1.1.1 空间向量及其线性运算 课件—2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

这是一份高中数学同步教学课件，共41页，聚焦“空间向量及其线性运算”。通过国庆游览位移实例导入，类比平面向量构建空间向量概念体系，结合正方体、平行六面体等模型，设置例题、分层练习及当堂检测，搭建从概念到运算再到应用的完整学习支架。 资料突出新课标核心素养，以“数学眼光”观察现实空间（如游客登塔位移），“数学思维”类比迁移（平面与空间向量对比表），“数学语言”符号化表达（线性运算律、共面定理）。通过平行六面体向量加法探究活动和多题型训练，助力学生发展空间观念与逻辑推理能力，为教师提供结构化教学资源，提升课堂效率。适用于高二学生，帮助其从平面向量过渡到三维空间，培养抽象思维，为立体几何学习奠基。

第一章 空间向量与立体几何 1.1.1 空间向量及其线性运算 人教A版（2019） 选择性必修第一册 学习目标 1.理解空间向量及相关概念； 2.掌握空间向量的线性运算律，理解空间向量共线、共面的充要条件. 新课导入 国庆节期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，这个过程可以用平面向量来表示.如果游客还要登上东方明珠电视塔顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，那么游客的整个游览过程又该如何表示呢？这位游客实际发生的位移是什么？又如何表示呢？ 空间向量相关概念 与平面向量类似： 1.空间向量的概念与表示 (1)空间向量的定义：在空间，我们把具有______和______的量叫做空间向量. (2)空间向量的长度：空间向量的大小叫做向量的______或____. (3)表示 ①字母表示法：用字母 ， ， ，…表示；（印刷体用黑体表示） 大小 方向 长度 模 有向线段 A B 探索新知 2.特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫做________，记为0 单位向量 的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度 而方向 的向量，叫做a的相反向量，记为－a 共线(平 行)向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线________________，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量______，即对于任意向量a，都有0 a 相等向量 方向 且模 的向量称为相等向量.在空间， 且 的有向线段表示同一向量或相等向量 零向量 模为1 相等 相反 互相平行或重合 ∥ 平行 相同 相等 同向 等长 6 探索新知 空间向量与平面向量比较 平面向量 空间向量 定义 平面内既有大小又有方向的量 长度（模） 表示向量的有向线段的长度 表示 几何表示：有向线段 字母表示： 单位向量 长度为1的向量 零向量 长度为0的向量 阅读教材后，运用类比思想，完成如下表格 空间中具有大小和方向的量 表示空间向量的有向线段的长度 几何表示：有向线段 字母表示： 长度为1的向量 长度为0的向量 平面向量 空间向量 零向量： 单位向量： 相反向量： 相等向量： 共线向量： 长度为0的向量，记作: 模为1的向量.         例1 √ 解析：A中，向量a，b平行，则a，b所在的直线平行或重合； B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定； C中，向量不能比较大小，故选D. 例题1 10 √ 解析：A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同； √ C为真命题，向量的相等满足传递性； D为假命题，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，所以选BC. 11 (1)如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中， 练习1 解析 12 探索新知 空间向量的加法、减法与数乘运算 空间向量线性运算的运算律 探究 探索新知 例2 √ √ 解析： 18 法一(转化为加法运算) 解析： 19 如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是 BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果. 训练2 解析： 20 探究 探索新知 方向向量 空间向量的线性运算 运算 代数法 几何法 加法运算 减法运算 数乘运算 O A a P Q λa(λ＞0) N M λa(λ＜0) 三角形法则a＋b= 或平行四边形法则，平行六面体法则 三角形法则 a－b= 当λ=0时， λa=0; 当λ＞0时， λa= 当λ＜0时， λa= a O A b B a+b C a-b 运算律 交换律 a＋b＝______ 结合律 (a＋b)＋c＝ ，λ(μ a)＝_____ 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝________ b＋a a＋(b＋c) (λμ)a λa＋λb 续表 共面向量的定义 探究 共面向量定理 例题 例3 例题 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 课堂总结 1.空间向量的相关概念 2.空间向量的线性运算 3.空间共面向量定理 4.直线的方向向量 ②几何表示法：空间向量用 表示.若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作_____，其模记为 或______. || (1)下列关于空间向量的说法中正确的是 A.若向量a，b平行，则a，b所在的直线平行 B.若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反 C.若向量eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(CD,\s\up16(→))满足|eq \o(AB,\s\up16(→))|>|eq \o(CD,\s\up16(→))|，则eq \o(AB,\s\up16(→))>eq \o(CD,\s\up16(→)) D.相等向量其方向必相同 (2)(多选)下列命题为真命题的是 A.若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b B.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(A1C1,\s\up16(→)) C.若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p D.空间中任意两个单位向量必相等 (1)与向量eq \o(AB,\s\up16(→))相等的所有向量(除它自身之外)有eq \o(A1B1,\s\up16(→))，eq \o(DC,\s\up16(→))及eq \o(D1C1,\s\up16(→))共3个. (2)试写出eq \o(AA1,\s\up16(→))的相反向量； (3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量eq \o(AC1,\s\up16(→))的模. (2)向量eq \o(AA1,\s\up16(→))的相反向量为eq \o(A1A,\s\up16(→))，eq \o(B1B,\s\up16(→))，eq \o(C1C,\s\up16(→))，eq \o(D1D,\s\up16(→)). (3)ACeq \o\al(2,1)＝AC2＋CCeq \o\al(2,1)＝AB2＋BC2＋CCeq \o\al(2,1)＝9，故|eq \o(AC1,\s\up16(→))|＝AC1＝3. (1)试写出与eq \o(AB,\s\up16(→))相等的所有向量； A中，eq \o(A1D1,\s\up16(→))－eq \o(A1A,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(AD1,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(BD1,\s\up16(→))； B中，eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(BB1,\s\up16(→))－eq \o(D1C1,\s\up16(→))＝eq \o(BC1,\s\up16(→))＋eq \o(C1D1,\s\up16(→))＝eq \o(BD1,\s\up16(→))； C中，eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(DD1,\s\up16(→))＝eq \o(BD,\s\up16(→))－eq \o(DD1,\s\up16(→))＝eq \o(BD,\s\up16(→))－eq \o(BB1,\s\up16(→))＝eq \o(B1D,\s\up16(→))≠eq \o(BD1,\s\up16(→))； D中，eq \o(B1D1,\s\up16(→))－eq \o(A1A,\s\up16(→))＋eq \o(DD1,\s\up16(→))＝eq \o(BD,\s\up16(→))＋eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \o(DD1,\s\up16(→))＝eq \o(BD1,\s\up16(→))＋eq \o(AA1,\s\up16(→))≠eq \o(BD1,\s\up16(→)).故选AB. (1) (链接教材P5练习2) (多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是 A.eq \o(A1D1,\s\up16(→))－eq \o(A1A,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→)) B.eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(BB1,\s\up16(→))－eq \o(D1C1,\s\up16(→)) C.eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(DD1,\s\up16(→)) D.eq \o(B1D1,\s\up16(→))－eq \o(A1A,\s\up16(→))＋eq \o(DD1,\s\up16(→)) 法二(转化为减法运算) (eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(CD,\s\up16(→)))－(eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(BD,\s\up16(→)))＝(eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→)))＋(eq \o(BD,\s\up16(→))－eq \o(CD,\s\up16(→)))＝eq \o(CB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＝0. (2)化简(eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(CD,\s\up16(→)))－(eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(BD,\s\up16(→)))＝______. (eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(CD,\s\up16(→)))－(eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(BD,\s\up16(→)))＝eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(CD,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(BD,\s\up16(→)) ＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(DC,\s\up16(→))＋eq \o(CA,\s\up16(→))＋eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BD,\s\up16(→))＋eq \o(DC,\s\up16(→))＋eq \o(CA,\s\up16(→))＝0. (1)eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))－eq \o(DC,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))， 如图中向量eq \o(AD,\s\up16(→)). (2)eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(DG,\s\up16(→))－eq \o(CE,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BG,\s\up16(→))＋eq \o(EC,\s\up16(→))＝eq \o(AG,\s\up16(→))＋eq \o(GF,\s\up16(→))＝eq \o(AF,\s\up16(→))， 如图中向量eq \o(AF,\s\up16(→)). (1)eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))－eq \o(DC,\s\up16(→))； (2)eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(DG,\s\up16(→))－eq \o(CE,\s\up16(→)). (1)求向量的和时，可以首尾相接(三角形法则)，也可以共起点(平行四边形法则)；求向量的差时，可以共起点或共终点(三角形法则). (2)空间向量加减运算的运算法则，所满足的运算律与平面向量完全相同. (3)若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则＋＋…＋＝或＋＋…＋＝0. $