2026年九年级数学秋季开学学情自测卷（广东省专用，新教材人教版）

**基本信息** 聚焦八下及九上起始内容，通过智能头盔销售、菱形折纸等真实情境与探究问题，考查数学抽象、几何直观及模型意识，适配开学学情诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次根式、勾股数、函数图像|基础概念辨析，如最简二次根式判断| |填空题|5/15|加权平均数、一元二次方程定义|结合建团演讲等情境，考查数据意识| |解答题（一）|3/24|二次根式运算、平行四边形性质|基础运算与推理，如平行四边形对角线性质证明| |解答题（二）|3/27|增长率、二次函数面积最值|智能头盔利润计算，体现模型意识| |解答题（三）|2/24|一次函数平均变化率、菱形折叠|折纸探究中渗透空间观念与创新意识|

( ) ( 学校 __________________ 班级 __________________ 姓名 __________________ 准考证号 __________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2026年九年级数学秋季开学学情自测卷 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 3 0 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 三 、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11 ． ____________________ 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ 14 ． ____________________ 15 ． ____________________ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 四 、解答题 （ 二）： 本大题共 3 小题， 每小题 9 分，共 27 分 ． 19 ．（ 8 分） 20 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 五 、解答题 （三）： 本大题共 2 小题， 第 22 小题 12 分，第 23 小题 12 分，共 24 分 ． 22 ．（ 12 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级数学秋季开学学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教版八下全部+九上第一，二章 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列关于的方程中是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．7，8，10 B．7，24，25 C．1，，2 D．5，10，13 4．一组数据的方差为，则该组数据的总和是（   ） A． B． C． D． 5．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 6．将抛物线的图象向左平移个单位后，所得抛物线经过点，则等于（     ） A． B． C． D． 7．已知一元二次方程的两根为，，则的值为（     ） A． B． C．8 D．2 8．下列选项中，逆命题正确的是（     ） A．矩形的对角线互相平分 B．菱形的对角线互相垂直 C．平行四边形的两组对边分别相等 D．正方形的对角线相等 9．一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．当时， D．不等式解集是 10．如图，在中，，，分别是斜边上的高和中线，下列结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演进比赛，其演讲形象、内容、效果三项得分分别是9分，8分，8分．若将三项得分依次按3∶4∶3的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为__________分． 12．关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 13．正比例函数的图象经过点，则a=______． 14．二次函数（a，b，c为常数，）中，x与y的部分对应值如表： x … 0 3 … y … n 2 n … 若，且点，在该二次函数的图象上，则_______．（填“>”“<”或“=”） 15．如图，在正方形中，对角线，相交于点，，分别为，上的一点，且，连接，，，若，则的度数为_________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16．（本题满分8分） 计算： (1)； (2)． 17．（本题满分8分） 如图，是的对角线，，，垂足分别为、，求证：． 18．（本题满分8分） 一个一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的解析式； (2)在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象，并判断说明点是否在该函数图象上． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19．（本题满分9分） 智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模块的安全防护+智能穿戴设备，逐渐被电动车、摩托车等骑行爱好者喜欢．某品牌智能头盔专卖店统计了2026年第二季度（4月至6月）该品牌智能头盔的销量情况：4月份销售150个，6月份销售216个． (1)求该店该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； (2)该智能头盔的进价为300元/个，市场调研发现：当售价为400元/个时，月销售量为60个；若售价在此基础上每上涨2元/个，则月销售量将减少1个．为响应政府“安全骑行、惠民利民”的号召，该专卖店希望在月销售利润达到6032元的同时，尽可能让市民享受实惠．请问该品牌智能头盔的实际售价应定为每个多少元？ 20．（本题满分9分） 如图，抛物线与轴相交于，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点为抛物线上第一象限内一动点，当面积最大时，求点的坐标． 21．（本题满分9分） 如图，在菱形中，对角线与相交于点，延长至点，使得，连接． (1)尺规作图：作边的中点，并分别连接，（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：四边形是矩形； (3)若，，求菱形的面积． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题12分，第23小题12分，共24分． 22．（本题满分12分） 【阅读材料】 某学习小组在研究物体直线运动时发现：在特定条件下路程与时间的关系可以用一次函数来描述．他们定义了一个“平均变化率”的概念，用来描述运动的“快慢均匀性”：设路程是时间的一次函数，取自变量取值范围内的两个不同值，对应的路程，，则比值称为在与之间的平均变化率． (1)【基础验证】①已知一次函数，取，，其平均变化率为_____；再取，，其平均变化率为_____； ②得出结论：我们得出对于任意一次函数（），其图象上任意两点，的平均变化率_____． (2)【核心突破】小组进一步发现：已知直线过点，，直线过点，，且． ①记直线的平均变化率为，记直线的平均变化率为，求的值； ②结论：均不与坐标轴平行的两条直线互相垂直时，平均变化率之积为定值，定值为_____． (3)【拓展应用】如图，平面直角坐标系中、，连接，以为直角边在第二象限内作等腰，过点作直线交轴于点． ①求的面积； ②若点为平面内一点，当以D，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标． 23．（本题满分12分） 数学活动课上，同学们以菱形纸片开展“折纸”活动．已知． (1)如图，折叠后，使点落在对角线上的点处，得到折痕，连接．证明：； (2)如图，折叠后，使点落在边上的点处，折痕与对角线交于点处，连接，，． ①求的度数； ②若菱形的边长为，则的周长是否存在最小值？若存在，求最小值；若不存在，说明理由. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年九年级数学秋季开学学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教版八下全部+九上第一，二章 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列关于的方程中是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．7，8，10 B．7，24，25 C．1，，2 D．5，10，13 4．一组数据的方差为，则该组数据的总和是（   ） A． B． C． D． 5．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 6．将抛物线的图象向左平移个单位后，所得抛物线经过点，则等于（     ） A． B． C． D． 7．已知一元二次方程的两根为，，则的值为（     ） A． B． C．8 D．2 8．下列选项中，逆命题正确的是（     ） A．矩形的对角线互相平分 B．菱形的对角线互相垂直 C．平行四边形的两组对边分别相等 D．正方形的对角线相等 9．一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．当时， D．不等式解集是 10．如图，在中，，，分别是斜边上的高和中线，下列结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演进比赛，其演讲形象、内容、效果三项得分分别是9分，8分，8分．若将三项得分依次按3∶4∶3的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为__________分． 12．关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 13．正比例函数的图象经过点，则a=______． 14．二次函数（a，b，c为常数，）中，x与y的部分对应值如表： x … 0 3 … y … n 2 n … 若，且点，在该二次函数的图象上，则_______．（填“>”“<”或“=”） 15．如图，在正方形中，对角线，相交于点，，分别为，上的一点，且，连接，，，若，则的度数为_________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16．（本题满分8分） 计算： (1)； (2)． 17．（本题满分8分） 如图，是的对角线，，，垂足分别为、，求证：． 18．（本题满分8分） 一个一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的解析式； (2)在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象，并判断说明点是否在该函数图象上． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19．（本题满分9分） 智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模块的安全防护+智能穿戴设备，逐渐被电动车、摩托车等骑行爱好者喜欢．某品牌智能头盔专卖店统计了2026年第二季度（4月至6月）该品牌智能头盔的销量情况：4月份销售150个，6月份销售216个． (1)求该店该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； (2)该智能头盔的进价为300元/个，市场调研发现：当售价为400元/个时，月销售量为60个；若售价在此基础上每上涨2元/个，则月销售量将减少1个．为响应政府“安全骑行、惠民利民”的号召，该专卖店希望在月销售利润达到6032元的同时，尽可能让市民享受实惠．请问该品牌智能头盔的实际售价应定为每个多少元？ 20．（本题满分9分） 如图，抛物线与轴相交于，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点为抛物线上第一象限内一动点，当面积最大时，求点的坐标． 21．（本题满分9分） 如图，在菱形中，对角线与相交于点，延长至点，使得，连接． (1)尺规作图：作边的中点，并分别连接，（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：四边形是矩形； (3)若，，求菱形的面积． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题12分，第23小题12分，共24分． 22．（本题满分12分） 【阅读材料】 某学习小组在研究物体直线运动时发现：在特定条件下路程与时间的关系可以用一次函数来描述．他们定义了一个“平均变化率”的概念，用来描述运动的“快慢均匀性”：设路程是时间的一次函数，取自变量取值范围内的两个不同值，对应的路程，，则比值称为在与之间的平均变化率． (1)【基础验证】①已知一次函数，取，，其平均变化率为_____；再取，，其平均变化率为_____； ②得出结论：我们得出对于任意一次函数（），其图象上任意两点，的平均变化率_____． (2)【核心突破】小组进一步发现：已知直线过点，，直线过点，，且． ①记直线的平均变化率为，记直线的平均变化率为，求的值； ②结论：均不与坐标轴平行的两条直线互相垂直时，平均变化率之积为定值，定值为_____． (3)【拓展应用】如图，平面直角坐标系中、，连接，以为直角边在第二象限内作等腰，过点作直线交轴于点． ①求的面积； ②若点为平面内一点，当以D，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标． 23．（本题满分12分） 数学活动课上，同学们以菱形纸片开展“折纸”活动．已知． (1)如图，折叠后，使点落在对角线上的点处，得到折痕，连接．证明：； (2)如图，折叠后，使点落在边上的点处，折痕与对角线交于点处，连接，，． ①求的度数； ②若菱形的边长为，则的周长是否存在最小值？若存在，求最小值；若不存在，说明理由. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $: 2026年九年级数学秋季开学学情自测卷 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 注意事项： 舒 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 : 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：人教版八下全部+九上第一，二章 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 : : 要求的。 1.下列式子中，属于最简二次根式的是() A.√0.5 B.4 c.6 D.√⑧ 2.下列关于x的方程中是一元二次方程的是() A.x2+5x-2=0B.3.x+1=0 C.3 D.x-5y=6 3.下列各组数中，是勾股数的是() A.7,8,10 B.7,24,25 C.1,√3,2 D.5,10,13 .: 4.一组数据的方差为G-到+g-0+华9+（化一4+化-4少门，则该组数据的总和是(） 斟 A.5 B.4 C.30 D.20 5.在同一坐标系内，二次函数y=ax2+5x+b的图象与一次函数y=+b可能是() : : 区 D. : : : .: 6.将抛物线y=x2-1(a≠0)的图象向左平移2个单位后，所得抛物线经过(1，-4)点，则a等于() A. B.-1 C.-3 D.-5 试题第1页（共6页） : 6学科网·上好课 7.已知一元二次方程x2-3x-5=0的两根为x,x,则5-x-x的值为() A.-8 B.-2 C.8 D.2 8.下列选项中，逆命题正确的是() A.矩形的对角线互相平分 B.菱形的对角线互相垂直 C.平行四边形的两组对边分别相等 D.正方形的对角线相等 9.一次函数片=+b与乃，=x+a的图象如图所示，则下列结论正确的是() y,=x+a OD 3 y=kx+b A.k>0 B.a>0 C.当x=2时，=3 D.不等式c+b2x+a解集是x≤3 10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD,CE分别是斜边AB上的高和中线，下列结论中，错误的是() B A.AB=2CEB.∠ACD=∠ECBC.ECB=∠DCED.∠A=∠BCD 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演进比赛，其演讲形象、内容、效果三项得分分别是9分， 8分，8分.若将三项得分依次按3：43的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为」 分 12.关于x的方程(m+3)xm-1+x-1=0是一元二次方程，则m为 13.正比例函数y=r的图象经过点(1,3)，则a= 14.二次函数y=r2+bx+c(a,b,c为常数，a<0)中，x与y的部分对应值如表： 0 3 2 若>0，且点A(m,出)，B(m+2,y2)在该二次函数的图象上，则y2.(填“>”“<”或“=”) 15.如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,E,F分别为AC,BD上的一点，且OE=OF, 连接AF,BE,EF,若∠AFE=25°，则∠CBE的度数为 试题第2页（共6页） o6学科网·上好课 B 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分 16.(本题满分8分) 计算： (1)√72+V8: 2v7÷v4x5 17.(本题满分8分) 如图，BD是口ABCD的对角线，AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F,求证：AE=CF. A 18.(本题满分8分) 一个一次函数的图象经过点(-4,9)和(6,4). 3 1 -4-3-2-10 1234 -2 -3 A (1)求这个一次函数的解析式； (2)在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象，并判断说明点(3,2)是否在该函数图象上 试题第3页（共6页） 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19.(本题满分9分) 智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模块的安全防护+智能穿戴设备，逐渐被电动车、 摩托车等骑行爱好者喜欢.某品牌智能头盔专卖店统计了2026年第二季度(4月至6月)该品牌智能头盔 的销量情况：4月份销售150个，6月份销售216个 & (1)求该店该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； (2)该智能头盔的进价为300元/个，市场调研发现：当售价为400元/个时，月销售量为60个：若售价在此 基础上每上涨2元/个，则月销售量将减少1个.为响应政府“安全骑行、惠民利民”的号召，该专卖店希望 在月销售利润达到6032元的同时，尽可能让市民享受实惠.请问该品牌智能头盔的实际售价应定为每个 % 多少元？ 游 20.(本题满分9分) 如图，抛物线y=x2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C(0,3). B 世 (1)求抛物线的解析式： (2)连接BC,点P为抛物线上第一象限内一动点，当△BCP面积最大时，求点P的坐标 试题第4页（共6页） 21.(本题满分9分) 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,延长BC至点E,使得CE=BC,连接DE. (1)尺规作图：作边DE的中点F,并分别连接CF,OF(不写作法，保留作图痕迹)： (2)求证：四边形OCFD是矩形： (3)若∠BCD=120°，OF=4,求菱形ABCD的面积. O : : .: 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题12分，第23小题12分，共24分. 22.(本题满分12分) 常 O 【阅读材料】 某学习小组在研究物体直线运动时发现：在特定条件下路程与时间的关系可以用一次函数来描述.他们定 义了一个“平均变化率”的概念，用来描述运动的“快慢均匀性”：设路程y是时间x的一次函数，取自变量x 桨 取值范围内的两个不同值，飞对应的路程”，为，则比值二4称为y在飞与无之间的平均变化率. X- (1)【基础验证】①已知一次函数y=2x+1,取，=0,6=1，其平均变化率为；再取3=-2，x4=-1, : 其平均变化率为一： O O ②得出结论：我们得出对于任意一次函数y=ax+b(k≠0)，其图象上任意两点(5，)，(x2,乃)的平均 : 变化率凸当。 : x3-x1 : (2)【核心突破】小组进一步发现：已知直线AB过点A(3,3),B(4,6),直线AC过点A(3,3),C(6,2),且 女 区 AB⊥AC, : ①记直线AB的平均变化率为kAB,记直线AC的平均变化率为k4c,求kAs·kAc的值； : ②结论：均不与坐标轴平行的两条直线互相垂直时，平均变化率之积为定值，定值为」 试题第5页（共6页） : .: 6学科网·上好课 (3)【拓展应用】如图，平面直角坐标系中D(4,O)、E(0,3),连接DE,以DE为直角边在第二象限内作 等腰Rt△DEF,过点F作直线I⊥DF交y轴于点M. M ①求△MEF的面积： ②若点N为平面内一点，当以D,E,M,N为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点N的坐标. 23.(本题满分12分) 数学活动课上，同学们以菱形ABCD纸片开展“折纸”活动.己知∠ABC=60°. 图1 图2 (1)如图1，折叠后，使点C落在对角线BD上的点E处，得到折痕BF,连接EF.证明：∠EFC=90°； (2)如图2，折叠后，使点C落在边AD上的点M处，折痕与对角线BD交于点N处，连接CM,CN,MN. ①求NC的度数： ②若菱形ABCD的边长为6，则△CMN的周长是否存在最小值？若存在，求最小值；若不存在，说明理由. 试题第6页（共6页）函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026年九年级数学秋季开学学情自测卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合 题目要求的.将唯一正确的答案填涂在答题卡上， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C A B D C A A C D C 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.8.3 12.3 13.3 14.> 15.65° 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分 16. (本题满分8分) 【答案】(1)8√2 2月 【详解】(1)解：V72+V⑧ =6√2+2W2 =8V2; 2)解：V万÷4 2 72 14×2 -2x2 22 1 17.(本题满分8分) 1 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】 证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD.AB‖CD .∠ABE=∠CDF, :AE⊥BD,CF⊥BD, .∠AEB=∠CFD=90°， 在△ABE和△CDF中， [∠AEB=∠CFD ∠ABE=∠CDF AB=CD .△ABE≌△CDF(AAS) .AE=CF 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用；解题的关键是 证明△ABE≌△CDF」 18.(本题满分8分) 【答案】y=2x+7: (2)图象如图所示： yA 9 8 6 5 4 32 -3-2-1@12345678910111213146x 点(3,2)不在该函数图象上 【详解】(1)解：设这个一次函数的解析式为y=c+b(k≠0)， :函数的图象经过点（4,9)和(6,4)， 2 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 k=- 「-4k+b=9 解得 2 6k+b=4 b=7 :.这个一次函数的解析式为y= +7 1 (2)解：图略： 把x=3代入解析式：y= 2x3+7= ≠2， 2 2 所以点(3,2)不在该函数图象上. 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19.(本题满分9分) 【答案】(1)20% (2)404元 【详解】(1)解：设该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为x,由题意得 150(1+x)2=216 解得：(1+x)2=1.44 1+x=±1.2 即1+x=1.2或1+x=-1.2 x=0.2=20%,x3=-2.2(不合题意，舍去) 答：该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为20%. (2)解：设该品牌智能头盔的实际售价定为每个y元，由题意得： 0-30)60-y-400×1） =6032 2 解得=416,2=404， 要尽可能让顾客得到实惠， .该品牌智能头盔的实际售价应定为每个404元. 20.(本题满分9分) 【答案】(1)y=-x2+2x+3 aP3》 3 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：：抛物线y=ar+br+c(a≠0)与x轴相交于A(-l,0),B(3,0),与y轴交于点C(0,3), a-b+c=0 a=-1 9a+3b+c=0,解得b=2 c=3 c=3 ∴.抛物线的解析式是y=-x2+2x+3: (2)解：如图，连接PC,PB,过点P作PH∥y轴交BC于H, 设直线BC的表达式为y=a+t(k≠O), 「3k+t=0 「k=-1 将B3,0)c(0,3)代入，得=3，解得=3， ∴直线BC的表达式为y=-x+3, 设P(m,-m2+2m+3),则H(m,-m+3),0<m<3, :.PH=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m, 8mm%)广4-引g. 3 2 <0,0<m<3 当四-时，5n最大，此时+2+3 +2x3+3=15 2 4 315 ·当。BCp面积最大时，点p的坐标为24 21.(本题满分9分) 【答案】(1)如图所示，点F及线段CF,OF即为所求. 4 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B E (2)证明：在△BDE中，CE=BC,点F为DE的中点， ∴CF∥BD, CF3BD 四边形ABCD是菱形， ，∠COD=90°· ..CF=OD, 又CF∥OD」 ∴.四边形OCFD为平行四边形. ∠C0D=90°， ∴OCFD是矩形. 3)8V5 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：四边形OCFD是矩形， ∴.CD=OF=4 四边形ABCD是菱形， ∴.BC=CD=4」 .∠BCD=120°， .∠DCE=180°-∠BCD=60° 如图，作DG⊥BE于点G. A D 在 中， G E RtADCG ∠CDG=90°-∠DCG=30° 1 .CG=二CD=2 5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DG=VCD2-CG2=V42-22=25 ·S菱形ABcD=BC·DG=4×2V3=8V5 五、解答题（三)：本大题共2小题，第22小题12分，第23小题12分，共24分. 22.(本题满分12分) 【答案】(1)①2,2；②k (2)①-1；②-1 a@得@4)度4)支N 【详解】(1)解：①当=0时，=2×0+1=1，当为=1时，2=2×1+1=3， 共平变化年为。2。 当x=-2时，y=2×(-2)+1=-3,当x=-1时，=2×(-1)+1=-1， -1-（3)-2 其平均变化率为-1-（-2) ②当x=x时，片=+b,当x=时，乃2=a,+b, ∴平均变化率为： 当-出 X2-x1 kx2+b-(kx+b) x2-x1 =2+b-c-b x2-x k(x2-x) x2-X1 =k; 2-31 (2)解：①kB 6-3=3、kxc 4-3 6-33 ②由①知，kAB'kac=-1,且AB⊥AC, ∴.两条垂直且不平行坐标轴的直线平均变化率乘积为定值-1； 6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：①过点F作FH⊥y轴于点H,则∠FHM=90°， E 为等腰直角三角形， :D(-4,0)E(0,3)ADEF ∴OD=4=4、OE=3、DE=EF、∠DEF=90°， ∴.∠DEO+∠FEH=90°， ∠HFE+∠FEH=90°， ∠HFE=∠OED, 在△FHE和△EOD中， ∠FHE=∠EOD ∠HFE=∠OED EF=DE ∴△FHE≌△EOD(AAS)」 ∴.FH=OE=3、EH=OD=4, .OH=EH+OE=4+3=7, F(-37）, 7-0 .ke=3-(4) =7 由(2)知，均不与坐标轴平行的两条直线互相垂直时，平均变化率之积为1， 直线I⊥DF, ..kprk =-1, k=7: 1 设点M(0,m)」 m-7 1 0-7 7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 46 解得：m= 7 EM=46-3=25 71 7 1 :.S.EFM= EMXFH1 27 3=75 14: ②设点V(p,9),分情况讨论： (i)如图，当以DM为对角线时： M D形 46 4 7 则 的中点坐标为 2’2 的中点坐标为（卫3+9， DM EN 2’2 p=-4 46 3+q= 1 p=-4 解得： 25 97 W》。 (iⅱ)如图，当以DE为对角线时： 8 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F M D 则 的中点坐标为 -43 的中点坐标为 卫7 22 22 DE NM p=-4 46 7 +9=3 p=-4 解得： 9=- > 25 N4-9)月 (iii)如图，以EM为对角线时： VA M-- E D x 346 67 7 则 的中点坐标为 0 p 0 EM D 的点堡标为（引 9 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -4+p=0 67, /9 7 p=4 解得： 7 97 综上所述， 点y的坐标为N4)成4)成N) 23.(本题满分12分) 【答案】(1)证明：在菱形ABCD中，∠ABC=6O°，BD平分∠ADC,AB∥DC, ∠D8C=Aac-×60-30,ZB0CD=180r-∠ABC=180-60°=120 又由翻折可知，∠BEF=∠BCF-120° 在四边形BCFE中，∠EFC=360°-∠DBC-∠BCD-∠BEF=360°-30°-120°-120°=90° (2①∠MNC=120°；②存在，理由如下： 由NM=NC,∠MNC=120°， 得∠MC=∠NCM-80-∠MNC)=30. 过点N作K⊥MC于点K, A M D B .CM=2CK NK-1NC cK中，定理得C欧=c-c-=c, 在 ∴.CM=2CK=V3NC, :CACAIN=NC+CM+MN=NC+NC+3NC=(2+3)NC 故当NC最小时，△CMN的周长最小， 10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即NC⊥BD时，△CMN的周长最小， 此时，在RtABCN中，∠CBD=30°， :NC=-BC=1x6=3, 2 2 '.CACIN=(2+3)NC=6+3/3 【详解】(1)略 (2)解：①如图，过点N作NP⊥AD于点卫，作N№LCD于点Q, APM D B .∠NPD=∠NQD=90° 在菱形ABCD中，∠ADC=∠ABC=60°，BD平分∠ADC :NP=NO, 又由翻折可知，NM=NC, 在RtAMNP和RiACN№中， 「NM=NC 由NP=Ng' ·.Rt△MNP≌Rt△CNO(HL), ∴.∠PNM=∠QNC ∴.∠PWM+∠MWQ=∠QWC+∠MWQ 即∠PNQ=∠MNC」 又：在四边形PDQN中， ∠PWQ=360°-∠NPD-∠NQD-∠ADC=360°-90°-90°-60°=120°， 即∠MNC=∠PWQ=120° ②略 11 2026年九年级数学秋季开学学情自测卷 数学•全解全析 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项不是最简二次根式，不符题意； B、，则此项不是最简二次根式，不符题意； C、是最简二次根式，则此项符合题意； D、，则此项不是最简二次根式，不符题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题关键．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2．下列关于的方程中是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断各选项即可，一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程． 【详解】解：一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程． ∵ 选项A 满足一元二次方程的所有条件，是一元二次方程； 选项B 未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； 选项C 分母含有未知数，不是整式方程，不符合要求； 选项D 含有和两个未知数，是二元一次方程，不符合要求． 3．下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．7，8，10 B．7，24，25 C．1，，2 D．5，10，13 【答案】B 【分析】根据勾股数的定义，勾股数是满足两个较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数，利用勾股定理的逆定理逐一判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴7，8，10不是勾股数； B、∵，， ，且三个数均为正整数， ∴7，24，25是勾股数； C、∵不是正整数， ∴1，，2不是勾股数； D、∵，， ∴， ∴5，10，13不是勾股数． 4．一组数据的方差为，则该组数据的总和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方差的公式可以得到平均数，用平均数乘上这组数据的个数即可得解．本题考查方差公式的定义与意义，从方差的公式可以得到平均数是解题的关键． 【详解】由方差公式可知，数据组的平均数为4．数据个数为5，因此总和为平均数乘以个数，即． 故选：D． 5．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数和二次函数的解析式，分析、的符号以及对称轴的位置，结合图象特征进行判断；首先由两个函数解析式可知，它们与轴的交点均为，即交于轴上同一点；其次根据的符号判断抛物线的开口方向；最后根据对称轴公式判断对称轴位置． 【详解】解：由一次函数与二次函数中常数项均为，两个函数图象与轴的交点均为，即交于轴上同一点， 观察图象，选项中两个图象与轴交点不同，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右下降，则，二次函数图象开口向上，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，二次函数图象开口向下，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，与轴交于正半轴，则；二次函数图象开口向上，则，与轴交于正半轴，则；且二次函数对称轴为直线， ∵， ∴，对称轴在轴左侧，符合图象特征． 6．将抛物线的图象向左平移个单位后，所得抛物线经过点，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线平移规律得到平移后的解析式，代入已知点坐标列方程求解的值即可． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位后，所得解析式为， 将代入解析式，得，解得． 7．已知一元二次方程的两根为，，则的值为（     ） A． B． C．8 D．2 【答案】A 【分析】利用一元二次方程求根公式得到两根，计算出两根之和与两根之积，再变形所求代数式代入计算即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，其中 ，，， 则 ，， 故 ． 8．下列选项中，逆命题正确的是（     ） A．矩形的对角线互相平分 B．菱形的对角线互相垂直 C．平行四边形的两组对边分别相等 D．正方形的对角线相等 【答案】C 【分析】是先将每个选项原命题的条件和结论互换得到逆命题，再根据特殊四边形的判定定理判断逆命题的真假，即可得到答案. 【详解】解：A、原命题的逆命题为：对角线互相平分的四边形是矩形； ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，∴逆命题错误； B、原命题的逆命题为：对角线互相垂直的四边形是菱形； ∵只有对角线互相垂直且互相平分的四边形才是菱形，仅垂直无法判定，∴逆命题错误； C、原命题的逆命题为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ∵这是平行四边形的判定定理，该命题成立，∴逆命题正确，符合要求； D、原命题的逆命题为：对角线相等的四边形是正方形； ∵矩形的对角线也相等，不一定是正方形，∴逆命题错误. 9．一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．当时， D．不等式解集是 【答案】D 【分析】直接根据图象，逐一进行判断即可. 【详解】解：由图象可知，，故选项A，B错误； 当时，，故选项C错误； 不等式解集是，故选项D正确. 10．如图，在中，，，分别是斜边上的高和中线，下列结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，根据以上知识逐一分析各选项即可. 【详解】解：∵， 是斜边上的中线， ∴， ∴，，A正确，不符合题意， ∵是斜边上的高， ∴， ∴，故B正确，不符合题意， ∵不一定等于， 是斜边上的高， ∴不一定等于， ∴不一定正确，故C符合题意， ∵， ∴，故D正确不符合题意， 故选：C 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演进比赛，其演讲形象、内容、效果三项得分分别是9分，8分，8分．若将三项得分依次按3∶4∶3的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为__________分． 【答案】8.3 【分析】按三项得分的比例列代数式再计算即可． 【详解】解：由题意得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是加权平均数的含义，掌握“求解加权平均数的方法”是解本题的关键． 12．关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 【答案】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 13．正比例函数的图象经过点，则a=______． 【答案】3 【分析】本题考查了求正比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键． 将点代入正比例函数计算即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， ∴， 故答案为：3． 14．二次函数（a，b，c为常数，）中，x与y的部分对应值如表： x … 0 3 … y … n 2 n … 若，且点，在该二次函数的图象上，则_______．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】先根据表格中与的函数值相等求出二次函数的对称轴，再结合判断开口方向，通过比较两点到对称轴的距离大小，即可判断与的大小关系． 【详解】解：由表格可知，当和时，y值相等， 因此二次函数的对称轴直线为． 因为， 所以抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小． 点到对称轴直线的距离为，点到对称轴直线的距离为． 因为， 所以． 当时，，则，即． 当时，，则，即． 因此点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，可得． 15．如图，在正方形中，对角线，相交于点，，分别为，上的一点，且，连接，，，若，则的度数为_________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质得到为等腰直角三角形，进而得到，，通过证明，得到，进而得到． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16．（本题满分8分） 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．（本题满分8分） 如图，是的对角线，，，垂足分别为、，求证：． 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， 在和中， ， ∴≌， ∴． 【分析】根据平行四边形的性质得出，，根据平行线的性质得出，求出，根据推出 ≌，得出对应边相等即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用；解题的关键是证明 ≌． 18．（本题满分8分） 一个一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的解析式； (2)在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象，并判断说明点是否在该函数图象上． 【答案】(1)； (2)图象如图所示： 点不在该函数图象上． 【分析】（1）待定系数法求解即可； （2）根据关系式画出图象，把点的坐标代入函数关系式验证即可． 【详解】（1）解：设这个一次函数的解析式为， 函数的图象经过点和，    解得 这个一次函数的解析式为． （2）解：图略； 把代入解析式：， 所以点不在该函数图象上． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19．（本题满分9分） 智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模块的安全防护+智能穿戴设备，逐渐被电动车、摩托车等骑行爱好者喜欢．某品牌智能头盔专卖店统计了2026年第二季度（4月至6月）该品牌智能头盔的销量情况：4月份销售150个，6月份销售216个． (1)求该店该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； (2)该智能头盔的进价为300元/个，市场调研发现：当售价为400元/个时，月销售量为60个；若售价在此基础上每上涨2元/个，则月销售量将减少1个．为响应政府“安全骑行、惠民利民”的号召，该专卖店希望在月销售利润达到6032元的同时，尽可能让市民享受实惠．请问该品牌智能头盔的实际售价应定为每个多少元？ 【答案】(1) (2)404元 【分析】（1）设该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）设该品牌智能头盔的实际售价定为每个y元，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，由题意得 解得： 即或 （不合题意，舍去） 答：该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为． （2）解：设该品牌智能头盔的实际售价定为每个y元，由题意得： 解得，， 要尽可能让顾客得到实惠， 该品牌智能头盔的实际售价应定为每个404元． 20．（本题满分9分） 如图，抛物线与轴相交于，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点为抛物线上第一象限内一动点，当面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，，过点P作轴交于H，先求得直线的表达式为，设，则，，可得，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于，与轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式是； （2）解：如图，连接，，过点P作轴交于H， 设直线的表达式为， 将，代入，得，解 得， ∴直线的表达式为， 设，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，最大，此时， ∴当面积最大时，点的坐标为． 21．（本题满分9分） 如图，在菱形中，对角线与相交于点，延长至点，使得，连接． (1)尺规作图：作边的中点，并分别连接，（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：四边形是矩形； (3)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)如图所示，点F及线段，即为所求． (2)证明：在中，，点F为的中点， ，． 四边形是菱形， ，． ， 又， 四边形为平行四边形． ， 是矩形． (3) 【分析】（1）根据垂直平分线的作图方法作图即可； （2）证明四边形为平行四边形．再由即可证明结论成立； （3）求出．证明．作于点G．求出．，即可求出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：四边形是矩形， ． 四边形是菱形， ． ， ． 如图，作于点G． 在中，． ． ． ． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题12分，第23小题12分，共24分． 22．（本题满分12分） 【阅读材料】 某学习小组在研究物体直线运动时发现：在特定条件下路程与时间的关系可以用一次函数来描述．他们定义了一个“平均变化率”的概念，用来描述运动的“快慢均匀性”：设路程是时间的一次函数，取自变量取值范围内的两个不同值，对应的路程，，则比值称为在与之间的平均变化率． (1)【基础验证】①已知一次函数，取，，其平均变化率为_____；再取，，其平均变化率为_____； ②得出结论：我们得出对于任意一次函数（），其图象上任意两点，的平均变化率_____． (2)【核心突破】小组进一步发现：已知直线过点，，直线过点，，且． ①记直线的平均变化率为，记直线的平均变化率为，求的值； ②结论：均不与坐标轴平行的两条直线互相垂直时，平均变化率之积为定值，定值为_____． (3)【拓展应用】如图，平面直角坐标系中、，连接，以为直角边在第二象限内作等腰，过点作直线交轴于点． ①求的面积； ②若点为平面内一点，当以D，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)①2，2；② (2)①；② (3)①；②或或 【分析】（1）根据题目给出的平均变化率定义，将对应的x、y值代入公式计算；对于一般一次函数，将两点坐标代入平均变化率公式化简即可； （2）先分别用A、B和A、C的坐标计算和，再计算两者的乘积，结合垂直的条件归纳定值； （3）①过点F作轴于点H，易证明，进而求出点的坐标，再利用两条直线互相垂直时，平均变化率之积为定值求出点的坐标，最后利用三角形面积公式求解即可； ②根据平行四边形对角线互相平分的性质，分三种情况讨论：以为对角线或以为对角线或以为对角线时，利用中点坐标公式计算点坐标． 【详解】（1）解：①当时，，当时，， 其平均变化率为， 当时，，当时，， 其平均变化率为； ②当时，，当时，， 平均变化率为： ； （2）解：①、， ， ②由①知，，且， 两条垂直且不平行坐标轴的直线平均变化率乘积为定值； （3）解：①过点F作轴于点H，则， 、，为等腰直角三角形， 、、、， ， ， ， 在和中， ， ， 、， ， ， ， 由（2）知，均不与坐标轴平行的两条直线互相垂直时，平均变化率之积为， 直线， ， ， 设点， ， 解得：， ， ， ； ②设点，分情况讨论： （）如图，当以为对角线时： 则的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得：， ； （）如图，当以为对角线时： ， 则的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得：， ； （）如图，以为对角线时： 则的中点坐标为，即，的中点坐标为， ， 解得：， ， 综上所述，点的坐标为或或． 23．（本题满分12分） 数学活动课上，同学们以菱形纸片开展“折纸”活动．已知． (1)如图，折叠后，使点落在对角线上的点处，得到折痕，连接．证明：； (2)如图，折叠后，使点落在边上的点处，折痕与对角线交于点处，连接，，． ①求的度数； ②若菱形的边长为，则的周长是否存在最小值？若存在，求最小值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明：在菱形中，，平分，， ∴，， 又由翻折可知， 在四边形中， (2)①；②存在，理由如下： 由，， 得， 过点N作于点K， ，， 在中，由勾股定理得， ， ． 故当最小时，的周长最小， 即时，的周长最小， 此时，在中，， ， 【分析】（1）根据菱形性质求出，根据折叠性质得，再由四边形内角和即可求出； （2）①过点N作于点P，作于点Q，先根据角平分线性质得到，从而证明，得到，通过角的转化得到，再由四边形内角和即可求出；②过点N作于点K，得到是一个顶角为的等腰三角形，通过勾股定理求出，从而表示出，故时，最小，最小． 【详解】（1）略 （2）解：①如图，过点N作于点P，作于点Q， ∴ 在菱形中，，平分 ， 又由翻折可知，， 在和中， 由， ， ， ， 即， 又∵在四边形中， ， 即． ②略 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ ■■■■ 2026年九年级数学秋季开学学情自测卷 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 择题必须用0.5m黑色签字笔答 识 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 意事 体工整、笔迹清晰。 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 2 2 2 3 3 23 123 123 123 123 123 123 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 4 4 4 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 4 4 5 5 破。 6 6 6 6 5.正确填涂 ■ 7 7 7 7 56789 56789 456789 5678 45678 8 缺考标记 9 9 9 9 9 9 选择题（每小题3分，共30分） 1 [A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][CI[D] 製 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A]B][C][D] 三、填空题（每小题3分，共15分) 11 12 13 的1 14 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分. 16.(8分) 17.(8分) D 18.(8分) 资 3引 -4-3-2-10 1234市 -2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19.(9分) 20.(9分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(9分) D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题12分，第23小题12分， 共24分. 22.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) D M E 图1 图2 在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的眚案无效！ 数学第6页（共6页）