精品解析：山西大同市第一中学校2025-2026学年高一下学期4月学情检测数学试卷

2025-2026-2 高一年级3月学情检测 数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于y轴的对称点为B，则向量对应的复数为（ ） A. B. C. D. 2. 设x，，向量，，且，，则（ ） A. 5 B. C. D. 10 3. 已知复数，则的虚部为（ ） A. 3 B. C. D. 4. 已知是两个不共线的向量，设=，，，则共线的三点是（ ） A. A，B，D B. A，B，C C. B，C，D D. A，C，D 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B、C两点间的距离是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 7. 已知的三边长分别是，若，则△ABC的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都有可能 8. 半圆的直径AB＝4, O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是 A. 2 B. 0 C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知集合，其中为虚数单位，则下列元素属于集合的是（ ） A. B. C. D. 10. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则有两解 C. 若为钝角三角形，则 D. 若，则面积的最大值为 11. 设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点M是的重心 B. 若，则点M在线段的延长线上 C. 若，且，则的面积是面积的 D. 已知平面向量，满足，则为等腰三角形 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如果1-2i是关于的实系数方程的一个根，其中i是虚数单位，则______． 13. 已知向量，满足，，，则向量在向量上的投影向量为______. 14. 已知函数，若，则的取值范围是__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，复数． （1）若对应的点在第一象限，求的取值范围； （2）若的共轭复数与复数相等，求的值． 16. 已知. (1)求的值 (2)求的值. 17. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 18. 已知向量，且，求： （1）及； （2）若的最小值为，求实数的值． 19. 如图所示，在△ABC中，D为BC边上一点，且=3． 过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）． （1）用分别表示; （2）如果=，=，求λ+3μ的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026-2 高一年级3月学情检测 数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于y轴的对称点为B，则向量对应的复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】向量对应的复数为，点A的坐标为， 点A关于y轴的对称点为B，点B的坐标为 向量对应的复数为． 2. 设x，，向量，，且，，则（ ） A. 5 B. C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据且，结合向量的坐标表示与运算，列出方程，分别求得x，y的值，得到向量的坐标，结合向量模的计算公式，即可求解． 【详解】由向量，，， 因为，可得， 解得，所以， 又由，可得，解得，所以， 则，所以． 故选：C． 3. 已知复数，则的虚部为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以，则的虚部为. 4. 已知是两个不共线的向量，设=，，，则共线的三点是（ ） A. A，B，D B. A，B，C C. B，C，D D. A，C，D 【答案】A 【解析】 【详解】∵=+=， ∴=，又∵，有公共点B， ∴A，B，D三点共线． 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 6. 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B、C两点间的距离是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】A 【解析】 【分析】如图，由题意可得海里、，结合正弦定理计算即可求解. 【详解】如图，由题意得，海里， 得，在中，由正弦定理， 得海里. 故选：A. 7. 已知的三边长分别是，若，则△ABC的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都有可能 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，则， 即有，因此，即， 在中，，边所对的角为最大角， 由余弦定理得，则边对应的角为锐角． 所以为锐角三角形． 8. 半圆的直径AB＝4, O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是 A. 2 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】为的中点，，从而则，又，，当且仅当，即为的中点时，取得最小值是，故选D. 【易错点晴】本题主要考查平面向量的几何运算以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知集合，其中为虚数单位，则下列元素属于集合的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据虚数单位的性质分析可知，结合复数的运算逐项分析判断. 【详解】依题意，，当时，；当时，； 当时，；当时，， 因此， 对于A，，A不是； 对于B，，B是； 对于C，，C是； 对于D，，D不是． 10. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则有两解 C. 若为钝角三角形，则 D. 若，则面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正弦定理可判断A；由可判断B；由大边对大角结合余弦定理可判断C；由余弦定理与基本不等式可判断D. 【详解】对于A选项，若，则，由正弦定理可得， 所以，故A正确； 对于B选项，，则， 所以有两解，故B正确； 对于C选项，当为钝角三角形，且C为钝角时，， 可得，若C不为钝角，则得不到，故C错误； 对于D选项，由余弦定理与基本不等式可得， 即，当且仅当时，等号成立， 所以，故D正确． 故选：ABD. 11. 设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点M是的重心 B. 若，则点M在线段的延长线上 C. 若，且，则的面积是面积的 D. 已知平面向量，满足，则为等腰三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】设的中点为，由向量的线性运算可得，由重心的性质即可判断选项；由向量的线性运算即可判断选项；结合图象，由三点共线的充要条件即线性运算可得点的位置，结合图象，及面积公式即可判断选项；由向量的线性运算及数量积运算即可判断选项． 【详解】解：对于，设的中点为，若， 则点是的重心，故正确； 对于，若，即有，即， 则点在边的延长线上，故错误； 对于，若，且， 由图可得为的中点，则的面积是面积的，故正确； 对于，因为，所以， 即， 所以， 因为，所以点在的角平分线上， 所以，所以， 所以，所以为等腰三角形，故正确． 故选：． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如果1-2i是关于的实系数方程的一个根，其中i是虚数单位，则______． 【答案】-10 【解析】 【分析】把1-2i代入方程，利用复数相等的条件，求出，即可求解 【详解】1-2i是关于的实系数方程的一个根 所以，即， 所以，解得， 故答案为：. 13. 已知向量，满足，，，则向量在向量上的投影向量为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合投影向量的定义进行求解即可. 【详解】由， 由， ，得， 所以向量在向量上的投影向量为， 故答案为： 14. 已知函数，若，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】画出函数图象，可得，，再根据基本不等式可求出. 【详解】画出的函数图象如图，不妨设， 因为，则由图可得， ，可得，即， 又，当且仅当取等号，因为，所以等号不成立， 所以解得，即的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，复数． （1）若对应的点在第一象限，求的取值范围； （2）若的共轭复数与复数相等，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由实部虚部均大于0，联立关于的不等式组即可求解； （2）写出的共轭复数，再由复数与复数的实部与虚部相等，列方程组求解的值. 【小问1详解】 由题意得，解得， 所以的取值范围是． 【小问2详解】 因为， 所以， 因为与复数相等， 所以，解得． 16. 已知. (1)求的值 (2)求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两边平方可得，利用同角关系； （2）由（1）可知从而. 【详解】（1）∵. ∴，即 ， （2）由（1）知＜0，又 ∴ ∴ 【点睛】本题考查三角函数化简求值，涉及同角三角函数基本关系和整体代入的思想，属于中档题． 17. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【小问1详解】 由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 18. 已知向量，且，求： （1）及； （2）若的最小值为，求实数的值． 【答案】（1）， （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积和向量的模的坐标运算公式，直接运算，即可求解； （2）由（1）求得函数，令，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由题意，向量， 可得， 又由 所以. （2）由（1）可得， 即， 令，所以， 对称轴为， 若，则，不符合题意； 若，则，解得（舍去）； 若，则，解得， 综上可得：. 19. 如图所示，在△ABC中，D为BC边上一点，且=3． 过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）． （1）用分别表示; （2）如果=，=，求λ+3μ的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得； （2）根据（1）的结论，转化用，表示，根据、、三点共线找出等量关系，再利用基本不等式计算可得； 【小问1详解】 由=，所以， 可得； 【小问2详解】 因为，，所以，由图可知， 又因为、、三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $