第15讲 单调性问题·讲义-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦导数与单调性核心考点，涵盖单调区间求解、含参讨论及参数范围等高考高频内容，按基础问题到综合应用的逻辑架构知识，通过考情分析、知识清单、典题精练、真题训练四环节，帮助学生系统突破难点。 资料以分类讨论思想和数形结合方法为特色，如含参单调性讨论中“根的分布定参”策略，培养学生数学思维与逻辑推理能力。设置分层练习与即时反馈，结合高考真题强化实战，有效提升学生应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第15讲 单调性问题 · 讲义 一、考情分析 1 二、知识清单 2 1.单调性基础问题 2 2.讨论单调区间问题 2 类型一:不含参数单调性讨论 2 类型二:含参数单调性讨论 3 三、典题精练 4 考点一：导函数与原函数图象及性质的关系 4 考点二：不含参函数的单调性分析与应用 6 考点三：已知函数单调性求参数范围 7 考点四：含参函数的单调性讨论 8 四、高考真题 10 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容与方式 2024 6题单选 5分 直接 考查分段函数的单调性及参数范围的求解 2024 10题多选 6分 直接 考查三次函数的极值、单调区间及函数值大小比较 2026 6题单选 5分 直接 考查利用导数研究含参函数的单调性与最值 2024 18题解答 17分 间接 考查利用导数单调性解决不等式恒成立及参数范围问题 2025 19题解答 17分 间接 考查利用导数研究三角函数的单调区间与最值 近三年全国一卷中，导数与单调性问题是高频核心考点，每年均有涉及.题型全面覆盖单选、多选和解答题，分值分布在5至17分之间.既有直接考查单调区间的求解或根据单调性求参数范围，也常与不等式恒成立、最值问题结合进行间接考查. 2. 命题角度与特色 核心考点：主要考查利用导数求解函数的单调区间、根据已知单调性逆求参数范围，以及利用单调性求最值或证明不等式. 命题趋势：从单一的初等函数求导向复合函数、分段函数以及含有超越函数（如指数、对数、三角函数）的复杂函数求导方向发展，对分类讨论思想的要求逐渐提高. 试题特点：选择题侧重于基础概念的灵活运用（如分段函数单调性的衔接、三次函数图象特征），解答题则往往将单调性作为工具，结合不等式恒成立或零点问题进行综合考查，计算量和逻辑推理要求较大. 3. 备考策略 · 熟练掌握各类基本初等函数的求导公式及复合函数的求导法则，确保求导准确无误. · 强化分类讨论思想的训练，特别是在处理含参函数的导数零点分布时，做到不重不漏. · 掌握分离参数法、构造函数法等常见解题技巧，提升将不等式恒成立问题转化为函数最值问题的能力. · 注重数形结合思想的应用，善于通过函数图象特征辅助判断单调性及极值点位置. 二、知识清单 1.单调性基础问题 （1）函数的单调性 · 函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数. （2）已知函数的单调性问题 · ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增. · ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减. 2.讨论单调区间问题 类型一:不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分,尽可能因式分解;定义域需要注意是否是连续的区间）; （2）变号保留定号去（变号部分:导函数中未知正负,需要单独讨论的部分.定号部分:已知恒正或恒负,无需单独讨论的部分）; （3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根,并能做出导函数与x轴位置关系图,则导函数正负区间段已知,可直接得出结论）; （4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论,则先观察导函数整体的正负）; （5）正负未知看零点（若导函数正负难判断,则观察导函数零点）; （6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段,或一阶导函数无法观察出零点,则求二阶导）; 求二阶导往往需要构造新函数,令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数,对新函数再求导. （7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性,进而判断一阶导函数正负区间段）; 类型二:含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分,然后能因式分解要进行因式分解,定义域需要注意是否是一个连续的区间）; （2）变号保留定号去（变号部分:导函数中未知正负,需要单独讨论的部分. 定号部分:已知恒正或恒负,无需单独讨论的部分）; （3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）;然后再求有效根; （4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑:根是否在定义域内和多根之间的大小关系）; （5）导数图像定区间; 【易错提醒】 · 使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数. · 若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立.因为，即或，当时，函数在区间上单调递增.当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论： · 单调递增；单调递增 . · 单调递减；单调递减 . · 讨论函数的单调性时，必须先求函数的定义域，单调区间必须是定义域的子集. · 若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“”或“或”连接，而应用“和”或“，”隔开. 三、典题精练 考点一：导函数与原函数图象及性质的关系 考法1：根据原函数图象判断导函数图象或性质 例1.（2025·河北衡水·一模）（多选）已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是 A. B. C. D. 考法2：根据导函数图象判断原函数图象或性质 例2.（多选）已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图像，则下列说法正确的是 A. 函数的增区间是 B. 函数的增区间是 C. 是函数的极小值点 D. 是函数的极小值点 考法3：结合图象与单调性解不等式 例3.（2026·湖南衡阳·适应）（多选）函数的图象如图所示，设是函数的导函数，则下列结论正确的是 A. 的解集是 B. C. 时，取得最大值 D. 的解集是 【考点一 方法总结】 · 原函数的增减性对应导数的正负，原函数图象的凹凸性（切线斜率的变化率）对应导数的增减性. · 处理含有因式的导数图象（如），需在两侧分别讨论符号，从而还原的真实正负区间. · 解形如的不等式，等价转化为图象在轴上方且上升，或在轴下方且下降的区间. · 遇到类似的符号判断，常构造切线方程，通过观察切线在坐标轴上的截距符号快速求解. 考点二：不含参函数的单调性分析与应用 考法4：求不含参函数的单调区间 例4.（2026·山东聊城·二模）函数的单调递减区间为＿＿＿＿＿＿. 考法5：利用单调性与构造函数求解不等式或极值 例5.（2026·福建泉州·一模）已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且，若当时，，则（ 　　） A. B. C. 存在极值点 D. 有且只有一个零点 【考点二 方法总结】 求可导函数单调区间的一般步骤： 1. 确定函数的定义域，严格遵循“定义域优先”原则. 2. 求导数，并令，求出它在定义域内的一切实数根.求导前尽量将分式化简或通分提取恒正（或恒负）公因式，降低求导运算复杂度. 3. 把函数的间断点（无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列，将定义域分成若干个小区间. 4. 确定在各小区间内的符号，从而判断函数在各小区间内的增减性. · 遇到含有与的不等式，优先考虑构造函数：出现构造；出现构造. · 结合函数的奇偶性，可将一侧的单调性推广到整个定义域，通过单调性将函数不等式转化为自变量的不等式求解. 考点三：已知函数单调性求参数范围 考法6：根据函数在某区间单调求参数范围 例6.（2025·广东·五月测评）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 考法7：根据函数存在单调区间或不单调求参数范围 例7.（2025·江西上饶·二模）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 考法8：根据分段函数单调性求参数范围 例8.（2026·江西吉安·一模）已知函数在定义域上是增函数，则实数的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 【考点三 方法总结】 · 复合函数的单调性遵循“同增异减”原则，对于对数型、偶次根式型复合函数，必须附加内层函数在对应区间上满足定义域条件（如恒大于零）的限制. · “存在单调递增（减）区间”等价于“（或）在给定区间上有解”，常采用分离参数法，转化为或的形式求最值. · 处理分段函数的全局单调性，不仅要求每一段各自满足单调性条件，还必须保证分界点处的函数值满足单调性的衔接要求. 考点四：含参函数的单调性讨论 考法9：一次或二次函数型导数的单调性讨论 例9.设函数. 求的单调区间. 考法10：超越函数（指数/对数型）的单调性讨论 例10.（2026·山东德州·一模）已知函数. 讨论的极值点个数. 考法11：利用分段分析法讨论函数单调性 例11.设函数，其中. 讨论的单调性. 考法12：含参单调性讨论与不等式恒成立/零点综合 例12.（2026·广东深圳·一模）已知函数. （1） 当时，求的单调区间； （2） 若有两个零点. （i） 求的取值范围； （ii） 证明：. 【考点四 方法总结】 · 求导化简定义域，通分并尽可能因式分解.变号保留定号去，已知恒正或恒负的因式无需单独讨论.若一阶导函数正负难判断，可求二阶导，通过二阶导的正负判断一阶导函数的单调性. · 导数分子为二次函数时，按二次项系数的正负、判别式的符号、两根大小关系及根与定义域边界的大小关系展开全面分类讨论. · 处理含有指数函数的超越方程，利用换元法（注意）将其转化为一元二次方程根的分布问题. · 导函数由两个可能变号的因式相乘构成时，需对参数进行分类讨论，比较这两个零点的大小关系，利用穿根法确定导数符号. · 在含参单调性综合题中，若极值点无法显式解出，利用“隐零点”代换，由得到参数与的关系式，代入极值表达式消去参数，转化为单变量函数求最值. 四、高考真题 1.（2024·全国一卷）已知函数为，在上单调递增，则取值的范围是（ 　　） A. B. C. D. 2.（2024·全国一卷）（多选）设函数，则（ 　　） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 3.（2026·全国一卷）已知函数的最大值为，则（ 　　） A. B. C. D. 4.（2024·全国一卷）已知函数. （1）若，且，求的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若当且仅当，求的取值范围. 5.（2025·全国一卷） （1）设函数，求在的最大值； （2）给定，设为实数，证明：存在，使得； （3）若存在使得对任意，都有，求的最小值. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 单调性问题 · 讲义（解析卷） 一、考情分析 1 二、知识清单 2 1.单调性基础问题 2 2.讨论单调区间问题 2 类型一:不含参数单调性讨论 2 类型二:含参数单调性讨论 3 三、典题精讲 3 考点一：导函数与原函数图象及性质的关系 3 考点二：不含参函数的单调性分析与应用 6 考点三：已知函数单调性求参数范围 8 考点四：含参函数的单调性讨论 10 四、高考真题 14 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容与方式 2024 6题单选 5分 直接 考查分段函数的单调性及参数范围的求解 2024 10题多选 6分 直接 考查三次函数的极值、单调区间及函数值大小比较 2026 6题单选 5分 直接 考查利用导数研究含参函数的单调性与最值 2024 18题解答 17分 间接 考查利用导数单调性解决不等式恒成立及参数范围问题 2025 19题解答 17分 间接 考查利用导数研究三角函数的单调区间与最值 近三年全国一卷中，导数与单调性问题是高频核心考点，每年均有涉及.题型全面覆盖单选、多选和解答题，分值分布在5至17分之间.既有直接考查单调区间的求解或根据单调性求参数范围，也常与不等式恒成立、最值问题结合进行间接考查. 2. 命题角度与特色 核心考点：主要考查利用导数求解函数的单调区间、根据已知单调性逆求参数范围，以及利用单调性求最值或证明不等式. 命题趋势：从单一的初等函数求导向复合函数、分段函数以及含有超越函数（如指数、对数、三角函数）的复杂函数求导方向发展，对分类讨论思想的要求逐渐提高. 试题特点：选择题侧重于基础概念的灵活运用（如分段函数单调性的衔接、三次函数图象特征），解答题则往往将单调性作为工具，结合不等式恒成立或零点问题进行综合考查，计算量和逻辑推理要求较大. 3. 备考策略 · 熟练掌握各类基本初等函数的求导公式及复合函数的求导法则，确保求导准确无误. · 强化分类讨论思想的训练，特别是在处理含参函数的导数零点分布时，做到不重不漏. · 掌握分离参数法、构造函数法等常见解题技巧，提升将不等式恒成立问题转化为函数最值问题的能力. · 注重数形结合思想的应用，善于通过函数图象特征辅助判断单调性及极值点位置. 二、知识清单 1.单调性基础问题 （1）函数的单调性 · 函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数. （2）已知函数的单调性问题 · ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增. · ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减. 2.讨论单调区间问题 类型一:不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分,尽可能因式分解;定义域需要注意是否是连续的区间）; （2）变号保留定号去（变号部分:导函数中未知正负,需要单独讨论的部分.定号部分:已知恒正或恒负,无需单独讨论的部分）; （3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根,并能做出导函数与x轴位置关系图,则导函数正负区间段已知,可直接得出结论）; （4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论,则先观察导函数整体的正负）; （5）正负未知看零点（若导函数正负难判断,则观察导函数零点）; （6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段,或一阶导函数无法观察出零点,则求二阶导）; 求二阶导往往需要构造新函数,令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数,对新函数再求导. （7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性,进而判断一阶导函数正负区间段）; 类型二:含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分,然后能因式分解要进行因式分解,定义域需要注意是否是一个连续的区间）; （2）变号保留定号去（变号部分:导函数中未知正负,需要单独讨论的部分. 定号部分:已知恒正或恒负,无需单独讨论的部分）; （3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）;然后再求有效根; （4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑:根是否在定义域内和多根之间的大小关系）; （5）导数图像定区间; 【易错提醒】 · 使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数. · 若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立.因为，即或，当时，函数在区间上单调递增.当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论： · 单调递增；单调递增 . · 单调递减；单调递减 . · 讨论函数的单调性时，必须先求函数的定义域，单调区间必须是定义域的子集. · 若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“”或“或”连接，而应用“和”或“，”隔开. 三、典题精讲 考点一：导函数与原函数图象及性质的关系 考法1：根据原函数图象判断导函数图象或性质 例1.（2025·河北衡水·一模）（多选）已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是 A. B. C. D. 【答案】ACD 【思路】观察原函数图象的增减性可以直接判断导函数的正负.对于涉及函数值与导数值线性组合的符号判断，可以利用切线方程的几何意义，特别是切线与坐标轴的交点位置来进行直观转化. 【解析】由函数的图象可知，在处单调递减，∴，A正确；在处单调递减，∴，B错误；由图可知，且，∴，C正确；由图象的切线几何意义可知，点处的切线与轴的交点横坐标大于，即，又，∴，即，D正确. 【规律】处理函数图象与导数关系时，原函数的增减性对应导数的正负.遇到类似的符号判断时，常构造切线方程，通过观察切线在轴或轴上的截距符号来快速求解. 考法2：根据导函数图象判断原函数图象或性质 例2.（多选）已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图像，则下列说法正确的是 A. 函数的增区间是 B. 函数的增区间是 C. 是函数的极小值点 D. 是函数的极小值点 【答案】BD 【思路】已知的图象，要判断的单调性及极值点，核心是剥离出的符号.需要以为分界点，结合的符号与的图象正负，反推的正负区间，进而确定原函数的性质. 【解析】先由题中图像，确定的正负，得到函数的单调性；从而可得出函数极大值点与极小值点，进而可得出结果.由题意，当时，；当时，；当时，；当时，；即函数在和上单调递增，在上单调递减，因此函数在时取得极小值，在时取得极大值；故A错，B正确；C错，D正确. 【规律】遇到含有因式的导数构造图象（如）时，必须在两侧分别讨论.当时，与同号；当时，与异号.准确还原出的真实符号分布后，即可确定原函数的单调区间与极值点. 考法3：结合图象与单调性解不等式 例3.（2026·湖南衡阳·适应）（多选）函数的图象如图所示，设是函数的导函数，则下列结论正确的是 A. 的解集是 B. C. 时，取得最大值 D. 的解集是 【答案】BC 【思路】结合三次函数图象的极值点位置可确定导函数的零点，进而判断导函数的正负区间.利用极值点处的导数值为零可寻找系数间的关系.解本质上是寻找原函数图象在轴上方且上升，或在轴下方且下降的区间. 【解析】对于A项，由图象可得，函数在上单调递增，∴的解集是，故A项错误；对于B项，∵.又由图象知，函数在处取得极小值，∴有，故B项正确；对于C项，由图象知，当时，单调递增，则；当时，单调递减，则；当时，单调递减，则.∴的解集为，的解集为.又为二次函数，根据二次函数的图象可知.∵函数在以及处取得极值，∴有，即，∴，∴，∵，∴时，取得最大值，故C项正确；对于D项，由可得或.由图象知，当时，.又的解集为.∴由可得；由图象知，当时，.又的解集为.∴由可得.∴的解集是，故D项错误. 【规律】解（或）型不等式，核心是将其等价转化为两个不等式组.在图象上直观表现为：同正对应“图象在轴上方且呈上升趋势”的区间，同负对应“图象在轴下方且呈下降趋势”的区间. 【考点一 方法总结】 · 原函数的增减性对应导数的正负，原函数图象的凹凸性（切线斜率的变化率）对应导数的增减性. · 处理含有因式的导数图象（如），需在两侧分别讨论符号，从而还原的真实正负区间. · 解形如的不等式，等价转化为图象在轴上方且上升，或在轴下方且下降的区间. · 遇到类似的符号判断，常构造切线方程，通过观察切线在坐标轴上的截距符号快速求解. 考点二：不含参函数的单调性分析与应用 考法4：求不含参函数的单调区间 例4.（2026·山东聊城·二模）函数的单调递减区间为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】求单调区间需先明确函数的定义域.对分式与对数组合的函数求导后，通分并提取公因式，将导函数分子转化为易于判断符号的乘积形式，从而解出导数小于零的区间. 【解析】的定义域为，.令，由于，则，解得.∴的单调递减区间为. 【规律】求函数的单调区间严格遵循“定义域优先”原则.求导后，尽量将导函数化为因式乘积或商的形式，提取出恒正（或恒负）的因式（如指数函数、平方项等），只需分析剩余核心因式的符号即可快速锁定单调区间. 考法5：利用单调性与构造函数求解不等式或极值 例5.（2026·福建泉州·一模）已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且，若当时，，则（ 　　） A. B. C. 存在极值点 D. 有且只有一个零点 【答案】D 【思路】观察已知不等式，将其展开并移项，可凑出导数乘法法则的形式，从而指引我们构造新函数.结合的奇偶性，探究的奇偶性与单调性，进而推断出在各区间的符号. 【解析】∵，即，故函数为奇函数， 设， 则， 由题意，当时，， ∴在上单调递增， 又∵为偶函数，故为奇函数， ∴在上单调递增， 图象连续不断且， ∴在上单调递增， ∴当时，，∴； 同理当时，∴， 对于A，，∵，∴，故A错误. 对于B，当时，，则，故B错误. 对于C，由于函数的单调性未知，故该选项不确定，故C错误. 对于D，当时，，当时，，且，∴有且只有一个零点，故D正确. 【规律】遇到含有与及指数函数的不等式，优先考虑构造函数.常见的构造模型有：出现构造；出现构造.结合函数的奇偶性，可将一侧的单调性推广到整个定义域. 【考点二 方法总结】 求可导函数单调区间的一般步骤： 1. 确定函数的定义域，严格遵循“定义域优先”原则. 2. 求导数，并令，求出它在定义域内的一切实数根.求导前尽量将分式化简或通分提取恒正（或恒负）公因式，降低求导运算复杂度. 3. 把函数的间断点（无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列，将定义域分成若干个小区间. 4. 确定在各小区间内的符号，从而判断函数在各小区间内的增减性. · 遇到含有与的不等式，优先考虑构造函数：出现构造；出现构造. · 结合函数的奇偶性，可将一侧的单调性推广到整个定义域，通过单调性将函数不等式转化为自变量的不等式求解. 考点三：已知函数单调性求参数范围 考法6：根据函数在某区间单调求参数范围 例6.（2025·广东·五月测评）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】对数型复合函数的单调性遵循“同增异减”规律.外层对数函数单调递增，故内层二次函数在给定区间上也必须单调递增.同时，切不可遗漏对数函数定义域的限制，即内层函数在给定区间上必须恒大于零. 【解析】令，对称轴为， ∵函数在上是增函数， ∴要想函数在区间上单调递增， 只需函数在上为增函数，且在区间上恒成立. 当时，满足，解得； 当时，在区间上单调递增恒成立； 当时，满足，解得. 综上得实数的取值范围是. 【规律】处理复合函数的单调性问题，需将其拆分为内外两层函数.若整体单调递增，则内外层函数单调性相同；若整体单调递减，则内外层函数单调性相反.对于对数型、偶次根式型复合函数，必须附加内层函数在对应区间上满足定义域条件（如大于零、大于等于零）的限制. 考法7：根据函数存在单调区间或不单调求参数范围 例7.（2025·江西上饶·二模）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】函数在某区间存在单调递增区间，等价于导函数大于零在该区间上有解.通过分离参数，将其转化为参数小于某一新函数的最大值问题，再利用二次函数的性质求出最值. 【解析】根据条件得出存在，使成立，即存在，使成立，构造函数，，求出的最值即可解决问题.令，，变形得，∵，∴，∴当，即时，，∴. 【规律】“存在单调递增（减）区间”等价于“（或）在给定区间上有解”.常采用分离参数法，转化为或的形式，从而将问题归结为求已知函数的最值. 考法8：根据分段函数单调性求参数范围 例8.（2026·江西吉安·一模）已知函数在定义域上是增函数，则实数的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】分段函数在上单调递增，需要满足三个条件：第一段自身单调递增；第二段自身单调递增；在分界点处，左侧段的函数值（或极限）必须小于等于右侧段的函数值. 【解析】由题意知，在上是增函数，∴当时，恒成立，即恒成立，令，，则，∴在上单调递增，∴，∴；当时，抛物线的对称轴为，∴；又在处，，即，解得.综上所述，. 【规律】分段函数的全局单调性不仅要求每一段各自满足单调性条件（即导数恒大于等于或小于等于零），还必须满足“衔接点”处的函数值大小关系，防止出现图象断层导致单调性被破坏. 【考点三 方法总结】 · 复合函数的单调性遵循“同增异减”原则，对于对数型、偶次根式型复合函数，必须附加内层函数在对应区间上满足定义域条件（如恒大于零）的限制. · “存在单调递增（减）区间”等价于“（或）在给定区间上有解”，常采用分离参数法，转化为或的形式求最值. · 处理分段函数的全局单调性，不仅要求每一段各自满足单调性条件，还必须保证分界点处的函数值满足单调性的衔接要求. 考点四：含参函数的单调性讨论 考法9：一次或二次函数型导数的单调性讨论 例9.设函数. 求的单调区间. 【答案】见解析 【思路】求导后提取指数部分，导函数的符号完全由剩余的二次因式决定.由于二次项系数含有参数，且两根分别为和，因此需要围绕的正负、是否为零，以及两根的大小关系（即与的比较）展开全面分类讨论. 【解析】∵，∴. （1）当时，令，得，当时，，单调递增；当时，，单调递减. （2）当，令，得或. ①当时，，当或时，，单调递减；当时，，单调递增. ②当时，（i）当即时，当或时，，单调递增；当时，，单调递减.（ii）当即时，恒成立，∴在上单调递增.（iii）当即时，当或时，，单调递增；当时，，单调递减. 综上，当时，的单调递增区间是，单调递减区间是和； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是； 当时，的单调递增区间是和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间是，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是. 【规律】当导函数可化为（其中恒成立）时，单调性的讨论转化为对二次方程根的讨论.讨论的层级一般为：①二次项系数的正负及是否为零；②判别式的符号；③若有两根，比较两根的大小；④若有定义域限制，比较根与定义域边界的大小. 考法10：超越函数（指数/对数型）的单调性讨论 例10.（2026·山东德州·一模）已知函数. 讨论的极值点个数. 【答案】见解析 【思路】求导后得到含有和的方程.通过换元令，将超越方程转化为关于的一元二次方程.随后根据参数的取值，利用判别式和根的分布来确定正根的个数，进而判定原函数导数的变号零点个数. 【解析】由得. ①当时，恒成立，此时在上单调递增，极值点个数为； ②当时，令得，令，则方程化为，. （i）当时，，恒成立，此时在上单调递增，极值点个数为； （ii）当时，，方程有两个正根，则，且.当或时，，单调递增；当时，，单调递减.∴为极大值点，为极小值点，极值点个数为. 综上，当时，极值点个数为；当时，极值点个数为. 【规律】处理形如的导数零点问题，核心是利用换元法（注意）将其转化为二次方程根的分布问题.原函数极值点的个数，严格等于该二次方程在上不同实根的个数. 考法11：利用分段分析法讨论函数单调性 例11.设函数，其中. 讨论的单调性. 【答案】见解析 【思路】求导并提取公因式后，导数符号由和共同决定.由于这两个因子在不同区间会有各自的符号变化，需根据参数的取值，寻找的根，并与进行大小比较，从而分段确定导函数的整体符号. 【解析】由.①时，由，令，解得，∴时，，时，，则在单调递增，在单调递减；②时，由，（i）时，∵，则，在单调递增，（ii）时，，解得或，∴时，；时，，则在，上单调递增，在单调递减；（iii）时，由，∴时，；时，，则在，上单调递增，在单调递减；综上：时，的单调递增区间为，单调递减区间为；时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；时，的单调递增区间为；时，的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【规律】当导函数由两个可能变号的因式相乘构成时，单调区间的划分取决于这两个因式零点的位置.需对参数进行分类讨论，比较这两个零点的大小关系，利用穿根法或列表法在各个子区间内综合判定导数的符号. 考法12：含参单调性讨论与不等式恒成立/零点综合 例12.（2026·广东深圳·一模）已知函数. （1） 当时，求的单调区间； （2） 若有两个零点. （i） 求的取值范围； （ii） 证明：. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2）（i） （ii）证明见解析 【思路】第一问是具体的单调性求解；第二问中，函数有两个零点意味着极值必须大于零，从而求出参数范围.证明不等式时，由于极值点无法显式解出（或表达式复杂），需利用极值点满足的方程进行参数替换（隐零点代换），将极值转化为只含的表达式，再构造单变量函数证明不等式. 【解析】（1）当时，，定义域为， . 令，即，解得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. ∴的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）（i）. 若，，单调递增，至多一个零点，不合题意. 若，令，即，解得. 在单调递增，在单调递减. . ∵，即，， ∴. 令，解得， 此时. （ii）证明：由（2）（i）知，，其中. 下证： ()，即证. 设 ()，. 令，得. 于是在上单调递增，在上单调递减， 则，即证. ∴. 【规律】在含参单调性综合题中，若极值点不是常数，常利用“隐零点”技巧：由得到参数与的关系式，将其代入中消去参数或超越项，转化为关于的单变量函数最值问题. 【考点四 方法总结】 · 求导化简定义域，通分并尽可能因式分解.变号保留定号去，已知恒正或恒负的因式无需单独讨论.若一阶导函数正负难判断，可求二阶导，通过二阶导的正负判断一阶导函数的单调性. · 导数分子为二次函数时，按二次项系数的正负、判别式的符号、两根大小关系及根与定义域边界的大小关系展开全面分类讨论. · 处理含有指数函数的超越方程，利用换元法（注意）将其转化为一元二次方程根的分布问题. · 导函数由两个可能变号的因式相乘构成时，需对参数进行分类讨论，比较这两个零点的大小关系，利用穿根法确定导数符号. · 在含参单调性综合题中，若极值点无法显式解出，利用“隐零点”代换，由得到参数与的关系式，代入极值表达式消去参数，转化为单变量函数求最值. 四、高考真题 1.（2024·全国一卷）已知函数为，在上单调递增，则取值的范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即的范围是. 故选：B. 2.（2024·全国一卷）（多选）设函数，则（ 　　） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】对A，∵函数的定义域为，而， 易知当时，，当或时，. 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，∴， 而由上可知，函数在上单调递增，∴，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， ∴，即，正确； 对D，当时，， ∴，正确. 故选：ACD. 3.（2026·全国一卷）已知函数的最大值为，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵，求导得. 令，则. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 假设在处取得最大值，则必有，即. 同时，即. 将代入得. 若，则，此时，代入原函数得，矛盾. ∴，从而，解得. 此时. 检验：当时，，. 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减. ∴在处取得最大值，符合题意. 故选：B. 4.（2024·全国一卷）已知函数. （1）若，且，求的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若当且仅当，求的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】（1）时，，其中， 则，， ∵，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， ∴的最小值为. （2）的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， ∵在图象上，故， 而， ∴也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. （3）∵当且仅当，故为的一个解， ∴即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设，， 则， 当时，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当时，则当时，， 故在上为减函数，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而当时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 综上，. 5.（2025·全国一卷） （1）设函数，求在的最大值； （2）给定，设为实数，证明：存在，使得； （3）若存在使得对任意，都有，求的最小值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】（1）， ∵，故，故， 当时，即， 当时，即， 故在上为增函数，在为减函数， 故在上的最大值为. （2）由余弦函数的性质得的解为，， 若任意，与交集为空， 则且，此时无解， 矛盾，故无解；故存在，使得， 故存在，使得成立. （3）记， ∵， 故为周期函数且周期为，故只需讨论，的情况. 当时，， 当时，， 此时，， 令，则， 而，，，， ，故， 当，在（2）中取，则存在，使得， 取，则，取即， 故，故， 综上，可取，使得等号成立. 综上，. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $