高中数学单元测试——第三章指数运算与指数函数（较易版02）

**基本信息** 高中数学第三章指数运算与指数函数单元复习卷（较易版），通过基础题型与综合解答题结合，夯实指数运算、函数性质等核心知识，适配单元复习巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6题/30分|指数运算、定义域、函数图象|基础概念辨析，如指数式化简、定义域求解| |多选题|2题/12分|指数运算公式、函数奇偶性|多选项辨析提升思维严谨性| |填空题|2题/10分|恒等式化简、不等式恒成立|考查运算准确性与转化能力| |解答题|3题/48分|指数函数解析式、单调性证明、不等式求解|综合应用数学思维与表达，如第13题结合奇偶性、单调性证明及不等式求解，体现逻辑推理与数学表达|

高中数学单元测试 —— 第三章 指数运算与指数函数（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数幂的运算性质可化简得出所求代数式的值. 【详解】由题意得. 故选：A. 2．（本题5分）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根式的性质化简即可得解. 【详解】因为， 所以， 故选：A 3．（本题5分）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合函数有意义的条件计算即可得. 【详解】由题意可知，，解得且； 故该函数定义域为. 故选：B. 4．（本题5分）若，则函数与的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数和一次函数的图象性质求解. 【详解】因为，所以是增函数，的图象与轴上的交点为 故只有A项正确． 故选：A. 5．（本题5分）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数的单调性求解. 【详解】为上的增函数，， ，， ，，，. 故选：C. 6．（本题5分）已知．若存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性，结合指数函数和一次函数的性质、最小值定义分类讨论进行求解即可. 【详解】当时，函数在上单调递增， 所以当时，，即， 显然不存在最小值，不符合题意， 当时，当时，， 当时，函数单调递增，则有， 因为，所以此时函数存在最小值，最小值为，符合题意； 当时，函数在上单调递减， 所以当时，，即， 当时，函数单调递增，则有， 要想存在最小值，只需，而，所以； 当时，函数在上单调递减， 所以当时，，即， 当时，函数单调递减，则有， 因此函数存在最小值，最小值为， 综上所述：， 故选：A 二、多选题 7．（本题6分）下列各式不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据根式的性质、指数幂的运算法则判断． 【详解】；； ，；， 故ABC均错，D正确， 故选：ABC． 8．（本题6分）已知函数，，则（   ） A． B．为奇函数 C．为减函数 D． 【答案】BCD 【分析】代入直接计算判断A；根据奇函数的定义判断B；根据，结合指数函数的单调性判断C；根据的单调性与奇偶性解不等式判断D. 【详解】对于A，因为，故，显然（），故A选项错误； 对于B，由题意函数的定义域为，关于原点对称，，故为奇函数，B选项正确； 对于C，，由于，故为上的单调递减函数，为上的单调递增函数，为上的单调递减函数， 所以为上的单调递减函数，C选项正确； 对于D，由于为上的单调递减函数，且为奇函数， 所以， 所以，即，显然恒成立 所以恒成立，D选项正确. 故选：BCD 三、填空题 9．（本题5分）小王同学经过化简，得到恒等式，则__________. 【答案】/ 【分析】将根式化为分数指数幂，利用待定系数法计算即可. 【详解】根据题意，故. 故答案为： 10．（本题5分）已知不等式对于恒成立，则实数的取值范围是__． 【答案】 【分析】设，，则题目转化为在恒成立，求的最小值即可. 【详解】设，因为，则， 不等式对于恒成立， 等价于，即在恒成立， 设，，令，（负舍）， 则根据对勾函数的性质可知： 在上为单调减函数，则， 所以，故实数的取值范围是， 故答案为：. 四、解答题 11．（本题14分）化简并求出下列各式的值： (1)； (2)已知，，求的值． 【答案】(1)6 (2)3 【分析】（1）根据指数的幂的运算可得答案. （2）由根式化成分数指数幂的形式，再由幂的运算法则可得答案. 【详解】（1）原式===. （2）原式===， 因为，， 所以原式==3. 12．（本题16分）已知指数函数的图象经过点， （1）求的解析式； （2）当时，求的值域． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）先设出指数函数的解析式，再代入点，即可求出结果；（2）利用指数函数的单调性可知在上为减函数，即可得出结果. 【详解】（1）设指数函数为且， 因为的图象经过点， 所以， 则， 所以的解析式为：； （2）易知函数在上为减函数， 所以， 又， 所以， 即的值域为. 13．（本题18分）已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明； (3)解关于的不等式. 【答案】(1) 是奇函数，理由如下： 由题意可知，， 因为的定义域为，且， 所以是奇函数. (2) 在上单调递增.证明如下： 任取，设，则 . 因为，所以， 又因为，所以， 所以，即， 所以在上单调递增. (3) 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义求解； （2）利用函数的单调性定义求解； （3）利用函数的单调性和奇偶性，将转化为求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（1）（2）知是上单调递增的奇函数， 所以在上单调递增， 所以， 可以转化为， 可化为， 即， ①当时，不等式为，解集为； ②当时，解不等式得到； ③当时，解不等式得到. 综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第三章 指数运算与指数函数（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）若，则函数与的图象大致是（　　） A． B． C． D． 5．（本题5分）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知．若存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（本题6分）下列各式不正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（本题6分）已知函数，，则（   ） A． B．为奇函数 C．为减函数 D． 三、填空题 9．（本题5分）小王同学经过化简，得到恒等式，则__________. 10．（本题5分）已知不等式对于恒成立，则实数的取值范围是__． 四、解答题 11．（本题14分）化简并求出下列各式的值： (1)； (2)已知，，求的值． 12．（本题16分）已知指数函数的图象经过点， （1）求的解析式； （2）当时，求的值域． 13．（本题18分）已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明； (3)解关于的不等式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $