第1章　1.1.1　空间向量及其线性运算课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量的概念、线性运算及共线共面充要条件，通过平面向量向空间推广的导入方式，构建从二维到三维的学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于分层设计的学习通道，自主学习梳理概念，互动探究通过例题与变式突破难点，结合数学眼光的抽象与数学思维的推理，如共线共面证明实例，助力学生发展空间观念与逻辑推理能力，教师可利用分层资源提升教学效率。

第一章　空间向量与立体几何 1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其线性运算 【学习与目标】　 自主学习通道 目录 互动探究通道 巩固提升通道 高效课时作业 自主学习通道 自研教材 梳理必备知识 返回目录 自主学习通道 大小 方向 大小 模 |a| 自主学习通道 0 1 相等 相反 平行 重合 平行 相同 相等 自主学习通道 自主学习通道 b＋a a＋(b＋c) (λμ)a λa＋λb 自主学习通道 自主学习通道 a＝λb 平行 非零 方向向量 自主学习通道 同一个平面 唯一 xa＋yb 自主学习通道 自主学习通道 √ √ × × 自主学习通道 C 自主学习通道 D 10 相反 互动探究通道 师生共研 探究重点难点 返回目录 互动探究通道 AB 互动探究通道 3 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 A 互动探究通道 ABC 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 巩固提升通道 当堂巩固 验收关键能力 返回目录 巩固提升通道 巩固提升通道 B 巩固提升通道 D 巩固提升通道 A 巩固提升通道 －3 高效课时作业 返回目录 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ACD 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 球面 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Thank you for watching. 1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念.2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程． 填一填 1．空间向量的有关概念 (1)空间向量 ①定义：在空间，我们把具有 eq \o(□,\s\up4(1)) 和 eq \o(□,\s\up4(2)) 的量叫做空间向量． ②长度：空间向量的 eq \o(□,\s\up4(3)) 叫做空间向量的长度或 eq \o(□,\s\up4(4)) ． (2)空间向量的表示 ①字母表示法：用字母a，b，c，…表示． ②几何表示法：用有向线段表示，其长度表示空间向量的模． 若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作 eq \o(□,\s\up4(5)) ，其模记为 eq \o(□,\s\up4(6)) 或 eq \o(□,\s\up4(7)) ． eq \o(AB,\s\up15(→)) | eq \o(AB,\s\up15(→))| (3)几类特殊向量 特殊向量 定义 零向量 长度为 eq \o(□,\s\up4(8)) 的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为 eq \o(□,\s\up4(9)) 的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度 eq \o(□,\s\up4(10)) 而方向 eq \o(□,\s\up4(11)) 的向量叫做a的相反向量，记为－a 共线向 量或平 行向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相 eq \o(□,\s\up4(12)) 或 eq \o(□,\s\up4(13)) ，那么这些向量叫做共线向量或平行向量． 规定：零向量与任意向量 eq \o(□,\s\up4(14)) ，即对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向 eq \o(□,\s\up4(15)) 且模 eq \o(□,\s\up4(16)) 的向量 【提醒】　空间向量相关概念的注意点 (1)单位向量、零向量都只规定了向量的模而没有规定方向．需注意单位向量有无数个，它们的方向并不确定，因此，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向是任意的，但规定所有的零向量都相等． (2)在平面内，若以两个同向向量为对边可构成平行四边形，则这两个向量相等，在空间中，这个结论同样成立． (3)和平面向量一样，若两个空间向量相等，则它们的方向相同，且模相等，但起点、终点未必相同． 2．空间向量的线性运算及其运算律 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝ eq \o(OA,\s\up15(→))＋ eq \o(AB,\s\up15(→))＝ eq \o(□,\s\up4(17)) 减法 a－b＝ eq \o(OA,\s\up15(→))－ eq \o(OC,\s\up15(→))＝ eq \o(□,\s\up4(18)) 数乘 运算 当λ＞0时，λa＝λ eq \o(OA,\s\up15(→))＝ eq \o(PQ,\s\up15(→)) 当λ＜0时，λa＝λ eq \o(OA,\s\up15(→))＝ eq \o(MN,\s\up15(→)) 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律 a＋b＝ eq \o(□,\s\up4(19))_____ 结合律 (a＋b)＋c＝ eq \o(□,\s\up4(20)) ，λ(μa)＝ eq \o(□,\s\up4(21))_______ 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝ eq \o(□,\s\up4(22))__________ eq \o(OB,\s\up15(→)) eq \o(CA,\s\up15(→)) 【提醒】　对空间向量数乘运算的理解 (1)非零向量a与λa(λ≠0)的方向要么相同，要么相反． (2)由于向量a，b可平移到同一个平面内，而平面向量满足数乘运算的分配律，所以空间向量也满足数乘运算的分配律． (3)根据空间向量的数乘运算的定义，结合律显然也成立． (4)实数与空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ±a无法运算． 3．空间向量共线、共面的充要条件 (1)空间向量共线的充要条件 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使 eq \o(□,\s\up4(23)) ． (2)直线的方向向量 ①如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上的任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得 eq \o(OP,\s\up15(→))＝λa，把与向量a eq \o(□,\s\up4(24)) 的 eq \o(□,\s\up4(25)) 向量称为直线l的方向向量． ②直线可以由其上一点和它的 eq \o(□,\s\up4(26)) 确定． (3)空间向量共面的充要条件 ①共面向量：平行于 eq \o(□,\s\up4(27)) 的向量，叫做共面向量． ②空间向量共面的充要条件：向量p与不共线的向量a，b共面的充要条件是存在 eq \o(□,\s\up4(28)) 的有序实数对(x，y)，使p＝ eq \o(□,\s\up4(29)) ． 【提醒】　(1)理解共线向量的定义时，要注意以下两点：①零向量和任一空间向量是共线向量；②共线向量不具有传递性，如a∥b，b∥c，但a∥c不一定成立，因为当b＝0时，虽然a∥b，b∥c，但a不一定与c共线． (2)向量共线的充要条件可以作为判定线线平行的依据，但必须注意在向量a(或b)上需存在一点不在向量b(或a)上． (3)向量p与a，b共面的充要条件是在向量a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立． 练一练 1．判断正误 (1)向量 eq \o(AB,\s\up15(→))的长度与向量 eq \o(BA,\s\up15(→))的长度相等．(　　) (2)空间向量a用几何表示法表示时，表示该向量的有向线段的起点可任意选取．(　　) (3)空间中任意三个向量一定是共面向量．(　　) (4)向量 eq \o(AB,\s\up15(→))与向量 eq \o(CD,\s\up15(→))是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．(　　) 2．空间中任意四个点A，B，C，D，则 eq \o(BA,\s\up15(→))＋ eq \o(CB,\s\up15(→))－ eq \o(CD,\s\up15(→))等于(　　) A． eq \o(DB,\s\up15(→))　　 B． eq \o(AD,\s\up15(→))　 C． eq \o(DA,\s\up15(→))　 D． eq \o(AC,\s\up15(→)) 3．如图所示，在四棱柱的上底面ABCD中， eq \o(AB,\s\up15(→))＝ eq \o(DC,\s\up15(→))，则下列向量相等的是 (　　) A． eq \o(AD,\s\up15(→))与 eq \o(CB,\s\up15(→)) B． eq \o(OA,\s\up15(→))与 eq \o(OC,\s\up15(→)) C． eq \o(AC,\s\up15(→))与 eq \o(DB,\s\up15(→)) D． eq \o(DO,\s\up15(→))与 eq \o(OB,\s\up15(→)) 4．已知a，b是两个空间向量，且b＝－5a，|a|＝2，则向量b的长度为 ，向量b的方向与向量a的方向 ． 类型一　空间向量的概念　　　　　　自主探究 1．(多选)给出下列命题，其中正确的命题为(　　) A．零向量没有确定的方向 B．在正方体ABCD­A1B1C1D1中， eq \o(AC,\s\up15(→))＝ eq \o(A1C1,\s\up15(→)) C．若向量a与向量b的模相等，则a，b的方向相同或相反 D．在四边形ABCD中，必有 eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \o(AD,\s\up15(→))＝ eq \o(AC,\s\up15(→)) 解析　易知A、B正确；C中a与b的方向不能确定；D中只有当四边形ABCD是平行四边形时，才有 eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \o(AD,\s\up15(→))＝ eq \o(AC,\s\up15(→)).故选AB. 2．如图所示，以长方体ABCD­A1B1C1D1的8个顶点中的两点为起点和终点的向量中： (1)与 eq \o(AB,\s\up15(→))相等的向量为 ； (2) eq \o(AA1,\s\up15(→))的相反向量为 ； (3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，则向量 eq \o(AC1,\s\up15(→))的模为 ． eq \o(A1B1,\s\up15(→))， eq \o(DC,\s\up15(→))， eq \o(D1C1,\s\up15(→)) eq \o(A1A,\s\up15(→))， eq \o(B1B,\s\up15(→))， eq \o(C1C,\s\up15(→))， eq \o(D1D,\s\up15(→)) 1．判断与空间向量有关的命题时，要抓住空间向量的两个主要要素，即大小与方向，两者缺一不可． 2．空间向量概念中的两种关系 (1)模相等与空间向量相等的关系：两个空间向量(非零向量)的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个空间向量(非零向量)的模相等是两个空间向量相等的必要不充分条件． (2)向量的模与空间向量“大小”的关系：由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对空间向量来说是没有意义的，但空间向量的模是可以比较大小的． 类型二　空间向量的线性运算 【例1】　已知四边形ABCD为正方形，P是正方形ABCD所在平面外的一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值． (1) eq \o(OQ,\s\up15(→))＝ eq \o(PQ,\s\up15(→))＋x eq \o(PC,\s\up15(→))＋y eq \o(PA,\s\up15(→))； (2) eq \o(PA,\s\up15(→))＝x eq \o(PO,\s\up15(→))＋y eq \o(PQ,\s\up15(→))＋ eq \o(PD,\s\up15(→)). 解　(1)如图所示， eq \o(OQ,\s\up15(→))＝ eq \o(PQ,\s\up15(→))＋ eq \o(OP,\s\up15(→))，由向量加法的平行四边形法则可得 eq \o(PO,\s\up15(→))＝ eq \f(1,2)( eq \o(PC,\s\up15(→))＋ eq \o(PA,\s\up15(→)))， 所以 eq \o(OP,\s\up15(→))＝－ eq \f(1,2) eq \o(PC,\s\up15(→))－ eq \f(1,2) eq \o(PA,\s\up15(→))， 所以 eq \o(OQ,\s\up15(→))＝ eq \o(PQ,\s\up15(→))＋ eq \o(OP,\s\up15(→))＝ eq \o(PQ,\s\up15(→))－ eq \f(1,2) eq \o(PC,\s\up15(→))－ eq \f(1,2) eq \o(PA,\s\up15(→)). 所以x＝－ eq \f(1,2)，y＝－ eq \f(1,2). (2)因为 eq \o(PA,\s\up15(→))＝ eq \o(PD,\s\up15(→))＋ eq \o(DA,\s\up15(→))＝ eq \o(PD,\s\up15(→))＋2 eq \o(QO,\s\up15(→))＝ eq \o(PD,\s\up15(→))＋2( eq \o(PO,\s\up15(→))－ eq \o(PQ,\s\up15(→)))＝ eq \o(PD,\s\up15(→))＋2 eq \o(PO,\s\up15(→))－2 eq \o(PQ,\s\up15(→))，所以x＝2，y＝－2． 1．利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法与减法运算时，务必要注意向量的方向，必要时可对空间向量自由平移进而获得更准确的结果． 2．利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则或平行四边形法则将目标向量转化为已知向量． [跟踪训练1]　(1)如图所示，在四面体O­ABC中， eq \o(OA,\s\up15(→))＝a， eq \o(OB,\s\up15(→))＝b， eq \o(OC,\s\up15(→))＝c，点M在棱OC上，且OM＝2MC，点N为AB的中点，则 eq \o(MN,\s\up15(→))＝(　　) A． eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,2)b－ eq \f(2,3)c B． eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,2)b－ eq \f(1,2)c C． eq \f(1,2)a－ eq \f(2,3)b＋ eq \f(1,2)c D．－ eq \f(2,3)a＋ eq \f(1,2)b＋ eq \f(1,2)c (2) (多选)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各式的运算结果为向量 eq \o(AC1,\s\up15(→))的有(　 　) A．( eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \o(BC,\s\up15(→)))＋ eq \o(CC1,\s\up15(→)) B．( eq \o(AA1,\s\up15(→))＋ eq \o(A1D1,\s\up15(→)))＋ eq \o(D1C1,\s\up15(→)) C．( eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \o(BB1,\s\up15(→)))＋ eq \o(B1C1,\s\up15(→)) D．( eq \o(AA1,\s\up15(→))＋ eq \o(A1B1,\s\up15(→)))＋ eq \o(B1D1,\s\up15(→)) 解析　(1)由OM＝2MC，可得 eq \o(OM,\s\up15(→))＝ eq \f(2,3) eq \o(OC,\s\up15(→))，连接ON，由点N为AB的中点，可得 eq \o(ON,\s\up15(→))＝ eq \f(1,2)( eq \o(OA,\s\up15(→))＋ eq \o(OB,\s\up15(→)))，则 eq \o(MN,\s\up15(→))＝ eq \o(ON,\s\up15(→))－ eq \o(OM,\s\up15(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(OA,\s\up15(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(OB,\s\up15(→))－ eq \f(2,3) eq \o(OC,\s\up15(→))＝ eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,2)b－ eq \f(2,3)c.故选A. (2)对于A，( eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \o(BC,\s\up15(→)))＋ eq \o(CC1,\s\up15(→))＝ eq \o(AC,\s\up15(→))＋ eq \o(CC1,\s\up15(→))＝ eq \o(AC1,\s\up15(→))；对于B，( eq \o(AA1,\s\up15(→))＋ eq \o(A1D1,\s\up15(→)))＋ eq \o(D1C1,\s\up15(→))＝ eq \o(AD1,\s\up15(→))＋ eq \o(D1C1,\s\up15(→))＝ eq \o(AC1,\s\up15(→))；对于C，( eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \o(BB1,\s\up15(→)))＋ eq \o(B1C1,\s\up15(→))＝ eq \o(AB1,\s\up15(→))＋ eq \o(B1C1,\s\up15(→))＝ eq \o(AC1,\s\up15(→))；对于D，( eq \o(AA1,\s\up15(→))＋ eq \o(A1B1,\s\up15(→)))＋ eq \o(B1D1,\s\up15(→))＝ eq \o(AB1,\s\up15(→))＋ eq \o(B1D1,\s\up15(→))＝ eq \o(AD1,\s\up15(→))≠ eq \o(AC1,\s\up15(→))． 类型三　共线向量、共面向量 【例2】　如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝ eq \f(1,3)BD，AN＝ eq \f(1,3)AE.求证：向量 eq \o(MN,\s\up15(→))， eq \o(CD,\s\up15(→))， eq \o(DE,\s\up15(→))共面． 证明　因为M在BD上，且BM＝ eq \f(1,3)BD，所以 eq \o(MB,\s\up15(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(DB,\s\up15(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(DA,\s\up15(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up15(→)).同理， eq \o(AN,\s\up15(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(AD,\s\up15(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(DE,\s\up15(→)).所以 eq \o(MN,\s\up15(→))＝ eq \o(MB,\s\up15(→))＋ eq \o(BA,\s\up15(→))＋ eq \o(AN,\s\up15(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(DA,\s\up15(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \o(BA,\s\up15(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(AD,\s\up15(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(DE,\s\up15(→))＝ eq \f(2,3) eq \o(BA,\s\up15(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(DE,\s\up15(→))＝ eq \f(2,3) eq \o(CD,\s\up15(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(DE,\s\up15(→)).又 eq \o(CD,\s\up15(→))与 eq \o(DE,\s\up15(→))不共线，所以根据向量共面的充要条件可知 eq \o(MN,\s\up15(→))， eq \o(CD,\s\up15(→))， eq \o(DE,\s\up15(→))共面． 变式探究 (变条件，变设问)若将本例中“BM＝ eq \f(1,3)BD，AN＝ eq \f(1,3)AE”变为“BM＝ eq \f(1,2)BD，AN＝ eq \f(1,2)AE”，试判断 eq \o(MN,\s\up15(→))与 eq \o(CE,\s\up15(→))是否共线． 解　 eq \o(MN,\s\up15(→))＝ eq \o(MB,\s\up15(→))＋ eq \o(BA,\s\up15(→))＋ eq \o(AN,\s\up15(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(DA,\s\up15(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(DC,\s\up15(→))－ eq \o(DC,\s\up15(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up15(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(DE,\s\up15(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(CD,\s\up15(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(DE,\s\up15(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(CE,\s\up15(→))，故 eq \o(MN,\s\up15(→))与 eq \o(CE,\s\up15(→))共线． 1．证明三点共线的方法 (1)若 eq \o(PA,\s\up15(→))＝λ eq \o(PB,\s\up15(→))(P，A，B是不重合的三点)，则P，A，B三点共线． (2)对空间任意一点O，若 eq \o(OP,\s\up15(→))＝x eq \o(OA,\s\up15(→))＋y eq \o(OB,\s\up15(→))且x＋y＝1，则P，A，B三点共线． 2．证明空间向量共面和四点共面的方法 (1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面． (2)若存在有序实数组(x，y，z)，使得对于空间任一点O，有 eq \o(OP,\s\up15(→))＝x eq \o(OA,\s\up15(→))＋y eq \o(OB,\s\up15(→))＋z eq \o(OC,\s\up15(→))，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面． [跟踪训练2]　(2024·烟台期末)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且 eq \f(AN,NC)＝2，求证：A1，B，N，M四点共面． 证明　如图，连接A1B，A1M，A1N，设 eq \o(AA1,\s\up15(→))＝a， eq \o(AB,\s\up15(→))＝b， eq \o(AD,\s\up15(→))＝c， 则 eq \o(A1B,\s\up15(→))＝b－a， ∵M为DD1的中点， ∴ eq \o(A1M,\s\up15(→))＝c－ eq \f(1,2)a， 又∵ eq \f(AN,NC)＝2， ∴ eq \o(AN,\s\up15(→))＝ eq \f(2,3) eq \o(AC,\s\up15(→))＝ eq \f(2,3)(b＋c)， ∴ eq \o(A1N,\s\up15(→))＝ eq \o(AN,\s\up15(→))－ eq \o(AA1,\s\up15(→))＝ eq \f(2,3)(b＋c)－a ＝ eq \f(2,3)(b－a)＋ eq \f(2,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－\f(1,2)a))＝ eq \f(2,3) eq \o(A1B,\s\up15(→))＋ eq \f(2,3) eq \o(A1M,\s\up15(→))， ∴ eq \o(A1N,\s\up15(→))， eq \o(A1B,\s\up15(→))， eq \o(A1M,\s\up15(→))为共面向量． 又∵三个向量有相同的起点A1， ∴A1，B，N，M四点共面． 探究窗　空间向量的应用 【典例】　利用空间向量的知识证明平行六面体的体对角线交于一点，并且在交点处互相平分． [证明]　如图所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，设点O是AC′的中点， 则 eq \o(AO,\s\up15(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(AC′,\s\up15(→))＝ eq \f(1,2)( eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \o(AD,\s\up15(→))＋ eq \o(AA′,\s\up15(→))). 设P，M，N分别是BD′，CA′，DB′的中点， 则 eq \o(AP,\s\up15(→))＝ eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(BD′,\s\up15(→)) ＝ eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \f(1,2)( eq \o(BA,\s\up15(→))＋ eq \o(BC,\s\up15(→))＋ eq \o(BB′,\s\up15(→))) ＝ eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \f(1,2)(－ eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \o(AD,\s\up15(→))＋ eq \o(AA′,\s\up15(→))) ＝ eq \f(1,2)( eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \o(AD,\s\up15(→))＋ eq \o(AA′,\s\up15(→)))， 同理可得 eq \o(AM,\s\up15(→))＝ eq \f(1,2)( eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \o(AD,\s\up15(→))＋ eq \o(AA′,\s\up15(→)))， eq \o(AN,\s\up15(→))＝ eq \f(1,2)( eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \o(AD,\s\up15(→))＋ eq \o(AA′,\s\up15(→)))， 由此可知O，P，M，N四点重合，故平行六面体的体对角线相交于一点，且在交点处互相平分． 利用空间向量处理空间问题的优越性在于能把“非运算”问题“运算”化，即通过向量的运算解决立体几何问题，解决的关键环节之一就是将不同的向量用其他向量统一表示． [针对训练]　如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且 eq \o(CF,\s\up15(→))＝ eq \f(2,3) eq \o(CB,\s\up15(→))， eq \o(CG,\s\up15(→))＝ eq \f(2,3) eq \o(CD,\s\up15(→)).求证：四边形EFGH是梯形． 证明　∵E，H分别是AB，AD的中点， ∴ eq \o(AE,\s\up15(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up15(→))， eq \o(AH,\s\up15(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up15(→))， 则 eq \o(EH,\s\up15(→))＝ eq \o(AH,\s\up15(→))－ eq \o(AE,\s\up15(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up15(→))－ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up15(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up15(→))＝ eq \f(1,2)( eq \o(CD,\s\up15(→))－ eq \o(CB,\s\up15(→)))＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)\o(CG,\s\up15(→))－\f(3,2)\o(CF,\s\up15(→))))＝ eq \f(3,4)( eq \o(CG,\s\up15(→))－ eq \o(CF,\s\up15(→)))＝ eq \f(3,4) eq \o(FG,\s\up15(→))，∴ eq \o(EH,\s\up15(→))∥ eq \o(FG,\s\up15(→))，且| eq \o(EH,\s\up15(→))|＝ eq \f(3,4)| eq \o(FG,\s\up15(→))|≠| eq \o(FG,\s\up15(→))|. 又F不在直线EH上，∴四边形EFGH是梯形． 1．知识清单 (1)空间向量的相关概念． (2)空间向量的线性运算及其运算律． (3)空间向量共线的充要条件，直线的方向向量． (4)空间向量共面的充要条件，三点共线、四点共面的证明方法． (5)空间向量的应用． 2．方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合和转化思想． 3．常见误区：(1)容易忽视向量的“大小”和“方向”两个要素，注意向量不是一个数；(2)容易混淆向量共线与线段共线、点共线之间的关系． 1．下列说法正确的是(　　) A．空间向量的减法满足结合律 B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b| C．两个向量相等，若它们的起点相同，则其终点不一定相同 D．若|a|>|b|，|b|>|c|，则a>c 解析　两个向量是相反向量时，它们的模必相等，故选项B正确． 2．空间两向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是(　　) A．a＝b B．a＋b为实数0 C．a与b方向相同 D．|a|＝3 解析　根据相反向量的定义可知，|a|＝3． 3．(2023·河北唐山一中期中)如图，在空间四边形PABC中， eq \o(PA,\s\up15(→))＋ eq \o(AB,\s\up15(→))－ eq \o(CB,\s\up15(→))＝(　　) A． eq \o(PC,\s\up15(→)) B． eq \o(PA,\s\up15(→)) C． eq \o(AB,\s\up15(→)) D． eq \o(AC,\s\up15(→)) 解析　 eq \o(PA,\s\up15(→))＋ eq \o(AB,\s\up15(→))－ eq \o(CB,\s\up15(→))＝ eq \o(PB,\s\up15(→))－ eq \o(CB,\s\up15(→))＝ eq \o(PB,\s\up15(→))＋ eq \o(BC,\s\up15(→))＝ eq \o(PC,\s\up15(→))． 4．设a，b是空间中两个不共线的向量，已知 eq \o(AB,\s\up15(→))＝9a＋mb， eq \o(BC,\s\up15(→))＝－2a－b， eq \o(DC,\s\up15(→))＝a－2b，且A，B，D三点共线，则实数m＝ ． 解析　因为 eq \o(BC,\s\up15(→))＝－2a－b， eq \o(DC,\s\up15(→))＝a－2b，所以 eq \o(BD,\s\up15(→))＝ eq \o(BC,\s\up15(→))＋ eq \o(CD,\s\up15(→))＝ eq \o(BC,\s\up15(→))－ eq \o(DC,\s\up15(→))＝－2a－b－(a－2b)＝－3a＋b， 因为A，B，D三点共线， 所以存在实数λ，使得 eq \o(AB,\s\up15(→))＝λ eq \o(BD,\s\up15(→))， 即9a＋mb＝λ(－3a＋b)， 所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(9＝－3λ，,m＝λ，))解得m＝λ＝－3. 基础巩固 1． eq \o(OA,\s\up15(→))＋ eq \o(AB,\s\up15(→))－ eq \o(CB,\s\up15(→))＝(　　) A． eq \o(OA,\s\up15(→)) B． eq \o(AB,\s\up15(→)) C． eq \o(OC,\s\up15(→)) D． eq \o(AC,\s\up15(→)) 解析　 eq \o(OA,\s\up15(→))＋ eq \o(AB,\s\up15(→))－ eq \o(CB,\s\up15(→))＝ eq \o(OB,\s\up15(→))＋ eq \o(BC,\s\up15(→))＝ eq \o(OC,\s\up15(→))． 2．下列说法中正确的是(　　) A．空间中共线的向量必在同一条直线上 B． eq \o(AB,\s\up15(→))＝ eq \o(CD,\s\up15(→))的充要条件是A与C重合，B与D重合 C．数乘运算中，λ既决定大小，又决定方向 D．若向量 eq \o(AB,\s\up15(→))， eq \o(CD,\s\up15(→))满足| eq \o(AB,\s\up15(→))|>| eq \o(CD,\s\up15(→))|， eq \o(AB,\s\up15(→))与 eq \o(CD,\s\up15(→))同向，则 eq \o(AB,\s\up15(→))> eq \o(CD,\s\up15(→)) 解析　对于A，向量共线是指表示向量的有向线段所在直线平行或重合，所以A错误； 对于B， eq \o(AB,\s\up15(→))＝ eq \o(CD,\s\up15(→))的充要条件是| eq \o(AB,\s\up15(→))|＝| eq \o(CD,\s\up15(→))|，且 eq \o(AB,\s\up15(→))， eq \o(CD,\s\up15(→))同向，但A与C，B与D不一定重合，所以B错误； 对于C：λ既决定大小又决定方向，所以C正确； 对于D，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，所以D错误． 3．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且 eq \o(AO,\s\up15(→))＋ eq \o(OB,\s\up15(→))＝ eq \o(DO,\s\up15(→))＋ eq \o(OC,\s\up15(→))，则四边形ABCD是(　　) A．平行四边形 B．空间四边形 C．等腰梯形 D．矩形 解析　∵ eq \o(AO,\s\up15(→))＋ eq \o(OB,\s\up15(→))＝ eq \o(DO,\s\up15(→))＋ eq \o(OC,\s\up15(→))，∴ eq \o(AB,\s\up15(→))＝ eq \o(DC,\s\up15(→))，∴ eq \o(AB,\s\up15(→))∥ eq \o(DC,\s\up15(→))且| eq \o(AB,\s\up15(→))|＝| eq \o(DC,\s\up15(→))|.∴四边形ABCD为平行四边形，故选A． 4．(多选)已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC1的中点为O，则下列互为相反向量的是(　 　) A． eq \o(OA,\s\up15(→))＋ eq \o(OD,\s\up15(→))与 eq \o(OB1,\s\up15(→))＋ eq \o(OC1,\s\up15(→)) B． eq \o(OB,\s\up15(→))－ eq \o(OC,\s\up15(→))与 eq \o(OA1,\s\up15(→))－ eq \o(OD1,\s\up15(→)) C． eq \o(OA1,\s\up15(→))－ eq \o(OA,\s\up15(→))与 eq \o(OC,\s\up15(→))－ eq \o(OC1,\s\up15(→)) D． eq \o(OA,\s\up15(→))＋ eq \o(OB,\s\up15(→))＋ eq \o(OC,\s\up15(→))＋ eq \o(OD,\s\up15(→))与 eq \o(OA1,\s\up15(→))＋ eq \o(OB1,\s\up15(→))＋ eq \o(OC1,\s\up15(→))＋ eq \o(OD1,\s\up15(→)) 解析　A中是一对相反向量；B中是一对相等向量；C中是一对相反向量；D中是一对相反向量． 5．对于空间中的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是(　　) A．共面向量 B．共线向量 C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量 解析　由向量共面定理可知，三个向量a，b，2a－b为共面向量． 6．(2024·山东青岛二中月考)如图，在四面体ABCD中，M，N分别是AD，CD的中点，则 eq \f(1,2)( eq \o(BD,\s\up15(→))＋ eq \o(BA,\s\up15(→)))－ eq \f(1,2)( eq \o(BD,\s\up15(→))＋ eq \o(BC,\s\up15(→)))＝(　　) A． eq \o(CA,\s\up15(→)) B． eq \o(AC,\s\up15(→)) C． eq \o(NM,\s\up15(→)) D． eq \o(MN,\s\up15(→)) 解析　连接BM，BN，如图所示．因为M，N分别是AD，CD的中点，所以 eq \f(1,2)( eq \o(BD,\s\up15(→))＋ eq \o(BA,\s\up15(→)))－ eq \f(1,2)( eq \o(BD,\s\up15(→))＋ eq \o(BC,\s\up15(→)))＝ eq \o(BM,\s\up15(→))－ eq \o(BN,\s\up15(→))＝ eq \o(NM,\s\up15(→)).故选C． 7．把所有单位向量的起点移到一点，则这些向量的终点组成的图形是 ． 8．设e1，e2是空间中两个不共线的向量，已知 eq \o(AB,\s\up15(→))＝e1＋ke2， eq \o(BC,\s\up15(→))＝5e1＋4e2， eq \o(DC,\s\up15(→))＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k＝ ． 解析　 eq \o(AD,\s\up15(→))＝ eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \o(BC,\s\up15(→))＋ eq \o(CD,\s\up15(→))＝7e1＋(k＋6)e2，∵A，B，D三点共线，∴设 eq \o(AD,\s\up15(→))＝x eq \o(AB,\s\up15(→))，即7e1＋(k＋6)e2＝xe1＋xke2，故(7－x)e1＝－(k＋6－xk)e2.又e1，e2不共线，∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(7－x＝0，,k＋6－kx＝0，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝7，,k＝1，))故k的值为1． 9．如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点．请化简以下式子，并在图中标出化简结果的向量． (1) eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \o(BD,\s\up15(→))－ eq \o(CD,\s\up15(→))； (2) eq \o(AB,\s\up15(→))－ eq \o(DG,\s\up15(→))－ eq \o(CE,\s\up15(→)). 解　(1) eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \o(BD,\s\up15(→))－ eq \o(CD,\s\up15(→))＝ eq \o(AD,\s\up15(→))＋ eq \o(DC,\s\up15(→))＝ eq \o(AC,\s\up15(→))，如图中向量 eq \o(AC,\s\up15(→)). (2) eq \o(AB,\s\up15(→))－ eq \o(DG,\s\up15(→))－ eq \o(CE,\s\up15(→))＝ eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \o(GD,\s\up15(→))＋ eq \o(EC,\s\up15(→))＝ eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \o(BG,\s\up15(→))＋ eq \o(EC,\s\up15(→))＝ eq \o(AG,\s\up15(→))＋ eq \o(GF,\s\up15(→))＝ eq \o(AF,\s\up15(→))，如图中向量 eq \o(AF,\s\up15(→))． 10．如图，已知ABCD­A1B1C1D1为平行六面体．设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上一点，且BN＝3NC1，设 eq \o(MN,\s\up15(→))＝α eq \o(AB,\s\up15(→))＋β eq \o(AD,\s\up15(→))＋γ eq \o(AA1,\s\up15(→))，试求α，β，γ的值． 解　∵ eq \o(MN,\s\up15(→))＝ eq \o(MB,\s\up15(→))＋ eq \o(BN,\s\up15(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(DB,\s\up15(→))＋ eq \f(3,4) eq \o(BC1,\s\up15(→)) ＝ eq \f(1,2)( eq \o(AB,\s\up15(→))－ eq \o(AD,\s\up15(→)))＋ eq \f(3,4)( eq \o(CC1,\s\up15(→))－ eq \o(CB,\s\up15(→))) ＝ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up15(→))－ eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up15(→))＋ eq \f(3,4)( eq \o(AA1,\s\up15(→))＋ eq \o(AD,\s\up15(→))) ＝ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \f(1,4) eq \o(AD,\s\up15(→))＋ eq \f(3,4) eq \o(AA1,\s\up15(→))， 又 eq \o(MN,\s\up15(→))＝α eq \o(AB,\s\up15(→))＋β eq \o(AD,\s\up15(→))＋γ eq \o(AA1,\s\up15(→))，∴α＝ eq \f(1,2)，β＝ eq \f(1,4)，γ＝ eq \f(3,4)． 能力提升 11．(2023·河北沧州期中)已知点A，B，C不共线，O是空间任意一点，点P在平面ABC内，且 eq \o(OP,\s\up15(→))＝y eq \o(OA,\s\up15(→))－x2 eq \o(OB,\s\up15(→))＋x eq \o(OC,\s\up15(→))，则(　　) A．y有最小值 eq \f(3,4) B．y有最大值 eq \f(3,4) C．y有最小值1 D．y有最大值1 解析　因为P，A，B，C四点共面，所以y－x2＋x＝1，即y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))) eq \s\up42(2)＋ eq \f(3,4)， 所以当x＝ eq \f(1,2)时，y有最小值 eq \f(3,4).故选A． 12．光岳楼，亦称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，始建于公元1374年，在《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇海楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼．其墩台为砖石砌成的正四棱台，直观图如图所示，其上缘边长与底边边长之比约为 eq \f(9,10)，则 eq \o(HE,\s\up15(→))＋ eq \o(FB,\s\up15(→))＋ eq \f(1,9) eq \o(DC,\s\up15(→))＝ ． eq \o(HA,\s\up15(→)) 解析　如图，延长EA，FB，GC，HD相交于一点O，由题可得 eq \f(FB,FO)＝ eq \f(EA,EO)＝ eq \f(1,10)， eq \f(DC,HG)＝ eq \f(9,10)， ∴ eq \o(HE,\s\up15(→))＋ eq \o(FB,\s\up15(→))＋ eq \f(1,9) eq \o(DC,\s\up15(→))＝ eq \o(HE,\s\up15(→))＋ eq \f(1,10) eq \o(FO,\s\up15(→))＋ eq \f(1,10) eq \o(HG,\s\up15(→))＝ eq \o(HE,\s\up15(→))＋ eq \f(1,10) eq \o(FO,\s\up15(→))＋ eq \f(1,10) eq \o(EF,\s\up15(→))＝ eq \o(HE,\s\up15(→))＋ eq \f(1,10) eq \o(EO,\s\up15(→))＝ eq \o(HE,\s\up15(→))＋ eq \o(EA,\s\up15(→))＝ eq \o(HA,\s\up15(→))． 13．如图所示，已知A，B，C及A1，B1，C1分别是异面直线l1，l2上的三点，M，N，P，Q分别是线段AA1，BA1，BB1，CC1的中点，求证：M，N，P，Q四点共面． 证明　连接NM，NP，PQ，NQ，PC，PC1. 易知 eq \o(BA,\s\up15(→))＝2 eq \o(NM,\s\up15(→))， eq \o(A1B1,\s\up15(→))＝2 eq \o(NP,\s\up15(→))， eq \o(PQ,\s\up15(→))＝ eq \f(1,2)( eq \o(PC,\s\up15(→))＋ eq \o(PC1,\s\up15(→)))＝ eq \f(1,2)( eq \o(PB,\s\up15(→))＋ eq \o(BC,\s\up15(→))＋ eq \o(PB1,\s\up15(→))＋ eq \o(B1C1,\s\up15(→)))＝ eq \f(1,2)( eq \o(BC,\s\up15(→))＋ eq \o(B1C1,\s\up15(→))).(*) ∵A，B，C及A1，B1，C1三点共线， ∴存在实数λ，ω，使得 eq \o(BC,\s\up15(→))＝λ eq \o(BA,\s\up15(→))＝2λ eq \o(NM,\s\up15(→))， eq \o(B1C1,\s\up15(→))＝ω eq \o(A1B1,\s\up15(→))＝2ω eq \o(NP,\s\up15(→))，代入(*)式，得 eq \o(PQ,\s\up15(→))＝ eq \f(1,2)(2λ eq \o(NM,\s\up15(→))＋2ω eq \o(NP,\s\up15(→)))＝λ eq \o(NM,\s\up15(→))＋ω eq \o(NP,\s\up15(→))， ∴ eq \o(NQ,\s\up15(→))＝ eq \o(NP,\s\up15(→))＋ eq \o(PQ,\s\up15(→))＝λ eq \o(NM,\s\up15(→))＋(ω＋1) eq \o(NP,\s\up15(→))， ∴ eq \o(NQ,\s\up15(→))， eq \o(NM,\s\up15(→))， eq \o(NP,\s\up15(→))共面． 又 eq \o(NQ,\s\up15(→))， eq \o(NM,\s\up15(→))， eq \o(NP,\s\up15(→))过同一点N，∴M，N，P，Q四点共面． 多元数学 14．(逻辑推理)已知A，B，C是空间中不共线的三个点，若点O满足 eq \o(OA,\s\up15(→))＋2 eq \o(OB,\s\up15(→))＋3 eq \o(OC,\s\up15(→))＝0，则下列说法正确的是(　　) A．点O是唯一的，且一定与A，B，C共面 B．点O不唯一，但一定与A，B，C共面 C．点O是唯一的，但不一定与A，B，C共面 D．点O不唯一，也不一定与A，B，C共面 解析　由空间向量的知识可知a，b，c共面的充要条件为存在实数x，y，使c＝xa＋yb， 因为 eq \o(OA,\s\up15(→))＋2 eq \o(OB,\s\up15(→))＋3 eq \o(OC,\s\up15(→))＝0， 所以 eq \o(OA,\s\up15(→))＝－2 eq \o(OB,\s\up15(→))－3 eq \o(OC,\s\up15(→))， 所以 eq \o(OA,\s\up15(→))， eq \o(OB,\s\up15(→))， eq \o(OC,\s\up15(→))共面， 又 eq \o(OA,\s\up15(→))， eq \o(OB,\s\up15(→))， eq \o(OC,\s\up15(→))过同一点O，所以O，A，B，C四点共面， 因为 eq \o(OA,\s\up15(→))＋2 eq \o(OB,\s\up15(→))＋3 eq \o(OC,\s\up15(→))＝0，所以( eq \o(OA,\s\up15(→))＋ eq \o(OC,\s\up15(→)))＋2( eq \o(OB,\s\up15(→))＋ eq \o(OC,\s\up15(→)))＝0，所以点O是唯一的．故选A． $