精品解析：广东广州市第三中学2025-2026学年第二学期期中素养综合评估检测高一数学试题

2025学年第二学期期中素养综合评估检测题 高一级数学（问卷） 姓名___________班级___________学号___________ 一、单选题 1. 若复数z满足，则（ ） A. B. 5 C. D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法计算出复数z，再利用模长公式求. 【详解】因为，所以，所以． 故选：A． 2. 设，为一组基底，已知向量，，，若，，三点共线，则实数k的值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的加法法则求出，将，，三点共线转化为与共线即可求解. 【详解】，， ， 又，且，，三点共线，， 即， ，. 故选：C. 3. 设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（    ）． A. 6 B. C. 12 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出角的正弦值，然后利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】由已知可得，且 所以，. 所以，. 4. 如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为的中点，F为上一点，当平面时，（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接交于 ，连接，由线面平行的性质可得，再利用平行线分线段成比例定理列式求解． 【详解】 连接交于 ，连接， 因为平面，平面，平面平面， 所以，所以， 因为四边形为平行四边形，所以， 所以， 因为为的中点，所以， 所以，所以. 故选：A 5. 如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点和．现测得，，米，在点测得塔顶的仰角为60°，则塔高为（ ）米． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在中，由正弦定理求出BC，进而在中求得答案即可. 【详解】由题意，在中，，由正弦定理可知. 在中，易知，于是. 故选：A. 6. 已知三棱锥的所有棱长均为，球为三棱锥的外接球，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正方体的外接球来研究正四面体的外接球，只需要把正四面体放入正方体中，如图分析研究即可得到球的半径. 【详解】因为三棱锥的所有棱长均为，故可把已知三棱锥放置在正方体上，如图所示， 设正方体的棱长为，则，解得， 三棱锥的外接球就是正方体的外接球，故球的半径， 所以球的体积， 故选：C. 7. 若平面向量共起点时两两夹角相等，且，则（    ） A. B. 6 C. 3或6 D. 或6 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得夹角为或，再分夹角为和两种情况讨论，结合数量积的运算律即可得解. 【详解】因为平面向量，，共起点时两两夹角相等，所以夹角有两种情况， 即，，两两夹角为或， 当夹角为时，； 当夹角为时，， 则 . 综上所述：或. 8. 如图，公园里有一块边长为4的等边三角形草坪（记为），图中把草坪分成面积相等的两部分，在上，在上，如果要沿铺设灌溉水管，则水管的最短长度为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形面积公式及条件可得，然后利用余弦定理及基本不等式可得，即得. 【详解】由题可知的面积为， 又， ∴， 由余弦定理可得 ， 当且仅当时取等号， ∴，即水管的最短长度为. 故选：A. 二、多选题 9. 设复数的共轭复数为为虚数单位，则下列命题正确的是（ ） A. 若复数，则在复平面内对应的点在第四象限 B. 复数的模 C. 若，则或 D. 若复数是纯虚数，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合共轭复数的定义和复数的几何意义可以判断A；结合复数的模可以判断B和C；结合纯虚数的定义建立关于的方程，求解可以判断D. 【详解】对于选项A，由，可得，在复平面内对应点为在第四象限，故正确； 对于选项B， ，故正确； 对于选项C，表示所有满足（设）的复数，有无数个，例如的模也为1，并非只有，故错误； 对于选项D，令实部，解得或；虚部，即，故，故正确. 10. 的内角，，的对边分别为，，，则下列结论正确的有（ ） A. 若，，，则符合条件的只有一解 B. 若，，，则符合条件的只有一解 C. 若，，，则符合条件的无解 D. 若，且符合条件的有二解，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正弦定理以及三角形的边角关系即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，由正弦定理得，则，显然角不存在，A错误； 对于B，由正弦定理得，所以， 因为，所以，故唯一，为锐角，所以B正确， 对于C，由得，而，此时三角形显然不存在，C正确； 若，且符合条件的有两解，则,故，D正确， 故选：BCD． 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（   ） A. 存在点Q，使平面MBN B. 不存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 C. 三棱锥的体积是定值，为 D. 经过C，M，B，N四点的球的表面积 【答案】AC 【解析】 【分析】利用立体几何点线面的位置关系及求体积表面积知识对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A，若点是的中点，则， 又因为,所以. 因为面,面 所以面.故选项A正确. 对于选项B，当点与重合，此时，, 又因为，所以 故四点共面，所以选项B不正确. 对于选项C，因为到面的距离即为正方体的棱长，且. 所以.故选项C正确. 对于选项D，设分别为和的中点，则经过四点的球即为 长方体的外接球. 因为该长方体的长宽高分别为.所以. 所以.故选项D不正确. 三、填空题 12. 已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的定义计算即得. 【详解】在方向上的投影向量为. 故答案为： 13. 如图，已知用斜二测画法画出的的直观图是边长为的正三角形，原的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】在直观图中过点作交于点，利用正弦定理求出，从而得到平面图形，求出相关线段的长度，即可求出面积. 【详解】如图在直观图中过点作交于点， 则，， 由正弦定理，即，解得， 由直观图可得如下平面图形，则，，， 所以. 故答案为： 14. 如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】用和表示和，根据以及，，，可求出结果. 【详解】因为是的中点，所以， ， 因为，， ， 所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15. 如图，平行四边形ABCD中，，，H，M分别是AD，DC的中点，F为BC上一点，且． （1）以，为基底表示向量，，； （2）若，，与的夹角为，求和． 【答案】（1），， （2）， 【解析】 【分析】（1）由题可得：，利用向量的加法法则和减法法则，以及向量的中点表示，即可得到； （2）先求出，再由(1)得到的结论，化简即可得到所求向量的数量积. 【小问1详解】 ∵平行四边形中，，，，是，的中点，， ∴， ， ， 【小问2详解】 ∵，，与的夹角为，∴， ∴ ． 16. 已知圆锥的半径，母线长为． （1）求圆锥的表面积和体积； （2）如图，过AO的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积和表面积． 【答案】（1）表面积，体积 （2）体积，表面积 【解析】 【分析】（1）设圆锥的高为h，分别应用表面积和体积公式，求出表面积和体积即可得到答案. （2）先求出圆锥的体积，为的中点，利用相似比求出圆柱的底面半径，即可求出圆柱的体积，剩下几何体的体积为圆锥体积减去圆柱体积，根据圆锥表面积和圆柱侧面积即可得到剩下几何体的表面积，即可得到答案. 【小问1详解】 设圆锥的高为h， 由题意得： 圆锥侧面积， 圆锥的底面积， 圆锥的表面积； 圆锥的体积为． 【小问2详解】 由（1）可得：圆锥的体积为 又圆柱的底面半径为，高（母线）为 圆柱的体积为 剩下几何体的体积为； 由（1）得圆锥的表面积； 17. 如图，观测站在目标的南偏西方向，经过A处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距的处有一人正沿此公路向处行走，走到达处，此时测得相距． （1）求． （2）求之间的距离． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）在中，利用余弦定理可直接求得结果； （2）由互补角的特点可求得和，在中，先利用正弦定理求得，再利用余弦定理构造方程求得即可. 【详解】（1）由题意知：，，， 在中，由余弦定理得：. （2），， 由题意知：， 在中，由正弦定理得：，， 由余弦定理得：， 即，解得：或（舍）， 之间的距离为. 18. 如图，在正四棱锥中，分别是线段的中点，分别在线段上，且． （1）证明：四点共面． （2）证明：平面． （3）若点在线段上，且满足，试问侧棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）存在，． 【解析】 【分析】（1）利用中位线定理及确定平面的条件即可证明； （2）利用线面平行的判定定理即可证明； （3）根据面面平行的判定定理及性质定理即可求解. 【小问1详解】 证明：如图1，连接． 因为分别是线段的中点，所以． 又，所以，所以，所以四点共面． 【小问2详解】 证明：由（1）得． 因为平面，平面，所以平面． 【小问3详解】 如图2，在线段上取一点，使得， 作，交于点，连接． 因为，，所以． 因为平面，平面，所以平面． 同理可证平面． 因为，平面，平面， 所以平面平面． 又平面，所以平面． 因为，，所以， 因为，所以． 故在棱上存在一点，使得平面，且． 19. 已知分别为锐角三个内角的对边，且. （1）求； （2）若； （i）求周长的取值范围. （ii）当周长最大时，设点为边的中点，点在边上（包括端点），求的最小值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理边角互化，再结合三角函数求角即可； （2）（i）先根据正弦定理得出2R的值，把转化为含的三角函数式. 利用将化为，化简得到. 再根据锐角三角形条件确定范围，进而得到范围，求出范围，最后得出周长范围. （ii）当周长最大时三角形是等边三角形，建立直角坐标系确定、坐标，得出向量、，计算数量积，通过配方求最小值. 【小问1详解】 . 由正弦定理得 在中， 代入上式化简得：sinC 因为，所以，即 为锐角， 【小问2详解】 （i）由正弦定理得 所以 是锐角三角形， 即 所以周长的取值范围为. （ii）当三角形周长最大时，三角形为等边三角形，以所在直线为轴，过垂直于的直线为轴，建立直角坐标系， 由题意可知，设， 则 所以， 当时，取最小值 所以的最小值是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期期中素养综合评估检测题 高一级数学（问卷） 姓名___________班级___________学号___________ 一、单选题 1. 若复数z满足，则（ ） A. B. 5 C. D. 20 2. 设，为一组基底，已知向量，，，若，，三点共线，则实数k的值是（ ） A. 2 B. C. D. 3. 设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（    ）． A. 6 B. C. 12 D. 4. 如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为的中点，F为上一点，当平面时，（ ） A. B. C. 2 D. 5. 如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点和．现测得，，米，在点测得塔顶的仰角为60°，则塔高为（ ）米． A. B. C. D. 6. 已知三棱锥的所有棱长均为，球为三棱锥的外接球，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 若平面向量共起点时两两夹角相等，且，则（    ） A. B. 6 C. 3或6 D. 或6 8. 如图，公园里有一块边长为4的等边三角形草坪（记为），图中把草坪分成面积相等的两部分，在上，在上，如果要沿铺设灌溉水管，则水管的最短长度为（ ） A. B. C. 3 D. 二、多选题 9. 设复数的共轭复数为为虚数单位，则下列命题正确的是（ ） A. 若复数，则在复平面内对应的点在第四象限 B. 复数的模 C. 若，则或 D. 若复数是纯虚数，则 10. 的内角，，的对边分别为，，，则下列结论正确的有（ ） A. 若，，，则符合条件的只有一解 B. 若，，，则符合条件的只有一解 C. 若，，，则符合条件的无解 D. 若，且符合条件的有二解，则的取值范围为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（   ） A. 存在点Q，使平面MBN B. 不存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 C. 三棱锥的体积是定值，为 D. 经过C，M，B，N四点的球的表面积 三、填空题 12. 已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为__________． 13. 如图，已知用斜二测画法画出的的直观图是边长为的正三角形，原的面积为______. 14. 如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则______． 四、解答题 15. 如图，平行四边形ABCD中，，，H，M分别是AD，DC的中点，F为BC上一点，且． （1）以，为基底表示向量，，； （2）若，，与的夹角为，求和． 16. 已知圆锥的半径，母线长为． （1）求圆锥的表面积和体积； （2）如图，过AO的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积和表面积． 17. 如图，观测站在目标的南偏西方向，经过A处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距的处有一人正沿此公路向处行走，走到达处，此时测得相距． （1）求． （2）求之间的距离． 18. 如图，在正四棱锥中，分别是线段的中点，分别在线段上，且． （1）证明：四点共面． （2）证明：平面． （3）若点在线段上，且满足，试问侧棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知分别为锐角三个内角的对边，且. （1）求； （2）若； （i）求周长的取值范围. （ii）当周长最大时，设点为边的中点，点在边上（包括端点），求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $