2027年高考数学一轮复习检测卷01（举一反三）（全国一卷通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

**基本信息** 2027年高考数学一轮复习检测卷（全国一卷），聚焦基础巩固与能力梯度，覆盖函数、几何、概率等核心模块，通过概率统计结合考试情境（如第17题多选题得分规则）、函数证明题（第19题）考查数据意识与逻辑推理，适配一轮复习查漏补缺需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|数据分位数、向量、集合、函数切线|基础概念辨析，如第1题分位数考查数据处理能力| |多选|3/18|复数、立体几何、抛物线|多选项分层设计，如第11题结合圆与抛物线考查综合应用| |填空|3/15|直线平行、函数零点、数列|中档题突出数形结合，如第13题函数零点范围求解| |解答题|5/77|立体几何证明与线面角、解三角形、概率统计、双曲线综合、函数证明|综合应用导向，如第17题以考试情境考查概率计算，第19题函数证明体现逻辑推理素养|

2027年高考数学一轮复习检测卷 高三数学（全国一卷）01 （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2026·河北秦皇岛·二模）数据的第分位数为（    ） A．93 B．93. 5 C．94 D．94. 5 2．（5分）（2026·广东肇庆·模拟预测）已知向量，，，若，则（   ） A． B． C．1 D．5 3．（5分）（2026·四川德阳·一模）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 4．（5分）（2026·安徽·模拟预测）函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（5分）（2026·山东青岛·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过原点的直线交于、两点．若，，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 6．（5分）（2026·山东青岛·一模）已知函数在处取得极小值，则（   ） A． B． C．1 D．3 7．（5分）（2026·山西忻州·模拟预测）某装置按如下规则亮灯：第1次亮2盏灯，以后每次亮灯数比前一次多3盏．现将每连续两次的亮灯数合并为一组，记第组亮灯总数为．若为该装置每次亮灯数，则数列的公差为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 8．（5分）（2026·河北·二模）已知某口袋中装有编号分别为1，2，3，4的红色小球各一个，编号分别为1，2，3，4的白色小球各一个(共8个小球，除颜色与编号外，其他完全相同)，每次从口袋中不放回地任取一个小球，只要取到相同编号的红色小球和白色小球，就结束取球.记取球次数为X，则X的数学期望为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2026·安徽合肥·二模）已知复数（，为虚数单位），则（    ） A．当时， B．当为纯虚数时， C．在复平面内对应的点恒在直线上 D．当时， 10．（6分）（2026·河南周口·三模）如图，在该九面体中，六边形是边长为2的正六边形，，均为正三角形，且平面，平面均垂直于平面，则下列结论正确的是（    ） A．平面 B．该九面体的体积为8 C．该九面体外接球的表面积为 D．二面角的正弦值为 11．（6分）（2026·山东东营·模拟预测）已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点．点是圆（）上的任意一点，使得的重心在轴上．线段与轴的交点为．则下列说法正确的是（     ） A． 的取值范围为 B．三角形的面积是斜率的函数 C．当时，的最大值为6 D．的最小值为 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2026·上海黄浦·一模）若直线与平行，则__________． 13．（5分）（2026·甘肃定西·一模）已知函数在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围为__________． 14．（5分）（2026·湖北黄冈·二模）已知数列的首项为，前项和为，且，若，则的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2026·北京·三模）如图，在五面体中，平面平面，底面是边长为2的菱形．，，．    (1)若点，分别为棱和棱的中点，求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角． 16．（15分）（2026·河北秦皇岛·二模）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，，为的中点，求的长. 17．（15分）（2026·山东·模拟预测）数学多选题的得分规则如下：每小题给出A，B，C，D四个选项，其中有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分（例如：若正确选项为两项，选对其中一项得3分；若正确选项为三项，选对其中一项得2分、选对其中两项得4分），有选错的得0分．已知任意一道多选题四个选项全部正确的概率为0，设正确选项为两项的概率为． (1)现有某道多选题，小李同学完全不会，他的策略是在A，B，C，D四个选项中任选两个选项． （i）若，求该题他得到6分的概率； （ii）已知小李在该题得分不是0分的条件下，恰好得4分的概率为，求的值； (2)有一道多选题，小李判断得出A选项正确（答案中A为正确选项），B，C，D选项他不会判断，现在他有两个方案， 方案一：选A和B，C，D中任意一个， 方案二：选A和B，C，D中任意两个， 从该题得分期望的角度分析，小李应该选择哪个方案． 18．（17分）（2026·海南三亚·一模）已知双曲线的离心率为，左焦点为，右焦点为，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率为（）的直线与双曲线交于两点，记与的面积分别为与，求的取值范围； (3)设为线段的中点，在轴上是否存在定点，使得恒为定值？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 19．（17分）（2026·上海长宁·二模）设连续函数定义域为，区间，记函数在区间上的最大值为，最小值为. (1)设，，若，求实数的值； (2)设，，若，且，求的值； (3)已知，，且对任意闭区间，与均存在. 求证：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、，当，且时，均有.” 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考数学一轮复习检测卷 高三数学（全国一卷）01 （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2026·河北秦皇岛·二模）数据的第分位数为（    ） A．93 B．93. 5 C．94 D．94. 5 【答案】C 【解题思路】先对该组数据从小到大排列，直接由百分位数的定义即可求解. 【解答过程】该组数据从小到大排列为：共有10个数据， ，所以该组数据的第分位数是第8个数据与第9个数据的平均数, 即. 故选：C. 2．（5分）（2026·广东肇庆·模拟预测）已知向量，，，若，则（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】C 【解题思路】首先求出的坐标，依题意可得，根据向量数量积的坐标运算得到方程，解得即可； 【解答过程】因为，，， 所以， 因为， 所以，解得. 故选：C. 3．（5分）（2026·四川德阳·一模）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先解分式不等式和绝对值不等式求出集合A、B，再由交集定义即可得解. 【解答过程】解不等式，解得或， 所以集合 或， 解得，即， 所以集合， 所以. 故选：B. 4．（5分）（2026·安徽·模拟预测）函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用导数求出切线斜率，再结合直线的点斜式方程可得切线方程. 【解答过程】，则， ，所以切线方程为，化简可得， 即函数的图象在点处的切线方程为. 故选：A. 5．（5分）（2026·山东青岛·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过原点的直线交于、两点．若，，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分析可知四边形为平行四边形，可得，结合椭圆的定义可得出、，再利用勾股定理可得出椭圆的离心率的值. 【解答过程】如下图所示： 由题意可知，为、的中点，所以四边形为平行四边形，则， 所以，则， 因为，由勾股定理可得， 故该椭圆的离心率为. 故选：B. 6．（5分）（2026·山东青岛·一模）已知函数在处取得极小值，则（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【解题思路】先对函数求导，利用极值点的导数等于0求出的可能值，再利用导数分析函数的单调性讨论求出． 【解答过程】函数求导得， 由题意知， 则，解得或， 当时，， 由 或；由 . 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值. 当时，， 由 或；由 . 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值. 满足条件的是． 故选：B. 7．（5分）（2026·山西忻州·模拟预测）某装置按如下规则亮灯：第1次亮2盏灯，以后每次亮灯数比前一次多3盏．现将每连续两次的亮灯数合并为一组，记第组亮灯总数为．若为该装置每次亮灯数，则数列的公差为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【解题思路】根据等差数列的定义及通项公式求解即可. 【解答过程】由题意，是首项为2、公差为3的等差数列， 所以． 于是． 即． 所以. 故选：D. 8．（5分）（2026·河北·二模）已知某口袋中装有编号分别为1，2，3，4的红色小球各一个，编号分别为1，2，3，4的白色小球各一个(共8个小球，除颜色与编号外，其他完全相同)，每次从口袋中不放回地任取一个小球，只要取到相同编号的红色小球和白色小球，就结束取球.记取球次数为X，则X的数学期望为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】通过分析取球结束时的次数情况，结合不放回抽样的概率计算方法，分别求出各次数对应的概率，再利用数学期望公式求解. 【解答过程】随机变量的可能取值为. 当时，前两次取球就取到一对编号相同的红、白球， 第一次任取一球，第二次需取到与它编号相同的另一颜色球：； 当时，前两次未出现同号球，第三次才取到， 第一次任取一球，第二次不取同号球， 第三次取到与前两次之一同号的另一颜色球：； 当时，前三次未出现同号球，第四次才取到， 第一次任取一球，后两次均不取已取编号的同号球， 第四次取到与前三次之一同号的另一颜色球：； 当时，前四次未出现同号球， 第五次必然取到（前四次取了4个不同编号的球，剩余球必与前四次某一球同号）： ， 数学期望：. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2026·安徽合肥·二模）已知复数（，为虚数单位），则（    ） A．当时， B．当为纯虚数时， C．在复平面内对应的点恒在直线上 D．当时， 【答案】BC 【解题思路】根据共轭复数和纯虚数的定义可判断A,B,求出复数对应的点可判断C，利用复数的乘法运算可判断D. 【解答过程】对于A，当时，，，A不正确； 对于B，，当为纯虚数时，，即，B正确； 对于C，，在复平面内对应的点的坐标为， 因为，所以C正确； 对于D，当时，，，D不正确. 故选：BC. 10．（6分）（2026·河南周口·三模）如图，在该九面体中，六边形是边长为2的正六边形，，均为正三角形，且平面，平面均垂直于平面，则下列结论正确的是（    ） A．平面 B．该九面体的体积为8 C．该九面体外接球的表面积为 D．二面角的正弦值为 【答案】ACD 【解题思路】对于A：作辅助线，可证平面，平面，则，即可判断；对于B：建系并标点，求点到平面的距离，利用割补法求多面体体积；对于C：分析可知球心，设，根据两点间距离公式可得，进而可得半径和表面积；对于D：求平面、平面的法向量，利用空间向量求二面角. 【解答过程】对于选项A：取，的中点分别为，连接， 因为为等边三角形，则， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 同理可得平面，则， 且，可知四边形为平行四边形，则， 且平面，平面，所以平面，故A正确； 对于选项B：取，的中点分别为，连接， 则，可知平面，， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 可得，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 则点到平面的距离， 由对称性可知点到平面的距离，且为正三棱柱， 所以该九面体的体积为，故B错误； 对于选项C：因为为正六边形的中心，平面， 可知该九面体外接球的球心，设，外接球的半径为， 因为，则，解得， 可得，所以该九面体外接球的表面积为，故C正确； 对于选项D：设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 由题意可知：平面的法向量为， 设二面角为， 则， 可得，所以二面角的正弦值为，故D正确. 故选：ACD. 11．（6分）（2026·山东东营·模拟预测）已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点．点是圆（）上的任意一点，使得的重心在轴上．线段与轴的交点为．则下列说法正确的是（     ） A． 的取值范围为 B．三角形的面积是斜率的函数 C．当时，的最大值为6 D．的最小值为 【答案】ACD 【解题思路】利用重心坐标公式结合韦达定理得到，再利用圆上点的性质得到参数范围判断A，举反例并结合函数的定义判断B，结合题意得到直线和圆的位置关系，进而得到不等式，求解参数范围判断C，将表示为一元函数，再利用换元法与二次函数的性质求解最值判断D即可. 【解答过程】结合题意，可设， 对于A，设直线的方程为，则， 联立方程组，可得， 由韦达定理得，， 由重心坐标公式得， 因为在轴上，所以，解得， 则，由题意得圆心坐标为，半径为， 因为点是圆上的任意一点，所以，解得， 则，得到斜率的取值范围为，故A正确， 对于B，当时，此时，此时，直线方程为， 此时，将代入中， 解得或，则或， 设到的距离为，由点到直线的距离公式得，， 而，则，而此时，， 由弦长公式得，为定值，即得到， 可得三角形的面积不可能是斜率的函数，故B错误， 对于C，由题意得的斜率为，的斜率为， 因为，所以，解得， 此时点在直线上，而点是圆上的任意一点， 可得直线与圆相交或相切，得到，解得， 则的最大值为6，故C正确， 对于D，由三角形面积公式得， 由线段共线的性质得，， 则， 由题意得，则，而， 可得， ， 则， 令，则，得到，则， 令，，当时，符合题意， 由二次函数性质得，当时，取得最大值，且， 则，可得，即的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2026·上海黄浦·一模）若直线与平行，则__________． 【答案】 【解题思路】根据直线平行列方程求解的值，检验平行即可. 【解答过程】若直线与平行， 则，解得，经检验能使得直线. 故答案为：. 13．（5分）（2026·甘肃定西·一模）已知函数在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围为__________． 【答案】 【解题思路】根据得，即可根据条件列不等式求解. 【解答过程】由已知得，得． 令得；令得；令得；令得；令得， ，即的取值范围为． 故答案为：. 14．（5分）（2026·湖北黄冈·二模）已知数列的首项为，前项和为，且，若，则的取值范围为__________. 【答案】 【解题思路】利用已知写出奇数、偶数项的通项公式，再应用分组求和及等比数列的前n项和公式求，结合已知求的取值范围. 【解答过程】当为奇数，则，即， 所以的奇数项是首项为，公比为2的等比数列， 则，即， 当为偶数，则，即， 所以的偶数项是首项为，公比为2的等比数列， 则，即， 所以 ， 若，则，即. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2026·北京·三模）如图，在五面体中，平面平面，底面是边长为2的菱形．，，．    (1)若点，分别为棱和棱的中点，求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）取的中点，连接、.根据中位线以及菱形的性质得到四边形是平行四边形，再根据线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，应用线面角正弦公式求解即可. 【解答过程】（1）证明：因为，且，所以四边形是等腰梯形. 取的中点，连接、.是中点，故，； 又是中点，菱形中，，故，. 因此且，四边形是平行四边形，所以. 又平面，平面，故平面.    （2）由，菱形边长为，故为正方形，进而. 又平面平面，交线为，平面，故平面. 故可以为原点，分别以为轴，以过点的平面的垂线为轴,建立空间直角坐标系. 由（1）易得，，，，，. 故，，. 设平面的法向量， 则，故可取. 设直线与平面所成角为， 则. 因为，故.    16．（15分）（2026·河北秦皇岛·二模）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，，为的中点，求的长. 【答案】(1) (2) 【解题思路】(1)利用正弦定理边化角，经过三角恒等变换得到，再利用三角形中角的范围得到的值. (2)根据余弦定理得到的值，然后利用爪形定理得到三角形边长与中线的关系即可求解. 【解答过程】（1）由正弦定理得 由，得. 因为，所以 ，故. 即.又因为 ，所以， 所以，故. （2）在中，由余弦定理得， 所以，又，所以. 因为为的中点，， 则，所以. 17．（15分）（2026·山东·模拟预测）数学多选题的得分规则如下：每小题给出A，B，C，D四个选项，其中有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分（例如：若正确选项为两项，选对其中一项得3分；若正确选项为三项，选对其中一项得2分、选对其中两项得4分），有选错的得0分．已知任意一道多选题四个选项全部正确的概率为0，设正确选项为两项的概率为． (1)现有某道多选题，小李同学完全不会，他的策略是在A，B，C，D四个选项中任选两个选项． （i）若，求该题他得到6分的概率； （ii）已知小李在该题得分不是0分的条件下，恰好得4分的概率为，求的值； (2)有一道多选题，小李判断得出A选项正确（答案中A为正确选项），B，C，D选项他不会判断，现在他有两个方案， 方案一：选A和B，C，D中任意一个， 方案二：选A和B，C，D中任意两个， 从该题得分期望的角度分析，小李应该选择哪个方案． 【答案】(1)（i）； （ii） (2)选方案一 【解题思路】（1）（i）得到了6分，因此标准答案必须为两项，求其概率；（ii）记事件为小李任选两个选项在该题的得分不是0分，记为小李该题的分数，则，根据条件概率列方程进行求解； （2）根据条件，分别求出两种情况的分布列，进而求出期望，再根据期望的值进行讨论，从而得到结论. 【解答过程】（1）（i）由于本题得到了6分，因此标准答案必须为两项， 记事件为该题他得到6分，则， 那么该题他得到6分的概率为； （ii）记事件为小李任选两个选项在该题的得分不是0分，记为小李该题的分数， 因为正确选项为两项的概率为，正确选项为四项的概率为0，所以正确选项为三项的概率为， 则，， ，， 令，解得； （2）记为小李该多选题的得分，执行方案一得分的可能取值为0、4、6， ， ，， 方案一的得分的分布列为 0 4 6 所以. 执行方案二得分的可能取值为0、6， ， ， 方案二的得分的分布列为 0 6 所以. 所以，成立， 故选方案一. 18．（17分）（2026·海南三亚·一模）已知双曲线的离心率为，左焦点为，右焦点为，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率为（）的直线与双曲线交于两点，记与的面积分别为与，求的取值范围； (3)设为线段的中点，在轴上是否存在定点，使得恒为定值？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，. 【解题思路】（1）根据离心率公式、已知条件及的关系求解即可； （2）将直线方程与双曲线方程联立，由韦达定理及三角形的形公式可得，，从而可得，由，可得，即，解此不等式组，即可得答案； （3）设存在满足条件的点，其坐标为，由中点坐标公式得，从而得，由，求解即可. 【解答过程】（1）因为双曲线的离心率为， 所以，， 所以， 又因为点在双曲线上， 所以，解得，所以， 所以求双曲线的方程为； （2）由题意可得， 所以直线的方程为， 由，得， ， 设， 则， 由此可得， 因为， 所以， 令，则， 所以， 消去，得， 因为，所以，， 所以， 即，解得， 即的取值范围为； （3）因为， 即， 所以， 又因为为线段的中点，所以， 设存在满足条件的点，其坐标为， 则， 所以， 要使此值为定值，则，解得， 所以存在，使得恒为定值4. 19．（17分）（2026·上海长宁·二模）设连续函数定义域为，区间，记函数在区间上的最大值为，最小值为. (1)设，，若，求实数的值； (2)设，，若，且，求的值； (3)已知，，且对任意闭区间，与均存在. 求证：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、，当，且时，均有.” 【答案】(1) (2)或 或 (3)证明见解析 【解题思路】（1）讨论在区间上的单调性，则可找到其最小值，即可求出答案； （2）讨论， ， ，分别求出，即可求出答案； （3）必要性直接证明即可，利用反证法再证明充分性. 【解答过程】（1）由题意知函数，在区间上的最小值为， 由题意得， ①当时，恒成立， 在区间上单调递增，无最小值，不满足题意； ②当时，当时，， 在区间上单调递减， 当时，， 此时在区间上单调递增， 此时，满足题意； ③当 时，恒成立， 在区间上单调递减，无最小值，不满足题意； 综上所述，. （2）由题意得, 当 或 时， ，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 又， ①当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 此时， 因为，所以， 又在区间上单调递减，即， 所以，故； ②当 时，在区间 上单调递减， 此时，满足； ③当 时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 此时， 因为 ，在区间上单调递减， 所以，则，得到，解得， 综上所述：或 或. （3）证明：必要性：若在区间上严格增， 设， 因为在区间上严格增， 所以， 又，， 所以，又在区间上严格增， 所以，必要性成立； 充分性：假设在上不严格增， 则存在，使得， 令，设，， 由函数在区间连续， 所以必存在，使得， 令，则，， 由于，函数在区间上不可能是严格增函数， 若函数在区间上为常数，可取， 则，与题设矛盾；若函数在区间上不为常数， 则其最大值与最小值不可能同时在两个端点取到， 故是的真子集，即与题设矛盾. 因此假设不成立，在上严格增，充分性成立. 综上所述：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、， 当，且时，均有.” 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $