精品解析：江苏省仪征市实验中学东区校2021-2022学年下学期八年级6月随堂练习数学试卷

实验中学东区校八年级数学随堂练习 一、选择题（3*8=24分） 1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 为了了解某校300名七年级学生的睡眠时间，从中抽取30名学生进行调查，在这个问题中，下列说法正确的是（ ） A. 300名学生是总体 B. 300是样本容量 C. 30是样本容量 D. 30名学生是抽取的一个样本 3. 下列事件中，必然事件是（ ） A. 打开电视，正在播新闻 B. 明天将下雨 C. 小华家买彩票将会获奖 D. 13个小朋友中至少有2人的出生月份相同 4. 如图，四边形是菱形，对角线交于点O，E是边的中点，过点E作，点F，G为垂足，若，则的长为（ ） A. 5 B. 6.5 C. 10 D. 12 5. 下列关于反比例函数，说法不正确的是（ ） A. 点(－2，1)、(－1，2)均在其图像上 B. 双曲线分布在二、四象限 C. 该函数图像上有两点A、B，若<，则< D. 当时，x的范围是0 < x < 1 6. 在一个不透明的盒子中装有个黑、白两种颜色的球，小明又放入了个红球，这些球大小都相同．若每次将球充分搅匀后，任意摸出个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则的值大约为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点在双曲线上，过点A作轴，垂足为C，线段的垂直平分线交于点B，，则周长的值是（ ） A. 4 B. C. D. 8. 如图，平面内三点A、B、C，AB＝5，AC＝4，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（　　） A. 5 B. 9 C. 9 D. 二、填空题：（3*10=30分） 9. 当______时，分式有意义． 10. 分式的最简公分母是______． 11. 与最简二次根式5是同类二次根式，则a=_____． 12. 一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为14、10、8、4，则第5组的频率为___________． 13. 已知菱形ABCD的面积是12cm2，对角线AC＝4cm，则菱形的边长是______cm． 14. 点A（a，b）是一次函数y=x﹣2与反比例函数y= 的交点，则a2b﹣ab2=________． 15. 若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围为______． 16. 如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若BC＝2，∠CBE＝45°，则AB＝___． 17. 如图，点、分别在反比例函数和图像上，分别过、两点向轴、轴作垂线，形成的阴影部分的面积为6，则_____． 18. 如图，点D是平行四边形内一点，与x轴平行，与y轴平行，，，．若反比例函数的图像经过A、D两点，则k的值是________． 二、解答题：（8*4+10*4+12*2=96分） 19. 计算： （1）； （2） 20. 解方程： （1）； （2） 21. 化简式子，从0，1，2中取一个合适的数作为x的值代入求值． 22. 为有效控制新型冠状病毒的传染，目前，国家正全面推开新冠疫苗的免费接种工作．某社区为了解其辖区内居民的接种情况，随机抽查了一部分居民进行问卷调查，把调查的结果分为（已经接种）、（准备接种）、（观望中）、（不接种）四种类别，并绘制了下面两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）此次抽查的居民人数为______人； （2）请补全条形统计图，同时求出类别所在扇形的圆心角度数； （3）若该社区共有居民人，请你估计该社区已接种新冠疫苗的居民约有多少人？ 23. 如图，直线y=k1x+b与双曲线y=相交于A（1，2）、B（m，﹣1）两点． （1）求直线和双曲线的解析式； （2）若A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）为双曲线上的三点，且x1＜x2＜0＜x3，请直接写出y1，y2，y3的大小关系式； （3）观察图象，请直接写出不等式k1x+b＞的解集． 24. 今年春节期间第二十四届冬奥会在我国成功举办，吉祥物“冰墩墩”以其呆萌可爱、英姿飒爽形象，深受大家喜爱．某商店第一次用3000元购进一批“冰墩墩”玩具，很快售完；该商店第二次购进该“冰墩墩”玩具时，进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件． （1）求第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价； （2）若两次购进的“冰墩墩”玩具每件售价均为70元，且全部售完，求两次的总利润． 25. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，，对角线所在的直线绕点顺时针旋转角，所得的直线分别交，于点． （1）求证：； （2）当旋转角为多少度时，四边形为菱形？试说明理由． 26. 【阅读材料】 像、、两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如， 与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 【解决问题】 （1）填空：的有理化因式为 ； （2）化简： ； （3）已知正整数a，b满足，求a，b的值． 27. 已知双曲线的图象过点（1，2）． （1）求k的值，并求当时y的取值范围； （2）如图1，过原点O作两条直线与双曲线的图象交于A、C与B、D．我们把点（x，y）的横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，若A、B、C、D都是整点，试说明四边形ABCD是矩形； （3）如图2，以过原点O的线段BD为斜边作一个直角三角形，且三个顶点A、B、D都在双曲线上，若点A的横坐标为a，点B的点横坐标为b，问：ab是否等于定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 28. 在平面直角坐标系中，已知A（3，0），以OA为一边在第一象限内画正方形OABC，D（m，0）为x轴上的一个动点，以BD为一边画正方形BDEF（点F在直线AB右侧）． （1）当m＞3时（如图1），试判断线段AF与CD的数量关系，并说明理由． （2）当AF=5时，求点E的坐标； （3）当D点从A点向右移动4个单位，求这一过程中F点移动的路程是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实验中学东区校八年级数学随堂练习 一、选择题（3*8=24分） 1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形定义判断即可． 【详解】解：选项，不是中心对称图形，也不是轴对称图形． 选项，是中心对称图形，不是轴对称图形． 选项，是中心对称图形，也是轴对称图形． 选项，不是中心对称图形，是轴对称图形． 2. 为了了解某校300名七年级学生的睡眠时间，从中抽取30名学生进行调查，在这个问题中，下列说法正确的是（ ） A. 300名学生是总体 B. 300是样本容量 C. 30是样本容量 D. 30名学生是抽取的一个样本 【答案】C 【解析】 【分析】根据总体、样本、样本容量的定义逐一判断即可得答案． 【详解】A.300名七年级学生的睡眠时间是总体，故该选项说法错误， B.样本容量是30，故该选项说法错误， C.30是样本容量，故该选项说法正确， D.样本是抽取的30名学生的睡眠时间，故该选项说法错误， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了总体，样本，样本的容量的概念，熟练掌握相关定义是解题关键． 3. 下列事件中，必然事件是（ ） A. 打开电视，正在播新闻 B. 明天将下雨 C. 小华家买彩票将会获奖 D. 13个小朋友中至少有2人的出生月份相同 【答案】D 【解析】 【分析】必然事件就是一定会发生的事件. 【详解】打开电视，正在播新闻.是随机事件； 明天将下雨.是随机事件； 小华家买彩票将会获奖. 是随机事件； 13个小朋友中至少有2人的出生月份相同. 是必然事件.故选D. 【点睛】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念.理解概念是解决基础题的主要方法．注意必然事件就是一定会发生的事件． 4. 如图，四边形是菱形，对角线交于点O，E是边的中点，过点E作，点F，G为垂足，若，则的长为（ ） A. 5 B. 6.5 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据菱形的性质可得，，，再由勾股定理可得，再根据是边的中点，可得，再证得四边形为矩形，即可求解． 【详解】解：连接，         四边形是菱形，，， ，，， 在中，， 又是边的中点， ， ，，， ， 四边形为矩形， ． 故答案为：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 5. 下列关于反比例函数，说法不正确的是（ ） A. 点(－2，1)、(－1，2)均在其图像上 B. 双曲线分布在二、四象限 C. 该函数图像上有两点A、B，若<，则< D. 当时，x的范围是0 < x < 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数图象与性质即可依次判断． 【详解】A.∵-2×1=-2，-1×2=-2， ∴点(－2，1)、(－1，2)均在其图像上，正确； B.∵k=-2＜0 ∴双曲线分布在二、四象限，正确； C. 该函数图像上有两点A、B，当<＜0时，<，当0＜<时， <，当<0＜时，＞，故错误； D. 当y=-2时，x=1 由图象可知当时，x的范围是0 < x < 1，正确； 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 6. 在一个不透明的盒子中装有个黑、白两种颜色的球，小明又放入了个红球，这些球大小都相同．若每次将球充分搅匀后，任意摸出个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则的值大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得摸到红球的概率为，据此利用概率计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：∵通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右， ∴摸到红球的概率为， ∴， 解得， 检验，当时，， 故选A． 【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，熟知大量反复试验下频率的稳定值即为概率值是解题的关键． 7. 如图，点在双曲线上，过点A作轴，垂足为C，线段的垂直平分线交于点B，，则周长的值是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，进而求出，再说明，然后根据勾股定理得，即可求出，最后根据的周长为得出答案． 【详解】解：∵点A在双曲线上， ∴， ∴，则． ∵线段的垂直平分线交于点B， ∴． 在中，， ， 则， 即， 解得（负值舍去）， ∴的周长为． 8. 如图，平面内三点A、B、C，AB＝5，AC＝4，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（　　） A. 5 B. 9 C. 9 D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM．由旋转不变性可知：AB＝CM＝5，DA＝DM．∠ADM＝90°，得出△ADM是等腰直角三角形，推出AD＝AM，当AM的值最大时，AD的值最大，根据三角形的三边关系求出AM的最大值即可解决问题． 【详解】解：如图， 将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM， 由旋转不变性可知：AB＝CM＝5，DA＝DM，∠ADM＝90°， ∴△ADM是等腰直角三角形， ∴AD＝AM， ∴当AM的值最大时，AD的值最大， ∵AM≤AC+CM， ∴AM≤9， ∴AM的最大值为9， ∴AD的最大值为． 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质，动点问题，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题． 二、填空题：（3*10=30分） 9. 当______时，分式有意义． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件解答即可． 【详解】解：当分母分式有意义，则 故答案为： 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解答关键是分母不为零． 10. 分式的最简公分母是______． 【答案】 【解析】 【分析】常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 【详解】分式的分母分别是3b2c、9ac2，故最简公分母是9ab2c2． 故答案为：9ab2c2． 【点睛】本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里． ②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 11. 与最简二次根式5是同类二次根式，则a=_____． 【答案】2 【解析】 【分析】先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可． 【详解】解：∵与最简二次根式5是同类二次根式，且=2， ∴a+1=3，解得：a=2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式． 12. 一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为14、10、8、4，则第5组的频率为___________． 【答案】0.1 【解析】 【分析】先求出第5组的频数，再根据频率公式求出第5组的频率 【详解】解：∵某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为14、10、8、4，则第5组的频数为：40-14-10-8-4=4 ∴P= 故答案为：0.1 【点睛】在计算概率时，一般会从两个大的方面考查：一是直接计算概率，这时用到概率公式，即一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=.另一种则是根据所涉及到的事件之间的关系，通过求已知事件的概率解决． 13. 已知菱形ABCD的面积是12cm2，对角线AC＝4cm，则菱形的边长是______cm． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的面积公式求出另一对角线的长．然后因为菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求出菱形的边长． 【详解】解：由菱形的面积公式，可得另一对角线长12×2÷4=6， ∵菱形的对角线互相垂直平分， 根据勾股定理可得菱形的边长=cm． 故答案为： 【点睛】此题主要考查菱形的性质和菱形的面积公式，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直． 14. 点A（a，b）是一次函数y=x﹣2与反比例函数y= 的交点，则a2b﹣ab2=________． 【答案】8 【解析】 【详解】分析：把点A（a，b）分别代入一次函数y=x-2与反比例函数y=，求出a-b与ab的值，代入代数式进行计算即可． 详解：∵点A（a，b）是一次函数y=x-2与反比例函数y=的交点， ∴b=a-2，b=，即a-b=2，ab=4， ∴原式=ab（a-b）=4×2=8． 故答案为8． 点睛：本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数与一次函数的交点坐标一定适合两函数的解析式是解答此题的关键． 15. 若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围为______． 【答案】m＞1且m≠3． 【解析】 【分析】先解关于x的分式方程，得x=1-m，再根据关于x的分式方程的解为负数，得1-m＜0且1-m≠-2，故m＞1且m≠3． 【详解】解：， 去分母，得3-m=x+2， 移项，得x=1-m． ∵关于x的分式方程的解为负数， ∴1-m＜0且1-m≠-2， ∴m＞1且m≠3． 故答案为：m＞1且m≠3． 【点睛】本题主要考查解分式方程以及解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程以及解一元一次不等式是解决本题的关键． 16. 如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若BC＝2，∠CBE＝45°，则AB＝___． 【答案】2 【解析】 【分析】由矩形的性质和角平分线的定义得出∠DEC=∠ECB=∠BEC，推出BE=BC，进而求得AE=AB=2． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC． ∴∠DEC=∠BCE． ∵EC平分∠DEB， ∴∠DEC=∠BEC． ∴∠BEC=∠ECB． ∴BE=BC=2， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠ABC=90°， ∵∠CBE=45°， ∴∠ABE=90°-45°=45°， ∴∠ABE=∠AEB=45°． ∴AB=AE==2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用；熟练掌握矩形的性质，证出BE=BC是解题的关键． 17. 如图，点、分别在反比例函数和图像上，分别过、两点向轴、轴作垂线，形成的阴影部分的面积为6，则_____． 【答案】6 【解析】 【分析】由反比例函数系数k的几何意义得的值即为阴影部分的面积，求解即可． 【详解】解：设以A为顶点矩形的面积为，以B为顶点矩形的面积为，则有： ． 故答案为：6． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是灵活运用k的几何意义． 18. 如图，点D是平行四边形内一点，与x轴平行，与y轴平行，，，．若反比例函数的图像经过A、D两点，则k的值是________． 【答案】4 【解析】 【分析】过A作于E，作轴于F，延长交x轴于G，根据三角形的面积可求出，根据三角形内角和定理、等角对等边等得出，根据平行四边形的性质、平行线的性质以及可证明，得出，则可设，则，从而得出，即可求解． 【详解】解：过A作交的延长线于E，作轴于F，延长交x轴于G， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵与x轴平行， ∴， ∴， ∵与y轴平行，x轴轴， ∴轴， 又与x轴平行， ∴， 又轴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴点D的纵坐标为， 设，则， ∵反比例函数的图像经过A、D两点， ∴， 解得， ∴． 二、解答题：（8*4+10*4+12*2=96分） 19. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 原方程无解 【解析】 【小问1详解】  解： 方程两边同乘，得， 整理得， 解得：； 检验：当时，， 故原方程的解为； 【小问2详解】 解：， 方程两边同乘，得， 展开整理得， 解得； 检验：当时，， 故是原方程的增根，舍去， 故原方程无解． 21. 化简式子，从0，1，2中取一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】化简结果： 当时，原式= 【解析】 【分析】先把分式中能分解因式的先分解因式，把除法转化为乘法，约分后代入求值即可． 【详解】解： 当时，上式 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，注意代入时一定要注意使原分式有意义，掌握以上的知识是解题的关键． 22. 为有效控制新型冠状病毒的传染，目前，国家正全面推开新冠疫苗的免费接种工作．某社区为了解其辖区内居民的接种情况，随机抽查了一部分居民进行问卷调查，把调查的结果分为（已经接种）、（准备接种）、（观望中）、（不接种）四种类别，并绘制了下面两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）此次抽查的居民人数为______人； （2）请补全条形统计图，同时求出类别所在扇形的圆心角度数； （3）若该社区共有居民人，请你估计该社区已接种新冠疫苗的居民约有多少人？ 【答案】（1） （2） 补全条形统计图如图： （3）人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计、扇形统计图以及运用概率估计整体; （1）结果除以其所占的百分比即可求得此次调查的居民人数； （2）用总人数减去类别、、的人数即可得到类别的人数，然后补全条形统计图；然后再求出类别所占的比例，最后再乘以即可求得所在扇形的圆心角； （3）用类别所占的百分比乘以即可． 【小问1详解】 由题意可知: 类别A的人数为人，占总数的， 则此次抽查的居民人数为：人， 故答案为：； 【小问2详解】 类别C的人数为：， 类别所占的比例为：， 则类别所在扇形的圆心角度数， 【小问3详解】 （人）， 答：该社区已接种新冠疫苗的居民约有人． 23. 如图，直线y=k1x+b与双曲线y=相交于A（1，2）、B（m，﹣1）两点． （1）求直线和双曲线的解析式； （2）若A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）为双曲线上的三点，且x1＜x2＜0＜x3，请直接写出y1，y2，y3的大小关系式； （3）观察图象，请直接写出不等式k1x+b＞的解集． 【答案】（1）双曲线的解析式为：y= 直线的解析式为：y=x+1（2）y2＜y1＜y3（3），x＞1或﹣2＜x＜0 【解析】 【分析】（1）将点A（1，2）代入双曲线y=，求出k2的值，将B（m，﹣1）代入所得解析式求出m的值，再用待定系数法求出k1x和b的值，可得两函数解析式． （2）根据反比例函数的增减性在不同分支上进行研究． （3）根据A、B点的横坐标结合图象找出直线在双曲线上方时x的取值即可． 【详解】解：（1）∵双曲线y=经过点A（1，2），∴k2=2，∴双曲线的解析式为：y=． ∵点B（m，﹣1）在双曲线y=上，∴m=﹣2，则B（﹣2，﹣1）． 由点A（1，2），B（﹣2，﹣1）在直线y=k1x+b上，得 ，解得． ∴直线的解析式为：y=x+1． （2）∵双曲线y=在第三象限内y随x的增大而减小，且x1＜x2＜0，∴y2＜y1＜0， 又∵x3＞0，∴y3＞0．∴y2＜y1＜y3． （3）由图可知，x＞1或﹣2＜x＜0． 24. 今年春节期间第二十四届冬奥会在我国成功举办，吉祥物“冰墩墩”以其呆萌可爱、英姿飒爽形象，深受大家喜爱．某商店第一次用3000元购进一批“冰墩墩”玩具，很快售完；该商店第二次购进该“冰墩墩”玩具时，进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件． （1）求第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价； （2）若两次购进的“冰墩墩”玩具每件售价均为70元，且全部售完，求两次的总利润． 【答案】（1）第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为50元 （2）两次的总利润为1700元 【解析】 【分析】（1）设第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为x元，则第二次每件的进价，根据题意列方程求解即可； （2）根据总利润=销售额-成本计算即可． 【小问1详解】 解：设第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为x元，则第二次每件的进价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验：是方程的解，且符合题意， 答：第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为50元． 【小问2详解】 解：由题意可得（元）， 答：两次的总利润为1700元． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意列出正确方程是解题关键． 25. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，，对角线所在的直线绕点顺时针旋转角，所得的直线分别交，于点． （1）求证：； （2）当旋转角为多少度时，四边形为菱形？试说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）90°，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，两直线相交，对顶角相等，且，可以证明两三角形全等； （2）根据平行四边形对角线垂直即可说明． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）当时四边形为菱形， 理由：∵， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形． 【点睛】本题考查了三角形全等的判断定理，菱形的判定定理，解题的关键是：根据两直线平行的性质得出角之间的关系，利用来证明；证明四边形是菱形，只要求证明平行四边形对角线垂直即可． 26. 【阅读材料】 像、、两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如， 与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 【解决问题】 （1）填空：的有理化因式为 ； （2）化简： ； （3）已知正整数a，b满足，求a，b的值． 【答案】（1）；（2）；（3）a=3，b=10 【解析】 【分析】（1）根据题意，理解有理化因式的概念，即可求解； （2）对式子分别进行有理化，然后运算求解即可； （3）对式子分别进行有理化，对应系数相等，列二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：（1）根据有理化因式的概念可得：的有理化因式为； （2） （3）对进行有理化得： ，即 可得：，解得 所以，a=3，b=10 【点睛】此题考查了二次根式的分母有理化，理解题意掌握二次根式分母有理化的方法是解题的关键． 27. 已知双曲线的图象过点（1，2）． （1）求k的值，并求当时y的取值范围； （2）如图1，过原点O作两条直线与双曲线的图象交于A、C与B、D．我们把点（x，y）的横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，若A、B、C、D都是整点，试说明四边形ABCD是矩形； （3）如图2，以过原点O的线段BD为斜边作一个直角三角形，且三个顶点A、B、D都在双曲线上，若点A的横坐标为a，点B的点横坐标为b，问：ab是否等于定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1），；（2）见解析；（3），是定值，见解析． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法及反比例函数的性质解题； （2）分别求出点A、B、C、D的坐标，证明AC=BD，OA=OC，OB=OD即可解题； （3）连接OA，证明，利用轴对称的性质解题． 【详解】解：（1）双曲线的图象过点（1，2）， 时， 时，； （2）证明：A、B、C、D都是整点， 反比例函数是中心对称图形， 四边形ABCD是平行四边形， 四边形ABCD是矩形； （3）如图，连接OA， 反比例函数是中心对称图形， 反比例函数关于直线对称，， 关于直线对称， 点的纵坐标与点的纵坐标相同， 在上， ，是定值． 【点睛】本题考查反比例函数的综合题，涉及反比例函数的性质、待定系数法求反比例函数的解析式、中心对称图形的性质、勾股定理、矩形的判定方法等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 28. 在平面直角坐标系中，已知A（3，0），以OA为一边在第一象限内画正方形OABC，D（m，0）为x轴上的一个动点，以BD为一边画正方形BDEF（点F在直线AB右侧）． （1）当m＞3时（如图1），试判断线段AF与CD的数量关系，并说明理由． （2）当AF=5时，求点E的坐标； （3）当D点从A点向右移动4个单位，求这一过程中F点移动的路程是多少？ 【答案】（1），理由见解析；（2）点E的坐标为或；（3）这一过程中F点移动的路程是向上移动4个单位． 【解析】 【分析】（1）先根据正方形的性质得出，再根据角的和差求出，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得； （2）分点D在点A的右侧和点D在点A的左侧，分别画出图形．①如图1，先利用（1）的结论可得，再利用勾股定理求出，从而可得，然后过点E作轴于点G，根据三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得，由此即可得；②如图2，同①的方法，利用三角形全等的判定定理与性质得出，从而可得，由此即可得； （3）参照（2）①的方法，求出点F的坐标，从中可发现点F的坐标与m的关系，由此即可得出答案． 【详解】（1），理由如下： 四边形OABC和四边形BDEF都是正方形 ，即 在和中， ； （2）由题意，分以下两种情况： ①如图1，点D在点A的右侧 四边形OABC和四边形BDEF都是正方形， ，， ，即 由（1）可知， 在中， 过点E作轴于点G 在和中， 此时点E的坐标为 ②如图2，点D在点A的左侧 由（1）可知， 在中， 过点E作轴于点H 同理可证： 此时点E的坐标为 综上，点E的坐标为或； （3）由题意，只需求出点D在点A的右侧，即时，点F的坐标即可解决问题 如图1，过点F作轴于点M 由（1）已证： ， 在和中， 此时点F的坐标为 由此可知，当D点从A点向右移动4个单位时，点F向上移动4个单位 即这一过程中F点移动的路程是向上移动4个单位． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、点的坐标变换规律等知识点，较难的是题（2），依据题意，分两种情况讨论，然后分别通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $