， ∴； 答：两艘皮划艇之间的距离的长为． 题型04 实物建模问题 【典例1】（2026·吉林·模拟预测）图1为武术动作机器人，图2为其示意图．机器人上半身垂直于地面水平线，手臂．已知，，，则该机器人拳头（点）到地面的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图：过C作于G，解直角三角形可得，再根据线段的和差以及点到直线的距离求解即可． 【详解】解：如图：过C作于G， ∵， ∴， ∴， ∵机器人上半身垂直于地面水平线，手臂， ∴该机器人拳头（点）到地面的高度为． 【变式1】（25-26八年级下·山东济南·期末）某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，撑开的遮阳面和的长均为1.8米，的度数为，则此时“天幕”的宽度是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形、等腰三角形三线合一，灵活运用相关知识是解题的关键；根据正弦函数解直角三角形即可解答． 【详解】解：设交于点， ∵，， ∴，， 在中，， ∵， ∴. 【变式2】（2023·山东枣庄·模拟预测）人字梯为现代家庭常用的工具如图若，的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度是______．结果精确到，参考数据：约等于，约等于，约等于 【答案】 【分析】在中，根据锐角三角函数正弦定义即可求得答案． 【详解】解：，， ， ． 【变式3】（2023·江苏徐州·模拟预测）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，m，m，m，．机械臂端点到工作台的距离m． (1)求A、两点之间的距离； (2)求长． (结果精确到，参考数据：，，，，) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，过点作，交的延长线于，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题． （2）过点A作，垂足为G，根据勾股定理即可解决问题 【详解】（1）解：连接，过点作，交的延长线于， ， ． 在中，，， ，， 在中，，， 根据勾股定理，得． （2）解：过点A作，垂足为G， 则四边形为矩形，，， ∴， 在中，，， 根据勾股定理得． ． 题型05 物理实验问题 【典例1】（2026九年级下·黑龙江大庆·专题练习）如图，物理实验室的水平支架上有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从处测得，两点的俯角、分别为和，若该摆绳的长度为，过点作于点，此时点相对于点升高了多少？ 【答案】点相对于点升高了． 【分析】过点作，由题意得，，利用三角函数得出、，利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：过点作， 由题意得，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 此时点相对于点升高了． 【变式1】（2025·四川达州·模拟预测）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为为（参考数据：；） (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度； (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，求水槽左侧底部到铁杆的水平距离的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，理解题意是解题的关键； （1）由题意可求得的长，再由余弦函数定义即可求得的长； （2）由正弦函数求得；延长，交于点，则得四边形是矩形，求得，再由条件得，最后由即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解：， ， 延长，交于点， 则：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ； 答：线段的长度为． 【变式2】（2024·内蒙古·中考真题）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为． (1)求试管口B与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示） (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题关键． （1）先求出，再在中，利用余弦的定义求解即可得； （2）过点作于点，过点作于点，先解直角三角形可得的长，从而可得的长，再判断出是等腰直角三角形，从而可得的长，最后根据求解即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由题意可知，， 在中，， ∴， 答：试管口与铁杆的水平距离的长度． （2）解：如图，过点作于点，过点作于点， 则四边形和四边形都是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 答：线段的长度为． 【变式3】（2026·河南平顶山·三模）【主题】探究光折射与反射现象． 【实验工具】低功率激光灯、一块光学直角棱镜、量角器等． 【实验过程】某物理兴趣小组使用相关实验工具进行光学实验．如图，是这块光学直角棱镜的截面，所在的面为不透光的磨砂面．一束光线从 边上的点射入棱镜，折射后到达边上的点，恰有，再经过反射后，从 边上的点射出． 【实验数据】调整光线入射角度和位置，使点在同一平面内，并测量得到． 【问题解决】根据以上实验过程和测量的数据，解答下列问题． (1)如图1，调整光线入射角度和位置，使光线．若，则__________．（结果保留根号） (2)如图2，再次调整光线入射角度和位置，使，从点射出后，光线．若，求的长．（结果精确到．参考数据：，） 【答案】(1) (2)的长约为． 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质得出，，，进而勾股定理求得的长； （2）延长交于点．解求得，根据，即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ． 在中，， ． 在中，， ∴ ． （2）如图，延长交于点． ． ， ， ． ， 在中，， ． 题型06 方案设计问题 【典例1】（25-26九年级上·福建漳州·期末）文昌阁位于长泰区武安镇石岗山上，始建于唐朝，是长泰的文化地标之一．综合实践课上老师提出问题：“请你设计一个方案，测量文昌阁的高度”．某小组设计的方案是利用激光投线角度仪和皮尺等工具对塔的高度进行测量．具体操作过程是：在文昌阁底部正前方的平地上选取相距10米的A、B两个观测点．在点测得文昌阁顶部的仰角为，在点测得文昌阁顶部D的仰角为．求文昌阁的高度（结果精确到1米，）． 【答案】24米 【分析】本题考查了解直角三角形的相关应用，先理解题意，得出是等腰直角三角形，又因为在文昌阁底部正前方的平地上选取相距10米的A、B，得出米，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：∵在点测得文昌阁顶部的仰角为，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵在文昌阁底部正前方的平地上选取相距10米的A、B， ∴米， 则， ∴， ∵在点测得文昌阁顶部D的仰角为． ∴ ∵， ∴， ∴， 解得， ∴文昌阁的高度约为米． 【变式1】（2025·河南周口·模拟预测）位于郑州龙湖内环路的斜拉桥，寓意为“鼎盛中原”，也是国内首座“鼎”形斜拉桥，不论从东西南北哪个方向看上去，都能一眼看到这个“鼎”形斜拉桥．周末明明和亮亮进行课外实践作业，准备测量该桥主塔的高度（塔顶到桥面的距离），测量方案及数据如下： 活动主题：测量“鼎”形斜拉桥主塔的高度． 测量方案：他们两人站在旁边与“鼎”形桥桥面高度相同的桥的同侧，在各自位置测得“鼎”形斜拉桥主塔顶部的仰角，以及两人之间的距离，并记录． 测量示意图：如图， 表示“鼎”形桥主塔的高度，C，D分别表示明明、亮亮的位置，点C，D与点B在同一水平直线上，且点A，B，C，D在同一竖直平面内，． 测量工具：皮尺，测角仪． 测量数据∶两人的距离米，，． 问题解决：请你根据他们的测量方案及数据，计算该“鼎”形斜拉桥主塔的高度．（结果精确到1米；参考数据： ，） 【答案】该桥主塔的高度约为104米 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、解直角三角形等知识点，掌握运用解直角三角形解决实际问题成为解题的关键． 设主塔的高度米，根据等腰直角三角形的性质可得米，由线段的和差可得米，再在中解直角三角形即可解答． 【详解】解：设主塔的高度米， 在中， ∵， ∴米， ∵米， ∴米， 在中， ∵， ，即，解得． 答：该桥主塔的高度约为104米． 【变式2】（2026·陕西·中考真题）渭河是黄河的最大支流，在陕西省境内长达．某数学兴趣小组开展测量渭河河道宽度的实践活动．他们在确保安全的前提下，选取了一段相对笔直的河道开展活动，记录如下： 活动主题 测量渭河某段河道的宽度 活动方案 方案一 方案二 测量示意图 测量过程 1．在河道一侧的岸边选取两个观测点，； 2．测量，的度数； 3．测量，两点之间的距离． 1．在河道一侧的岸边选取两个观测点，，分别在，的延长线上选取点，，使得； 2．测量，两点之间的距离，，两点之间的距离，与之间的距离． 测量数据 ，，． ，，． 备注 1．点是为了测量河道的宽度，在河道另一侧的岸边选取的参照点； 2．图中所有点均在同一平面内； 3．参考数据：，，． 请从以上两种方案中任选一种，帮助他们求出这段河道的宽度（即点到的距离）． 【答案】这段河道的宽度为 【分析】方案一：过点作于点，解和求解即可；方案二：过点作于点，交于点，可得，根据相似三角形的相似比等于对应边高之比求解即可． 【详解】解：方案一：过点作于点， ∵， ∴在中，， 在中，， ∵，， ∴，解得， ∴这段河道的宽度为； 方案二：过点作于点，交于点， ∵ ∴，， ∴， ∵，，， ∴，解得， ∴， 答：这段河道的宽度为． 【变式3】（21-22九年级上·山东淄博·期末）九年级数学“综合与实践”课的任务是测量学校旗杆的高度．小明与小东分别采用不同的方案测量，以下是他们研究报告的部分记录内容： 课题 测量旗杆的高度 测量工具 测量角度（单位：度）的仪器、测量距离（单位：m）的皮尺等 测量成员 小明 小东 测量方案示意图 示意图说明 如图，旗杆的最高点D到地面的高度为DN，在测点A、B用仪器测得点A、B处的仰角分别为、，点A、B、C、D、M、N均在同一竖直平面内，点A、B、C在同一条直线上． 测量数据 ，， ， ，， ， 参考数据 ，，，， 请从小明和小东的方案中，任选其中一个方案，根据其数据求出旗杆的高度（精确到0.1m）． 【答案】 【分析】利用小明的方案，设，结合题意可得，，再根据列方程求解计算DC的值，然后由计算旗杆的高度即可；利用小东的方案，设，结合题意可得，，再根据列方程求解计算DC的值，然后由计算旗杆的高度即可； 【详解】解：小明的方案，设，则由题意，得，， ∵， ∴， 解得， 则旗杆的高度； 小东的方案，设，则由题意，得，， ∵， ∴， 解得， 则旗杆的高度为． 【点睛】本题主要考查了利用三角函数解直角三角形的实际应用，熟练运用三角函数解直角三角形是解题关键． 题型07 临界值问题 【典例1】（2026·河南平顶山·三模）新情境消防云梯某种型号的消防车（如图1）车尾处的云梯长度伸缩范围为5~45米，最大张角为70°．在一次出警任务中，由于消防车前方有障碍物，车头只能停在楼前20米的B处（如图2），已知车长米，车高米．起初火势较小，当云梯与水平线夹角为时，正好到达起火楼层E点．小明家所在楼层比起火楼层高15米，由于火势没有完全控制，消防车及时向前挪动，沿方向前进10米，车头停在楼前的D处，并将云梯与水平线夹角调至最大，即．请你通过计算说明此时云梯能否到达小明家所在楼层（图2中所有点均在同一竖直平面内，．参考数据：，，）． 【答案】云梯能够到达小明家所在楼层． 【分析】根据解三角形将的长度求出来，比较与米和与米的大小，从而确定云梯是否能够到达小明家所在楼层． 【详解】解：延长交于点G，如图， 由题意，得， 在中，， ， 由题意，得， ， 在中，， （米）， （米）， ，， ∴云梯能够到达小明家所在楼层． 【变式1】（2022·江苏常州·模拟预测）我校为进一步加强疫情防控测温工作，决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温（如图1），其红外线探测点可以在垂直于地面的支杆上下调节（如图2），已知探测最大角（）为，探测最小角（）为，若要求测温区域的宽度为，请你帮助学校确定该设备的安装高度．（结果精确到米，参考数据：，，，，，） 【答案】该设备的安装高度约为米 【分析】设，由锐角三角函数定义得，，根据列出方程，求解未知数得到的长后即可求出． 【详解】解：设， 在中，， ∴ 在中，，， 根据题意可知：， ∴，解得：（米）， ∴（米）． 答：该设备的安装高度约为米． 【变式2】（21-22九年级·浙江宁波·学业考试模拟）如图1是可调节高度和桌面角度的电脑桌，它的左视图可以抽象成如图2所示的图形，底座长为，支架垂直平分，桌面的中点固定在支架处，宽为．身高为的使用者站立处点与点，在同一条直线上，． 点到点的距离是视线距离． (1)如图2，当，时，求视线距离的长； (2)如图3，使用者坐下时，高度下降，当桌面与的夹角为时，恰有视线，问需要将支架调整到多少？（参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由垂直平分得长，结合求得，连接，延长交于点，证四边形是矩形得、，即可得，由为中点得，进而求，最后在中用勾股定理求出； （2）先求坐下后的高度，延长交于，证四边形是矩形得，由对顶角得，在直角三角形中用余弦求，最后通过线段差求出即可． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， ∴， 如图，连接，延长交于点， ∵，，， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， 在中， ； （2）解：∵使用者坐下时，高度下降， ∴， 如图，延长交于点， ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是中点， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 【变式3】（2026九年级·吉林·专题练习）现在人们经常使用电脑，若坐姿不正确，容易造成眼睛疲劳，腰酸颈痛，使用电脑时的科学坐姿是：眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”为，如图①所示． (1)如图②，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛与屏幕的距离为多少厘米； (2)如图③，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，桌面到地面的距离，通过计算发现此时大于，不符合科学坐姿，求桌面应下调多少厘米才能使肘部形成的“手肘角”为．（所有结果均精确到个位．参考数据：，，，，，） 【答案】(1)眼睛与屏幕的距离约为 (2)桌面应下调才能使肘部形成的“手肘角”为 【分析】本题考查解直角三角形的应用．掌握锐角三角函数的性质是解决本题的关键． （1）根据的长及的正切值可得的长； （2）延长交于点M，则，，易得∠DEM=80°，根据的长和的正弦值可得的长，减去原来的长即为下调的距离． 【详解】（1）解：在中，，， ． 答：眼睛与屏幕的距离约为． （2）解：如答图，延长交于点M，则，， ． 当时，． 在中，，， ， ． 答：桌面应下调才能使肘部形成的“手肘角”为． 一、单选题 1．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．如图（见解析），根据可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，米， ∴， ∴米， 即她沿垂直方向升高了米， 故选：D． 2．（2025·四川南充·三模）如图，将教室两扇窗户向外推开相同的角度，形成通风的缝隙，已知，，则缝隙宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理以及平行四边形的判定与性质，正确添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． 如图所示，作于点，于点，求出、的长度，根据，即可解题． 【详解】解：如图所示，作于点，于点，则四边形是矩形， 则， ， 因为， 所以， 所以． 故选：A． 3．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）如图所示，乐乐想测对面杆子的高度，他离杆子的距离为，在点他仰视杆顶，测得仰角为，他沿向杆走近了到达点，再次测得仰角为，乐乐高度为，则杆的高度为（　   ），已知． A． B． C．3.6 D．4.6 【答案】B 【分析】通过设未知数，利用三角函数关系建立方程，求出相关线段长度，进而求得杆高．本题主要考查了三角函数在实际测量中的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：设米． ∵在中，， ∴米． ∵米， ∴米． ∵在中，，， ∴，即． ∵解方程， ∴， ， ， ， ． ∵米， ∴（米）． 故选：B． 4．（2025·广东深圳·二模）航天员也能“点外卖”：北京时间2024年11月15日23时13分，搭载天舟八号货运飞船的长征七号遥九运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟八号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，之后飞船太阳能帆板顺利展开，发射取得圆满成功，当天火箭从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角为，A与P两点的距离为10千米；它沿铅垂线上升到达B处时，此时在P处测得B点的仰角为，则天舟二号从A处到B处的距离的长为（    ）（参考数据：） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，含30度角的直角三角形，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意可得：，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得千米，千米，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， 在中，，千米， （千米），（千米）， 在中，， （千米）， （千米）， 天舟二号从A处到B处的距离的长约为千米， 故选：D． 5．（2025·广东深圳·一模）如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（　   　）米． A．160 B． C．200 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，先根据三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵是的一个外角，，， ∴， ∵， ∴米， 在中，（米）， ∴该主塔的高度是米， 故选：D． 二、填空题 6．（2025·内蒙古包头·三模）在汉代之后，荡秋千逐渐成为清明、端午等节日进行的民间习俗活动并流传，现在也深受儿童的喜爱．如图所示成都市某公园的秋千，秋千链子的长度为，当摆角为时，座板离地面的高度为，当摆动至最高位置时，摆角为．则座板距地面的最大高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质可得，，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点A作，垂足为，过点作，垂足为，如图所示： 由题意得：，， 在中，， ，， 在中，为， ， ， 座板距地面的最大高度为， 故答案为：． 7．（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）如图，为订书机的托板，压柄绕着点B旋转，连接杆的一端点D固定，点E从A向B处滑动，在滑动的过程中，的长度保持不变．若， ，，则的长度为 ． 【答案】/7厘米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是关键，过点D作，垂足为F，先求出，进而求出，可得出结论． 【详解】解：如图所示，过点D作，垂足为F， 在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（2025·内蒙古包头·模拟预测）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．他们由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A、B、D、E、F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为，经工作人员介绍知山顶D处与B处的水平距离约为（换乘登山缆车的时间忽略不计）则山的高度为 m．（参考数据：，，） 【答案】750 【分析】本题考查解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，理解题意，构造直角三角形是解答的关键． 根据题意得到过点B作，则四边形是矩形，根据含30度角的直角三角形得到，再根据正切值的计算得到，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，，，，， 如图所示，过点B作于G，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：750． 9．（2024九年级下·湖北黄冈·竞赛）如图，小明利用无人机测量教学楼的高度，无人机在点处，测得小明所在位置点的俯角为，测得教学楼顶点的俯角为，教学楼底点的俯角为，又经过人工测得，两点间的距离为米，则教学楼的高度为 米．（注：点，，，在同一平面上，参考数据：，，结果取整数） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，延长交于点,设米，根据锐角三角函数的定义列出方程，解得，接着求出，再求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，延长交于点, 由题意得：米，，， 设米， ∴米 在中，， ∴(米)， 在中，， ∴米， ∴, 解得:， ∴(米)，(米)， 在中，， ∴(米)， ∴(米)． 故答案为：． 10．（2025·内蒙古鄂尔多斯·模拟预测）如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图.已知自动扶梯的坡度为，的长度是米，是二楼楼顶，，是上处在自动扶梯顶端点正上方的一点，，在自动扶梯底端处测得点的仰角为，则二楼的层高为 米．（精确到米）．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义以及勾股定理．延长交于点D，由题意可知：，，米，然后根据锐角三角函数的定义可求出与的长度． 【详解】解：延长交于点D， 由题意可知：，，米， 设，则， ， 米， ∴由勾股定理可知：米， ， 米， 米． 则二楼的层高米． 故答案为：． 三、解答题 11．（2025·山东·模拟预测）如图1，某款线上教学设备由底座、支撑臂、连杆、悬臂和安装在D处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角来提高拍摄效果，悬臂端点C到桌面l的距离约为． (1)的长度为多少？ (2)已知摄像头点D到桌面l的距离为时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作，垂足为，过点作，垂足为，证明出四边形是矩形，然后在直角三角形中利用三角函数得到即可； （2）过点作，垂足为，首先得到，则，然后在中利用三角形函数求出，则然后利用三角形的外角求解即可． 【详解】（1）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ， ， ， 在中，（厘米）， 的长度约为40厘米； （2）过点作，垂足为， 由题意得：，， ， ， （厘米）， 在中，， ， ， ， 此时悬臂与连杆的夹角的度数约为 12．（2025·山东·模拟预测）如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长与交于E点，已知坡道的坡比，的长为7.2米，的长为0.4米． (1)请求出的长； (2)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到的距离）． 【答案】(1)2.6米 (2)该车库入口的限高数值为2.4米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是数形结合，作出辅助线． （1）根据，得出，即，求出米，得出（米）； （2）过点D作于H，证明，得出，设，，根据勾股定理求出，根据米，得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵， ∴， ∴， ∵米， ∴米．　　 ∵米， ∴（米）； （2）解：过点D作于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，， ∴， ∵米， ∴， 解得， ∴（米）， 答：该车库入口的限高数值为2.4米 13．（2025·江西抚州·模拟预测）如图，图是一种小鸟创意牙签盒，图是侧面示意图，矩形是牙签盒底座的侧面，在的中点处有一水平横杠，小鸟可以绕点转动．闲置时，小鸟头顶到的距离为，嘴尖恰好在所在的直线上，将小鸟头按下，当其嘴尖转动到上的点处时，刚好能叼到从盒子里出来的牙签，此时小鸟的身体与恰好平行．经测量，点到的距离，，，． (1)求小鸟从初始状态转动到叼到牙签时，旋转角的度数； (2)求小鸟在叼牙签时，嘴尖到的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，） 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用三角形函数求出相应的边的长度，再根据线段之间的关系求出结果． 过点作于点，在中，可知，从而求出的度数； 过点作于点，过点作于点，延长交于点，构造直角三角形，在求出，在中，求出，从而可知，在中，求出，从而可求． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作于点， 则， 在中，， ， 答：小鸟从初始状态转动到叼到牙签时，旋转角的度数约为； （2）解：如下图所示，过点作于点，过点作于点，延长交于点， ， ， 在中，， ， ， 在中，， 点与在同一条直线上， ， ， 由旋转可知， 在中，， ， 答：小鸟在叼牙签时，嘴尖到的距离约为． 14．（2025·山东济南·中考真题）某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度为，倾斜角为，右边滑梯的高度为，倾斜角为，支架，都与地面垂直，，都与地面平行，两支架之间的距离为（点B，C，F，E在同一条直线上） (1)求两滑梯的高度差； (2)两滑梯的底端分别为B，E，求的长．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用． （1）通过解，求出，再通过即可求出两滑梯的高度差． （2）通过解，求出，通过解，求出，再通过 ，代入数值计算即可得出答案． 【详解】（1）解：在中， ，， ∴， ∴， 答：两滑梯高度差为 （2）解：在中 ， ，， ∴， 在中， ，， ∴， ∴ 答：长． 15．（2025·江西·二模）图（1）是某公司定制的奖杯，图（2）是其抽象示意图，奖杯上镶嵌了一个正五角星，正五角星的顶点A与奖杯的顶点F一样高，点B，P，E，F在一条直线上，点A，Q，C在一条直线上，点A，P，D在一条直线上．已知， ，底座的高． (1)求 和 的度数； (2)求奖杯的总高度．（结果保留一位小数．参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2)约为厘米 【分析】（1）根据正五角星的特征和，结合等腰三角形和三角形内角和定理得出，根据，得出，根据，得出． （2）如图，过点作垂足为，根据（1）中角度和四边形内角和求出，则，在中，解直角三角形求出，再根据奖杯的总高度，求解即可． 【详解】（1）解：∵正五角星的各个顶角都相等，各条边都相等，， ∴， 又∵，， ． （2）解：如图，过点作垂足为， ， ， ∴， 在中，，， ， ∵， ∴奖杯的总高度， 答：奖杯的总高度约为． 【点睛】该题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，四边形内角和等知识点，解题的关键是正确理解题意，掌握以上知识点． 16．（2024·陕西·模拟预测）某数学兴趣小组测量校园内一棵古树（古树四周有栅栏）高度的活动报告如下： 活动报告 活动目的 测量古树的高度（古树底部不能到达） 活动过程 步骤一：设计测量方案（小组讨论后，画出如图的测量示意图） 步骤二：准备测量工具 皮尺、测倾器 步骤三：实地测量并记录数据 （，为同一人眼睛到地面的距离，） 项目 第一次 第二次 平均值 步骤四：计算古树的高度 请结合以上信息解答下列问题： (1)表格中的值为____； (2)请完成步骤四：计算古树的高度．（参考数据： ，， ，，，） 【答案】(1)； (2)这棵古树的高度约为． 【分析】本题考查了算术平均数，矩形的判定与性质，解直角三角形，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据算术平均数定义即可求解； （）由题意可知，，，，则四边形和四边形均为矩形，所以，，设，则，所以，，列出方程，解得即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：由题意可知，，，， ∴四边形和四边形均为矩形， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴，解得， ∴， ∴， ∴这棵古树的高度约为． 17．（2025·吉林四平·模拟预测）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小明同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧的示意图，已知试管，试管倾斜角为． (1)试管口与铁杆的水平距离的长度为________（结果用含非特殊角的三角函数表示） (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点在一条直线上），测得：，求线段的长度．（结果精确到）（参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）先求出的长，再由余弦的定义可得，据此求解即可； （2）求出的长，延长交于点，则四边形是矩形，可求出的长，进而求出的长，再证明是等腰直角三角形，求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故答案为：； （2）解：在中，∵，即， ， 由（1）得， 延长交于点，则四边形是矩形， ， ， ，， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， 答：求线段的长度约为． 一、单选题 1．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图是某河坝的横截面，若迎水坡的长度为17米，其坡角为，则坝高为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了解三角形的应用-坡度坡角的问题，理解坡比的含义是解题关键，根据直角三角形的关系可得，代入即可求解． 【详解】解：在中，迎水坡的长度为17米，其坡角为 ∴，即 故选：A ． 2．（25-26九年级上·山西太原·期末）根据国家标准《自动扶梯和自动人行道的制造与安装安全规范》，自动扶梯的倾斜角不应大于．如图是某商场扶梯的示意图，扶梯的坡度（i为铅直高度与水平宽度的比）．若小光乘扶梯从扶梯底端A处以的速度用时到达扶梯顶端B处，则小光上升的铅直高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查坡比的概念，勾股定理及解一元一次方程，理解题意，设未知数，构建方程是解题的关键． 先求得，设，再由勾股定理得，解得，即可求解. 【详解】根据题意，， 扶梯的坡度， ，设， ， 解得， ． 故选：C． 3．（25-26九年级上·山东淄博·期末）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在处操控无人机巡查，无人机从点处飞行到点处悬停，探测到它的正下方公路上点处有汽车发生故障，测得点处到点处的距离为，从点处观测点处的仰角为．已知，则可求得点处到点处的距离约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：在中，，，， ∴， 答：A处到B处的距离为． 故选：C． 4．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）一架无人机从起飞点处起飞，身高1.7米的小亮站在离起飞点水平距离8米的处．当无人机飞行到点时，小亮测得此时的仰角为，无人机此时的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】过点作，由题意易得四边形是矩形，则有米，米，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】解：过点作，如图所示： 由题意可知：米，米，，， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∴， ∴米． 5．（2026·广东深圳·三模）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔顶中心点为点B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，数学兴趣小组通过无人机测量得，，下列计算塔身中心线（单位：）结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题可知，是直角三角形，，，， ． 二、填空题 6．（25-26九年级上·北京昌平·期末）如图，一架无人机在距地面的空中进行航拍，当它拍摄地面上的目标时，无人机上摄像头的俯角为，则此时无人机与目标的水平距离为______．（将无人机近似为一个点） 【答案】 【分析】此题考查了俯角的定义，解直角三角形的应用，根据题意可得，，，米，则，即可得解． 【详解】解：如图， 根据题意可得，，，米， ∴（米）， 故答案为：． 7．（22-23八年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，拦水坝的横断面为梯形，其中，迎水坡的坡角，背水坡的坡比为，斜坡长，则背水坡的长为________． 【答案】 【分析】过点、分别作，，垂足分别为、，可得四边形是矩形，利用勾股定理求出，进而求出，根据坡度的概念求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 8．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为，从点A观测点P的仰角为，则A处到B处的距离约为______m．（结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】49 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角和俯角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 根据三角函数的定义求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴A处到B处的距离为． 故答案为：49． 9．（25-26九年级下·浙江·单元复习）如图，天琪家与阿权家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算出所住楼对面商业大厦的高度，进行了如下操作：他俩在天琪家的窗台处，测得商业大厦顶部的仰角的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在处测得商业大厦底部的俯角的度数．于是，他俩上楼来到阿权家，在窗台处测得大厦底部的俯角的度数，竟然发现与恰好相等．已知三点共线，，商业大厦的高度______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，全等三角形的性质和判定，解决本题的关键是构造直角三角形和矩形，得出． 过点作于点，过点作于点，可得四边形和四边形均为矩形，可以证明，得，进而可得商业大厦的高． 【详解】解：过点作于点，过点作于点，如图所示： ∴， ∵， ∴四边形和四边形均为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：商业大厦的高为． 故答案为：． 10．（23-24九年级下·福建厦门·自主招生）如图，轮船在处观测灯塔位于北偏西方向上，轮船从处以每小时25海里的速度沿南偏西方向匀速航行，2小时后到达码头处，此时，观测灯塔位于北偏西方向上，则灯塔与码头的距离是______海里．（结果保留根号） 【答案】 【分析】过作于点，根据锐角三角函数定义求出的长，再由锐角三角函数求出的长即可． 【详解】解：如图，过作于点， ， 由题可知（海里）， ， ， ， ， （海里）， ， （海里）， ∴灯塔与码头的距离是海里． 三、解答题 11．（2026·吉林·中考真题）如图，为了测量某条河的宽度，小明站在点，到河岸的距离为，刚好正对河对岸的一棵大树，此时点，，在一条直线上．小明沿着与河岸平行的直路向右走了，到达点，此时测得．求这条河的宽度（结果保留整数）．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】先根据三角函数求出的长度，减去的长度，即可求出的长度． 【详解】解：由题意知，， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 答：这条河的宽度为． 12．（2026·吉林四平·模拟预测）小宇同学课间去老师办公室，发现老师的办公桌上放着部分同学的档案盒，其中10个竖直放置，左边一个向右侧倾斜靠着其他10个放置，档案盒与竖直放置的档案盒的夹角，，档案盒长．帮助小宇同学用学过的数学知识计算出档案盒的厚度（参考数据：，，）． 【答案】档案盒的厚度为5 【分析】因为已知长度和的度数，所以可以利用三角函数求出直角三角形中的边长．明确的长度构成，等于的长加上10个档案盒的总厚度，所以可求出10个档案盒的厚度，进而得到单个档案盒的厚度． 【详解】解：由题意，在中，，，， ， ， ∴档案盒的厚度为． 13．（2026·江苏南京·三模）现在人们经常使用电脑，若坐姿不正确，容易造成眼睛疲劳，腰酸颈痛．使用电脑时一般正确的坐姿是：眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上；肘部形成的“手肘角”为，如图1所示．（参考数据：，，，，，，） (1)如图2，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛与屏幕的距离为多少厘米．（结果精确到1cm） (2)如图3，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，桌面到地面的距离，通过计算判断此时是不是正确坐姿．若是，请说明理由；若不是，那么应如何调整桌面（桌面可上下调整）才能使肘部形成的“手肘角”为？ 【答案】(1) (2)不是，桌面应下调 【分析】（1）利用正切函数关系即可求解； （2）延长交于点，在中，利用正弦函数关系求得，进而求得，此时不是正确坐姿；在中，计算出调整后的，求得调整前后的差即可． 【详解】（1）解：在中，“视线角”为，，，， ． 答：眼睛与屏幕的距离约为； （2）解：如图，延长交于点， 则，， 调整前，． 在中，， ， ，即， 故此时不是正确坐姿． 当时，． 在中，，， 调整后，，． 答：桌面应下调才能使肘部形成的“手肘角”为． 14．（25-26八年级下·山东济南·期末）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内． (1)求的长； (2)求楼与之间的距离的长．（结果精确到米）（参考数据：，，，） 【答案】(1)长为 (2)约为米 【分析】（1）延长交的延长线于点，设米，可得，，由可得关于的方程，解方程求出的值根据即可求出结果； （2）过点作，交于点，根据求出的长度，根据求出的长度，再根据求出结果． 【详解】（1）解：如下图所示，延长交的延长线于点，设米， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 答：的长为； （2）解：过点作，交于点， ，， ， 点到楼的水平距离为，即， 在中，，， ， ， 答：楼与之间的距离的长约为米． 15．（2026·内蒙古通辽·三模）如图是实验室高锰酸钾制氧气装置的示意图，实验要求“铁夹固定在距试管口处”，已知试管长，铁夹固定点满足，试管倾斜角．（参考数据：，） (1)实验规范要求“试管口需低于试管底部”，求此时试管口比试管底部低的竖直高度； (2)铁夹所在支架高，导管延伸后交水槽所在水平台面于点，已知水槽壁高，，求台面上到的水平距离（结果精确到）． 【答案】(1)试管口比试管底部低的竖直高度为 (2)台面上到的水平距离为 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． （1）延长交于点，根据直角三角形的边角关系进行计算即可； （2）通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出答案即可． 【详解】（1）解：延长交于点，如图1， 由题意可知，，， ； （2）由题意知， ， ， ， 过点作于点，如图2， ， ∴四边形是矩形， ，， ， ． 又， ， ． 16．（2026·河南·中考真题）某学校为提高地下车库入口的行车安全性，计划对其进行改造．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下． 活动主题 地下车库入口改造 采集信息 图1是地下车库入口示意图． ①点，，在同一水平线上，点，，在同一水平线上，． ②斜坡的长为，． ③车库限高． 设计方案 如图2，保持点不动，将点沿射线平移到点，使． 完成任务 任务一：求的长． 任务二：调整限高．经计算，点到斜坡的距离约为．在保障行车安全的前提下，车库限高标志上的数值最大可为________．（结果均保留一位小数） 请帮数学兴趣小组完成表中的两个任务（参考数据：，，，，，）． 【答案】任务一：的长约为．任务二：． 【分析】任务一：作，垂足为，利用解直角三角形，求出、，由即可求解； 任务二：采用去尾法求近似数即可． 【详解】任务一： 解：如图，作，垂足为， ∵，， ∴，， ∴在中，， ， ∴在中，， ∴． 任务二： 解：点到斜坡的距离约为．在保障行车安全的前提下，车库限高标志上的数值最大可为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 解直角三角形的应用 教学目标 1. 掌握仰角、俯角、坡度等实际测量中的概念，能结合勾股定理和锐角三角函数，熟练进行解直角三角形的计算。 2. 学会将测量高度、距离等实际问题转化为几何图形，提炼出直角三角形模型并求解。 3. 培养数形结合与转化思想，提升将实际问题抽象为数学问题并解决的能力。 教学重难点 1.重点 （1）核心是将实际问题中的数量关系，归结为直角三角形的边角关系，建立数学模型。 （2）熟练运用锐角三角函数、勾股定理等知识，准确求解直角三角形并解决实际问题。 2.难点 （1）面对非直角三角形或复杂图形时，难以通过作高、构造辅助线等方式，转化出可解的直角三角形。 （2）不易根据实际情境选择恰当的边角关系，在复杂问题中灵活运用方程思想和转化思想解决问题。 知识点01 仰角与俯角 仰角与俯角 仰角：在竖直面内的水平线与向上递升线段之间的角度（朝上看时，视线与水平面夹角为仰角）。 俯角：在竖直面内的水平线与向下递降线段之间的角度（朝下看时，视线与水平面夹角为俯角）。也指从测量员的仪器到照准点所观测到的地平线以下的垂直角。另外，视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角也叫俯角。俯角范围0°到180°。 【即学即练】1．2025年10月31日23点44分，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　） A．千米 B．千米 C．千米 D．1米 2．如图，水平地面上护林员与树根的距离，护林员的眼睛与地面距离，在此处观测到树梢点D的仰角为，则树高______m． 3．为了让学生进一步了解拉萨市第六中学旗杆高度，组织九年级某班学生利用综合实践课测量旗杆的高度．列珠同学站在如图所示的旗杆前的平地上点处，测得顶部的仰角为，眼睛距离地面，向旗杆前行，到达点处，测得顶部的仰角为，求旗杆高．（参考数据：，，结果精确到） 知识点02 坡度 坡度 1. 坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式． 2.坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系：i=h/l=tanα． 3.在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 【即学即练】4．如图，河坝横断面迎水坡的坡比为，坝高为，则坡面的长度为（   ） A． B． C． D． 5．如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为米，则滑梯的长度为_____米． 6．如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽米，坝高米，斜坡的坡角，斜坡的坡度，求坝底宽的长．（答案保留根号） 知识点03 方向角 方向角 方向角的概念：是指采用某坐标轴方向作为标准方向所确定的方位角。【即学即练】7．一艘轮船在A处测得灯塔S在船的南偏东方向，轮船继续向正东航行30海里后到达B处，这时测得灯塔S在船的南偏西方向，则灯塔S离观测点A、B的距离分别是　　 A．海里、15海里 B．海里、5海里 C．海里、海里 D．海里、海里 8．如图，为了测量某条河的宽度，先在河的一岸边任选一点A，再在对岸岸边选两个点B，C，并且测得点A在点B的北偏东方向，点A在点C的北偏西方向．量得的长为，则河的宽度约为__________m．（假设河两岸笔直且平行，参考数据：） 9．如图，乡镇在乡镇的正北方向，桥最北端桥墩在乡镇的西南方向，最南端桥墩在乡镇的北偏西方向处．原来从乡镇到乡镇需要经过桥，路线为折线，现在新建了桥，可直接沿直线从乡镇到达乡镇，已知桥和平行．（参考数据：，，，结果保留整数） (1)求点到直线的距离； (2)求现在从乡镇到乡镇比原来少走的路程． 题型01 仰角俯角问题 【典例1】（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，有一小型科学探测器在空中处探测到地平面目标，此时从探测器上看目标的俯角，探测器飞行的高度，则探测器到目标的距离约为（     ）（其中，计算结果精确到） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·山东济南·期末）热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球与楼的水平距离为，这栋楼有多高________（结果保留根号）． 【变式2】（2026·湖北武汉·一模）如图，因地形原因，湖泊两端，的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面的点处．从点测得点的俯角为，测得点的俯角为（，，三点在同一竖直平面内），则湖泊两端，的距离为____（结果精确到0.1，参考数据）． 【变式3】（25-26九年级下·黑龙江大庆·期末）广州塔又称广州新电视塔，昵称小蛮腰，是中国第一高塔，世界第四高塔．如图，广州塔附近有一大厦高，状状在楼底处测得塔顶的仰角为，上到大厦顶处测得塔顶的仰角为，求广州塔的高．（结果精确到，参考数据：，，） 题型02 方向角问题 【典例1】（24-25九年级上·山东烟台·期末）定向越野拉练活动是学校素质教育的一次生动实践，我区某校每年组织一次定向越野拉练活动．如图，点A为出发点，途中设置两个检查点分别为点B和点C，行进路线为，点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向，，则检查点B和C之间的距离为（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．4.5千米 【变式1】（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在一笔直的海岸线上有两个观测站，在的正西方向，从观测站测得船在北偏东的方向，从观测站测得船在北偏西的方向，且船离观测站的距离为，则两个观测站之间的距离为_________________．（结果用根号表示）． 【变式2】（2024·山西·模拟预测）“天水麻辣烫”火了！如图，太原的小李乘坐高铁由太原南去天水吃麻辣烫时，在距离铁轨100米的B处观察他所乘坐的由太原南开往天水的“和谐号”动车．他观察到，当“和谐号”动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上．根据所学知识，该时段动车的平均速度是______米/秒． 【变式3】（2026·河南平顶山·三模）机器人竞走比赛（图1）是对机器人运动控制、环境适应等技术的极限测试，能推动技术迭代，还能普及科技知识，点燃大众对前沿科技的热情．如图2，在某次比赛中，机器人从点A沿北偏东方向直行至点B，然后从点B沿南偏西方向直行至点C，若点C在点A的正东方向，求A，C两点间的距离（结果精确到．参考数据：，，，）． 题型03 坡度坡角问题 【典例1】（25-26九年级上·福建漳州·期末）一辆小车沿着斜坡向上行驶了50米（坡度），则此时该小车的竖直高度上升（    ） A．米 B．25米 C．米 D．米 【变式1】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）某市为推动旅游产业的发展，计划将某处空地改造成风景园林区．如图为该园林区内梯形池塘的横断面示意图，，池塘斜面的坡度为（即），米，则池塘边缘点到池塘底部的距离为（   ） A．米 B．5米 C．4米 D．3米 【变式2】（25-26八年级下·浙江舟山·期末）如图，一道斜坡坡比为，，则斜坡的高度__________． 【变式3】（2026·四川巴中·中考真题）“观四龛福城，赏巴河逐浪”，“光雾山杯”2026年国际划联皮划艇马拉松世界杯于5月23日在巴河之畔举行．一架无人机在巴河河堤上N点处竖直升空，当升至距地面的空中P点时，测得C点正前方的河面上两艘皮划艇A和B的俯角分别为和（点M、C、B、A在一条直线上）．已知河堤斜坡的长为，坡比为（计算结果保留整数）．（参考数据：，，，，，） (1)求无人机距河面的高度； (2)求两艘皮划艇之间的距离． 题型04 实物建模问题 【典例1】（2026·吉林·模拟预测）图1为武术动作机器人，图2为其示意图．机器人上半身垂直于地面水平线，手臂．已知，，，则该机器人拳头（点）到地面的高度为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·山东济南·期末）某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，撑开的遮阳面和的长均为1.8米，的度数为，则此时“天幕”的宽度是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式2】（2023·山东枣庄·模拟预测）人字梯为现代家庭常用的工具如图若，的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度是______．结果精确到，参考数据：约等于，约等于，约等于 【变式3】（2023·江苏徐州·模拟预测）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，m，m，m，．机械臂端点到工作台的距离m． (1)求A、两点之间的距离； (2)求长． (结果精确到，参考数据：，，，，) 题型05 物理实验问题 【典例1】（2026九年级下·黑龙江大庆·专题练习）如图，物理实验室的水平支架上有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从处测得，两点的俯角、分别为和，若该摆绳的长度为，过点作于点，此时点相对于点升高了多少？ 【变式1】（2025·四川达州·模拟预测）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为为（参考数据：；） (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度； (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，求水槽左侧底部到铁杆的水平距离的长度． 【变式2】（2024·内蒙古·中考真题）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为． (1)求试管口B与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示） (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示） 【变式3】（2026·河南平顶山·三模）【主题】探究光折射与反射现象． 【实验工具】低功率激光灯、一块光学直角棱镜、量角器等． 【实验过程】某物理兴趣小组使用相关实验工具进行光学实验．如图，是这块光学直角棱镜的截面，所在的面为不透光的磨砂面．一束光线从 边上的点射入棱镜，折射后到达边上的点，恰有，再经过反射后，从 边上的点射出． 【实验数据】调整光线入射角度和位置，使点在同一平面内，并测量得到． 【问题解决】根据以上实验过程和测量的数据，解答下列问题． (1)如图1，调整光线入射角度和位置，使光线．若，则__________．（结果保留根号） (2)如图2，再次调整光线入射角度和位置，使，从点射出后，光线．若，求的长．（结果精确到．参考数据：，） 题型06 方案设计问题 【典例1】（25-26九年级上·福建漳州·期末）文昌阁位于长泰区武安镇石岗山上，始建于唐朝，是长泰的文化地标之一．综合实践课上老师提出问题：“请你设计一个方案，测量文昌阁的高度”．某小组设计的方案是利用激光投线角度仪和皮尺等工具对塔的高度进行测量．具体操作过程是：在文昌阁底部正前方的平地上选取相距10米的A、B两个观测点．在点测得文昌阁顶部的仰角为，在点测得文昌阁顶部D的仰角为．求文昌阁的高度（结果精确到1米，）． 【变式1】（2025·河南周口·模拟预测）位于郑州龙湖内环路的斜拉桥，寓意为“鼎盛中原”，也是国内首座“鼎”形斜拉桥，不论从东西南北哪个方向看上去，都能一眼看到这个“鼎”形斜拉桥．周末明明和亮亮进行课外实践作业，准备测量该桥主塔的高度（塔顶到桥面的距离），测量方案及数据如下： 活动主题：测量“鼎”形斜拉桥主塔的高度． 测量方案：他们两人站在旁边与“鼎”形桥桥面高度相同的桥的同侧，在各自位置测得“鼎”形斜拉桥主塔顶部的仰角，以及两人之间的距离，并记录． 测量示意图：如图， 表示“鼎”形桥主塔的高度，C，D分别表示明明、亮亮的位置，点C，D与点B在同一水平直线上，且点A，B，C，D在同一竖直平面内，． 测量工具：皮尺，测角仪． 测量数据∶两人的距离米，，． 问题解决：请你根据他们的测量方案及数据，计算该“鼎”形斜拉桥主塔的高度．（结果精确到1米；参考数据： ，） 【变式2】（2026·陕西·中考真题）渭河是黄河的最大支流，在陕西省境内长达．某数学兴趣小组开展测量渭河河道宽度的实践活动．他们在确保安全的前提下，选取了一段相对笔直的河道开展活动，记录如下： 活动主题 测量渭河某段河道的宽度 活动方案 方案一 方案二 测量示意图 测量过程 1．在河道一侧的岸边选取两个观测点，； 2．测量，的度数； 3．测量，两点之间的距离． 1．在河道一侧的岸边选取两个观测点，，分别在，的延长线上选取点，，使得； 2．测量，两点之间的距离，，两点之间的距离，与之间的距离． 测量数据 ，，． ，，． 备注 1．点是为了测量河道的宽度，在河道另一侧的岸边选取的参照点； 2．图中所有点均在同一平面内； 3．参考数据：，，． 请从以上两种方案中任选一种，帮助他们求出这段河道的宽度（即点到的距离）． 【变式3】（21-22九年级上·山东淄博·期末）九年级数学“综合与实践”课的任务是测量学校旗杆的高度．小明与小东分别采用不同的方案测量，以下是他们研究报告的部分记录内容： 课题 测量旗杆的高度 测量工具 测量角度（单位：度）的仪器、测量距离（单位：m）的皮尺等 测量成员 小明 小东 测量方案示意图 示意图说明 如图，旗杆的最高点D到地面的高度为DN，在测点A、B用仪器测得点A、B处的仰角分别为、，点A、B、C、D、M、N均在同一竖直平面内，点A、B、C在同一条直线上． 测量数据 ，， ， ，， ， 参考数据 ，，，， 请从小明和小东的方案中，任选其中一个方案，根据其数据求出旗杆的高度（精确到0.1m）． 题型07 临界值问题 【典例1】（2026·河南平顶山·三模）新情境消防云梯某种型号的消防车（如图1）车尾处的云梯长度伸缩范围为5~45米，最大张角为70°．在一次出警任务中，由于消防车前方有障碍物，车头只能停在楼前20米的B处（如图2），已知车长米，车高米．起初火势较小，当云梯与水平线夹角为时，正好到达起火楼层E点．小明家所在楼层比起火楼层高15米，由于火势没有完全控制，消防车及时向前挪动，沿方向前进10米，车头停在楼前的D处，并将云梯与水平线夹角调至最大，即．请你通过计算说明此时云梯能否到达小明家所在楼层（图2中所有点均在同一竖直平面内，．参考数据：，，）． 【变式1】（2022·江苏常州·模拟预测）我校为进一步加强疫情防控测温工作，决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温（如图1），其红外线探测点可以在垂直于地面的支杆上下调节（如图2），已知探测最大角（）为，探测最小角（）为，若要求测温区域的宽度为，请你帮助学校确定该设备的安装高度．（结果精确到米，参考数据：，，，，，） 【变式2】（21-22九年级·浙江宁波·学业考试模拟）如图1是可调节高度和桌面角度的电脑桌，它的左视图可以抽象成如图2所示的图形，底座长为，支架垂直平分，桌面的中点固定在支架处，宽为．身高为的使用者站立处点与点，在同一条直线上，． 点到点的距离是视线距离． (1)如图2，当，时，求视线距离的长； (2)如图3，使用者坐下时，高度下降，当桌面与的夹角为时，恰有视线，问需要将支架调整到多少？（参考数据：） 【变式3】（2026九年级·吉林·专题练习）现在人们经常使用电脑，若坐姿不正确，容易造成眼睛疲劳，腰酸颈痛，使用电脑时的科学坐姿是：眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”为，如图①所示． (1)如图②，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛与屏幕的距离为多少厘米； (2)如图③，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，桌面到地面的距离，通过计算发现此时大于，不符合科学坐姿，求桌面应下调多少厘米才能使肘部形成的“手肘角”为．（所有结果均精确到个位．参考数据：，，，，，） 一、单选题 1．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（2025·四川南充·三模）如图，将教室两扇窗户向外推开相同的角度，形成通风的缝隙，已知，，则缝隙宽为（   ） A． B． C． D． 则， ， 3．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）如图所示，乐乐想测对面杆子的高度，他离杆子的距离为，在点他仰视杆顶，测得仰角为，他沿向杆走近了到达点，再次测得仰角为，乐乐高度为，则杆的高度为（　   ），已知． A． B． C．3.6 D．4.6 4．（2025·广东深圳·二模）航天员也能“点外卖”：北京时间2024年11月15日23时13分，搭载天舟八号货运飞船的长征七号遥九运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟八号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，之后飞船太阳能帆板顺利展开，发射取得圆满成功，当天火箭从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角为，A与P两点的距离为10千米；它沿铅垂线上升到达B处时，此时在P处测得B点的仰角为，则天舟二号从A处到B处的距离的长为（    ）（参考数据：） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 5．（2025·广东深圳·一模）如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（　   　）米． A．160 B． C．200 D． 二、填空题 6．（2025·内蒙古包头·三模）在汉代之后，荡秋千逐渐成为清明、端午等节日进行的民间习俗活动并流传，现在也深受儿童的喜爱．如图所示成都市某公园的秋千，秋千链子的长度为，当摆角为时，座板离地面的高度为，当摆动至最高位置时，摆角为．则座板距地面的最大高度为 ． 7．（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）如图，为订书机的托板，压柄绕着点B旋转，连接杆的一端点D固定，点E从A向B处滑动，在滑动的过程中，的长度保持不变．若， ，，则的长度为 ． 8．（2025·内蒙古包头·模拟预测）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．他们由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A、B、D、E、F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为，经工作人员介绍知山顶D处与B处的水平距离约为（换乘登山缆车的时间忽略不计）则山的高度为 m．（参考数据：，，） 9．（2024九年级下·湖北黄冈·竞赛）如图，小明利用无人机测量教学楼的高度，无人机在点处，测得小明所在位置点的俯角为，测得教学楼顶点的俯角为，教学楼底点的俯角为，又经过人工测得，两点间的距离为米，则教学楼的高度为 米．（注：点，，，在同一平面上，参考数据：，，结果取整数） 10．（2025·内蒙古鄂尔多斯·模拟预测）如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图.已知自动扶梯的坡度为，的长度是米，是二楼楼顶，，是上处在自动扶梯顶端点正上方的一点，，在自动扶梯底端处测得点的仰角为，则二楼的层高为 米．（精确到米）．（参考数据：，，） 三、解答题 11．（2025·山东·模拟预测）如图1，某款线上教学设备由底座、支撑臂、连杆、悬臂和安装在D处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角来提高拍摄效果，悬臂端点C到桌面l的距离约为． (1)的长度为多少？ (2)已知摄像头点D到桌面l的距离为时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：） 12．（2025·山东·模拟预测）如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长与交于E点，已知坡道的坡比，的长为7.2米，的长为0.4米． (1)请求出的长； (2)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到的距离）． 13．（2025·江西抚州·模拟预测）如图，图是一种小鸟创意牙签盒，图是侧面示意图，矩形是牙签盒底座的侧面，在的中点处有一水平横杠，小鸟可以绕点转动．闲置时，小鸟头顶到的距离为，嘴尖恰好在所在的直线上，将小鸟头按下，当其嘴尖转动到上的点处时，刚好能叼到从盒子里出来的牙签，此时小鸟的身体与恰好平行．经测量，点到的距离，，，． (1)求小鸟从初始状态转动到叼到牙签时，旋转角的度数； (2)求小鸟在叼牙签时，嘴尖到的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，） 14．（2025·山东济南·中考真题）某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度为，倾斜角为，右边滑梯的高度为，倾斜角为，支架，都与地面垂直，，都与地面平行，两支架之间的距离为（点B，C，F，E在同一条直线上） (1)求两滑梯的高度差； (2)两滑梯的底端分别为B，E，求的长．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 15．（2025·江西·二模）图（1）是某公司定制的奖杯，图（2）是其抽象示意图，奖杯上镶嵌了一个正五角星，正五角星的顶点A与奖杯的顶点F一样高，点B，P，E，F在一条直线上，点A，Q，C在一条直线上，点A，P，D在一条直线上．已知， ，底座的高． (1)求 和 的度数； (2)求奖杯的总高度．（结果保留一位小数．参考数据：，，，，，） 16．（2024·陕西·模拟预测）某数学兴趣小组测量校园内一棵古树（古树四周有栅栏）高度的活动报告如下： 活动报告 活动目的 测量古树的高度（古树底部不能到达） 活动过程 步骤一：设计测量方案（小组讨论后，画出如图的测量示意图） 步骤二：准备测量工具 皮尺、测倾器 步骤三：实地测量并记录数据 （，为同一人眼睛到地面的距离，） 项目 第一次 第二次 平均值 步骤四：计算古树的高度 请结合以上信息解答下列问题： (1)表格中的值为____； (2)请完成步骤四：计算古树的高度．（参考数据： ，， ，，，） 17．（2025·吉林四平·模拟预测）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小明同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧的示意图，已知试管，试管倾斜角为． (1)试管口与铁杆的水平距离的长度为________（结果用含非特殊角的三角函数表示） (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点在一条直线上），测得：，求线段的长度．（结果精确到）（参考数据：） 一、单选题 1．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图是某河坝的横截面，若迎水坡的长度为17米，其坡角为，则坝高为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（25-26九年级上·山西太原·期末）根据国家标准《自动扶梯和自动人行道的制造与安装安全规范》，自动扶梯的倾斜角不应大于．如图是某商场扶梯的示意图，扶梯的坡度（i为铅直高度与水平宽度的比）．若小光乘扶梯从扶梯底端A处以的速度用时到达扶梯顶端B处，则小光上升的铅直高度为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东淄博·期末）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在处操控无人机巡查，无人机从点处飞行到点处悬停，探测到它的正下方公路上点处有汽车发生故障，测得点处到点处的距离为，从点处观测点处的仰角为．已知，则可求得点处到点处的距离约为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）一架无人机从起飞点处起飞，身高1.7米的小亮站在离起飞点水平距离8米的处．当无人机飞行到点时，小亮测得此时的仰角为，无人机此时的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．（2026·广东深圳·三模）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔顶中心点为点B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，数学兴趣小组通过无人机测量得，，下列计算塔身中心线（单位：）结果正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26九年级上·北京昌平·期末）如图，一架无人机在距地面的空中进行航拍，当它拍摄地面上的目标时，无人机上摄像头的俯角为，则此时无人机与目标的水平距离为______．（将无人机近似为一个点） 7．（22-23八年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，拦水坝的横断面为梯形，其中，迎水坡的坡角，背水坡的坡比为，斜坡长，则背水坡的长为________． 8．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为，从点A观测点P的仰角为，则A处到B处的距离约为______m．（结果精确到，参考数据：，，）． 9．（25-26九年级下·浙江·单元复习）如图，天琪家与阿权家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算出所住楼对面商业大厦的高度，进行了如下操作：他俩在天琪家的窗台处，测得商业大厦顶部的仰角的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在处测得商业大厦底部的俯角的度数．于是，他俩上楼来到阿权家，在窗台处测得大厦底部的俯角的度数，竟然发现与恰好相等．已知三点共线，，商业大厦的高度______． 10．（23-24九年级下·福建厦门·自主招生）如图，轮船在处观测灯塔位于北偏西方向上，轮船从处以每小时25海里的速度沿南偏西方向匀速航行，2小时后到达码头处，此时，观测灯塔位于北偏西方向上，则灯塔与码头的距离是______海里．（结果保留根号） 三、解答题 11．（2026·吉林·中考真题）如图，为了测量某条河的宽度，小明站在点，到河岸的距离为，刚好正对河对岸的一棵大树，此时点，，在一条直线上．小明沿着与河岸平行的直路向右走了，到达点，此时测得．求这条河的宽度（结果保留整数）．（参考数据：，，） 12．（2026·吉林四平·模拟预测）小宇同学课间去老师办公室，发现老师的办公桌上放着部分同学的档案盒，其中10个竖直放置，左边一个向右侧倾斜靠着其他10个放置，档案盒与竖直放置的档案盒的夹角，，档案盒长．帮助小宇同学用学过的数学知识计算出档案盒的厚度（参考数据：，，）． 13．（2026·江苏南京·三模）现在人们经常使用电脑，若坐姿不正确，容易造成眼睛疲劳，腰酸颈痛．使用电脑时一般正确的坐姿是：眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上；肘部形成的“手肘角”为，如图1所示．（参考数据：，，，，，，） (1)如图2，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛与屏幕的距离为多少厘米．（结果精确到1cm） (2)如图3，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，桌面到地面的距离，通过计算判断此时是不是正确坐姿．若是，请说明理由；若不是，那么应如何调整桌面（桌面可上下调整）才能使肘部形成的“手肘角”为？ 14．（25-26八年级下·山东济南·期末）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内． (1)求的长； (2)求楼与之间的距离的长．（结果精确到米）（参考数据：，，，） 15．（2026·内蒙古通辽·三模）如图是实验室高锰酸钾制氧气装置的示意图，实验要求“铁夹固定在距试管口处”，已知试管长，铁夹固定点满足，试管倾斜角．（参考数据：，） (1)实验规范要求“试管口需低于试管底部”，求此时试管口比试管底部低的竖直高度； (2)铁夹所在支架高，导管延伸后交水槽所在水平台面于点，已知水槽壁高，，求台面上到的水平距离（结果精确到）． 16．（2026·河南·中考真题）某学校为提高地下车库入口的行车安全性，计划对其进行改造．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下． 活动主题 地下车库入口改造 采集信息 图1是地下车库入口示意图． ①点，，在同一水平线上，点，，在同一水平线上，． ②斜坡的长为，． ③车库限高． 设计方案 如图2，保持点不动，将点沿射线平移到点，使． 完成任务 任务一：求的长． 任务二：调整限高．经计算，点到斜坡的距离约为．在保障行车安全的前提下，车库限高标志上的数值最大可为________．（结果均保留一位小数） 请帮数学兴趣小组完成表中的两个任务（参考数据：，，，，，）． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $