第40讲 立体几何中的截面问题和轨迹问题 讲义-2027年高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦立体几何中的截面和动点问题两大核心考点，按“基础回顾-题型突破”逻辑架构整合坐标法、基底法、几何法等解题方法，通过考点梳理、策略指导、真题精讲等环节，帮助学生构建空间问题的分析框架与解题思路。 讲义以“数学思维”培养为核心，创新采用几何法（直接连接、作平行线）突破截面交线难点，结合定义法、坐标法解决轨迹问题，通过分层例题（单选、多选）训练空间观念与推理能力。设置即时反馈与方法总结，助力学生高效突破高频考点，为教师精准把控复习节奏提供实用教学参考。

第40讲 立体几何中的截面和动点问题 题型一 解决立体几何截面问题的解题策略 1 题型二：立体几何中的动点和轨迹问题 18 【基础回顾】 1、坐标法 所谓坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将几何问题转化为坐标运算问题，为解决立体几何问题增添了一种代数计算方法． 2、基底法 所谓基底法是不需要建立空间直角坐标系，而是利用平面向量及空间向量基本定理作为依托，其理论依据是：若四点E、F、G、H共面，P为空间任意点，则有： 结论1：若与不共线，那么； 结论2：． 3、几何法 （1）直接连接法:有两点在几何体的同一个面上,连接该两点即为几何体与截面的交线,找截面就是找交线的过程. （2）作平行线法:过直线与直线外一点作截面,若直线所在的平面与点所在的平面平行,可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线. （3）作延长线找交点法:若直线相交但是立体图形中未体现,可通过作延长线的方法先找到交点,然后借助交点找到截面形成的交线. 题型一 解决立体几何截面问题的解题策略 【例题精讲】 1．在棱长为4的正方体中，点为棱的中点，点在底面内运动，且满足直线平面，将正方体沿平面切割，得到两个多面体，下列说法中错误的是（   ） A．点的轨迹是一条线段，且其长度为 B．过三点的截面面积为18 C．沿平面切割正方体得到较大的多面体体积为 D．在棱上不存在点，使得平面 【答案】C 【分析】根据题意，取分别为的中点，连接，可得平面平面，所以，可判断A；由于，所以过三点的截面为等腰梯形，求其面积判断B；先求，间接法判断C；假设存在点，使得平面，则，利用平面向量数量积运算确定点，判断D. 【详解】对于A，取分别为的中点，连接， 根据中位线定理得， 又平面，平面，所以平面， 同理平面， 又，平面，所以平面平面， 又易得且，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面，同理平面， 又，平面，所以平面平面 所以平面平面， 因为直线平面，所以平面， 所以，又，点的轨迹是一条线段，且其长度为，故A正确； 对于B，由A可得， 所以过三点的截面为等腰梯形， 又， 所以等腰梯形的高为， 所以截面面积为，故B正确； 对于C，， 所以平面切割正方体得到较大的多面体体积为，C错误； 对于D，假设存在点，使得平面， 因为平面，则， 在正方形中，如图建立平面直角坐标系， 则， 设，则， 所以，得，显然不成立，D正确. 2．已知正方体棱长为1，过点的平面截正方体所得截面为菱形时，该截面的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，的中点，得到为菱形，故有过点的平面截正方体所得截面为菱形的截面是菱形，根据题意求出的长度，取的中点，连接，根据勾股定理求出的长度，故菱形的面积为，代入数值得解. 【详解】取的中点，的中点，连接，，，， 取的中点，连接，取的中点，连接， 分别是，，，的中点，是正方形， 且，且， 且，为平行四边形，且， 而且，则，为平行四边形， ，四点共面，又，为菱形， 平面， 过点的平面截正方体所得截面为菱形的截面是菱形， ，，则， 故菱形的面积为. 故选：A 3．若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过圆锥顶点的截面中，截面面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】可知侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则弧长为， 则底面直径为， 则圆锥轴截面是以为腰，为底的等腰三角形，此时顶角为， 则，所以， 则过圆锥顶点的截面是以为腰的等腰三角形，设顶角为， 此时面积，可知当时，即时，面积最大， 此时面积. 4．已知某圆锥侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则经过该圆锥顶点的截面面积最大值是（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用展开图的圆心角和半径，结合扇形弧长等于圆锥底面周长，求出底面半径，再用勾股定理求出高，设底面圆上弦的中点到圆心的距离为m，其面积由底边长和顶点到底边的距离决定，即，通过函数极值法，求导数确定m后求解. 【详解】扇形弧长为，圆锥底面周长为，故： 母线长，根据勾股定理： 设底面圆上弦的中点到圆心的距离为m，则弦长，顶点到的距离为，则面积： 代入,得函数仅在时定义，即. 解，即 此时 故选：D. 5．已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，过圆锥的一条母线的中点且与圆锥底面平行的平面截圆锥，则截面与底面之间的部分构成的几何体的体积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据圆锥轴截面的参数求出原圆锥的底面半径、高及体积，再利用相似性求出截得的小圆锥体积，作差得到所求几何体的体积. 【详解】已知圆锥轴截面为边长为2的等边三角形，因此圆锥底面直径等于等边三角形的边长，即底面半径； 圆锥的高为等边三角形的高，由勾股定理得， 原圆锥体积， 过母线中点且平行于底面的平面截圆锥，所得小圆锥与原圆锥为相似几何体， 相似比为，因此小圆锥的底面半径，高， 可得小圆锥体积， 所求体积. 6．平行六面体所有棱长都相等，，点在底面的投影为中点，且直线与底面夹角为，则三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平面与球相交截面是一个圆，首先确定外接球球心及半径，再求球心到平面距离，最后根据勾股定理求截面半径． 【详解】 如图，设中点为，，， ，，即， ，则，． 又平面，平面，， 则，，即， 三棱锥中，，均为直角三角形， 且平面平面， 三棱锥的外接球是以为直径，为球心，半径， 设到平面的距离为，外接球被平面截得的截面半径为， 对于三棱锥，高为，底面积， 故， ， ，，解得， 截面半径，面积为． 7．已知正方体 的体积为1，点 在棱 上（点 异于 ， 两点）， 为 的中点，若平面 截正方体 所得的截面为五边形，则的长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分情况讨论，作出截面，结合截面形状可得的范围. 【详解】因为正方体 的体积为1，所以该正方体的棱长为1，则 . 当 时，连接 ， ，则 ， ， ， ， 四点共面，截面为四边形 （如图），不符合题意， 当 时，延长, 交于点， 由与相似可得, 所以，因为，所以在线段上一定存在一点， 使得,即四边形为平行四边形，所以; 过作于，连接，则易知， 所以，即四点共面，所以截面为四边形. 当 时，延长, 交于点， 由与相似可得， 所以，因为，所以在线段的延长线上一定存在一点， 使得,即四边形为平行四边形，所以; 如图，过向的延长线作垂线，交于点，连接，交于， 则易知，所以，即四点共面. 连接交于，连接，即所求截面为五边形. 综上可知，故B正确. 故选：B. 8．在正方体中，棱长为为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合平面基本事实作出截面，再利用截面的几何特征求其面积. 【详解】在正方体中，延长交于点， 连接交于点，如图， 由平面平面，平面平面， 平面平面， 得，又，且， 因此四边形是等腰梯形，且为平面截正方体的截面. 在等腰梯形中，过作，， 所以截面面积. 故选：C 9．在棱长为4的正方体中，点E为棱的中点，点F在底面ABCD内运动，且满足直线平面，将正方体沿平面切割，得到两个多面体，下列说法中错误的是（   ） A．点F的轨迹是一条线段，且其长度为 B．过，，F三点的截面面积为18 C．沿平面切割正方体得到较大的多面体体积为 D．在棱上不存在点P，使得平面 【答案】C 【分析】根据题意，取分别为的中点，连接，可得平面平面，所以，可判断A；由于，所以过三点的截面为等腰梯形，求其面积判断B；先求棱台的体积，用间接法判断C；假设存在点，使得平面，则，利用平面向量数量积运算确定点，即可判断D. 【详解】对于A，取分别为的中点，连接， 则，又平面，平面，所以平面， 同理平面， 又，平面，所以平面平面， 又易得且，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面，同理平面， 又，平面，所以平面平面 所以平面平面， 因为直线平面，所以平面， 所以，又，点的轨迹是一条线段，且其长度为，故A正确； 对于B，由A可得， 所以过三点的截面为等腰梯形， 又， 所以等腰梯形的高为， 所以截面面积为，故B正确； 对于C，易知交于一点，故平面切割正方体得到较小的多面体为棱台 其体积为， 所以平面切割正方体得到较大的多面体体积为，所以C错误； 对于D，假设存在点，使得平面， 因为平面，则， 在正方形中，如图建立平面直角坐标系， 则， 设，则， 所以，得，显然不成立，D正确. 10．在四棱锥中，底面是面积为的正方形，，，分别是棱，的中点，设四棱锥被过，且平行于的平面截得的截面面积为，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【详解】如图，取，的中点，，连接，，并延长交于点，连接，， 又因为，分别是棱，的中点，得，， 而不在平面，平面，则平面， 平面，又，平面，因此平面平面， 四边形即为所求的截面，依题意，，， 则，由，得， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为．    11．已知一个圆锥的底面半径为，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是（   ） A．体积为 B．表面积为 C．两条母线的夹角的最大值为 D．过顶点的截面面积的最大值为2 【答案】D 【分析】先算出母线长，结合体积公式、表面积公式计算后可判断AB的正误，求出轴截面的顶角值后可判断CD的正误. 【详解】对于A，圆锥的体积为，故A错误； 对于B，圆锥的母线长为， 故圆锥的表面积为，故B错误； 对于C，设圆锥轴截面顶角为，则， 而为锐角，故，故，故两条母线的夹角的最大值为，故C错误； 对于D，设两条母线的夹角为，则过顶点的截面面积为 而，故当，，故D正确. 12．已知正方体中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则平面AEF截正方体形成的截面图形为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【分析】如图，由题意，根据空间线面的位置关系、基本事实以及面面平行的性质定理可得，进而，结合相似三角形的性质即可求解． 【详解】如图，设，分别延长交于点，此时， 连接交于，连接， 设平面与平面的交线为，则， 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，设，则， 此时，故，连接， 所以五边形为所求截面图形， 故选：C． 13．（多选）已知一个圆锥的底面半径为1，高为2，则下列对该圆锥的表述正确的是（   ） A．侧面积为 B．过两条母线的截面面积的最大值为2 C．圆锥的内切球半径为 D．设是圆锥的底面圆直径，是底面圆周上一点，若，则与所成角的余弦值为 【答案】BCD 【分析】由扇形的面积公式计算判断A；根据圆锥的性质计算判断B；设内切球球心为，半径为，过作，根据相似三角形计算判断C；根据异面直线所成角的求法计算判断D. 【详解】对于A，设圆锥的母线长为，由题意可知， 所以圆锥的侧面积为，故A错误； 对于B，因为过两条母线的截面为等腰三角形， 且， 所以顶角为锐角，故过两条母线的截面面积的最大值为轴截面面积， 其面积为，故B正确； 对于C，设内切球球心为，半径为，过作， 则，，则与相似， 则，即，故C正确； 对于D，过点作交底面圆于，如图所示： 则即为与所成角或其补角， 因为，所以为等腰直角三角形， 所以为弧的中点，为弧的中点， 故， 所以， 所以则与所成角的余弦值为，故D正确. 14．（多选）如图，在棱长为2的正方体中，P（与点不重合）是正方体侧面内的动点，下列说法正确的是（   ） A．平面平面 B．若动点P到直线AB的距离等于它到直线的距离，则点P的轨迹为抛物线的一部分 C．当时，过点P作该正方体的外接球的截面，其截面面积的最小值为 D．线段AD绕旋转一周的过程中，AD与所成角的正切值的取值范围为 【答案】ABD 【分析】对于A，连接，先证明平面，可得，同理可证平面，可得，进而得到平面，进而求证即可判断；对于B，先证明，结合题设可得点P到点B的距离等于它到直线的距离，再根据抛物线的定义即可判断；对于C，由向量关系找到点的位置，因为球心到截面的距离最大时，截面面积最小，所以为截面圆心，结合勾股定理求出得到截面圆半径，求得最小截面面积即可判断；对于D，旋转得到的圆锥与旋转轴夹角恒为，在正方体中求出角的正切值，从而找到旋转过程中形成的最大角和最小角，从而求出范围即可判断. 【详解】对于A，连接，在正方形中，， 在正方体中，平面， ∵平面，∴， ∵，平面，平面， ∴平面，∵平面，∴， 同理可证平面，∵平面，∴， 又，平面，平面， ∴平面，∵平面，所以平面平面，故A正确； 对于B，在正方体中，平面， ∵平面，∴， 则点P到直线AB的距离，即为点P到点B的距离， 由于点P到直线AB的距离等于它到直线的距离， ∴点P到点B的距离等于它到直线的距离， 又P（与点不重合）是正方体侧面内的动点， 因此，根据抛物线的定义，点P的轨迹为抛物线的一部分，故B正确； 对于C，当时，为线段上靠近点的四等分点，如图， 易知正方体的外接球的球心为正方体的中心，外接球的半径， 设中点为，连接， 则，易得，，则， 若要截面面积最小，需球心到截面的距离最大，最大为OP， 因此，截面面积最小为，故C错误； 对于D，线段绕旋转一周后得到一个母线与旋转轴所成的角为的圆锥， 设，，， 在旋转过程中，与所成的角在如图所示的轴截面内分别取得最值， 则，， 所以在旋转过程中，与所成角的正切值的取值范围为，故D正确. 15．（多选）如图，在棱长为2的正方体中，M为中点，F为侧面正方形内一动点，且满足//平面，则（   ） A．三棱锥的外接球的表面积为 B．三棱锥的体积是 C．动点F的轨迹是一条线段 D．若过A，M，三点作正方体截面，Q为上一点，则线段长度取值范围为 【答案】ACD 【分析】对于选项A：因为三棱锥的外接球与正方体的外接球是同一个，所以先确定正方体外接球的直径，再用球的表面积公式求解; 对于选项B：因为三棱锥的体积可通过等体积法转换，所以将其转化为以易求底面积和高的三棱锥，再用三棱锥体积公式计算; 对于选项C：因为平面，所以先构造过且与平面平行的平面，利用面面平行的性质确定F的轨迹; 对于选项D：因为要作过，，的正方体截面，所以先确定截面的形状，再找到到截面的距离，结合到截面顶点的距离，确定的取值范围. 【详解】对于A选项，三棱锥的外接球与正方体外接球是同一个球，,,故A正确； 对于B选项， 故B错误； 对于C选项,取中点，那么,所以，平面， 分别取的中点，则 平面,平面 所以，平面, 由于四边形是矩形，, 所以，四边形是平行四边形， 所以，平面,平面 所以，平面, 又平面, 所以，平面平面 因为为侧面内一动点，且满足//平面， 因此F在平面的交线上。 又平面平面 , 所以，动点F的轨迹是线段,故C正确； 对于D选项，若过 三点作正方体截面， 分别取中点,则四边形为平行四边形，那么 ,所以，四边形为平行四边形 所以， 所以，截面为四边形. 设点到平面距离为,则 ,即， 由于, 所以，即，故D选项正确. 题型二：立体几何中的动点和轨迹问题 立体几何中的轨迹问题常用的五种方法总结： 1、定义法2、交轨法3、几何法4、坐标法5、向量法 【例题精讲】 1．如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，点在正方体的表面上运动，且平面. 则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取中点，中点，连接，， ，，，证明平面平面，由点在正方体的表面上运动可得点在线，， ，上运动，再由求线段的最小值，即求点到平面各边距离的最小值即可求解. 【详解】如图，取中点，中点，连接，， ，，， 因为点分别是棱的中点，所以，因为为中点， 所以，，，所以平面平面， 点在平面上运动，又因为点在正方体的表面上运动，所以点在直线，， ，上运动，且为等腰三角形， 求线段的最小值，即求点到平面各边距离的最小值，点到边距离最小， 设点到边的垂足为，则为的中点，所以，所以线段的最小值为. 2．在棱长均为2的正三棱锥中，点M是的中点，点N是侧面上的一个动点，当平面时，线段的长度的最小值是（  ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】分别取，的中点为，，连接，，， 又点M是的中点，所以， 因为，平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又点N是侧面上的一个动点，且平面， 所以点在平面上的轨迹为线段，在中，可知， 所以当时，的长度最小，即， 所以的最小值为. 3．在棱长为1的正方体中，是棱的中点，是正方形内的动点（包含边界），且平面，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用线面平行，可知直线的方向向量与平面的法向量垂直，确定动点坐标之间的联系，从而找到过点且与平面平行的平面，与平面的交线即为动点的轨迹，最后计算轨迹线段长度即可. 【详解】解：由正方体，可建立以为原点，为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系， 则，，，，所以，， 设平面的法向量，则，所以， 则，取，则，，所以. 由是正方形内的动点（包含边界），可设，其中，，则， 因为平面，所以，则，即，整理得， 当时，，此时，为中点； 当时，，此时，为中点， 连接，不难发现，，且，， 易证，平面平面，所以点的轨迹为线段， 因此，轨迹长. 4．已知正方体棱长为2，点满足，点在正方体的表面上运动，且，则的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线面垂直的判定定理结合条件可得点的轨迹，进而求得轨迹的长度． 【详解】设，分别是，的中点，连接，，， 则，即四点共面， 在正方体中，得是的中点， 显然，，， 所以，故， 所以， 即，所以， 又平面，平面，所以， 又，且平面，平面， 所以平面， 因为点在正方体的表面上运动，且，所以点的轨迹是矩形， 由题可得，， 所以点的轨迹长度为． 5．如图，在正方体中，，点满足，为的中点，给出下列四个结论： ①点的轨迹在矩形边界及内部； ②若，则点的轨迹为线段且长度为； ③若，则点的轨迹的长度为； ④若，则的最小值为； 其中正确结论的序号是（    ）    A．①③ B．②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】对①：由题意可得在矩形边界及其内部；对②：由正方体性质可得平面，结合中点在平面内，可得点的轨迹为矩形边界及其内部与平面交线，即为线段，计算即可得；对③：由正方体性质可得平面，则点的轨迹为矩形边界及其内部与平面交线，即为线段，其中为的中点，解出即可得；对④：利用椭圆的定义可得点的轨迹为椭圆与矩形边界及内部相交部分，计算即可得解. 【详解】   对于①，由于点满足，则点的轨迹在矩形边界及内部，故①正确； 对于②，由，，，平面， 可得平面，又因为的中点在平面内，则平面内任意一点到点和到点的距离相等， 又因为点的轨迹在矩形边界及内部， 则当时，点的轨迹是矩形边界及内部与平面的交线，即为线段， 又因为，故点的轨迹长度为，故②错误； 对于③，由，，，平面， 可得平面，又因为平面，故， 由②知平面，又因为平面，故， 又因为，平面，故平面， 若，则点的轨迹是矩形边界及内部与平面的交线，即为线段，其中为的中点， 由于，所以点的轨迹的长度为，故③正确； 对于④，若，因,则点的轨迹是以为焦点的椭圆的一部分， 以为原点建立如图平面直角坐标系，如图所示：    则该椭圆方程为，点的轨迹为该椭圆与矩形边界及内部相交部分， 设，则，则，即的最小值为，故④正确； 综上所述，序号①③④正确. 6．在棱长为2的正方体中，为正方体表面上的动点，若，则点的运动轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取的中点为， 则，， 因为，所以， 故点在以为球心，为半径的球面上， 所以点的轨迹在正方体的每个面上均是半径为的圆， 则6个圆的总周长为.    7．已知三棱柱，是棱上的一个动点（不含端点），点在平面上的投影为，则点的轨迹为（   ） A．线段 B．圆弧 C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分 【答案】B 【分析】通过平面，得到，确定点的运动轨迹为两个球的交线，即可求解. 【详解】 因为点在平面上的投影为， 所以平面， 又平面，所以， 则在以为直径的球上运动，且在以为直径的球上运动， 故在球球的圆弧上运动， 即点的轨迹为圆弧. 8．已知正方体的棱长为2，为空间中任一点，则下列结论正确的是（   ） A．若在上，则 B．若在正方形内，，则点轨迹的长度为 C．若为正方形的中心，则三棱锥外接球的体积为 D．若在平面内，，则点的轨迹为椭圆的一部分 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系. A.通过向量的数量积不恒为0作出判断；B.通过定长得到轨迹是圆；C.找到球心和半径，计算外接球体积；D.根据几何意义判断. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，， A. ，因为在上，作交于，则,设 ，则，所以，，则， 所以 当时，，即不恒垂直，故A 错误； B. 在正方形内，，所以, 所以点轨迹是以为圆心，半径为的圆，所以点轨迹的长度为，故B 错误； C.因为为正方形的中心，则， 因为为直角三角形，它的外接圆圆心为 ， 因为, , , , 所以到，的距离都相等， 所以球心为 ，半径， 则三棱锥外接球的体积为,故C 错误； D.若在平面内，，即对定点与定直线的张角为定值， 几何意义：在以为轴线，半顶角的圆锥面上， 因为平面,所以轴线与平面所成的角是， 因为，故平面与圆锥面的交线为椭圆的一部分, 故D正确. 9．如图，长方体的长、宽、高分别为，且分别为上底面、下底面（含边界）内的动点，当最小时，以为球心，的长为半径的球面与上底面的公共点的轨迹长度为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由最小时，得到分别为的三等分点，得到以为球心，的长为半径的球面与上底面的交线对应的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，结合扇形的弧长公式，即可求解. 【详解】由题意得，要使得最小，则要在同一个平面内，即平面内， 如图（1）所示，可得， 所以， 当最小时为， 此时，即分别为的三等分点， 因为，所以， 分别在取点，使得， 可得， 则以为球心，的长为半径的球面与上底面的交线对应的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，如图（2）所示， 所以轨迹的长度为. 10．在长方体中，为长方体表面上一动点，且，则点的轨迹的总长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过讨论点所在位置确定轨迹长度进而求解. 【详解】若点在平面内，则，如图，点的轨迹为，其长度为 若点在平面内，则，如图，点的轨迹为，其长度为，由对称性可知，点在平面内的轨迹长度也为； 点不可能在平面内，在平面，内时分别位于点处，所以点的轨迹的总长度为． 11．如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的一动点（含边界），则下列说法中正确的是（   ） A．三棱锥外接球的表面积为 B．若平面，则动点的轨迹是一条线段 C．若平面，则动点的轨迹的长度为 D．若，则动点的轨迹长度为 【答案】A 【分析】三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球，利用正弦定理可得的外接圆半径，再利用外接球性质可求出外接球半径，再利用表面积公式计算即可得A；取与中点、，利用面面平行性质定理可得平面平面，则可得B；取靠近点的四等分点，利用线面垂直判定定理可得平面，则可得动点的轨迹为线段，计算出即可得C；由对称性，可假设平面，利用线面垂直性质定理与勾股定理可得，即可得在平面内轨迹，同理可得点所有轨迹，即可得D. 【详解】对于A：由四边形为正方形， 故三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球， 设三棱锥的外接球半径为R，的外接圆半径为， ， 故， 又，则， 故，，因为平面， 故三棱锥的外接球球心在过的外接圆圆心和平行的直线上， 则，即， 故三棱锥的外接球的表面积为，故A正确， 对于B：取与中点、，连接、、， 由正方体性质可得，， 又平面，平面，故平面， 平面，平面，故平面， 又，、平面，故平面平面， 由平面，则点的轨迹是除去点，故B错误； 对于C：取靠近点的四等分点，连接， 由正方体性质可得平面，又平面，故， 由，，故与相似， 则，故 ， 故，又，、平面， 故平面，又平面，故动点的轨迹为线段， ，故C错误； 对D：若平面，因为平面，平面， 故，由，则， 即点的轨迹为以为圆心，在平面内半径为的四分之一圆， 同理可得，点也可为以为圆心，在平面内半径为的四分之一圆， 点也可为以为圆心，在平面内半径为的四分之一圆， 故其轨迹长度为，故D错误. 12．已知正方体的棱长为，点是正方形内（含边界）的一个动点，且满足，则点的轨迹长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求长度，再求轨迹长度. 【详解】连接，如下图所示： 因为平面，平面，所以. 由，，可得. 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆位于正方形内的部分. 因为，所以点的轨迹长为. 13．如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，F是线段的中点，则下列错误的是（   ）    A．三棱锥体积的最大值为 B．若点P满足，则动点P的轨迹长度为 C．当直线与所成的角为时，点P的轨迹长度为 D．当P在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为 【答案】D 【分析】显然三棱锥体积的最大值即为正四面体，求出正四面体体积可判断A；利用线面垂直的性质定理可得动点的轨迹为矩形，求出其周长可判断B；易知当点在线段和弧上时，直线与所成的角为，求出其轨迹长度可判断C；根据面面平行的判定定理可求出点在底面上的轨迹为线段，可判断为直角三角形，易知长度的最大值为，计算可判断D. 【详解】A，因为，而等边的面积为定值， 要使三棱锥的体积最大，当且仅当点P到平面的距离最大， 易知点C是正方体到平面距离最大的点， 所以，此时三棱锥即为棱长是的正四面体， 其高为， 所以，A正确； B，取中点中点K，连接，    因为分别为中点， 所以，又， 所以，则， 因为，所以， 即，又平面， 所以平面，因为， 所以点P的轨迹为，所以动点P的轨迹长度为，故B正确； C：连接以B为圆心，为半径画，如图1所示，    当点P在线段和弧上时，直线与所成的角为， 又， 长度，故点P的轨迹长度为，故C正确； D，取的中点分别为， 连接，如图2所示，      易知面平面， 故平面平面平面， 故平面，又平面， 故平面平面，又， 故平面与平面是同一个平面， 则点P的轨迹为线段， 在三角形中，； ； 则， 故三角形是以为直角的直角三角形， 故，故长度的最大值为，故D错误． 故选：D 14．（多选）如图，在棱长为2的正方体中，是侧面上一点，则（     ）    A．存在点，使 B．若，则动点的轨迹长度为 C．当点在线段上时，直线与平面平行 D．当点在线段上时，直线与平面所成角的正弦值可以为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量运算分析线面平行、线面垂直、轨迹方程、线面角，逐项分析计算即可. 【详解】以为原点，、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，    则，，，，，，. 设（在侧面上，则坐标恒为2，，）. 选项A：，. 若，则，即，解得. 取，则满足条件，故A正确； 选项B：由得，，化简得. 该方程表示在平面上，以点为圆心，半径为1的圆弧（，，实际是四分之一圆）， 所以轨迹长度为，故B错误； 选项C：，. 设平面的法向量为，则 ，即，令，则，，所以. 因为在线段上，设（），则， 所以，，所以，（）. 因为，所以，又平面， 所以直线与平面平行，故C正确； 选项D：，. 设平面的法向量为，则 ，即，令，则，又，所以. 设直线与平面所成角为，由选项C知，（）. 则 ，， 所以，当时，取最大值，为，故D正确. 15．（多选）已知在棱长为2的正方体中，点，分别为棱、的中点，点为线段上的动点，则下列选项正确的是（     ） A．存在点，使得平面 B．三棱锥的体积为定值 C．以为直径的球的表面积为 D．若线段与平面交于点，则点的轨迹长度为 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量共线判断A；利用空间向量证明平面，进而结合棱锥的体积公式求解判断B；利用空间向量求出，进而可得以为直径的球的半径为，进而结合球的表面积公式求解判断C；连接分别交平面于点，连接，易得，进而结合相似求解判断D. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，    则， 则， 设，，即， 则，设平面的一个法向量为， 则，取，得. 对于A，若平面，则，即存在非零实数使得， 则，无解，所以不存在点，使得平面，故A错误； 对于B，由于，则， 因为平面，所以平面， 而点为线段上的动点，则点到平面的距离为定值，而为定值， 则为定值，故B正确； 对于C，因为， 所以以为直径的球的半径为， 则以为直径的球的表面积为，故C正确； 对于D，由B知，平面，连接分别交平面于点， 连接，由于平面平面，平面，则， 由于，则，所以， 由C知，，则， 因此，若线段与平面交于点，则点的轨迹长度为，故D正确. 16．（多选）如图，已知正三棱锥的棱长均为6，点为点在底面上的射影，，分别为线段，的中点，过点作平面与平面平行，点为侧面上一动点（含边界），且，则（    ） A．平面截三棱锥所得截面的面积为 B．三棱锥的内切球的表面积为 C．点的轨迹长度为 D．过点的平面截三棱锥的外接球所得截面面积的最小值为 【答案】ACD 【分析】作出平面截三棱锥所得截面，求其面积，判断A的真假；利用体积法求三棱锥的内切球半径，再求其表面积，判断B的真假；求点的轨迹，求其轨迹的长度，判断C的真假；确定点的平面截三棱锥的外接球所得截面圆半径的最小值，可得截面面积的最小值，判断 D的真假. 【详解】因为平面平面PBC，且平面平面， 过作 交于，则平面， 同理过作，分别交，于点，，过作交于，连接，则为平面截三棱锥所得的截面． 由题意，得 ，且，所以， 所以，故A正确； 因为，，所以. 设三棱锥的内切球的半径为， 由等积法得，解得， 故其表面积为，故B错误； 过作平面的垂线，垂足为，连接，则为的重心， 且，所以 ， 所以点Q的轨迹是以K为圆心，以2为半径的圆在△PBC内的部分（三段弧）， 因为每段弧的圆心角均为，故点Q的轨迹长为，故C正确； 设三棱锥的外接球的半径为，球心为， 所以， 当截面与垂直时，所得的截面圆的面积最小， 因为， 此时截面圆的半径为 ， 故截面面积为，故D正确． 17．（多选）在直四棱柱中，底面为菱形，，，侧棱，为底面对角线的交点，点是侧面内的动点（含边界），且满足平面，则（    ） A．动点的轨迹是一条线段，且长度为 B．过，，三点的平面截该直四棱柱所得截面可能为平行四边形 C．直线与平面所成角的正切值的取值范围为 D．三棱柱的外接球球心与动点距离的最小值为 【答案】ABC 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，令轴沿方向，轴在底面内且与垂直，轴沿方向．由点在侧面内设出其坐标，再利用平面求出点的轨迹，从而判断A；取特殊位置说明截面可能为平行四边形，从而判断B；利用直线方向向量的竖直分量与水平投影长度之比求线面角正切值的范围，从而判断C；求出三棱柱外接球球心坐标，并计算它到点的距离最小值，从而判断D． 【详解】以为坐标原点，取所在直线为轴，建立空间直角坐标系． 因为底面为菱形，，，， 所以 又为底面对角线的交点，所以． 设点在侧面内，则可设 由，，，得 设平面的一个法向量为，则 取，，，则平面的一个法向量可取 因为平面，所以． 又所以 化简得，于是 又，因此点在线段上运动． 又 所以A正确． 对于B，取，则此时为线段的中点． 又点，，，共面，且四边形中，，，所以四边形为平行四边形． 由于线段的中点也在平面内，所以过，，三点的平面就是平面． 此时截面为平行四边形，所以B正确． 对于C，由上可知 平面与底面平行，其法向方向为竖直方向． 设直线与平面所成角为，则等于的竖直分量长度与其在平面内的投影长度之比． 所以 令 则 所以在上单调递增，在上也单调递增． 当时，；当时，．故的取值范围为，C正确． 对于D，因为为边长为的正三角形，所以其外心为 三棱柱为直三棱柱，其外接球球心在过且垂直于底面的直线上，并位于高的一半处，所以 由，得 化简得 因为，所以当时，取得最小值，即的最小值为，不是．D错误． 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $ 第40讲 立体几何中的截面和动点问题 题型一 解决立体几何截面问题的解题策略 1 题型二：立体几何中的动点和轨迹问题 4 【基础回顾】 1、坐标法 所谓坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将几何问题转化为坐标运算问题，为解决立体几何问题增添了一种代数计算方法． 2、基底法 所谓基底法是不需要建立空间直角坐标系，而是利用平面向量及空间向量基本定理作为依托，其理论依据是：若四点E、F、G、H共面，P为空间任意点，则有： 结论1：若与不共线，那么； 结论2：． 3、几何法 （1）直接连接法:有两点在几何体的同一个面上,连接该两点即为几何体与截面的交线,找截面就是找交线的过程. （2）作平行线法:过直线与直线外一点作截面,若直线所在的平面与点所在的平面平行,可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线. （3）作延长线找交点法:若直线相交但是立体图形中未体现,可通过作延长线的方法先找到交点,然后借助交点找到截面形成的交线. 题型一 解决立体几何截面问题的解题策略 【例题精讲】 1．在棱长为4的正方体中，点为棱的中点，点在底面内运动，且满足直线平面，将正方体沿平面切割，得到两个多面体，下列说法中错误的是（   ） A．点的轨迹是一条线段，且其长度为 B．过三点的截面面积为18 C．沿平面切割正方体得到较大的多面体体积为 D．在棱上不存在点，使得平面 2．已知正方体棱长为1，过点的平面截正方体所得截面为菱形时，该截面的面积为（   ） A． B． C． D． 3．若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过圆锥顶点的截面中，截面面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．已知某圆锥侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则经过该圆锥顶点的截面面积最大值是（   ） A． B． C． D．2 5．已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，过圆锥的一条母线的中点且与圆锥底面平行的平面截圆锥，则截面与底面之间的部分构成的几何体的体积是（     ） A． B． C． D． 6．平行六面体所有棱长都相等，，点在底面的投影为中点，且直线与底面夹角为，则三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为（   ） A． B． C． D． 7．已知正方体 的体积为1，点 在棱 上（点 异于 ， 两点）， 为 的中点，若平面 截正方体 所得的截面为五边形，则的长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．在正方体中，棱长为为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（   ） A． B． C． D． 9．在棱长为4的正方体中，点E为棱的中点，点F在底面ABCD内运动，且满足直线平面，将正方体沿平面切割，得到两个多面体，下列说法中错误的是（   ） A．点F的轨迹是一条线段，且其长度为 B．过，，F三点的截面面积为18 C．沿平面切割正方体得到较大的多面体体积为 D．在棱上不存在点P，使得平面 10．在四棱锥中，底面是面积为的正方形，，，分别是棱，的中点，设四棱锥被过，且平行于的平面截得的截面面积为，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D．1 11．已知一个圆锥的底面半径为，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是（   ） A．体积为 B．表面积为 C．两条母线的夹角的最大值为 D．过顶点的截面面积的最大值为2 12．已知正方体中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则平面AEF截正方体形成的截面图形为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 13．（多选）已知一个圆锥的底面半径为1，高为2，则下列对该圆锥的表述正确的是（   ） A．侧面积为 B．过两条母线的截面面积的最大值为2 C．圆锥的内切球半径为 D．设是圆锥的底面圆直径，是底面圆周上一点，若，则与所成角的余弦值为 14．（多选）如图，在棱长为2的正方体中，P（与点不重合）是正方体侧面内的动点，下列说法正确的是（   ） A．平面平面 B．若动点P到直线AB的距离等于它到直线的距离，则点P的轨迹为抛物线的一部分 C．当时，过点P作该正方体的外接球的截面，其截面面积的最小值为 D．线段AD绕旋转一周的过程中，AD与所成角的正切值的取值范围为 15．（多选）如图，在棱长为2的正方体中，M为中点，F为侧面正方形内一动点，且满足//平面，则（   ） A．三棱锥的外接球的表面积为 B．三棱锥的体积是 C．动点F的轨迹是一条线段 D．若过A，M，三点作正方体截面，Q为上一点，则线段长度取值范围为 题型二：立体几何中的动点和轨迹问题 立体几何中的轨迹问题常用的五种方法总结： 1、定义法2、交轨法3、几何法4、坐标法5、向量法 【例题精讲】 1．如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，点在正方体的表面上运动，且平面. 则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．在棱长均为2的正三棱锥中，点M是的中点，点N是侧面上的一个动点，当平面时，线段的长度的最小值是（  ） A． B． C． D．1 3．在棱长为1的正方体中，是棱的中点，是正方形内的动点（包含边界），且平面，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 4．已知正方体棱长为2，点满足，点在正方体的表面上运动，且，则的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在正方体中，，点满足，为的中点，给出下列四个结论： ①点的轨迹在矩形边界及内部； ②若，则点的轨迹为线段且长度为； ③若，则点的轨迹的长度为； ④若，则的最小值为； 其中正确结论的序号是（    ）    A．①③ B．②③ C．①②④ D．①③④ 6．在棱长为2的正方体中，为正方体表面上的动点，若，则点的运动轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 7．已知三棱柱，是棱上的一个动点（不含端点），点在平面上的投影为，则点的轨迹为（   ） A．线段 B．圆弧 C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分 8．已知正方体的棱长为2，为空间中任一点，则下列结论正确的是（   ） A．若在上，则 B．若在正方形内，，则点轨迹的长度为 C．若为正方形的中心，则三棱锥外接球的体积为 D．若在平面内，，则点的轨迹为椭圆的一部分 9．如图，长方体的长、宽、高分别为，且分别为上底面、下底面（含边界）内的动点，当最小时，以为球心，的长为半径的球面与上底面的公共点的轨迹长度为（   ） A．2 B． C． D． 10．在长方体中，为长方体表面上一动点，且，则点的轨迹的总长度为（   ） A． B． C． D． 11．如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的一动点（含边界），则下列说法中正确的是（   ） A．三棱锥外接球的表面积为 B．若平面，则动点的轨迹是一条线段 C．若平面，则动点的轨迹的长度为 D．若，则动点的轨迹长度为 12．已知正方体的棱长为，点是正方形内（含边界）的一个动点，且满足，则点的轨迹长为（    ） A． B． C． D． 13．如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，F是线段的中点，则下列错误的是（   ）    A．三棱锥体积的最大值为 B．若点P满足，则动点P的轨迹长度为 C．当直线与所成的角为时，点P的轨迹长度为 D．当P在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为 14．（多选）如图，在棱长为2的正方体中，是侧面上一点，则（     ）    A．存在点，使 B．若，则动点的轨迹长度为 C．当点在线段上时，直线与平面平行 D．当点在线段上时，直线与平面所成角的正弦值可以为 15．（多选）已知在棱长为2的正方体中，点，分别为棱、的中点，点为线段上的动点，则下列选项正确的是（     ） A．存在点，使得平面 B．三棱锥的体积为定值 C．以为直径的球的表面积为 D．若线段与平面交于点，则点的轨迹长度为 16．（多选）如图，已知正三棱锥的棱长均为6，点为点在底面上的射影，，分别为线段，的中点，过点作平面与平面平行，点为侧面上一动点（含边界），且，则（    ） A．平面截三棱锥所得截面的面积为 B．三棱锥的内切球的表面积为 C．点的轨迹长度为 D．过点的平面截三棱锥的外接球所得截面面积的最小值为 17．（多选）在直四棱柱中，底面为菱形，，，侧棱，为底面对角线的交点，点是侧面内的动点（含边界），且满足平面，则（    ） A．动点的轨迹是一条线段，且长度为 B．过，，三点的平面截该直四棱柱所得截面可能为平行四边形 C．直线与平面所成角的正切值的取值范围为 D．三棱柱的外接球球心与动点距离的最小值为 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $