第二章函数单元测试-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

**基本信息** 北师大版高中数学第二章函数单元卷，覆盖函数奇偶性、单调性等核心知识，通过基础巩固到创新应用的梯度设计，适配单元复习，培养抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合与函数（第1题）、奇偶性与对称性（第2题）|基础概念与性质结合，考查数学眼光| |多选|3/18|单调性判断（第9题）、周期性（第10题）|多角度辨析，培养推理意识| |填空|3/15|定义域（第12题）、二次函数解析式（第13题）|细节考查，强化数学语言表达| |解答|5/77|函数性质综合（第17题）、新定义“阶稳区间”（第19题）|分层递进，通过创新情境发展创新意识|

北师大版高中数学第二章函数单元测试 未命名 一、单选题 1．已知集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，解得，所以. ，又，所以，所以. 2．已知奇函数的图象关于直线对称，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由奇函数性质以及图象关于直线对称将转化为已知来求解. 【详解】因为是奇函数，所以. 又因为的图象关于直线对称， 所以. 已知，故， 所以. 3．已知函数若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，. 若，即，，解得. 若，即，，解得. 综上所述，. 4．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则． 5．已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原不等式转化为，再结合单调性即可得解. 【详解】因为是定义在R上的偶函数，故可转化为， 又因为在上单调递增，故，解得或，即解集为. 6．已知奇函数是定义在R上的单调函数.若正实数a，b满足，则的最小值是 （    ） A．8 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】先根据函数是奇函数及单调性得出，再应用常值代换及基本不等式计算求解最小值. 【详解】∵是定义在R上的奇函数， ∴， 又是定义在R上的单调函数，故，即． 又均为正数，所以， 当且仅当，即时等号成立，取的最小值是 8. 7．已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，得出函数的单调性，再利用函数的单调性和奇偶性解不等式. 【详解】由，可得， 设函数，，则在上单调递增， 又因为为定义在上的奇函数，，所以为偶函数， 在上单调递减，而不等式， 又因为，所以， 所以不等式的解集为. 8．已知是定义域为的偶函数，且是奇函数，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据奇偶函数的性质找到函数的周期，再根据求和的表达式找出数列的周期，从而求出数列前2026项的和. 【详解】设，因为是奇函数， 所以，即， 因为是偶函数， 所以，即， 令，则，所以， 即， 因此以4为周期， 因为是奇函数，所以，即， 因为，是偶函数， 所以， 因此，， ，， 设，则，， 因为以4为周期， 所以，即数列每8项重复一次， 当时，前8项之和为，即每8项的和都是0， 因为， 所以前2024项正好是253个完整周期，和为0，剩下两项的和为， 所以，故选项D正确. 二、多选题 9．关于函数，下列判断正确的是（ ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】AC 【分析】通过分离常数+反比例函数平移的方法，结合初中已学的反比例函数单调性规律来分析. 【详解】将整理得: , 该函数的定义域为，是由反比例函数向左平移1个单位、再向下平移1个单位得到的. 当时，随增大而递增且恒为正，随增大而递减， 因此在上单调递减，A正确、B错误. 当时，随增大而递增且恒为负，随增大而递减， 因此在上单调递减，C正确、D错误. 10．已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，均有.当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数的一个周期为4 C．当时， D． 【答案】BD 【分析】对于A，利用是定义在上的偶函数和，将转化至区间内求解.对于B，由得到，得到函数的一个周期为4对于C，利用的函数解析式，结合可以得到的函数解析式对于D，利用函数的周期性得到 【详解】当时，，则； 对于B选项，由可知， 所以，即， 故函数的一个周期为4.故B选项正确. 对于A选项，因为函数的一个周期为4， 所以， 又因为，所以，故A选项错误. 对于C选项，设，则， 所以. 所以.所以C选项错误. 对于D选项，由函数的一个周期为4，且是定义在上的偶函数可知 ， 由可知，. 由时，，且函数的一个周期为4可知， . 所以. 又因为函数的一个周期为4，所以 ， 所以 ， 故D选项正确. 11．已知函数的定义域为，且对于任意实数，恒有，当时，有，函数满足，则（ ） A． B．是 的充分不必要条件 C． D．任意， 【答案】ACD 【分析】令可判断A；设，利用，结合单调性定义得的单调性，再利用单调性解得可判断B；令得，代入已知得，根据求出的范围可判断C；结合选项C，分别求出与可判断D. 【详解】对于A，令，得， 因为时，有，所以，所以，故A正确； 对于B，设，则，所以， ， 因为 ，且，所以， 所以，所以在上是单调递增函数， 由，得，解得， 因为是的真子集，则是 的必要不充分条件，故B错误； 对于C，令，得 ，所以， 代入得， 可得 ，即， 因为，所以 ， 则 ， ，即 ，故C正确； 对于D，任意， ， ， 而 ， 因 ，所以 ， 所以，故D正确. 三、填空题 12．函数的定义域是________ 【答案】 【分析】根据分式分母不为零、偶次根式被开方数非负的要求列不等式组，求解不等式组得函数定义域. 【详解】要使函数有意义，需同时满足以下条件： ，，解得且. 因此函数的定义域为. 13．设二次函数满足，且其图象在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为，则的解析式为______. 【答案】 【分析】根据题意设二次函数的解析式，由得，由得以及，即可得出解析式. 【详解】设. 由， 得得① 设的根为， 则， 所以② 又由已知得③ 由①②③解得， 所以. 14．已知函数在区间上单调，且，则a的取值范围为___________． 【答案】 【分析】函数在 上单调，且值域仍为 .因此应按单调递增、单调递减两种情况讨论：递增时两个端点分别为不动点；递减时两个端点互相对应.再结合二次函数的单调区间确定参数范围. 【详解】函数的对称轴为 因为 ，分两种情况讨论. 情况一： 在 上单调递增. 此时 所以 是方程的两个不同实根，即 该方程的两个根为故首先需要 . 由于 在 上单调递增，区间应位于对称轴右侧，因此较小的根满足 于是即 结合 ，得 情况二： 在 上单调递减. 此时 两式相减，得 因为 ，所以 将代入 ，得 同理， 也满足该方程.因此 是方程的两个不同实根，分别为 故需要 又因为 在 上单调递减，区间应位于对称轴左侧，所以较大的根满足 于是即 结合 ，得 综上， 四、解答题 15．已知函数的图象过点和点． (1)求实数，的值； (2)求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到且，联立方程组，即可求解； （2）由函数，确定的定义域为，法一：化简函数为，令，转化为关于的方程有正实数根，求得函数的值域；法二：当时，化简，结合基本不等式和，进而求得函数的值域. 【详解】（1）由题意得，即， 解得． （2）由（1）知，所以的定义域为． 法一：由得， 令，当时，， 当时，，关于的方程有正实数根，，且，，，所以， 所以的值域为． 法二：由题意可得， 当时，， 因为，当且仅当时，取等号， 所以，即， 所以的值域为． 16．求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有 ； (3)函数是一次函数且满足 . 【答案】(1) (2) (3)或 ． 【分析】（1）用换元法，令，代入求出后即可得； （2）用替换已知式中的，然后解方程组可得； （3）设，代入已知条件求解. 【详解】（1）令，则， 所以，则． （2）∵ ，① ∴ ，② 由得 解得： ． （3）设 ，则 . 又 ，所以. 即，解得，或. 所以或 ． 17．已知函数的定义域为D，且，，使得恒成立，则称是D上的受约束函数，为的约束值． (1)判断是否是受约束函数，若是，求出约束值的最小值，若不是，请说明理由； (2)若在区间上是受约束函数，且存在约束值，求实数a的取值范围． 【答案】(1)是，3 (2) 【分析】（1）求得函数值域，即可判断； （2）由题意得到在上恒成立，通过参变分离，基本不等式求最值，即可求解． 【详解】（1）由题意可得，解得． 当时，，所以， 所以，即， 所以是上的受约束函数，且的约束值满足， 故的约束值的最小值为3． （2）因为在上是受约束函数，且存在约束值， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立，即在上恒成立． 因为，所以，所以， 当且仅当，即时，等号成立． 因为，所以，即的取值范围为． 18．已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)令， （i）证明：函数的图象是中心对称图形； （ii）设函数有三个零点，，，证明：． 【答案】(1)在区间上单调递减. 证明：设，则 ， 因为所以，，， 所以，即， 故在区间上单调递减. (2)（i）， 又定义域为，关于对称， 故曲线关于点对称；   （ii）由结合（1）易知在，，上单调递减， 函数有三个零点，则，，， 由，可得， 而，， 所以， 由，则， 则， 又，在上单调递减， 故． 【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可. （2）（i）结合函数的对称性证明即可. （ii）根据零点存在定理判断，，范围，结合函数的单调性证明即可. 【详解】（1）略 （2）略 19．对定义域为的函数，定义阶稳区间如下：若区间，满足：函数在上单调，且对任意，，恒有，则称区间为函数的一个阶稳区间．现已知分段函数（其中为常数）． (1)当时，判断区间是否为的阶稳区间，并说明理由； (2)若，求所有长度最大的有限阶稳区间； (3)若存在长度大于0的阶稳区间包含分界点，求实数的取值范围． 【答案】(1)区间是的阶稳区间，理由如下： 当时，，故， 二次函数开口向上，对称轴为，因此在上单调递增， 因为，，所以， 所以，所以， 综上，是的阶稳区间； (2) (3) 【分析】（1）当时，函数单调递增，且，则是的阶稳区间； （2）对区间，分别讨论，可得时，的所有有限长度的阶稳区间； （3）先证明内不存在任何长度大于 0 的阶稳区间，再对，对作分类讨论. 【详解】（1）略 （2）当，，在上单调递减，在上单调递增， 对于区间，在上单调递减，且 因为，，所以，所以， 所以，所以， 所以是的阶稳区间； 对于区间，在上单调递增， ， 所以，不是的阶稳区间； 综上，若，所有长度最大的有限阶稳区间； （3）（其中为常数）， 当，， 所以内不存在任何长度大于 0 的阶稳区间； 当，，二次函数开口向上，对称轴为， 所以上单调递减，上单调递增， ， 当时，在上单调递减， 因为，，所以， 所以，所以， 所以区间符合； 当时，在上单调递增， 因为，，所以， 所以，所以， 所以区间符合； 当时，对任意包含的区间， 取，足够接近（如，极小），则， 由知， 当足够小时，，即， 对应，不满足阶稳条件，因此不存在包含的阶稳区间， 所以存在长度大于0的阶稳区间包含分界点，则 ， 所以实数的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版高中数学第二章函数单元测试 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 第I卷（选择题） 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则（     ） A． B． C． D． 2．已知奇函数的图象关于直线对称，且，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 5．已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．已知奇函数是定义在R上的单调函数.若正实数a，b满足，则的最小值是 （    ） A．8 B． C．4 D． 7．已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．已知是定义域为的偶函数，且是奇函数，，则（     ） A． B． C． D． 二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．关于函数，下列判断正确的是（ ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 10．已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，均有.当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数的一个周期为4 C．当时， D． 11．已知函数的定义域为，且对于任意实数，恒有，当时，有，函数满足，则（ ） A． B．是 的充分不必要条件 C． D．任意， 第II卷（非选择题） 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12．函数的定义域是________ 13．设二次函数满足，且其图象在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为，则的解析式为______. 14．已知函数在区间上单调，且，则a的取值范围为___________． 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15．已知函数的图象过点和点． (1)求实数，的值； (2)求函数的值域． 16．求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有 ； (3)函数是一次函数且满足. 17．已知函数的定义域为D，且，，使得恒成立，则称是D上的受约束函数，为的约束值． (1)判断是否是受约束函数，若是，求出约束值的最小值，若不是，请说明理由； (2)若在区间上是受约束函数，且存在约束值，求实数a的取值范围． 18．已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)令， （i）证明：函数的图象是中心对称图形； （ii）设函数有三个零点，，，证明：． 19．对定义域为的函数，定义阶稳区间如下：若区间，满足：函数在上单调，且对任意，，恒有，则称区间为函数的一个阶稳区间．现已知分段函数（其中为常数）． (1)当时，判断区间是否为的阶稳区间，并说明理由； (2)若，求所有长度最大的有限阶稳区间； (3)若存在长度大于0的阶稳区间包含分界点，求实数的取值范围． $