重难点08 导数中的同构问题（举一反三专项训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

**基本信息** 聚焦导数同构问题，构建“概念-变形-应用”三阶方法体系，通过8类题型实现从结构分析到函数构造的系统性突破，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |导数同构基础|3类基础类型+例题+变式|构造增减函数解决双变量问题|从地位等同同构概念出发，推导三类基础构造方法| |指对同构变形|3类变形（和差/乘积/商型）+例题+变式|5种常见变形+3种基本模式|基于指对函数特征，提炼针对性变形策略| |同构应用场景|4类应用（比较大小/恒成立/证明/零点）+综合题|函数单调性应用+参数范围求解|从基础应用到复杂综合，形成问题解决闭环|

重难点08 导数中的同构问题（举一反三专项训练） 【全国通用】 【题型1 结构一致同构】 3 【题型2 指对同构——和差型】 3 【题型3 指对同构——乘积型】 4 【题型4 指对同构——商型】 4 【题型5 同构应用——比较大小】 4 【题型6 同构应用——解决不等式恒成立问题】 5 【题型7 同构应用——证明不等式】 6 【题型8 同构应用——解决函数零点问题】 7 1、导数中的同构问题 导数是高中数学的重要内容，而导数中的同构问题是高考考查的一个重点、热点内容。从近三年的高考情况来看，高考对导数中的同构问题的考查比较稳定，导数中的同构问题经常以选择题、填空题出现，难度中档；同构法构造函数也在解答题中出现，试题难度较大；主要考查方向是：通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题，解题时需要灵活求解，高考一轮复习时要加强这方面的训练。 考点1 导数中的同构问题 知识点1 导数中的同构问题 1．导数中的同构问题 地位等同同构，主要针对双变量问题，主要有以下几种类型： (1)类型一：构造为增函数； (2)类型二：构造为减函数； (3)类型三：，等价变形为（两边是同构式），构造为减函数. 【注】：对于含有同等地位的两个变量的方程进行变形，是常见变形，通过变形整理后的不等式两边具有相同结构（函数同构），往往通过函数的单调性进行求解，这类同构也是比较基础的一类. 2．同构式的应用 (1)在方程中的应用：如果方程f(a)=0和f(b)=0呈现同构特征，则a,b可视为方程f(x)=0的两个根. (2)在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而利用导数找到和函数单调性、最值等之间的练习，来解决比较大小、解不等式、恒成立等问题. 知识点2 指对同构问题 1．指对同构解决不等式问题 在解决指对混合不等式时，如恒成立求参数取值范围或证明不等式，有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型(即不等式两边对应的同一函数)，无疑大大加快解决问题的速度.找到这个函数模型的方法，我们称为同构法. (1)五个常见变形： . (2)三种基本模式 三种同构方式： ①和差型： ②乘积型： ③商型： 【题型1 结构一致同构】 【例1】（25-26高二下·广东珠海·阶段检测）已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数，若对任意的，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·贵州黔东南·三模）已知函数，若对任意且，不等式恒成立，则实数a的最大值为____________． 【变式1-3】（25-26高二下·天津·阶段检测）的定义域为，且对，，，恒成立，则实数的取值范围为____________． 【题型2 指对同构——和差型】 【例2】（25-26高三下·青海玉树·开学考试）设实数，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·贵州贵阳·二模）已知函数，若对任意恒成立，则实数a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二下·湖南岳阳·期末）若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值是____________． 【变式2-3】（2026·河南南阳·三模）已知函数，，若恒成立，则的最小值是___________． 【题型3 指对同构——乘积型】 【例3】（2026·江西·一模）已知，若不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026高三下·全国·专题练习）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二下·河北·阶段检测）设实数，对于任意的，不等式恒成立，则k的最小值为____________． 【变式3-3】（2026·湖南郴州·一模）已知实数，不等式恒成立，则实数的最大值为____________. 【题型4 指对同构——商型】 【例4】（2026·河北沧州·模拟预测）已知当时，不等式恒成立，则实数的最小值为（   ） A． B．1 C．2 D．e 【变式4-1】（2026·山西晋中·模拟预测）若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·广东广州·模拟预测）若，关于的不等式恒成立，则正实数的最大值为_____________. 【变式4-3】（25-26高三上·湖北黄冈·期中）对于任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是____________. 【题型5 同构应用——比较大小】 【例5】（2026·山西·三模）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二下·浙江杭州·期中）已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·河北·三模）已知，，，，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高二下·河南濮阳·阶段检测）已知a，b，，且，，，其中e是自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 【题型6 同构应用——解决不等式恒成立问题】 【例6】（2026·海南·模拟预测）已知当时，函数恒成立，求实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·甘肃金昌·三模）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·山西晋中·模拟预测）已知函数. (1)当时，曲线在处的切线在轴上的截距为，求的最小值； (2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，证明：函数在上有两个极值点. 【变式6-3】（2026·四川泸州·模拟预测）已知函数， (1)当时，讨论函数单调性； (2)当时，若对任意，不等式恒成立，求b的最小值； (3)若存在两个不同的极值点，且，求实数取值范围． 【题型7 同构应用——证明不等式】 【例7】（25-26高三上·河北·期中）已知函数. (1)讨论函数的极值点个数； (2)当时，证明：； (3)函数有两个零点，求证：. 【变式7-1】（2026·天津·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，有两个极值点，且， （ⅰ）求t的范围； （ⅱ）证明： 【变式7-2】（2026·四川攀枝花·一模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求实数a的取值范围； (3)设m，n是两个不相等的正数，且，证明：. 【变式7-3】（2026·天津河北·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，有两个极值点，且，若， （ⅰ）证明：； （ⅱ）证明：. 【题型8 同构应用——解决函数零点问题】 【例8】（2026·山东青岛·模拟预测）若函数有2个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2026·江西·二模）已知函数 恰有2个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2026·河南许昌·模拟预测）已知函数 (1)求的最小值； (2)若有两个零点，证明： 【变式8-3】（2026·福建漳州·模拟预测）已知函数有两个不同的零点，. (1)求实数的取值范围； (2)证明：. 一、单选题 1．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山东日照·模拟预测）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·广东佛山·模拟预测）若恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南株洲·三模）若存在，使得对恒成立，则实数b的范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·天津河西·二模）设，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·山东烟台·模拟预测）已知函数，，若，，有，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 7．（25-26高二下·山东济宁·期中）已知定义在上的函数，其导函数为，不等式恒成立．若对，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·河南·三模）已知关于的不等式对任意的恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 二、多选题 9．（25-26高三下·安徽·期中）已知，为自然对数的底数，若，则（    ） A． B． C． D． 10．（2026·河南南阳·二模）已知（且），若，且（为自然对数的底数），则（    ） A． B． C． D． 11．（2026·广西南宁·二模）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．若恒成立，则 B．是的极值点 C．若函数恰有2个正零点，则 D．若关于x的不等式有解，则 三、填空题 12．（25-26高二下·山东泰安·期末）已知对任意恒成立，则实数a的取值范围是____________. 13．（2026高二·全国·专题练习）若对任意，满足恒成立，则实数的取值范围是____________． 14．（25-26高三上·四川绵阳·阶段检测）已知函数，若对任意，，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________． 四、解答题 15．（2026·陕西渭南·三模）已知函数． (1)当时，曲线的一条切线方程为，求实数的值； (2)求函数的单调区间； (3)若对任意，恒成立，求实数的最小值． 16．（2026·福建福州·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数的单调区间； (2)若，对任意两个不相等的正数，，都有恒成立，求实数的取值范围． 17．（2026·河北保定·二模）已知函数 (1)若，讨论的单调性； (2)若的极小值点为 求的值； (3)若，且 证明：. 18．（2026·湖南岳阳·三模）已知函数，其中e为自然对数的底数，． (1)当时，求的单调区间； (2)若存在两个不同的极值点，且． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明． 19．（2026·山东聊城·二模）已知函数. (1)当时，求的最小值； (2)若当时，恒成立，求的取值范围； (3)若关于的方程有两个不等实根，证明：. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点08 导数中的同构问题（举一反三专项训练） 【全国通用】 【题型1 结构一致同构】 3 【题型2 指对同构——和差型】 5 【题型3 指对同构——乘积型】 8 【题型4 指对同构——商型】 11 【题型5 同构应用——比较大小】 14 【题型6 同构应用——解决不等式恒成立问题】 16 【题型7 同构应用——证明不等式】 21 【题型8 同构应用——解决函数零点问题】 28 1、导数中的同构问题 导数是高中数学的重要内容，而导数中的同构问题是高考考查的一个重点、热点内容。从近三年的高考情况来看，高考对导数中的同构问题的考查比较稳定，导数中的同构问题经常以选择题、填空题出现，难度中档；同构法构造函数也在解答题中出现，试题难度较大；主要考查方向是：通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题，解题时需要灵活求解，高考一轮复习时要加强这方面的训练。 考点1 导数中的同构问题 知识点1 导数中的同构问题 1．导数中的同构问题 地位等同同构，主要针对双变量问题，主要有以下几种类型： (1)类型一：构造为增函数； (2)类型二：构造为减函数； (3)类型三：，等价变形为（两边是同构式），构造为减函数. 【注】：对于含有同等地位的两个变量的方程进行变形，是常见变形，通过变形整理后的不等式两边具有相同结构（函数同构），往往通过函数的单调性进行求解，这类同构也是比较基础的一类. 2．同构式的应用 (1)在方程中的应用：如果方程f(a)=0和f(b)=0呈现同构特征，则a,b可视为方程f(x)=0的两个根. (2)在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而利用导数找到和函数单调性、最值等之间的练习，来解决比较大小、解不等式、恒成立等问题. 知识点2 指对同构问题 1．指对同构解决不等式问题 在解决指对混合不等式时，如恒成立求参数取值范围或证明不等式，有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型(即不等式两边对应的同一函数)，无疑大大加快解决问题的速度.找到这个函数模型的方法，我们称为同构法. (1)五个常见变形： . (2)三种基本模式 三种同构方式： ①和差型： ②乘积型： ③商型： 【题型1 结构一致同构】 【例1】（25-26高二下·广东珠海·阶段检测）已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据单调性定义，将问题转化为在上单调递增，由此可知在恒成立，采用分离变量的方法可求得结果. 【解答过程】当时，由得：， 令，则在上单调递增， 在上恒成立，在上恒成立； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，， ，即，实数的取值范围为. 故选：A. 【变式1-1】（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数，若对任意的，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，构造函数，由此可知对任意恒成立，可求得结果. 【解答过程】由两边同乘得. 设，， 由题意得在上严格递增，则对任意恒成立，即对任意恒成立. 令，，则， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以的最大值为，因此. 当时，， 令，，易得且仅在处取等， 故且最多有一个实数解，严格递增，所以的取值范围是. 故选：C. 【变式1-2】（2026·贵州黔东南·三模）已知函数，若对任意且，不等式恒成立，则实数a的最大值为____________． 【答案】 【解题思路】等价变形给定不等式，构造函数，利用函数单调性定义可得在上单调递增，再利用导数求出的范围即可. 【解答过程】不妨令，依题意，， ，令， 则，，函数在上单调递增， 因此，恒成立， 令函数，求导得，当时，； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， ，因此， 所以实数a的最大值为. 故答案为：. 【变式1-3】（25-26高二下·天津·阶段检测）的定义域为，且对，，，恒成立，则实数的取值范围为____________． 【答案】 【解题思路】设，原不等式等价于，构造函数，则在上单调递减，可得不等式在上恒成立，利用分离参数法可得在上恒成立，结合导数讨论函数的性质求出即可. 【解答过程】设，，，，， 等价于，即， 令，则， 所以函数在上单调递减， 则不等式在上恒成立， 即不等式在上恒成立，令， 则，令，令， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，且， 所以，解得， 即实数a的取值范围为. 故答案为：. 【题型2 指对同构——和差型】 【例2】（25-26高三下·青海玉树·开学考试）设实数，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】依题意可得对任意，不等式恒成立，令，，结合函数的单调性得到对任意恒成立，参变分离可得对任意恒成立，构造函数，利用导数求出，即可得解. 【解答过程】因为对任意，不等式恒成立 即对任意，不等式恒成立， 即对任意，不等式恒成立， 因为，所以，又，所以， 令，，则， 所以在上单调递增， 由对恒成立，得到对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 令，，则， 所以当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以， 故得，即的取值范围是. 故选：D. 【变式2-1】（2026·贵州贵阳·二模）已知函数，若对任意恒成立，则实数a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将题设不等式转化为在上恒成立，构造函数，利用其单调性可得，从而只需使，利用导数求出最值即得参数a的最小值. 【解答过程】因对任意恒成立，即在上恒成立 变形得在上恒成立，即在上恒成立， 设，则有 ，由，可知函数在上单调递增， 故得，即在上恒成立， 设，则，当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 故在时取得极大值，也是最大值为， 故得，即实数a的最小值为. 故选：B. 【变式2-2】（25-26高二下·湖南岳阳·期末）若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值是____________． 【答案】 【解题思路】将问题转化为在上恒成立,然后构造函数，利用单调性，得到，再构造函数，求出最小值即可得解. 【解答过程】由题意可知,由，变形得， 即等价于，即； 令，因为，所以在上单调递增， 由，可得， 所以，等价于， 令，则， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以，因此，即得， 即实数的最大值为. 故答案为：. 【变式2-3】（2026·河南南阳·三模）已知函数，，若恒成立，则的最小值是___________． 【答案】 【解题思路】对不等式进行变形得 ，构造函数，原不等式等价于，利用导数研究的单调性，进而可得自变量之间的关系，再利用导数研究恒成立问题即可. 【解答过程】恒成立，即，即， 即， 令，则恒成立，所以单调递增， ， 令，则 ， 令，解得，当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以，故，即．则的最小值是． 故答案为：. 【题型3 指对同构——乘积型】 【例3】（2026·江西·一模）已知，若不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】不等式同构变形为，分类讨论，在时，引入函数，确实单调性后转化为，，由导数求得的最大值，从而可得参数范围． 【解答过程】因为，，所以等价于． 若，则，，显然恒成立． 若，令，则在上恒成立，则在上单调递增， 由，得，则，则在上恒成立． 令，，则，当时，，在单调递增，当时，，在单调递减， 则，从而，解得．综上所述，的取值范围为． 故选：B. 【变式3-1】（2026高三下·全国·专题练习）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由不等式恒成立，同构变形为恒成立，构造函数，由函数的单调性得在上恒成立，利用分离参数法得在恒成立，再利用导数法求函数的最值即可求解. 【解答过程】， 令， 则， ， 所以在上单调递增，，即， 令，，则 当时， 在上单调递减； 所以，即， 则的最小值为， 故选：D. 【变式3-2】（25-26高二下·河北·阶段检测）设实数，对于任意的，不等式恒成立，则k的最小值为____________． 【答案】 【解题思路】将整理为，然后构造函数，根据的单调性得到，即，再构造函数，求导分析单调性得到，即可得到的范围. 【解答过程】由得， 即， 令，则． 因为， 所以在上单调递增， 因为，所以，即， 令，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以，即， 所以k的最小值为． 故答案为：． 【变式3-3】（2026·湖南郴州·一模）已知实数，不等式恒成立，则实数的最大值为____________. 【答案】 【解题思路】将题干条件整理变形，可得，构造函数，可得的单调性，进而可得，构造函数，利用导数可得的单调性和最值，分析即可得答案. 【解答过程】由，得， 即， 所以， 设，则， 所以在上单调递增， 又， 所以，即恒成立， 设， 所以， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 所以，解得，则实数的最大值为. 故答案为：. 【题型4 指对同构——商型】 【例4】（2026·河北沧州·模拟预测）已知当时，不等式恒成立，则实数的最小值为（   ） A． B．1 C．2 D．e 【答案】A 【解题思路】先将不等式变形为，接着构造函数，利用导数工具求得恒成立，再构造函数，利用导数工具求出其最大值即可得解. 【解答过程】根据题意，因为，所以， 设函数，可得，，， 所以时，；时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以，可得，则， 设函数，则， 所以时，；时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得最大值，所以. 故选：A. 【变式4-1】（2026·山西晋中·模拟预测）若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将恒成立转化为，令，利用导数求出的最大值，可得，又由，求得答案. 【解答过程】由，对任意恒成立， 即， 令，，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， ， ，即，， 又由切线放缩可知，， ，即， 所以的最大值为. 故选：A. 【变式4-2】（2026·广东广州·模拟预测）若，关于的不等式恒成立，则正实数的最大值为_____________. 【答案】 【解题思路】先将不等式同构变形为，构造函数，求导判单调性转化为解不等式0或，令，求导求得最大值小于等于0即可求解. 【解答过程】，即， 令，则. 设，其中， 则，令，得， 所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，又， 所以存在，使得， 所以若，则或，即0或恒成立， 当，故不可能， ， 所以在上，单调递增， 在上，单调递减， 所以，所以只有才能满足要求， 即，又，解得，所以正实数的最大值为. 故答案为：. 【变式4-3】（25-26高三上·湖北黄冈·期中）对于任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是____________. 【答案】 【解题思路】对原不等式合理变形，结合同构思想得到，再构造函数并利用导数判断其单调性，得到，最后利用分离参数法求解参数范围即可. 【解答过程】因为不等式恒成立，， 所以恒成立，则恒成立， 即恒成立，令，可得恒成立， 而，令，，令，， 得到在上单调递增，在上单调递减， 而，，则， 当时，满足，符合题意， 当时，可得恒成立， 则恒成立，令，而， 当时，，则在上单调递增， 可得，得到，故. 综上，正数的取值范围是, 故答案为：. 【题型5 同构应用——比较大小】 【例5】（2026·山西·三模）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而利用单调性比较大小. 【解答过程】设， 则，，， 因为，当时，，所以在上单调递增． 又，所以． 故选：C. 【变式5-1】（25-26高二下·浙江杭州·期中）已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，利用导数可得在上单调递增，在上单调递减，从而可得最大，再根据对数的运算性质比较的大小即可. 【解答过程】解：因为，， 设， 则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，， 又因为， 所以. 故选：D. 【变式5-2】（2026·河北·三模）已知，，，，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】等价变形已知条件，，构造两个函数，利用求导判断单调性即可求解. 【解答过程】设， 因为，，， 所以 即， ， 显然在上单调递减， ，所以在上单调递减， 所以，即， 又，当时，，所以在上单调递增， 所以, 故选：B. 【变式5-3】（25-26高二下·河南濮阳·阶段检测）已知a，b，，且，，，其中e是自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，，然后分别利用导数判断两个函数的单调性，利用其单调性可求得答案. 【解答过程】∵a，b，，，，， 令，，， 当时，，在上单调递减， 令，，，当时，， 所以在上单调递增，即， ∴，即， ∴. 故选：D. 【题型6 同构应用——解决不等式恒成立问题】 【例6】（2026·海南·模拟预测）已知当时，函数恒成立，求实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题易知时不成立，时，由指对同构转化为，令，即，运用单调性解不等式得到在上恒成立，利用参变分离，接着求函数最值即可. 【解答过程】当时，，所以不符合题意； 当由，即， 令，， 所以在上单调递增， ，即， 在上恒成立， ，令， ， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 即， , 故选：B. 【变式6-1】（2026·甘肃金昌·三模）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用同构可得即在上恒成立，设，利用导数求出该函数的最小值后可得参数的取值范围. 【解答过程】由题设有， 当即时，不等式恒成立； 当即时，设，则， 故在上为增函数，而即 因为，故即在上恒成立， 而时，恒成立即恒成立， 故在上恒成立， 设，则， 当时，；当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，故，故， 故， 故选：B. 【变式6-2】（2026·山西晋中·模拟预测）已知函数. (1)当时，曲线在处的切线在轴上的截距为，求的最小值； (2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，证明：函数在上有两个极值点. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）求导，根据导数的几何意义可得，对函数求导，根据导数计算即可求解； （2）由题意可得对恒成立，令，求导，根据导数判断函数单调性，根据单调性可得在上恒成立，令，求导，根据导数可得最值，进而可解； （3）对函数求导，令，，根据导数作出函数大致图象，根据导数与极值的关系计算即可证明. 【解答过程】（1）依题意，所以， 又，所以曲线在处的切线方程为， 令，得，所以， 因为，所以恒成立，所以在上单调递减， 所以； （2）因为，所以， 即对恒成立， 变形得对恒成立，即对恒成立， 令，则等价于对恒成立， 因为，所以当时，恒成立， 所以在上单调递增， 所以当时，等价于，即在上恒成立， 令，则在上恒成立， 所以函数在上单调递增，所以， 所以，所以实数的取值范围是； （3）当时，， 则， 令，则， 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 又，当时，， 即有且仅有一个零点，设为，则，且， 故当时，；当时，； 则在上单调递减，在上单调递增， 所以， 由，得， 令，则， 则在上单调递增，而， 故，，， 而，，， 又当时，，，故， 当时，，， 变化的幅度远大于变化的幅度，故， 则的大致图象如图所示： 即有两个变号零点，所以函数在上有两个极值点. 【变式6-3】（2026·四川泸州·模拟预测）已知函数， (1)当时，讨论函数单调性； (2)当时，若对任意，不等式恒成立，求b的最小值； (3)若存在两个不同的极值点，且，求实数取值范围． 【答案】(1)函数在区间上单调递增，在区间上单调递减; (2) (3) 【解题思路】（1）利用导数与单调性的关系即可求解； （2）利用同构函数思想，结合函数的单调性，再用分离参变量求解即可； （3）先分离参变量，再利用韦达定理消元，最后化成单变量函数进行最值分析即可求解. 【解答过程】（1）由得， 令，得，故函数在区间上单调递增， 令，得，故函数在区间上单调递减， 综上，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减; （2）当时，不等式可化为， 变形为即 同构函数，求导得， 所以在上是增函数. 所以原不等式可化为， 根据单调性可得: 再构造，则 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以，即满足不等式成立的， 所以的最小值为; （3）因为存在两个不同的极值点， 所以由可得: 因为，而的对称轴是，所以可得， 根据对称性可得另一个零点，此时有， 故，又由且可得， 而 令， 则， 因为所以，即， 则， 即在区间上单调递减， 所以有， 即， 所以实数取值范围. 【题型7 同构应用——证明不等式】 【例7】（25-26高三上·河北·期中）已知函数. (1)讨论函数的极值点个数； (2)当时，证明：； (3)函数有两个零点，求证：. 【答案】(1)时，无极值点； 时，有一个极小值点，无极大值点； 时，有一个极小值点，一个极大值点. (2)证明见解析； (3)证明见解析 【解题思路】（1）求导，分、、三种情况讨论其单调性即可； （2）令，利用同构思想求证即可； （3）根据得出，将目标转化为求，再令，进而转化为求证，再构造函数求最值即可. 【解答过程】（1）函数的定义域为， ， 令，， 当，即时，恒成立，则在上单调递增，无极值点； 当时，即或时， 有两个不等的实数根， 当时，，，得；得； 则在上单调递减，在上单调递增， 则函数有一个极小值点，无极大值点； 当时，，得或；得； 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故为极大值点，为极小值点，即函数有两个极值点， 综上，时，无极值点； 时，有一个极小值点，无极大值点； 时，有一个极小值点，一个极大值点. （2）证明：当时，， 即证， 令，即证，即证， 因为，则函数在上单调递增， 当时，；当时，，所以函数的值域为， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数的减区间为，增区间为，则， 故，即，故原不等式得证； （3）证明：， 因为函数有两个零点、，不妨设， 则，所以， 则，即， 要证，即证， 即证， 令，即证， 令，其中，则， 所以函数在上为增函数，则， 即，即，故原不等式得证． 【变式7-1】（2026·天津·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，有两个极值点，且， （ⅰ）求t的范围； （ⅱ）证明： 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ）证明见解析 【解题思路】（1）利用求切线斜率，再求切线方程； （2） （ⅰ）有两个极值点等价于有两解，即有两解，令，在分析的单调性即可求解； （ⅱ）有两解，先求出满足的关系式，再令，不等式等价于，令函数，求导分析单调性再求最值即可求解. 【解答过程】（1）当时，函数，求导得，则， 而，所以曲线在处的切线方程为. （2）（ⅰ）当时，函数，求导得， 由是函数的两个极值点，得是方程的两个不等实根， 由，得，令函数，则， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而，所以. （ⅱ）有两解，即，两边取对数得, 则当时，， 令，则，，因此， 不等式等价于，令函数， 求导得，函数在上单调递增， 则，即 ，，于是. 【变式7-2】（2026·四川攀枝花·一模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求实数a的取值范围； (3)设m，n是两个不相等的正数，且，证明：. 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减 (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）首先求导函数的零点，再根据导数与函数单调性的关系，即可求解函数的单调区间； （2）法一：由不等式化简得在上恒成立，再构造函数，利用导数求函数的最小值，再讨论，即可求解；法二：由不等式恒成立，转化为在上恒成立，再变形为在上恒成立，通过构造函数，利用导数求函数的最小值，再讨论，即可求解； （3）由分析法，转化为证明，再由已知条件构造函数，再根据函数的图象，结合函数的图象和性质，转化为证明，再代入后转化为构造函数，利用导数求函数的最小值. 【解答过程】（1）的定义域为 由，解得 所以当及时，，故在上单调递减； 当时，，故在上单调递增 （2）法一：由题知不等式在上恒成立， 等价于不等式在上恒成立 设， 则，解得， 当，，单调递减，当，，单调递增， 所以在上有最小值 ①当时，因为，所以不等式恒成立： ②当时，因为，而，此时不满足恒成立； 综上所述， 法二：由题知不等式在上恒成立， 等价于不等式在上恒成立 即在上恒成立． 设，则，解得， 当，，单调递减，当，，单调递增， 所以在上有最小值． 因为，所以，即 ①当时，因为，所以不等式恒成立； ②当时，因为，而，此时不满足恒成立； 综上所述， （3）证明：要证，只需证： 由，只需证： 不妨设，则有：； 两边取指数得，化简得 设，则 由（1）得在上单调递减，在上单调递增（如图所示）， 要使且， 则，即，从而． 要证，只需证： 由于在上单调递增，只需证：， 又，只需证： 只需证：． 设，则 设，则在上单调递增． 所以，从而 所以在上单调递减，从而，则， 所以. 【变式7-3】（2026·天津河北·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，有两个极值点，且，若， （ⅰ）证明：； （ⅱ）证明：. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）证明见解析； （ⅱ）证明见解析 【解题思路】（1）把代入，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）（ⅰ）求出及其导数，利用极值点的意义列式并分离参数，再构造函数并利用导数证明不等式；（ⅱ）由（ⅰ）求出，再构造函数，利用导数推理证明. 【解答过程】（1）当时，函数，求导得，则，而， 所以曲线在处的切线方程为. （2）（ⅰ）证明：当时，函数，求导得， 由是函数的两个极值点，得是方程的两个不等实根， 由，得，令函数，则， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而，则当时，，， 由，得，则， 令，则，，因此， 不等式等价于，令函数， 求导得，函数在上单调递增， 则，即，，于是， 所以. （ⅱ）证明：由（ⅰ）知，，，则 ， 由（i）知，，令，求导得， 函数在上单调递减，则，即， 故，令函数， 求导得， 函数在上单调递增，则，， 所以. 【题型8 同构应用——解决函数零点问题】 【例8】（2026·山东青岛·模拟预测）若函数有2个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用同构得有两个不同的解，换元后考虑有两个不同的零点，利用导数可求参数的范围. 【解答过程】因为有两个零点， 故有两个不同的解， 所以有两个不同的解， 故有两个不同的解， 设，则，故为上的单调增函数， 而时，，时，，故的值域为， 故在上有两个不同的零点， 设，则， 当时，；当时，； 故在上为增函数，在上为减函数， 故即， 此时当时，，时，， 故时，确有两个不同的零点，综上. 故选：D. 【变式8-1】（2026·江西·二模）已知函数 恰有2个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先利用同构将函数进行化简，在利用单调性与交点个数转化成切线处理问题. 【解答过程】令f(x)=0，得 即 令 则 (1-e)t-1=0， 令 则 令 在区间(ln(e-1) ，+∞)上单调递增； 令 在区间 上单调递减，又 1，h(0)=h（1）=0，则h(x)=0有且只有两个根，分别为0，1. 当a≥0时，函数f(x)恰有2个零点等价于 的图象与直线y=0和y=1共有2个交点. 令p(x)= lnx+ ax，则 则p(x)在区间(0，+∞)上单调递增，又x→0，p(x)→-∞，x→+∞，p(x)→+∞，即p(x)∈R，则.y= ax+ lnx的图象与直线y=0和y=1各有1个交点，符合题意. 当a<0时，函数f(x)恰有2个零点，等价于函数y=lnx的图象与直线y=-ax，y=1-ax的图象共有2个交点，临界情况为两条直线分别与y=lnx的图象相切. 如图1，当y=-ax与y=lnx相切，设对应切点为，因为 则相应切线方程为 如图2，当y=1-ax与y= lnx相切，设对应切点为，则相应切线方程为 则 综上 故选：D. 【变式8-2】（2026·河南许昌·模拟预测）已知函数 (1)求的最小值； (2)若有两个零点，证明： 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）首先求函数的导数，再判断函数的单调性，最后求函数的最值； （2）首先根据方程构造函数，再根据函数有两个零点，利用同构，以及构造函数，由函数的单调性得到，再构造函数根据函数的单调性，继续构造函数，根据的单调性和端点值，证明不等式 【解答过程】（1）由题意知函数的定义域为 则令得；令，得 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以 （2）证明：不妨设，则由(1)知， 设，由 得 即 因为函数在R上单调递增， 所以                                         构造函数 则 令，得，令，得 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增． 构造函数 则 所以在区间上单调递增， 所以当时，，即当时， 所以 又在区间上单调递减， 所以，即. 【变式8-3】（2026·福建漳州·模拟预测）已知函数有两个不同的零点，. (1)求实数的取值范围； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）方程变形为，令，，利用单调性转化方程有两个不等的实根，，引入函数，由导数确定其性质（单调性与极值）后可得结论； （2）记，可设，则，引入函数，，由单调性证得，即，再转化为的不等式，由基本不等式，从而有，即，不等式变形为，利用函数的单调性得出，平方后取对数即证得题设不等式成立． 【解答过程】（1）函数有两个不同的零点， 即方程有两个不相等的正根， 即方程有两个不相等的正根. 令，， 易知在上单调递增，， 令，则问题等价于方程有两个不等的实根，. 令，，则， 令，解得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 且当时，函数取得最小值， 当时，，当时， ，所以， 即当时，方程有两个不等的实根. 综上所述，实数的取值范围是. （2）证明：由（1）记，可设，则. 令 ，， 则，所以在上单调递增， 所以. 因为，所以， 即，所以. 又函数在上单调递减，且， 所以，即， 所以， 即. 因为，所以. 又因为，所以. 又由（1）知函数在上单调递增， 所以，即， 所以，所以. 一、单选题 1．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】令，由已知可得为上的增函数，从而可得恒成立，参变分离可求的取值范围. 【解答过程】根据可知， 令， 可得为上的增函数， 所以恒成立，分离参数得， 而当时，当时取最大值为，所以， 所以的取值范围是. 故选：B. 2．（2026·山东日照·模拟预测）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】通过将不等式问题转化为函数问题，结合导数即可求解函数最值，进而得到的范围. 【解答过程】由得 因为，所以 令 则问题转化为求在上的最小值． 求导得 令， 因为，所以与同号． 又，所以在上单调递增． 当时，；又，所以存在唯一的，使得． 再看方程， 函数，，则， 则在上单调递增，且当时，， 当时，，所以该方程有唯一正根． 设这个正根为，则， 于是且，说明这个正是的唯一根． 因此，当时，，从而； 当时，，从而． 所以在处取得最小值． 由，得，又， 所以 所以． 要使对任意恒成立，必须且只需． 当时，取，原不等式等号成立，不满足严格大于． 故的取值范围为． 故选：A. 3．（2026·广东佛山·模拟预测）若恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】在进行两边取对数和换元法化简后，再通过求导求出函数极值来判断的范围. 【解答过程】因为，当时，能够得出. 设，，那么得到，. 设，. 因为，， ， 所以在上单调递增，上单调递减，最大值为. 因此. 若，对于任意恒成立. 若，，所以对于任意恒成立. 综上所述，. 故选：C. 4．（2026·湖南株洲·三模）若存在，使得对恒成立，则实数b的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】不等式可化为，结合时，，条件可转化为对恒成立，同构变形可得对恒成立，利用导数证明为增函数，条件可转化为对恒成立，利用导数求函数的最大值，由此可得结论. 【解答过程】不等式 ， 由已知存在，使得对恒成立， 当时，，，所以， 由已知存在，使得对恒成立， 所以对恒成立， 不等式 ， 所以对恒成立， 因为，故， 令，则，故在上单调递增， 因此对恒成立，即对恒成立， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 因此函数的最大值为，故. 故选：B. 5．（2026·天津河西·二模）设，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】判断出，，，变形，构造函数，比较出，得到答案 【解答过程】，，， 其中，，，， 设，则， 令得，令得， 故在上单调递增， 所以，即，， 所以. 故选：D. 6．（2026·山东烟台·模拟预测）已知函数，，若，，有，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】转化条件得，则，令，利用导数求得的最大值可得解. 【解答过程】由题意，，，， 即，则，， 令， ，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 作函数的草图如下， 由图可知，当时，有唯一解， 故，且，， ∴， 设，，则，令，解得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 故，即的最大值为. 故选：C. 7．（25-26高二下·山东济宁·期中）已知定义在上的函数，其导函数为，不等式恒成立．若对，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】构造函数，判断单调性及奇偶性，去掉函数符号，转化为恒成立,分离参数求最值即可求解. 【解答过程】令，依题意，． 函数在上单调递增． 对，不等式恒成立， , 即， ． 当时，， 则， 则；； 故在单调递减，在单调递增； 可得时，函数取得极小值即最小值， ． 当时，，此时，在上单调递减， 又时，，且，则 则的取值范围是. 故选：C. 8．（2026·河南·三模）已知关于的不等式对任意的恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解题思路】将问题转化为对任意的，，因为，令，，则问题转化为对任意的，恒成立，构造函数，，求导，利用导数分析的单调性，求出最大值即可求解． 【解答过程】对任意的恒成立，即对任意的，恒成立， ， 令，，，则对任意的，恒成立， 令，， ， 令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，所以，所以的最小值为. 故选：A. 二、多选题 9．（25-26高三下·安徽·期中）已知，为自然对数的底数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解题思路】由 ，得 ， ，即 .令，利用单调性即可求解. 【解答过程】由 ，得 ， ，即 .令， 则，由，得，由得， 则函数在上单调递减，在 上单调递增， 因为，由，得， 当时，，得；当时，，有， 因此，即，选项B正确； 当时，，选项A错误； 因为，，所以 ，得 ，选项C正确； 若，则 ，又，得，即， 令，则，由，得，由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，与矛盾，所以，选项D正确. 故选：BCD. 10．（2026·河南南阳·二模）已知（且），若，且（为自然对数的底数），则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】首先判断，令，利用导数说明函数的单调性，即可判断A；令，即可判断B；令，利用导数说明函数的单调性，得到，即可判断C；令，，利用导数说明函数的单调性，即可判断D. 【解答过程】由，可知或， 又，因同正，两边同除以可得， 令，则， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 当且，此时与题意不符合； 当且时，，故． 令，则， 当时，，在上单调递减， 又，所以，所以， 所以，故A正确； 令，则， 所以当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 因为，所以当时，， 即，即，故B错误； 令，则， 记，则， 所以，则，所以在上单调递增， 所以，即， 即， 所以，即，故C正确； 令，， 则， 令，，则，即在上单调递增， 所以，，在上单调递增， 所以，即，故D正确． 故选：ACD. 11．（2026·广西南宁·二模）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．若恒成立，则 B．是的极值点 C．若函数恰有2个正零点，则 D．若关于x的不等式有解，则 【答案】ACD 【解题思路】对于A：可得恒成立，令，利用导数求其最值，即可得结果；对于B：举反例，取，结合定义域分析判断；对于C：令，可得，结合函数单调性可得，利用导数分析其单调性和最值即可求解；对于D：令，分和两种情况讨论，结合选项C的结论运算求解. 【解答过程】由题意可知：. 对于选项A：若恒成立，可得恒成立， 令，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 可得，即，故A正确； 对于选项B：若，令，解得， 此时的定义域为，不在定义域内，故B错误； 对于选项C：由题意可知：，令，解得， 令，可得， 构造，则， 因为在定义域内单调递增，则，即， 构造，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则 即，解得，所以，故C正确； 对于选项D：令， 若，可知的定义域为， 当趋近于时，趋近于，符合题意； 若，可知的定义域为， 令，可得， 由选项C可知：在定义域内单调递增， 因为，则，即， 可知有解，由选项C可得：，解得； 综上所述：，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（25-26高二下·山东泰安·期末）已知对任意恒成立，则实数a的取值范围是____________. 【答案】 【解题思路】变形得到对任意恒成立，设，则，根据单调性得到，参变分离得到，构造函数，求导得到单调性，求出最大值，从而得到，解得. 【解答过程】， 故对任意恒成立， 设，则， 因为在R上单调递增，所以， 故， 令，，， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，且最大值为， 所以，解得. 故答案为：. 13．（2026高二·全国·专题练习）若对任意，满足恒成立，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解题思路】若时，根据所给范围，分析可得不等式恒成立；若时，将条件转化为，构造函数，利用导数求得的单调性，可得恒成立，即恒成立，构造，利用导数求得的单调性，可得的最值，分析即可得答案. 【解答过程】若时，对任意，，，， 所以对任意，不等式恒成立，满足题意； 若时，则， 不等式可化为， 故，即， 由已知在恒成立， 令，，可得，在恒成立， 因为时，， 所以函数在上单调递增， 又，， 所以恒成立，其中，， 即恒成立． 令，则， 所以在上单调递增，则，所以． 综上可得， 故答案为：. 14．（25-26高三上·四川绵阳·阶段检测）已知函数，若对任意，，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解题思路】设，原不等式等价于，构造函数，则在上单调递减，可得不等式在上恒成立，利用分离参数法可得在上恒成立，结合导数讨论函数的性质求出即可. 【解答过程】设，， 等价于，即， 令，则， 所以函数在上单调递减， 则不等式在上恒成立， 即不等式在上恒成立，令， 则，令，令， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，且， 所以，解得， 即实数a的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15．（2026·陕西渭南·三模）已知函数． (1)当时，曲线的一条切线方程为，求实数的值； (2)求函数的单调区间； (3)若对任意，恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1) (2)当时，函数无严格单调区间； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. (3)1 【解题思路】（1）利用导数的几何意义，根据切线斜率求切点，再根据切点满足求的值. （2）求导，分，，讨论导函数的符号，探究函数的单调性. （3）设，结合二次求导，求出函数的最小值为，问题转化为，求的最小值，再设，分析函数单调性，解不等式即可得的最小值. 【解答过程】（1）当时，，. 由解得，. 由， 所以，解得：. （2）由，所以. 若，则为常数函数，无严格单调区间； 若，由解得；由解得. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 若，由解得；由解得. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，函数无严格单调区间； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3）由，可得，即. 设，，则，. 设，，则恒成立，所以在上单调递增. 又，， 所以当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 所以. 由，可得：. 设，，则. 由解得；由解得. 所以在上单调递增，在上单调递减. 又，，. 所以存在，使得. 所以不等式的解集为. 所以实数的最小值为1. 16．（2026·福建福州·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数的单调区间； (2)若，对任意两个不相等的正数，，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)若，函数 的单调递减区间为，单调递增区间为； 若，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 若，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为 . (2) 【解题思路】（1）对函数进行求导，讨论和两种情况下，导函数的正负，从而得到的单调区间； （2）利用导数可得的单调性，从而将恒成立转化为单调递减，进而得到在上恒成立，分离参数，并构造新函数可求得实数的取值范围． 【解答过程】（1）函数的定义域为. . 若，则恒成立， 所以当时，，； 当时，，. 所以函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 . 若，则方程 的两个根为和. 若， 当或 时，，即； 当时，，即 . 所以函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 . 若 ， 恒成立，所以函数 的单调递增区间为 ，无单调递减区间. 若 ， 当或时， ，即 ； 当 时， ，即 . 所以函数 的单调递增区间为 和，单调递减区间为 . 综上所述， 若，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 . 若，函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 . 若 ，函数 的单调递增区间为 ，无单调递减区间. 若 ，函数 的单调递增区间为 和，单调递减区间为 . （2）函数的定义域为，. 因为，且，所以恒成立，所以在上增函数. 不妨设，则，即. 由，得， 即. 令，则在上单调递减. 所以在上恒成立， 即在上恒成立. 令，则， 当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以在处取得最大值，最大值为，则. 所以实数的取值范围是． 17．（2026·河北保定·二模）已知函数 (1)若，讨论的单调性； (2)若的极小值点为 求的值； (3)若，且 证明：. 【答案】(1)在上单调递增. (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）分和两种情况讨论即可； （2）利用极小值点的必要条件求出，然后检验充分性即可； （3）等式变形为，利用比值代换法把转化为证明，最后利用（1）的结论即可证明. 【解答过程】（1）的定义域为， ， 令： 判别式， 若即，，恒成立，故，单调递增； 若，，令，得，两根均为负数， 因此时，，故，单调递增. 综上，当时，在上单调递增. （2）极小值点是的正根，即满足，将代入得： ，化简得，验证可知确为极小值点，故. （3）对已知等式两边取自然对数得： ，整理得：， 令，若则，右边，矛盾，故， 则，代入得： ， 要证，即证，代入得： ， 由（1）知，当时，在单调递增， 因此时，，不等式成立， 故成立. 18．（2026·湖南岳阳·三模）已知函数，其中e为自然对数的底数，． (1)当时，求的单调区间； (2)若存在两个不同的极值点，且． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明． 【答案】(1)单调递增区间为． (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解题思路】（1）求导可得，根据，确定的符号，进而判断原函数的单调性； （2）（ⅰ）由是方程的两根，构造函数，利用直线与的图像有两个交点，利用导数求出范围； （ⅱ）设，由（ⅰ）得，由已知得，令，得，即证．通过构造函数，利用函数的导数证明对恒成立即可. 【解答过程】（1）当时，，定义域为．求导得． 令则 令得 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 即恒成立． 因此，在上单调递增，单调递增区间为． （2）（ⅰ），若有两个不同的极值点，则方程有两个不同的实数根． 显然不是根，故可化为． 设，则． 当时，单调递减，且； 当时，单调递减； 当时，单调递增． 又时时，故在上从减至e，在上从e增至． 因此，当时，直线与的图像有两个交点，分别位于和，对应两个不同的极值点（且）． 当时有一个交点，当时无交点， 当时有一个交点． 故实数的取值范围是． （ⅱ）不妨设，由（ⅰ）得，，，即，两边取对数得． 令，则，代入得，解得． 于是． 要证，即证，等价于． 设，则． 令，则， 故在上单调递增，且，所以，即． 因此在上单调递增，又，故对恒成立． 从而原不等式成立，即． 19．（2026·山东聊城·二模）已知函数. (1)当时，求的最小值； (2)若当时，恒成立，求的取值范围； (3)若关于的方程有两个不等实根，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】(1)代入后通过单调性求解. (2)通过单调性一步步对范围进行排除，最后确定的范围. (3)通过实根的性质构造新的关于的函数求证. 【解答过程】（1）当时，， . 令，得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 故在处取得最小值， . （2）当时，恒成立， 即， 即. 令，即求在时恒成立， . ①当时，恒成立，故在上单调递减， 则当时，恒成立； ②当时，在上单调递减，且， 则在上恒成立，故在上单调递增， 则成立，与题干矛盾，舍掉； ③当时，恒成立，故在上单调递增， 则恒成立，与题干矛盾，舍掉. 综上所述，满足要求. （3）证明：将代入，原方程化为， 即， 则有， 两式相减，得， 即， 故原不等式变形为. 不妨令，不等式两端同时除以，则不等式可变形为. 令，则不等式可继续变形为， 即证在时恒成立， 故令， 则恒成立， 故在时单调递增，则恒成立， 故命题得证. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $