重难点05 导数中的切线问题全归纳（举一反三专项训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

**基本信息** 以导数几何意义为核心，系统梳理切线问题8大题型，提炼“在点/过点切线”“参数求解”“公切线”等通法策略，形成概念-方法-应用的完整逻辑链，培养数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点模块|4个核心知识点|“在点处切线三步骤”“过点处切线四步法”“切线条数→方程根个数”转化|从导数几何意义（概念）到切线方程求解（基础），再到参数、条数、公切线等综合应用（拓展）| |题型模块|8类题型（每类含例题+3变式）|公切线问题“双切点设参法”“距离最值→切线平行”转化|覆盖选择、填空、解答题，由易到难递进，适配高考中低档到中档偏难层级|

重难点05 导数中的切线问题全归纳（举一反三专项训练） 【全国通用】 【题型1 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 2 【题型2 求在曲线上一点处的切线方程】 4 【题型3 求过一点的切线方程】 6 【题型4 与切线有关的参数问题】 9 【题型5 切线的条数问题】 11 【题型6 两条切线平行、垂直问题】 14 【题型7 公切线问题】 15 【题型8 利用切线求距离的最值问题】 19 1、导数中的切线问题 导数中的切线问题是高考的常考考点，是高考的重点、热点问题，从近三年的高考情况来看，一般以选择题、填空题的形式考查求曲线的切线方程、与切线有关的参数问题、切线的条数问题与公切线问题等，试题难度属中低档；曲线的切线问题也可能会作为解答题中的条件或一小问进行考查，解答题中试题属于中档或偏难题，解题时要灵活求解，复习时要加强此方面的训练. 考点1 导数中的切线问题 知识点1 曲线的切线方程及其解题策略 1．求曲线“在”某点的切线方程的解题策略： (1)求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率； (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0). 2．求曲线“过”某点的切线方程的解题通法： (1)设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)； (2)利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)； (3)将已知条件代入②中的切线方程求解. 知识点2 与切线有关的参数问题 1．与切线有关的参数问题的解题策略： (1)处理与切线方有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数： ①切点处的导数是切线的斜率； ②切点在切线上，故满足切线方程； ③切点在曲线上，故满足曲线方程. (2)利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法. 知识点3 切线的条数问题 1．切线的条数问题的解题思路 (1)已知f(x)，过点(a,b)可作曲线的切线条数问题 第一步：设切点P0(x0,y0)； 第二步：计算切线斜率k=f'(x0)； 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：y-y0=f'(x0)(x-x0). 第四步：将(a,b)代入切线方程，得：b-y。=f'(x?)(a-x?)，整理成关于x0的方程； 第五步：题意已知能作几条切线，关于x0的方程就有几个实数解. (2)“过点型”切线条数判断： ①有几个切点横坐标，就有几条切线； ②切线条数判断，转化为关于切点横坐标的新的函数零点个数判断. 2．切线条数的求参问题 已知切线条数求参数，其实就是转换成切线方程根的个数问题求参数. 知识点4 公切线问题及其解题策略 1．公切线问题的解题思路 求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法. 2．公切线问题的求解步骤： (1)设两切点，求出两切点对应的斜率k1、k2，且k1=k2； (2)根据两条曲线在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组； (3)解方程组，进行求解，得出结论. 【题型1 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 【例1】（2026·山西忻州·模拟预测）设函数，则曲线在点处的切线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求导后代入求得切线的斜率，进而可求得切线的倾斜角. 【解答过程】由题意得，则， 即在点处的切线的斜率为， 设该处切线的倾斜角为，则， 因为，所以. 故选：A. 【变式1-1】（2026·海南儋州·模拟预测）若直线是函数的图象的一条切线，则实数k的值为（   ） A．1 B． C．e D． 【答案】A 【解题思路】可设切点坐标，切点坐标满足函数方程，且有．解方程组可得k的值； 【解答过程】，， 设切点坐标为，则， 消去k，得，所以. 故选：A. 【变式1-2】（2026·江苏宿迁·三模）曲线在点处的切线的斜率是___________. 【答案】 【解题思路】求导即可求解. 【解答过程】由可得， 故当时，， 故在点处的切线的斜率为， 故答案为：. 【变式1-3】（2026·上海金山·一模）已知，则曲线在点处切线的倾斜角是___________. 【答案】 【解题思路】对函数求导，求出在点处的切线斜率，进而得出倾斜角. 【解答过程】因为，所以，则 所以曲线在点处的切线斜率为，所以斜线的倾斜角为：. 故答案为：. 【题型2 求在曲线上一点处的切线方程】 【例2】（2026·河北·模拟预测）已知函数，则的图象在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据求导公式求出函数的导数，再将切点的横坐标代入导数中，得到切线的斜率，最后利用点斜式方程求出切线方程. 【解答过程】对求导：. 将代入中，可得切线的斜率. 已知切线过点，斜率为，根据点斜式方程，可得切线方程为. 将其化简为一般式： ， 的图象在点处的切线方程是. 故选：D. 【变式2-1】（2026·广东江门·模拟预测）曲线在点处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求函数的导函数，再求导函数在时的值，结合导数的几何意义求切线斜率，利用点斜式求切线方程． 【解答过程】因为，所以，故， 所以曲线在点处的切线斜率， 故曲线在点处的切线方程为，即， 故选：A. 【变式2-2】（2026·辽宁铁岭·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用导数的几何意义求切线斜率，结合切点坐标用点斜式得切线方程； （2）将恒成立问题转化为的最小值大于，通过导数分析单调性求最小值，进而得到a的取值范围. 【解答过程】（1），∴切点坐标为. ， 则切线斜率. 所以切线方程：，即. （2）恒成立等价于对任意恒成立，故 且， ∴ 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 故在处取极小值也是最小值，. 因此，解得， 即a的取值范围为. 【变式2-3】（2026·天津·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，有两个极值点，且， （ⅰ）求t的范围； （ⅱ）证明： 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ）证明见解析 【解题思路】（1）利用求切线斜率，再求切线方程； （2） （ⅰ）有两个极值点等价于有两解，即有两解，令，在分析的单调性即可求解； （ⅱ）有两解，先求出满足的关系式，再令，不等式等价于，令函数，求导分析单调性再求最值即可求解. 【解答过程】（1）当时，函数，求导得，则， 而，所以曲线在处的切线方程为. （2）（ⅰ）当时，函数，求导得， 由是函数的两个极值点，得是方程的两个不等实根， 由，得，令函数，则， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而，所以. （ⅱ）有两解，即，两边取对数得, 则当时，， 令，则，，因此， 不等式等价于，令函数， 求导得，函数在上单调递增， 则，即 ，，于是. 【题型3 求过一点的切线方程】 【例3】（2026·江西景德镇·一模）过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据导数几何意义以及斜率公式，计算可得切点坐标，即可求得切线方程. 【解答过程】，点不在曲线上， 设切点为，则， 解得：，得切点，则 切线方程为：， 故选：． 【变式3-1】（25-26高二上·重庆·期末）过点作函数的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设切点为，利用导数几何意义求切线方程，结合所过的点求参数，进而确定切线方程. 【解答过程】，， 设切点为，则， 切线方程为，又切线过点， ，整理得， 切线方程为，则. 故选：C. 【变式3-2】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数，． (1)若，求过原点且与函数图象相切的直线方程； (2)若函数有两个零点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）若，则，，设切点，此切线的斜率，求出切线方程，再由过原点，求出切线方程; (2) ,分为当时，当时，求解单调性，再由函数有两个零点，求出参数的范围. 【解答过程】（1）若，则，，设切点， 此切线的斜率， 所以切线方程为， 因为切线过点，可得，， 则切线方程为； （2）， ①当时，，，， 在上单调递增，函数至多1个零点，不合题意； ②当时，令，解得（舍去），， ，，在上单调递增， ，，在上单调递减， 当时，，，，，， 所以要使函数有两个零点，则， ， 令，， 令，， 所以在上单调递增， 又因为，得到，解得． 综上所述：． 【变式3-3】（2026·湖北·模拟预测）已知函数． (1)若，求过原点且与相切的切线方程； (2)若关于的不等式对所有成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）求出函数的导数，设出切点横坐标，利用导数的几何意义列式求解即得. （2）构造函数，利用导数分类探讨函数的单调性，求出当时的值范围. 【解答过程】（1）当时，，求导得，设切点横坐标是， 则切线方程是，而切线过原点，于是，解得， 所以切线方程是. （2）依题意，， ①若，则在时恒成立，函数在上单调递减， 则对所有，不满足题意； ②若，则，由，得； 由，得， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， （ⅰ）若，则，即， 函数在上单调递减， 当时，，不满足题意； （ⅱ）若，则，即，函数在上单调递增， 则对所有，，符合题意， 所以的取值范围是． 【题型4 与切线有关的参数问题】 【例4】（2026·安徽·一模）若直线与曲线相切，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【解题思路】先对曲线方程求导，根据导数的几何意义得出切点处的导数等于直线斜率，从而求出切点坐标，最后把切点坐标代入直线方程求出． 【解答过程】曲线方程求导得， 直线与曲线相切，设切点为，则，解得， 代入曲线方程得，故切点坐标为， 切点同时位于直线上， ，解得． 故选：B． 【变式4-1】（2026·河南许昌·三模）若直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】设切点为，根据导数的几何意义求得，再由切点在直线和曲线上有，即可求. 【解答过程】设直线与曲线的切点为， 对 求导，得，直线的斜率为1， 导数的几何意义知，在切点处，即． 又切点既在直线上又在曲线上， 且，即． 将代入，得：，即． 故选：A. 【变式4-2】（2026·湖南长沙·二模）已知函数. (1)若曲线在处的切线斜率为1，求实数a的值； (2)若在定义域上恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据导数的几何意义知函数在的导数值是切线的斜率，进而得a的值； （2）利用分离参数法将恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用导数法求函数的最值即可求解. 【解答过程】（1）函数的定义域为. 则.因为曲线在处的切线斜率为1， 所以 ，解得； （2）函数的定义域为. 则在上恒成立，即在上恒成立， 令，则， ，当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以，所以． 【变式4-3】（2026·河南·模拟预测）已知函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）利用函数在点处的导数值即曲线的斜率及点在曲线上求得的值； （2）当时，恒成立，等价于 ，构造函数，求最小值，即可求实数的取值范围； 【解答过程】（1）已知函数，求导得 ， 由题意，得且 ， 所以，． （2）由（1）可知，， 由，得 ， 又，所以 ， 设，， 又，，由，解得， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，所以，即实数的取值范围为． 【题型5 切线的条数问题】 【例5】（25-26高三上·河北承德·开学考试）过点可作曲线的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【解题思路】根据导数的几何意义，结合该点是不是切点分类讨论进行求解即可. 【解答过程】由， 当点是切点时，此时切线的斜率为，此时有一条切线； 当点不是切点时，设切点为，则切线的斜率为， 切线方程为：，该切线过点， 于是有 或（舍去）， 综上所述：过点可作曲线的切线条数为， 故选：B. 【变式5-1】（2026·河南·模拟预测）过原点且与曲线相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【解题思路】先求出导函数，再设切点，根据导函数得出切线斜率再应用两点求斜率计算求参进而得出切线即可. 【解答过程】设切点，因为曲线，所以， 所以，所以， 所以或， 当时，所以，所以切线方程为，即； 当时，所以，所以切线方程为，即； 当时，所以，所以切线方程为，即； 所以切线有3条. 故选：C. 【变式5-2】（2026·陕西·模拟预测）曲线与的公切线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】设出切点，即可根据点斜式求解直线方程，根据公切线列方程得，令，构造，由导数求解方程根的个数即可求解. 【解答过程】设的切点为，的切点为， ，， 所以在处的切线方程为，即， 在处的切线方程为，即 故且， 故，即， 令，构造， 则， 当在区间单调递增， 在区间单调递减， 故，且当，， 故有两个不相等的实数根， 故公切线的条数为2， 故选：C. 【变式5-3】（25-26高二下·湖北武汉·阶段检测）已知过点可以作曲线的两条切线，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先对函数求导，设切点，写出切线方程，将点代入切线方程，得到，根据切线有两条，得到方程有两根，结合判别式即可求出结果. 【解答过程】由得， 设过点的直线与曲线切于点， 则切线斜率为， 所以切线方程为 因为切线过点， 所以，整理得， 因为过点的切线有两条， 所以方程有两不同实根， 因此，解得或， 即实数a的取值范围是. 故选：B. 【题型6 两条切线平行、垂直问题】 【例6】（2026·江苏苏州·模拟预测）已知函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解题思路】求导可得，结合导数的几何意义代入计算，即可得到结果. 【解答过程】由可得， 则， 因为曲线在点处的切线与直线平行， 且直线的斜率为，即，解得. 故选：A. 【变式6-1】（2026·天津和平·二模）曲线与曲线在点处的切线互相垂直，则实数（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【解题思路】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可根据垂直满足的斜率关系求解. 【解答过程】， 则， 由可得，故， 由于两切线互相垂直，因此，所以， 故选：D. 【变式6-2】（2026·西藏拉萨·二模）已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则（   ） A．－1 B． C．1 D． 【答案】C 【解题思路】求出可得函数在点处的切线的斜率为，再利用两斜率相等求出答案. 【解答过程】由题意知直线的斜率为 又，则 因为函数的图象在点处的切线与直线平行， 所以 解得. 故选：C. 【变式6-3】（2026·甘肃·二模）若函数的图象上存在两个不同点，使得在这两点的切线与直线垂直，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由存在两个不同的点满足条件，可得出存在两个大于1的解，结合根的分布讨论得出的取值范围. 【解答过程】由题意，函数的定义域为，． 因为函数图象上存在两点处的切线与直线垂直， 故有两个不同的大于1的解， 即有两个不同的大于1的根． 令， 则，即， 所以． 故选：A. 【题型7 公切线问题】 【例7】（2026·河南南阳·三模）已知函数与存在公切线，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设出两切点，由导数的意义求出切线方程，转化为方程组有解问题，消去后构造函数，求导分析单调性可得最值. 【解答过程】设公切线与函数及函数的切点分别为，，且，， 故两切线方程为， ， 即，， 与存在公切线，所以有解，消去后得：， 令，， 易得在上单调递增，且时，；时，， 故在区间上递减，在上递增． 所以，的最小值为，即的最小值为，即实数的最小值为． 故选：B． 【变式7-1】（2026·湖南·三模）若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．e 【答案】B 【解题思路】解法一：先对求导得，设与直线切点为，写出切线方程，根据直线得到关于和的方程组，求出. 再对求导，设其与直线切点为，根据导数等于切线斜率以及切点在切线上列方程，求出. 解法二：设两条曲线的切点分别为，，分别根据切点在曲线上、在切线上以及切线斜率列出方程组，求解得到，，再同理求出，进而得到. 【解答过程】解法一：令，，则， 设直线与的切点为， 则切线方程为，即， 又因为，所以，解得，，所以切线方程为， 令，则， 设直线与的切点为，所以  ①， 又因为切点在直线上，所以，即  ②， 由①和②可得，所以，解得． 解法二：设切点分别为，， ．∴，． 同理．∴，∴，∴． 故选：B． 【变式7-2】（2026·辽宁·模拟预测）曲线与曲线的公切线方程为__________. 【答案】 【解题思路】设两个函数的切点，求导，根据点斜式分别求解切线方程，进而得，构造函数，求导得函数单调性，进而求解方程的根得解. 【解答过程】设公切线与曲线切于点，与曲线切于点， 易知公切线的斜率存在，对求导得， 可得公切线的斜率， 所以公切线方程为，即①. 对求导得， 所以公切线方程为， 即②. 由①②得所以， 令，，所以， 当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以， 所以公切线方程为，即. 故答案为：. 【变式7-3】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）若直线是曲线和曲线的公切线，则实数___________． 【答案】1或 【解题思路】分别设出直线和两曲线的切点坐标，求出切线方程的表达式，联立方程组可解得切点坐标，代入计算可得斜率或. 【解答过程】设直线与曲线的切点为; 易知,可得, 因此切线方程为，即, 可得, 设直线与曲线的切点为; 又，所以, 切线方程为,即, 所以; 因此可得，整理可得， 解得; 当时，可得； 当时，可得; 所以或. 故答案为：1或. 【题型8 利用切线求距离的最值问题】 【例8】（2026·辽宁辽阳·二模）函数图象上一点到直线的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用数形结合，得出与直线平行且与曲线相切的直线与曲线的切点处即为到直线的距离最小的点，所以结合导数表示出过点的切线方程，在结合斜率相等求出切点坐标，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【解答过程】设与直线平行且与曲线相切的直线的切点坐标为． 因为，所以，解得，则切点坐标为． 最短距离为点到直线的距离，即． 故选：C. 【变式8-1】（2026·江苏南京·二模）已知，则的最小值为（  ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【解题思路】先设点及点，应用两点间距离，再应用导函数计算得出切线斜率得出切点，最后应用点到直线距离计算求解. 【解答过程】设点是函数图象上的点，点是直线上的点， 则，所以， 因为，设函数在点处的切线与直线平行， 则，解得，则点， 所以的最小值为点到直线的距离， 所以的最小值为2， 故选：A. 【变式8-2】（2026·河南驻马店·模拟预测）已知点为曲线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B．6 C． D．9 【答案】B 【解题思路】根据曲线的切线与直线平行时，切点到直线的距离最小，求出曲线的切点，再根据点到直线的距离公式计算最小距离即可. 【解答过程】设曲线在点处的切线与直线平行， 由，得，则 或 ， 则动点到直线的距离的最小值为. 所以点到直线的距离的最小值为， 故选：B. 【变式8-3】（2026·辽宁大连·一模）已知a，b，，（其中是自然对数的底数），则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把看成两点距离的平方，其最小值可转化为点到直线的距离的平方，利用导数的几何意义求出切点，利用点到直线的距离公式即可求得. 【解答过程】由，进而， 又在上， 故的最小值可以看成是图像上的点离直线的最近距离的平方， ， 所以图像上离直线的最近的点为斜率为2的切线的切点 令， 即得，令，单调递增且， 所以，即切点横坐标为，切点为， 所以的最小值为. 故选：A. 一、单选题 1．（2026·安徽·模拟预测）函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用导数求出切线斜率，再结合直线的点斜式方程可得切线方程. 【解答过程】，则， ，所以切线方程为，化简可得， 即函数的图象在点处的切线方程为. 故选：A. 2．（2026·江苏镇江·一模）设，则曲线在点处的切线的斜率为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【解题思路】根据导数的概念及导数的几何意义即可求解. 【解答过程】因为， 所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为. 故选：A. 3．（2026·云南·模拟预测）曲线在点处的切线与直线垂直，则实数（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解题思路】利用导数的几何意义及垂直关系有求参数，注意验证切点是否在曲线上即可得. 【解答过程】由题设，则时， 由切线与直线垂直，则，所以， 所以，显然点在曲线上，满足题意， 综上，. 故选：B. 4．（2026·重庆·二模）若经过点的直线既与曲线相切，也与曲线相切，则（ ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【解题思路】设曲线的切点为，曲线的切点为，利用导数的几何意义，分别求得在切点处的切线方程，结合切线过，得出关系式，即可求解. 【解答过程】设曲线的切点为，则由， 可得切线方程为， 因为切线过点，所以，解得，所以切线方程为； 设曲线的切点为，由，所以切线的斜率为， 因为直线的方程为，可得，解得，即切点 所以切线方程为，即， 所以，解得. 故选：C. 5．（2026·河北·三模）若函数的图象不存在过原点的切线，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出函数的图象在处的切线方程，由已知建立方程，利用方程无解列式求解. 【解答过程】函数，求导得， 则函数的图象在处的切线方程为， 由原点不在该切线上，得关于切点横坐标的方程无解， 即无解，则，解得， 所以实数a的取值范围为. 故选：D. 6．（2026·安徽安庆·三模）过曲线：外一点作的切线，恰好可作两条，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用导数的几何意义求出函数的切线方程，代入点，整理得，令，利用导数确定函数的单调区间及极值，作出图象，结合图象求解即可. 【解答过程】设切点为， 据题意：这样的切点有两个， 即关于的方程有且仅有两根. 因为， 所以切线方程为， 即为过切点的切线， 又在此切线上， 所以， 即， 所以， 令， 所以， 所以，则或， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值为，极小值为， 当趋于时，趋于，当趋于时，趋于， 作出函数的图象，如图所示： 又不在曲线C上，所以， 由的图象可知. 故选：D. 7．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知函数，若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【解题思路】由已知可得切线斜率，根据导数的几何意义列方程求解即可． 【解答过程】因为， 所以在点处的切线的斜率为， 而该切线与直线垂直， 所以，解得． 故选：A. 8．（2026·河南·二模）已知点是曲线上的动点，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】根据已知条件将问题转化为曲线上的点到直线的距离的最小值的倍，求出与平行的切线相对应的切点，即可求得的最小值；或由，构造函数，利用导数分析函数的单调性，求得的最小值，从而得到的最小值. 【解答过程】点在曲线上，且点到直线，即的距离， 因此可先求点到距离的最小值. 当函数在处的切线与平行，即斜率为1时，点到的距离最小． 由，得， 令，解得，. 点到直线的距离，所以点到距离的最小值为. 所以的最小值为． 方法二：点是曲线上的动点，得，所以. 设，则， 设，则恒成立， 故在区间单调递增. 又，所以当时，，所以； 当时，，所以. 在区间单调递减，在区间单调递增． 又，所以，即，则的最小值为1． 故选：A. 二、多选题 9．（2026·甘肃白银·三模）已知函数，则（    ） A．曲线在处的切线方程为 B． C．当时， D．点是函数图象的对称中心 【答案】ACD 【解题思路】对于A，求函数的导函数，再求，结合导数的几何意义求切线方程即可判断；对于B，取代入不等式即可判断；对于C，利用导数判断函数的单调性，结合单调性比较的大小即可判断；对于D，证明为奇函数，结合奇函数性质即可判断. 【解答过程】对于A：， ，曲线在点处的切线方程为，即，故A正确； 对于B：因为当时，，B错误； 对于C：因为 令，得或；令，得， 在和上单调递减，在上单调递增， 当时，，结合在上单调递增， 可得，故C正确； 对于D：函数的定义域为， 令，则函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又， 所以函数是奇函数，即函数为奇函数， 所以函数的图象关于原点对称， 故函数的图象关于中心对称， 故点是函数图象的对称中心，D正确. 故选：ACD. 10．（2026·山东聊城·三模）若函数的图象在点处的切线的斜率为，则（    ） A．有3个不同的零点 B．在区间上单调递增 C．， D．， 【答案】BC 【解题思路】先根据切线斜率条件求导，由得，确定，再分析其零点、导数与单调性，结合函数在各区间的增减性，逐一判断选项． 【解答过程】，， 因为函数的图象在点处的切线的斜率为， 所以，解得， 所以，， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增， 对于A，由，得，，A错误； 对于B，区间，即是， 因为在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增，B正确； 对于C，当时，，所以， 因为在区间上单调递减，所以，C正确； 对于D，， ，所以恒成立， 即对所有成立，D错误． 故选：BC. 11．（2026·浙江·模拟预测）已知，则下列正确的是（   ） A．直线为的切线 B．若，则 C．若在上单调递增，则 D．设为曲线在处的两条切线，若，则 【答案】ACD 【解题思路】根据导数的几何意义可求得 处切线为得到A正确；通过举反例证明B错误；根据导数的代数意义结合分离参数求范围即可求出C正确；根据导数的几何意义求出切线方程，结合两切线平行，找到相应等式即可求得D正确. 【解答过程】已知，求导得 选项A：当 时，，且，因此处切线斜率为0，切线方程为， 故直线一定是的切线，故A正确； 选项B：当时，，故 B错误； 选项C：若在单调递增，则在恒成立，当时，， 因此需要对所有恒成立，即，解得，即，故C正确； 选项D：求导得：，切线等价于 ， 整理得：， 因为，两边除以得， 即，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（2026·福建福州·模拟预测）曲线在处的切线的倾斜角为__________． 【答案】 【解题思路】先求函数在处的导数值得到切线斜率，再根据斜率与倾斜角的关系计算倾斜角. 【解答过程】设，函数定义域为， 得到，所以，即曲线在处的切线斜率为. 设切线的倾斜角为，其中，由斜率定义可知，解得. 故答案为：. 13．（2026·云南·一模）已知函数，则曲线在点处的切线方程为__________． 【答案】 【解题思路】由导数的几何意义和导数的运算公式求解即可. 【解答过程】由，得，所以， 又因为，则切点坐标为， 故曲线在点处的切线方程为，即． 故答案为：. 14．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）设，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________． 【答案】 【解题思路】首先根据题意求出切线方程，然后对求导，根据斜率值和切点的函数值求出的值. 【解答过程】因为，所以. 所以曲线在点的切线方程为：. 因为，设曲线与该切线的切点为. 所以，所以，即. 又， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知关于的函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)若且，求的极小值． 【答案】(1). (2)极小值为. 【解题思路】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由直线的点斜式方程求出切线方程即可； （2）对参数的取值范围进行分类讨论，得出函数单调性并求出极值点，可得出极小值. 【解答过程】（1）由可得， 则， 易知； 所以切线方程为，即. （2）易知； 令，所以， 因为且，所以恒成立， 当时，，所以在上单调递增，可得， 当时，令，可得， 当时，，此时在上单调递减； 当时，，此时在上单调递增； 因此在处取得极小值，也是最小值，即； 令，则， 所以函数在上单调递减，所以，即； 因此， 综上可知当时，在上恒成立， 令可得， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 所以在处取得极小值，. 16．（2026·广东东莞·三模）已知函数. (1)曲线在点处的切线方程为，求实数a，b的值； (2)当时，对于任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据切线方程为可得斜率为，以及经过点，即可求导得解， （2）将问题转化为，构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解. 【解答过程】（1），曲线在点处的切线方程为， 则，则 （2）当时，依题意有对于任意恒成立，则， 设， 设， 由得：，则在上单调递减， 且，则在上恒成立，即在上单调递减， ，则，则. 17．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)令，若函数在上存在两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先求，再求，，然后根据导数的几何意义求切线方程即可； （2）根据题意可知存在，使，参变分离得，令函数，再利用导数结合交点个数求参数范围即可． 【解答过程】（1）解：由题意，，则， . ∴曲线在点处的切线方程为， 即； （2）解：由题意，. 在上存在两个零点， ∴存在，使， 即. 令函数，则直线与函数的图象有两个交点. ， 由，得. 当时，；当时，， ∴函数在上单调递减，在上单调递增，则. ∵当时，；当时，， ∴当时，直线与函数的图象有两个不同交点， ∴实数的取值范围是． 18．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. (3) 【解题思路】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式求得切线方程； （2）将函数求导后，根据参数的取值情况，分类讨论函数的单调性即可； （3）根据（2）的结论，结合得，即，设，利用导数分类讨论即得的取值范围. 【解答过程】（1）当时，， 则，，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2），， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）可知，当时，有极小值， 极小值为，此时极小值也是最小值， 由，可得，因，可得， 令，求导得，即在上单调递减， 又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以的取值范围为. 19．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数． (1)若曲线在点处的切线经过点，求实数的值； (2)若恰有两个零点，求实数的取值范围； (3)证明：当时，． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）对函数求导，利用导数的几何性质求出切线方程，结合已知条件求出； （2）令，得，构造函数，求导，利用导数分析函数的单调性和极值，结合极限分析求出实数的取值范围； （3）把不等式转化为，构造函数，求导并分析函数单调性，求出的最大值，进而得出，命题得证． 【解答过程】（1）函数的定义域为， 所以， ，， 曲线在点处的切线方程为， 把代入，得． （2）令，得， 令，则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 当时，， 当且趋近于0时，趋近于； 当趋近于时，且趋近于0， 要使函数有两个零点，只需，即实数的取值范围为． （3）当时，要证成立，即证成立， 记，则，． 记，， 和在上均单调递减， 在上单调递减， 又，， 存在，使得，即， ，， 当时，，即， 在上单调递增，当时，，即， 在上单调递减， ， ，故成立，原命题得证． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点05 导数中的切线问题全归纳（举一反三专项训练） 【全国通用】 【题型1 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 2 【题型2 求在曲线上一点处的切线方程】 3 【题型3 求过一点的切线方程】 4 【题型4 与切线有关的参数问题】 4 【题型5 切线的条数问题】 5 【题型6 两条切线平行、垂直问题】 5 【题型7 公切线问题】 6 【题型8 利用切线求距离的最值问题】 6 1、导数中的切线问题 导数中的切线问题是高考的常考考点，是高考的重点、热点问题，从近三年的高考情况来看，一般以选择题、填空题的形式考查求曲线的切线方程、与切线有关的参数问题、切线的条数问题与公切线问题等，试题难度属中低档；曲线的切线问题也可能会作为解答题中的条件或一小问进行考查，解答题中试题属于中档或偏难题，解题时要灵活求解，复习时要加强此方面的训练. 考点1 导数中的切线问题 知识点1 曲线的切线方程及其解题策略 1．求曲线“在”某点的切线方程的解题策略： (1)求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率； (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0). 2．求曲线“过”某点的切线方程的解题通法： (1)设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)； (2)利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)； (3)将已知条件代入②中的切线方程求解. 知识点2 与切线有关的参数问题 1．与切线有关的参数问题的解题策略： (1)处理与切线方有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数： ①切点处的导数是切线的斜率； ②切点在切线上，故满足切线方程； ③切点在曲线上，故满足曲线方程. (2)利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法. 知识点3 切线的条数问题 1．切线的条数问题的解题思路 (1)已知f(x)，过点(a,b)可作曲线的切线条数问题 第一步：设切点P0(x0,y0)； 第二步：计算切线斜率k=f'(x0)； 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：y-y0=f'(x0)(x-x0). 第四步：将(a,b)代入切线方程，得：b-y。=f'(x?)(a-x?)，整理成关于x0的方程； 第五步：题意已知能作几条切线，关于x0的方程就有几个实数解. (2)“过点型”切线条数判断： ①有几个切点横坐标，就有几条切线； ②切线条数判断，转化为关于切点横坐标的新的函数零点个数判断. 2．切线条数的求参问题 已知切线条数求参数，其实就是转换成切线方程根的个数问题求参数. 知识点4 公切线问题及其解题策略 1．公切线问题的解题思路 求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法. 2．公切线问题的求解步骤： (1)设两切点，求出两切点对应的斜率k1、k2，且k1=k2； (2)根据两条曲线在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组； (3)解方程组，进行求解，得出结论. 【题型1 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 【例1】（2026·山西忻州·模拟预测）设函数，则曲线在点处的切线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·海南儋州·模拟预测）若直线是函数的图象的一条切线，则实数k的值为（   ） A．1 B． C．e D． 【变式1-2】（2026·江苏宿迁·三模）曲线在点处的切线的斜率是___________. 【变式1-3】（2026·上海金山·一模）已知，则曲线在点处切线的倾斜角是___________. 【题型2 求在曲线上一点处的切线方程】 【例2】（2026·河北·模拟预测）已知函数，则的图象在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·广东江门·模拟预测）曲线在点处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·辽宁铁岭·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【变式2-3】（2026·天津·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，有两个极值点，且， （ⅰ）求t的范围； （ⅱ）证明： 【题型3 求过一点的切线方程】 【例3】（2026·江西景德镇·一模）过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·重庆·期末）过点作函数的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数，． (1)若，求过原点且与函数图象相切的直线方程； (2)若函数有两个零点，求a的取值范围． 【变式3-3】（2026·湖北·模拟预测）已知函数． (1)若，求过原点且与相切的切线方程； (2)若关于的不等式对所有成立，求的取值范围． 【题型4 与切线有关的参数问题】 【例4】（2026·安徽·一模）若直线与曲线相切，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【变式4-1】（2026·河南许昌·三模）若直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式4-2】（2026·湖南长沙·二模）已知函数. (1)若曲线在处的切线斜率为1，求实数a的值； (2)若在定义域上恒成立，求实数a的取值范围. 【变式4-3】（2026·河南·模拟预测）已知函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【题型5 切线的条数问题】 【例5】（25-26高三上·河北承德·开学考试）过点可作曲线的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【变式5-1】（2026·河南·模拟预测）过原点且与曲线相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式5-2】（2026·陕西·模拟预测）曲线与的公切线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式5-3】（25-26高二下·湖北武汉·阶段检测）已知过点可以作曲线的两条切线，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型6 两条切线平行、垂直问题】 【例6】（2026·江苏苏州·模拟预测）已知函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．1 【变式6-1】（2026·天津和平·二模）曲线与曲线在点处的切线互相垂直，则实数（    ） A．2 B．0 C． D． 【变式6-2】（2026·西藏拉萨·二模）已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则（   ） A．－1 B． C．1 D． 【变式6-3】（2026·甘肃·二模）若函数的图象上存在两个不同点，使得在这两点的切线与直线垂直，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型7 公切线问题】 【例7】（2026·河南南阳·三模）已知函数与存在公切线，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2026·湖南·三模）若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．e 【变式7-2】（2026·辽宁·模拟预测）曲线与曲线的公切线方程为__________. 【变式7-3】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）若直线是曲线和曲线的公切线，则实数___________． 【题型8 利用切线求距离的最值问题】 【例8】（2026·辽宁辽阳·二模）函数图象上一点到直线的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2026·江苏南京·二模）已知，则的最小值为（  ） A．2 B．1 C． D． 【变式8-2】（2026·河南驻马店·模拟预测）已知点为曲线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B．6 C． D．9 【变式8-3】（2026·辽宁大连·一模）已知a，b，，（其中是自然对数的底数），则的最小值为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2026·安徽·模拟预测）函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏镇江·一模）设，则曲线在点处的切线的斜率为（   ） A． B． C．1 D．4 3．（2026·云南·模拟预测）曲线在点处的切线与直线垂直，则实数（   ） A． B．1 C． D．2 4．（2026·重庆·二模）若经过点的直线既与曲线相切，也与曲线相切，则（ ） A． B．1 C．2 D． 5．（2026·河北·三模）若函数的图象不存在过原点的切线，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·安徽安庆·三模）过曲线：外一点作的切线，恰好可作两条，则（   ） A． B． C． D． 7．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知函数，若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．3 8．（2026·河南·二模）已知点是曲线上的动点，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D． 二、多选题 9．（2026·甘肃白银·三模）已知函数，则（    ） A．曲线在处的切线方程为 B． C．当时， D．点是函数图象的对称中心 10．（2026·山东聊城·三模）若函数的图象在点处的切线的斜率为，则（    ） A．有3个不同的零点 B．在区间上单调递增 C．， D．， 11．（2026·浙江·模拟预测）已知，则下列正确的是（   ） A．直线为的切线 B．若，则 C．若在上单调递增，则 D．设为曲线在处的两条切线，若，则 三、填空题 12．（2026·福建福州·模拟预测）曲线在处的切线的倾斜角为__________． 13．（2026·云南·一模）已知函数，则曲线在点处的切线方程为__________． 14．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）设，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________． 四、解答题 15．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知关于的函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)若且，求的极小值． 16．（2026·广东东莞·三模）已知函数. (1)曲线在点处的切线方程为，求实数a，b的值； (2)当时，对于任意恒成立，求实数的取值范围. 17．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)令，若函数在上存在两个零点，求实数的取值范围. 18．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且，求的取值范围. 19．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数． (1)若曲线在点处的切线经过点，求实数的值； (2)若恰有两个零点，求实数的取值范围； (3)证明：当时，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $