考点培优练01 集合与常用逻辑用语7大考点（高效培优专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 该专项聚焦集合与常用逻辑用语7大考点，以“概念-方法-应用”为主线，系统提炼求参问题解题模板、集合关系判断等方法，构建递进式知识网络，培养数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点01-07|每考点1典例+4跟踪训练|元素特性应用、集合关系判断法（列举/结构/数轴）、运算性质、求参核心规则、充要条件判定、求参解题模板、量词命题否定规律|从集合概念到关系、运算、求参，过渡到常用逻辑用语，形成“基础概念-方法技巧-综合应用”递进链条|

考点培优练01 集合与常用逻辑用语7大考点 考点预览 考点01 集合的含义与表示 1 考点02 集合间的基本关系 3 考点03 集合间的基本运算 5 考点04 集合中的求参问题 7 考点05 充分条件与必要条件 10 考点06 充分条件与必要条件中的求参问题 12 考点07 全称量词与存在量词 15 考点通关 考点01 集合的含义与表示 1．元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【典例1】（2026·河南·一模）已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】，则集合中元素都在集合中， 若，解得，则集合有两个2，不符合集合中元素的互异性，舍去； 若，方程无解； 由题意知，则必有， 此时，若，则，方程无实数根， ，则或， 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可得，． 【跟踪训练】 1．（2026·湖南·模拟预测）若集合，则的子集个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【详解】因为集合，所以的子集个数为． 2．（2026·广东深圳·三模）当一个非空数集满足：如果，那么且当时，时，我们称就是一个数域.有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域.其中正确的说法是（   ）. A．①②④ B．②③④ C．①④ D．①② 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用数域的定义依次判断各个命题即可.. 【详解】当，且时，，因此0是任何数域的元素，①正确； 当，且时，由数域的定义知， 因此，②正确； 当时，，③错误； 如果，那么，且当时，，因此有理数集是一个数域，④正确 3．（2026·安徽合肥·二模）已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若，则，解得或， 所以若，则的取值范围为. 4．（2026·辽宁·三模）定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】根据定义先求，进而求解. 【详解】由题意得：，所以. 考点02 集合间的基本关系 1．集合间的基本关系 　表示 关系　　 文字语言 记法 集合间的基本关系 子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 A⊆B或B⊇A 真子集 集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A AB或BA 相等 集合A的每一个元素都是集合B的元素，集合B的每一个元素也都是集合A的元素 A⊆B且B⊆A⇔A＝B 空集 空集是任何集合的子集 ∅⊆A 空集是任何非空集合的真子集 ∅B且B≠∅ 2．判断集合间关系的常用方法 列举法 根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系 结构法 从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断 数轴法 在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系 【典例2】（2026·湖北·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据子集的定义，由元素和集合的关系求解. 【详解】由可知，解得. 此时，符合要求. 所以. 【跟踪训练】 1．（2026·河北邯郸·三模）已知集合，则集合的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】集合，共有4个元素，故选B. 2．（2026·河南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，解得或，所以. 因为，所以或，解得或或. 经检验：当时，与集合中元素的互异性矛盾. 所以实数的取值集合为. 3．（25-26高三·全国·一轮复习）设集合，，若，则的值为________． 【答案】 【分析】首先由集合元素的特征得，再由集合相等分和两种情况解得. 【详解】由集合，，得， 又因为，则或， 当时，，，， 于是，得，因此； 当时，集合，，有，则，解得与矛盾，舍去. 因此． 4．（2026高三·全国·专题练习），若，则______． 【答案】1 【分析】根据题意，利用集合相等和集合中元素的性质，求得，，进而得到答案. 【详解】由已知得，则，所以， 于是，即或， 又由集合中元素的互异性知应舍去，故， 所以． 考点03 集合间的基本运算 1．集合的三种基本运算 符号表示 图形表示 符号语言 集合的并集 A∪B A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 集合的交集 A∩B A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 集合的补集 若全集为U，则集合A的补集为∁UA ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 2.集合的三种基本运算的常见性质 (1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∪A＝A，A∪∅＝A. (2)A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A. (3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅. 【典例3】（2026·广东广州·三模）已知集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，化简得， 所以或， 所以或， 所以或， 阴影部分表示的集合为，而， 所以. 【跟踪训练】 1．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合，易知函数的值域为，即， 集合，即，， 因此. 2．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知集合，，则的子集个数为（     ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】构造函数，借助导数计算可得该函数有且仅有一个零点，即可得中有且仅有一个元素，即可得的子集个数. 【详解】令，则，故在上单调递增， 又，故有且仅有一个零点， 即图象与图象有且仅有一个交点， 即中有且仅有一个元素，故的子集个数为. 3．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，求出时，，结合充分条件与必要条件判断即可． 【详解】时，，符合， 时，，又， 或，解得或， 综上，时，， 则“”是“”的充分不必要条件． 4．（2026·河南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，解得或，所以. 因为，所以或，解得或或. 经检验：当时，与集合中元素的互异性矛盾. 所以实数的取值集合为. 考点04 集合中的求参问题 集合求参核心：依托集合关系（相等、包含、交集 / 并集 / 补集），结合元素互异性、空集特殊性、区间端点分类讨论，分题型梳理通用思路、步骤、易错点和例题。 一、先掌握核心基础规则（解题前提） 元素三大性质：确定性、互异性（高频考点）、无序性；含参数集合必须检验元素互不相等。 空集：任何集合的子集，是非空集合的真子集；遇到子集、真子集问题，优先讨论空集。 数集常用表示：列举法、描述法、区间；数轴是分析数集关系的核心工具。 符号区分：（子集，A可以等于B）、（真子集，）。 【典例4】（2026·陕西咸阳·三模）已知集合 ，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】化简集合分式不等式等价于，解得，即， 化简集合由得，即； 根据包含关系求的范围表示中所有元素都属于， 要让区间完全落在内，只需满足：解得， 即的取值范围为. 【跟踪训练】 1．（2026·河南·二模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分、，结合进行求解． 【详解】当时，，符合； 当时，，，又， ， 综上，． 2．（2026·北京西城·一模）设关于x的不等式的解集为P，若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】转化为恒成立问题，由对称性求出函数的值域，得到不等式，求出答案 【详解】，即的解集为P，设， 设，由于，故为偶函数， 由对称性可知， 又，故， 因为，，作出函数的图象如下图： 由图可知，要使，只需满足，解得. 3．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）已知集合，，，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解不等式求得集合，根据列不等式求得的取值范围. 【详解】由，得，解得，所以. 由于，， 所以，解得， 所以的取值范围是. 4．（2026·湖北·三模）已知集合，，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的补集、交集以及子集的相关概念来确定参数的取值范围. 【详解】因为，所以， 又因为，所以和没有公共元素， 即，所以中所有元素都满足， 又因为，中最小元素是， 要让中所有元素都大于，只需， 即的取值范围是. 考点05 充分条件与必要条件 对于若则类型中，为条件，为结论 若充分性成立，若必要性成立 若，，则是的充分必要条件（简称：充要条件） 若，，则是的充分非必要条件（充分不必要条件） 若，，则是的必要非充分条件（必要不充分条件） 若，，则是的既不充分也不必要条件 【典例5】（2026·浙江·二模）已知且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为， 由，所以，故，充分性成立， 由，得或，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 【跟踪训练】 1．（2026·北京西城·模拟预测）在中，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】在中，令内角所对边分别为， 由正弦定理，得. 2．（2026·甘肃金昌·模拟预测）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用二倍角的余弦、正弦公式、同角三角函数的基本关系，充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】若，又，得， 则， 所以“”是“”的充分条件； 若，且，则，所以， 若，则，可得， 若，则，可得. 故“”不是“”的必要条件． 故“”是“”的充分不必要条件． 3．（2026·天津·二模）设，，则“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案. 【详解】充分性证明:当 ①若,则有,于是; ②若,则有于是; ③若,则有,于是,因为,,所以有成立. “”是“”的充分条件. 必要性证明:当 (1)若时，由，可得，则，于是; (2)时，由，可得，则，于是; (3)若,,则有,于是; (4)若,,则有,满足条件,于是成立; (5)若,,则不成立,不满足条件; (6)若,,由,可得,即,所以有. “”是“”的必要条件. 综上所述,“”是“”的充要条件. 4．（2026·安徽·模拟预测）“函数在区间上单调递增”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据对数函数的单调性，结合复合函数单调性的性质、充分性和必要性的定义进行判断即可. 【详解】二次函数的对称轴为， 函数在区间上单调递增，则，解得， 由可得，但是由得不到， 所以函数在区间上单调递增是的必要不充分条件. 考点06 充分条件与必要条件中的求参问题 1.充分条件与必要条件（充分性、必要性）： (1)如果“若,则”为真命题，则记作 则称 (2) 若，则是的充分必要条件，简称充要条件 注意：① “充分” 与 “必要”牢记：小范围推大范围；小范围是充分不必要，大范围是必要不充分 ②忽略空集含参数区间集合，子集问题先讨论空集，再列不等式。 ③充要条件题型漏双向验证证明充要条件，必须分两步：①充分性 ②必要性。 解题模板（通用所有求参题） 步骤 1：拆分p、q，分别解不等式，写出集合A、B（含参数） 2：翻译题干条件→集合包含关系（上面四条） 3：数轴画图，列不等式组；含参数区间：优先讨论空集！（子集问题必考空集） 4：解不等式，求出参数范围 5：检验端点能否取等，舍去错误取值 【典例6】（2026高三·全国·专题练习）已知条件：，条件：，若是的充分不必要条件，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简求出解集,再求出二次不等式对应方程的两根并分情况写出解集,由是的充分不必要条件,可知的解集要真包含于的解集,由此列出约束条件,进而求出. 【详解】由得，根据指数函数单调性可得，即. 方程的两根为和. 不等式的解集为： 当时，解集为； 当时，解集为空集； 当时，解集为. 因为是的充分不必要条件，所以是解集的真子集，仅当解集为时满足条件. 因此满足且，解得，即的取值范围为. 【跟踪训练】 1．（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题“，使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题意说明：“，恒成立”是真命题，然后对分类讨论可得. 【详解】命题“，使得不等式成立”为假命题，则命题：“，恒成立”是真命题， 时，不等式为恒成立，满足题意， 时，则，解得， 综上，的范围是. 2．（25-26高三上·辽宁·期末）已知命题，为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据命题的否定及不等式恒成立问题即可求解. 【详解】由题意可转换为，， 当时，，符合题意； 当时，由恒成立知，得， 综上：的取值范围是. 故选：C. 3．（2026高三·全国·专题练习）若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式可得，再根据题意可得，由此得到的取值范围. 【详解】由可知, 是的必要不充分条件， 4．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段检测）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的解法，求得，转化为集合是的真子集，进而求得实数的取值范围，得到答案. 【详解】由不等式，可得，解得，即， 因为是的必要不充分条件， 所以集合是集合的真子集，所以， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 考点07 全称量词与存在量词 1．全称量词与存在量词 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示，含有全称量词的命题叫做全称量词命题. （2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“∃”表示，含有存在量词的命题叫做存在量词命题. 2．全称量词命题与存在量词命题的否定 （1）全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题. （2）含有一个量词的命题的否定 命题：； 命题的否定： 命题： ；命题的否定： 3.重要结论 ①．含有一个量词的命题的否定规律是“先改量词，后否结论”． ②．注意命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提； ③．注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定． 【典例7】（25-26高三·全国·一轮复习）下列说法正确的是（   ） A．“菱形是正方形”是全称量词命题 B．“，，”的否定是“，，” C．命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“有一个奇数能被3整除” D．“”是“”的必要不充分条件 【答案】A 【详解】对于A，“菱形是正方形”即“所有的菱形都是正方形”，是全称量词命题，故A正确； 对于B，由全称量词命题的否定知其否定是“，，”，故B错误； 对于C，命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“所有的奇数都能被3整除”，故C错误； 对于D，因为时，成立， 而时，不一定成立，如，， 故“”是“”的充分不必要条件，故D错误． 【跟踪训练】 1．（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由命题“”为真命题，利用判别式，即可确定实数的取值范围． 【详解】由命题“”为真命题， ， 解得：， 2．（2026·广西南宁·三模）下列命题为真命题的是（   ） A．命题，，则命题p的否定是：， B．“”是“”的充分不必要条件 C．方程的两根都大于1的充要条件是 D．是关于x的不等式对一切实数x恒成立的充要条件 【答案】B 【分析】对于A，根据全称量词的命题的否定要求判断；对于B，利用不等式的性质与举反例说明即可；对于C，利用三个二次的关系，数形结合列不等式求解即可判断；对于D，根据参数的取值分类讨论，并结合图象列不等式求解即得. 【详解】对于A，因含全称量词的命题的否定需要改变量词，否定结论， 故命题，的否定是：，，故A错误； 对于B，由可得；但时，满足，却得不到， 故“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 对于C，设，则方程的两根都大于1等价于： ，解得，故C错误； 对于D，对于x的不等式，当时，不等式恒成立， 当时，不等式对一切实数x恒成立等价于，解得. 综上可得，是关于x的不等式对一切实数x恒成立的充要条件，故D错误. 3．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知命题，；命题，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【详解】当时，不成立，所以命题是假命题，是真命题； 根据指数函数和对数函数的图象可知，函数与在上有一个交点， 则，，即命题是真命题，是假命题. 4．（2025·陕西西安·二模）已知命题；命题，则（   ） A．p和都是真命题 B．和都是真命题 C．p和q都是真命题 D．和q都是真命题 【答案】C 【分析】利用特殊值判断的真假，利用基本不等式及正弦函数的最大值判断. 【详解】当时，成立，所以为真命题； 因为，当且仅当，即时等号成立， 而，所以为真命题, 所以都是假命题. 故选：C 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点培优练01 集合与常用逻辑用语7大考点 考点预览 考点01 集合的含义与表示 1 考点02 集合间的基本关系 2 考点03 集合间的基本运算 3 考点04 集合中的求参问题 4 考点05 充分条件与必要条件 4 考点06 充分条件与必要条件中的求参问题 5 考点07 全称量词与存在量词 6 考点通关 考点01 集合的含义与表示 1．元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【典例1】（2026·河南·一模）已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2026·湖南·模拟预测）若集合，则的子集个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 2．（2026·广东深圳·三模）当一个非空数集满足：如果，那么且当时，时，我们称就是一个数域.有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域.其中正确的说法是（   ）. A．①②④ B．②③④ C．①④ D．①② 3．（2026·安徽合肥·二模）已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·辽宁·三模）定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 考点02 集合间的基本关系 1．集合间的基本关系 　表示 关系　　 文字语言 记法 集合间的基本关系 子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 A⊆B或B⊇A 真子集 集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A AB或BA 相等 集合A的每一个元素都是集合B的元素，集合B的每一个元素也都是集合A的元素 A⊆B且B⊆A⇔A＝B 空集 空集是任何集合的子集 ∅⊆A 空集是任何非空集合的真子集 ∅B且B≠∅ 2．判断集合间关系的常用方法 列举法 根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系 结构法 从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断 数轴法 在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系 【典例2】（2026·湖北·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪训练】 1．（2026·河北邯郸·三模）已知集合，则集合的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2026·河南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三·全国·一轮复习）设集合，，若，则的值为________． 4．（2026高三·全国·专题练习），若，则______． 考点03 集合间的基本运算 1．集合的三种基本运算 符号表示 图形表示 符号语言 集合的并集 A∪B A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 集合的交集 A∩B A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 集合的补集 若全集为U，则集合A的补集为∁UA ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 2.集合的三种基本运算的常见性质 (1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∪A＝A，A∪∅＝A. (2)A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A. (3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅. 【典例3】（2026·广东广州·三模）已知集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知集合，，则的子集个数为（     ） A．8 B．6 C．4 D．2 3．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·河南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 考点04 集合中的求参问题 集合求参核心：依托集合关系（相等、包含、交集 / 并集 / 补集），结合元素互异性、空集特殊性、区间端点分类讨论，分题型梳理通用思路、步骤、易错点和例题。 一、先掌握核心基础规则（解题前提） 元素三大性质：确定性、互异性（高频考点）、无序性；含参数集合必须检验元素互不相等。 空集：任何集合的子集，是非空集合的真子集；遇到子集、真子集问题，优先讨论空集。 数集常用表示：列举法、描述法、区间；数轴是分析数集关系的核心工具。 符号区分：（子集，A可以等于B）、（真子集，）。 【典例4】（2026·陕西咸阳·三模）已知集合 ，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2026·河南·二模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·北京西城·一模）设关于x的不等式的解集为P，若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁铁岭·模拟）已知集合，，，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·湖北·三模）已知集合，，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点05 充分条件与必要条件 对于若则类型中，为条件，为结论 若充分性成立，若必要性成立 若，，则是的充分必要条件（简称：充要条件） 若，，则是的充分非必要条件（充分不必要条件） 若，，则是的必要非充分条件（必要不充分条件） 若，，则是的既不充分也不必要条件 【典例5】（2026·浙江·二模）已知且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【跟踪训练】 1．（2026·北京西城·模拟预测）在中，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·甘肃金昌·模拟预测）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·天津·二模）设，，则“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·安徽·模拟预测）“函数在区间上单调递增”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点06 充分条件与必要条件中的求参问题 1.充分条件与必要条件（充分性、必要性）： (1)如果“若,则”为真命题，则记作 则称 (2) 若，则是的充分必要条件，简称充要条件 注意：① “充分” 与 “必要”牢记：小范围推大范围；小范围是充分不必要，大范围是必要不充分 ②忽略空集含参数区间集合，子集问题先讨论空集，再列不等式。 ③充要条件题型漏双向验证证明充要条件，必须分两步：①充分性 ②必要性。 解题模板（通用所有求参题） 步骤 1：拆分p、q，分别解不等式，写出集合A、B（含参数） 2：翻译题干条件→集合包含关系（上面四条） 3：数轴画图，列不等式组；含参数区间：优先讨论空集！（子集问题必考空集） 4：解不等式，求出参数范围 5：检验端点能否取等，舍去错误取值 【典例6】（2026高三·全国·专题练习）已知条件：，条件：，若是的充分不必要条件，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题“，使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·辽宁·期末）已知命题，为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段检测）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点07 全称量词与存在量词 1．全称量词与存在量词 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示，含有全称量词的命题叫做全称量词命题. （2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“∃”表示，含有存在量词的命题叫做存在量词命题. 2．全称量词命题与存在量词命题的否定 （1）全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题. （2）含有一个量词的命题的否定 命题：； 命题的否定： 命题： ；命题的否定： 3.重要结论 ①．含有一个量词的命题的否定规律是“先改量词，后否结论”． ②．注意命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提； ③．注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定． 【典例7】（25-26高三·全国·一轮复习）下列说法正确的是（   ） A．“菱形是正方形”是全称量词命题 B．“，，”的否定是“，，” C．命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“有一个奇数能被3整除” D．“”是“”的必要不充分条件 【跟踪训练】 1．（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广西南宁·三模）下列命题为真命题的是（   ） A．命题，，则命题p的否定是：， B．“”是“”的充分不必要条件 C．方程的两根都大于1的充要条件是 D．是关于x的不等式对一切实数x恒成立的充要条件 3．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知命题，；命题，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 4．（2025·陕西西安·二模）已知命题；命题，则（   ） A．p和都是真命题 B．和都是真命题 C．p和q都是真命题 D．和q都是真命题 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $