预备知识、函数 综合质量检测-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

第一章《预备知识》第二章《函数》综合质量检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组函数中，表示的不是同一函数的有（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. ∪ C. 和 D. 7. 定义在上的函数满足，且由对任意都有，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若幂函数在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，若集合，则的值为_________. 13. 已知命题：“，”为假命题，则实数的取值范围为________. 14. 已知，且，则的最小值是__________. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 16. 若关于x的不等式的解集是． （1）解关于x的不等式； （2）若关于x的不等式的解集为，求实数b的取值范围． 17. 2024年10月29日，小米SU7Ultra量产版正式面世，代表了我国新能源汽车的蓬勃发展.如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系.某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产（千辆）获利（万元），关系如下：，该公司预计2024年全年其他成本总投入为万元.由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求.记2024年的全年利润为（单位：万元）. （1）求函数的解析式； （2）当2024年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求，的值； （2）用定义法证明函数在上的单调性，并求出值域； （3）设，若，，都有恒成立，求实数的取值范围． 19. 俄国数学家切比雪夫（1821—1894）是研究直线逼近函数的理论先驱．对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数的最大值称为的“偏差”． （1）函数，求的“偏差”； （2）函数，若的“偏差”为2，求的值； （3）函数，当的“偏差”取最小值时，求的值，并求出“偏差”的最小值． ( 第 1 页 共 11 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章《预备知识》第二章《函数》综合质量检测 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D A B B C C D AD CD ABD 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【解析】B 因为，， 所以. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【解析】D 命题“”的否定是“”. 3. 下列各组函数中，表示的不是同一函数的有（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【解析】A 对于A，的定义域为，的定义域为，故不满足，错误； 对于B，与的定义域为，且，满足同一函数定义，正确； 对于C，与的定义域为，且，满足同一函数定义，正确； 对于D，与定义域为，对应关系相同，满足同一函数定义，正确. 4. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】B 由得． 若，则成立，故“”是“”的必要条件； 若，则不一定成立，故“”不是“”的充分条件． 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【解析】B 由题意，解得且． 所以定义域为． 6. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. ∪ C. 和 D. 【解析】C ， 函数图象如图所示， 由图可知函数的递增区间为和. 7. 定义在上的函数满足，且由对任意都有，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】C 因为，所以函数的图象关于直线对称， 又对任意的，，都有， 所以在上单调递增， 若，则， 解得， 即的取值范围是. 8. 函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【解析】D 由题知，， 且当时，， 当时，， 则， 当时，， 则， 如图，的部分草图如下， 所以当时，令，解得或， 则对任意，都有，可得，即m的最大值为. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【解析】AD 原不等式等价于， 根据正负讨论，当时，解集为，则成立； 当时解集中没有0，不合题意， 时，解集不可能为不合题意. 故. 10. 若幂函数在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 【解析】CD 因为是幂函数， 所以，解得或， 当时，，则在上单调递减，舍去； 当时，，则在上单调递增，满足题意； 所以，故，故AB错误，CD正确. 11. 已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【解析】ABD 因为函数的定义域为为偶函数，为奇函数， 所以，， 所以，，故：B正确，C错误； 所以，即 所以，即函数是周期函数，周期为， 根据，令得，故A正确； 根据，令得，故D正确. 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，若集合，则的值为_________. 【解析】，，，，即， ，当时，或， 当时，不符合元素的互异性，故舍去， 当时，，不符合元素的互异性，故舍去， 综上，， ， . 13. 已知命题：“，”为假命题，则实数的取值范围为________. 【解析】命题：“，”为假命题， 则“，”为真命题， 当时，不成立， 当时，在上单调递增， 则当，，解得（舍去）， 当时，在上单调递减， 则当，，解得， 综上：实数的取值范围为. 14. 已知，且，则的最小值是__________. 【解析】因为，所以， 由可得， 则 当且仅当，即时取等， 所以的最小值是. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 【解析】（1）当时，，所以. 所以. （2）因为，所以. 所以，解得， 所以m的取值范围是. 16. 若关于x的不等式的解集是． （1）解关于x的不等式； （2）若关于x的不等式的解集为，求实数b的取值范围． 【解析】（1）由题意知，是方程的两个根， 则，则. 则不等式为， 则，所以解集为；. （2）因为关于x的不等式的解集为，由（1）， 所以关于x的不等式的解集为， 所以当时，解集为，符合题意； 当时，，所以； 所以实数b的取值范围是. 17. 2024年10月29日，小米SU7Ultra量产版正式面世，代表了我国新能源汽车的蓬勃发展.如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系.某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产（千辆）获利（万元），关系如下：，该公司预计2024年全年其他成本总投入为万元.由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求.记2024年的全年利润为（单位：万元）. （1）求函数的解析式； （2）当2024年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由. 【解析】（1）依题意，，而， 所以函数的解析式为， 即. （2）当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，； 当时， ，当且仅当，即时取等号， 而，则当时，， 所以当2024年产量为4千辆时，该企业利润最大，最大利润是480万元. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求，的值； （2）用定义法证明函数在上的单调性，并求出值域； （3）设，若，，都有恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为是定义在的奇函数，所以，即， 所以，又，所以，解得.所以. （2）由（1）可知，设， 则，因为，所以，，， 所以． 所以函数在上单调递增．所以的最小值为，最大值为， 所以函数在上的值域为． （3）由（2）可得，， 所以要使得对任意的，对任意的，成立， 只需要对任意的，即可，所以问题可转化为：当时，恒成立． ①若，则在上为增函数， 由， 又因为，所以 ②若，则，此时在上恒成立； ③若，则在上为减函数， 由. 又因为 ，所以 综上可知：．即实数k的取值范围是 19. 俄国数学家切比雪夫（1821—1894）是研究直线逼近函数的理论先驱．对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数的最大值称为的“偏差”． （1）函数，求的“偏差”； （2）函数，若的“偏差”为2，求的值； （3）函数，当的“偏差”取最小值时，求的值，并求出“偏差”的最小值． 【解析】（1）----2分 因为，所以， 则，. 所以函数与的“偏差”为. （2）令， ∵，∴是单调减函数，∴ 由题意，，，且. 当，即时，，解得或，均不符合； 当，即时，，或， 解得或（舍） 所以. （3）， 因为，所以， 由，则， 令，即，解得， 故当且仅当时，有. 故当的值为时，函数与的“偏差”取最小值. ( 第 1 页 共 11 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $