奥数培优第2讲 竖式数字谜探究(讲义)-2025-2026学年四年级数学下册人教版

【人教版】小学四年级下册奥数培优讲义·第2讲 竖式数字谜探究前言 教学目标与学情分析 竖式数字谜是奥数经典题型，通过已知数字和运算规则，推理出未知数字。本讲重点学习加减法、乘法、除法三类竖式数字谜，掌握"找突破口、逐位推理、枚举验证"三大核心方法，培养观察力和逻辑推理能力。 波利亚说：观察是发现的前提，发现是思考的结果。数字谜就像数学侦探游戏，需要你细心观察、严密推理，一步步揭开数字的面纱。学好竖式数字谜，不仅能锻炼我们的逻辑推理能力，还能加深对加减乘除运算本质的理解。让我们一起开启这场数字侦探之旅吧！ 三维教学目标 知识与技能： 掌握竖式数字谜的解题思路与方法；能熟练解决加减法、乘法、除法三类竖式数字谜；理解汉字/字母数字谜的规则。 过程与方法： 学会找突破口（首位、末位、进位、借位），运用枚举法、排除法逐步推理；培养有序思考、严密验证的逻辑思维。 情感态度与价值观： 感受数字谜的趣味性，培养勇于探索、耐心细致的学习品质，提升数学推理能力与自信心。 教学重难点 重点： 找突破口的方法（首位、末位、进位、借位）；枚举验证法；乘法与除法竖式的结构特点。 难点： 多位数乘法竖式的多层推理；除法竖式的结构分析；汉字/字母数字谜的排除法。 【高频易错总提示】 1. 忘记进位/借位：加减法竖式谜中最容易出错的地方，每一步都要标记进位或借位； 2. 首位不能为0：汉字/字母数字谜中，首位（最高位）的数字不能是0； 3. 漏看约束条件："不同汉字代表不同数字"这个条件很容易被忽略； 4. 验算不完整：只验算部分步骤，没有把所有数字填回去完整验算； 5. 枚举不全面：有多种可能时，只试了一种就下结论，漏掉其他可能。 📚一、知识点总结 （一）什么是竖式数字谜 竖式数字谜是给出一个不完整的竖式，其中部分数字用□、汉字、字母或*代替，要求我们根据运算法则和逻辑推理，把缺失的数字填出来，使竖式成立。 （二）三大核心解题方法 1. 找突破口法 从数字最确定的地方入手，常见突破口： 首位：两个一位数相加最多进1，所以和的首位常常是1； 末位：只看个位数字的运算，容易确定； 特殊位：0乘任何数得0，1乘任何数得原数； 进位/借位：加法最多进1，减法最多借1，是重要线索。 2. 枚举验证法 当某个位置有几种可能时，把所有可能的数字列出来，一个一个试，排除不可能的，留下正确的。 3. 排除法 根据条件逐步排除不可能的数字，缩小范围，最终确定答案。 📌 最常用的排除规则：首位不能为 0 在汉字 / 字母数字谜中，最高位（首位）的数字不能是 0。 例如："学习" 是两位数，"学" 在十位，就不能是 0，否则就变成一位数了。 （三）四大常考题型 题型 特点 常见突破口 对应例题 难度 加减法竖式谜 进位最多进1，借位最多借1，规律明确 首位、末位、进位/借位 例 1、例 2 ★★ 乘法竖式谜 位数变化多，推理复杂度较高 个位特征、乘积位数、特殊数字0/1/5 例 3、拓展 1 ★★★ 除法竖式谜 结构复杂，需要理解每一步含义 商的位数、余数、乘积位数 拓展 2 ★★★★ 汉字/字母数字谜 趣味性强，附加"数字不重复"约束 首位不为0、数字不重复、特殊位置 例 2、拓展 3 ★★★ （四）通用解题四步法（速记：找→推→验→检） 1.找突破口：从已知数字多、进位 / 借位明确的位置入手； 2.推导数字：根据运算法则，一步一步推理出未知数字； 3.验算结果：（最重要的一步！）将所有数字填回竖式，从头到尾重新计算一遍，验证是否成立； 4.检查约束：确认所有限制条件（如数字不重复）都满足。 小技巧集锦 1.加法：两个一位数相加最多进1，三个一位数相加最多进2 2.减法：两个一位数相减最多借1 3.乘法：0乘任何数得0，1乘任何数得原数，5乘偶数个位是0、乘奇数个位是5 4.除法：余数一定小于除数 🌟二、经典例题 标注说明：★基础 / ★★提升 / ★★★拔高 / ★★★★挑战 【例1 减法竖式数字谜】★基础 【题目】 把下面算式中缺少的数字补上： 减法竖式 □ □ 9 0 - □ □ □ --------- □ 1 已知：被减数个位是0，差的个位是1。 【解题思路】 四位数减三位数，差是两位数，说明被减数与减数相差不到100。突破口在百位：四位数的千位一定是1（因为差不到100，被减数一定小于1100），减数的百位一定是9（因为要向千位借位）。 【完整解析】 1. 填千位和百位： 四位数减三位数得两位数，说明被减数<1100，减数>900。 被减数千位：1 减数百位：9 被减数百位：0（因为十位相减要向百位借1，百位向千位借1后变成10，借1给十位剩9，9-9=0，正好差的百位没有数字） 2. 填个位： 被减数个位是0，差的个位是1，0减几等于1？不够减，向十位借1，10-□=1，所以减数个位=9。 3. 填十位： 个位向十位借了1，十位又向百位借了1，所以被减数十位是9。 ① 个位：0减9不够，向十位借1，十位9变成8； ② 十位：8减减数十位，要得差的十位9，8不够减，向百位借1，变成18； ③ 18 - 9 = 9，所以减数十位=9，差的十位=9。 4. 完整竖式： 完整竖式 1 0 9 0 - 9 9 9 --------- 9 1 验算：1090-999=91 ✓ 答：被减数1090，减数999，差91。 【随堂小练1】 在□里填数，使竖式成立： □ □ □ □ - □ □ □ --------- 8 8 （提示：四位数减三位数得两位数，被减数的千位和百位分别是多少？） 小练答案：被减数1000，减数912，差88（答案不唯一）。 验算：1000 - 912 = 88，✓ 方法总结 减法竖式谜解题技巧： 1.数差找突破口：四位数减三位数得两位数 → 被减数一定是10xx，减数一定是9xx 2.要标记清楚：每借一次都要记下来，避免忘记 3.一定要验算：把所有数字填回去重新算一遍 【例2 加法汉字数字谜】★★提升 【题目】 在下列加法算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，求出这个算式： 加法汉字谜 我 学 数 学 学 数 学 数 学 + 学 ------------- 4 4 8 8 【解题思路】 从个位开始分析：个位上有4个'学'相加：学+学+学+学，结果的个位是8。先确定"学"可能的取值，再逐一验证，逐步推导出"数"和"我"。 【完整解析】 1. 分析个位，确定"学"的范围： 4个"学"相加，个位是8。 4×学 个位=8 有两种可能： 学=2（4×2=8，个位8，进位0） 学=7（4×7=28，个位8，进位2）。 2. 验证"学"=2： 个位：4×2=8，个位8，进位0。 十位：3个"数"相加，个位是8。 3×数 个位=8 → 数=6（3×6=18），进位1。 百位：2个"学"+进位1 = 2+2+1 = 5 但和的百位应该是4（从整体看），5≠4，矛盾。 所以"学"≠2。 3. 验证"学"=7： 个位：4×7=28，个位8，进位2。 十位：3个"数"+进位2，个位是8。 3×数 个位=6 → 数=2（3×2=6），6+2=8，无进位。 百位：2个"学"+进位0 = 7+7 = 14，百位写4，向千位进1。 千位："我"+进位1 = 和的千位。 所以我+1=4 → 我=3。 4. 验证数字不重复： 我=3，学=7，数=2 验证：3、7、2都不同，符合条件。 5. 完整竖式： 完整竖式 3 7 2 7 7 2 7 2 7 + 7 --------- 4 4 8 8 验算：3727+727+27+7=4488 ✓ 答：我=3，学=7，数=2。 【随堂小练2】 在下列加法算式中，相同汉字代表相同数字，不同代表不同数字： 好 学 生 学 生 + 生 ---------- 5 0 1 小练答案：好=3，学=9，生=7。 验算：397+97+7=501 ✓ 方法总结 加法汉字数字谜解题技巧： 1.从个位或首位突破：个位只看个位运算，首位通常是1 2.标记进位：每一步的进位都要记下来，带到下一位 3.验证"数字不重复"：最后一定要检查所有汉字代表的数字是否都不同 4.枚举要全面：有多种可能时，每种都要验证，不能只试一种 【例3 乘法汉字数字谜】★★提升 【题目】 下面竖式中每个汉字代表一个数字，相同汉字代表相同数字，不同的汉字代表不同的数字，求被乘数。 乘法汉字谜 □ □ □ □ □ 赛 × 赛 ------------------ 数 数 数 数 数 数 【解题思路】 个位"赛×赛"的积的个位不是"赛"，而是"数"。先确定"赛"可能的取值，再逐一验证。 【完整解析】 1. 确定"赛"的范围： 积的个位是'数'，不是'赛'，所以'赛×赛'的个位 ≠ '赛'。 排除：0×0=0，1×1=1，5×5=25，6×6=36（个位都是自身）。 可能：2、3、4、7、8、9。 2. 逐一验证： 赛=2：积个位=4，即数=4。积=444444。被乘数=444444÷2=222222，所有数字都是2，与"不同汉字代表不同数字"矛盾，排除。 赛=3：积个位=9，即数=9。积=999999。999999÷3=333333，全是3，矛盾，排除。 赛=4：积个位=6，即数=6。积=666666。666666÷4=166666.5，不是整数，排除。 赛=7：积个位=9，即数=9。积=999999。999999÷7=142857。检查：1、4、2、8、5、7，六个数字都不同，且都不等于9（数=9），符合条件。 赛=8：积个位=4，即数=4。积=444444。444444÷8=55555.5，不是整数，排除。 赛=9：积个位=1，即数=1。积=111111。111111÷9=12345.666…，不是整数，排除。 3. 结论： 赛=7，数=9，被乘数=142857。 4. 完整竖式： 完整竖式 1 4 2 8 5 7 × 7 ------------- 9 9 9 9 9 9 验算：142857×7=999999 ✓ 验证：1、4、2、8、5、7 六个数字互不重复，符合 "不同汉字代表不同数字" 的要求。 答：被乘数是142857。 【随堂小练3】 下面竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字： 我 们 爱 科 学 × 4 ---------------- 学 科 爱 们 我 （提示：五位数乘4还是五位数，说明"我"是多少？） 答案：我=2，们=1，爱=9，科=7，学=8 验算：21978×4=87912✓ 方法总结 乘法竖式谜解题技巧： 1.从个位突破：个位数字的乘法规律明确，容易确定范围 2.关注位数变化：几位数乘几位数，积是几位数，能帮助确定首位数字 3.特殊数字优先：0、1、5、6这些有特殊性质的数字常常是突破口 4.枚举验证要耐心：把所有可能列出来，一个一个试，不要怕麻烦 🚀三、拓展例题 标注说明：★★★拔高 / ★★★★挑战 【拓展1 乘法竖式数字谜】★★★拔高 【题目】 在□内填入适当的数字，使乘法竖式成立： 乘法竖式谜 6 A B × C D E --------- □ F □ □ □ □ G □ 5 □ 5 ----------- □ □ 5 □ 4 □ 【解题思路】 为清楚起见，我们用A、B、C、D、E、F、G表示□内应填入的数字。突破口：被乘数是六百多，乘以E得到三位数，说明E=1；再从乘积的个位数字和百位数字特征逐步推导。 【完整解析】 1. 确定E=1： 被乘数是 6AB（六百多），乘以 E 得到第一行积（三位数）。 如果 E ≥ 2，那么600×2=1200 已是四位数了。不可能三位数， 所以E 只能是 1，即 E = 1。 第一行积 = 6AB × 1 = 6AB，所以第一行积就是被乘数本身。 因此：第一行积的百位是6，十位是F，个位是B。 即：F = A。 2. 确定B=5： 第三行积的个位是5，即 6AB × C 的个位是5。 乘法中，积的个位只与两个乘数的个位有关，即 B × C 的个位是5。 个位是5的乘法，说明 B 和 C 中至少有一个是5（因为只有5乘奇数个位才是5）。 两种可能： 情况一：C = 5 情况二：B = 5 验证情况一：若 C = 5 第三行积 = 6AB × 5，结果是 □5□5（四位数，千位、百位5、十位、个位5）。 6AB 最小是600，600×5=3000，千位是3。 6AB 最大是699，699×5=3495，千位是3，百位是4。 但第三行积的百位是5，而 6AB×5 的百位最大是4，不可能是5。 矛盾，所以 C ≠ 5。 因此只能是情况二：B = 5。 3. 确定C = 7，A = 4，F = 4： 由B=5，可知：第二行积的个位 G 只能是 0 或 5。 （因为 5 × 偶数 个位是0，5 × 奇数 个位是5） 情况A：若 G = 5 则 D 是奇数。 第三行积 = 6A5 × C = □5□5。 我们逐一试验： C=3：6A5×3，积的百位 = 3×A + 进位 1（因为 3×5=15，进位 1） 要使百位 = 5，即 3A+1 个位 = 5 → 3A 个位 = 4 → A=8（3×8=24） 验证：685×3=2055，百位是 0 不是 5，排除 C=5：6A5×5，千位最小是 3（600×5=3000），最大是 3（699×5=3495） 但第三行积千位后是百位 5，而 6A5×5 百位最大是 4，不可能是 5，排除 C=7：6A5×7，千位最小是 4（600×7=4200） 要使百位 = 5，即 7A + 进位 3（7×5=35，进位 3）的结果十位 = 5 7A + 3 五十多 → 7A 四十多 → A=6（7×6=42）或 A=7（7×7=49） A=6：665×7=4655，百位是 6 不是 5，排除 A=7：675×7=4725，百位是 7 不是 5，排除 C=9：6A5×9，已经是五千多，千位是 5，但百位数字不符合，排除。 因此 G ≠ 5。 情况B：若 G = 0 ✓ 则 D 是偶数。 第三行积 = 6A5 × C = □5□5。 我们来试验： C=3：6A5×3，如前所述，百位无法等于 5，排除  C=5：6A5×5，如前所述，百位最大是 4，排除  C=7：645 × 7 = 4515 → 千位4、百位5、十位1、个位5 → 正好是 □5□5 的形式！✓ 从右往左算： 个位：5×7=35，写 5 进 3 十位：A×7+3，结果个位是 1，向百位进位 A×7 个位 = 1-3 = 8（不够减，借位：11-3=8） 什么数 ×7 个位是 8？4×7=28，个位 8 ✓ 所以 A=4，十位结果 = 28+3=31，写 1 进 3 百位：6×7+3=45，写 5 进 4 ✓ 千位：4 正好是 4515，完全符合！ 因此：C = 7，被乘数 = 645，A = 4，F = 4。 4. 确定D = 2: 第二行积 = 645 × D = □ □ □ 0（个位是0，因为G=0）。 D是偶数，可能是2、4、6、8。 经试验：645 × 2 = 1290，符合条件。 取 D = 2。 5. 完整竖式： 完整竖式 6 4 5 × 7 2 1 ------- 6 4 5 1 2 9 0 4 5 1 5 ----------- 4 6 5 0 4 5 645 + 12900 + 451500 = 465045，与题目格式□□5□4□完全吻合（千位是5，十位是4）。 验算：645×721=465045 ✓ 答：被乘数645，乘数721，积465045。 【随堂小练4】 在□内填入适当的数字，使乘法竖式成立： □ □ 5 × □ --------- 2 □ 7 5 （提示：三位数乘一位数得四位数，说明一位数至少是几？） 答案：325 × 7 = 2275 （答案不唯一，例如：325 × 7 = 2275 ；425 × 7 = 2975；475×5=2375；解题关键：被乘数个位是5，乘数必须是奇数（1、3、5、7、9），且积的十位必须是7。 ） 验算：325 × 7 = 2275✓ 方法总结 复杂乘法竖式谜解题技巧： 1.用字母代替方框：把未知数字用A、B、C等字母表示，便于分析和描述 2.从位数分析入手：几位数乘几位数得几位数，能帮助确定首位数字的范围 3.分情况讨论：有多种可能时，每种情况都要验证，排除不可能的 4.个位是突破口：积的个位只与两个乘数的个位有关，常常能快速缩小范围 【拓展2 除法竖式数字谜】★★★拔高 【题目】 在□内填入适当数字，使除法竖式成立：已知商的个位是5。 除法竖式谜 □ □ 5 ------- □ □|□ □ □ □ □ □ ----- □ □ □ --- □ □ □ □ --- 0 【解题思路】 除法竖式谜先找除数和商。突破口：从竖式结构看，第一次相减后落下十位数字，得到的两位数仍小于除数，不够商1，因此商的十位是0（商中间有0）；再利用"商的个位是5"确定除数范围。 【完整解析】 1. 分析竖式结构，确定商中间有0： 被除数是四位数，除数是两位数，商是三位数。 从竖式结构可以看出：第一次相减后落下十位数字，得到的两位数仍小于除数，不够商1，因此商的十位是 0（商中间有 0）。 商的形式：a05（百位为a，十位为0，个位为5）。 2. 利用“商的个位是 5” 确定除数范围： 除数是两位数，商的个位是 5，即： 除数×5 = 一个两位数， 因为 20 × 5 = 100（三位数），所以除数 < 20。 又因为除数是两位数，所以： 除数在 10～19 之间。 3. 分析第一行积的位数 商的百位 a × 除数 = 第一行积（两位数）。 因为除数 ≥ 10，a × 除数 是两位数。 说明 a 不能太大。 4. 寻找典型解 从竖式结构看，第一次相减后落下的数仍小于除数，不够商1，因此商的十位为0，说明： 被除数前两位 - 第一行积 = 一位数 即：被除数前两位 接近 第一行积 除数×5 是两位数： 10×5=50（两位数）✓ 11×5=55（两位数）✓ 19×5=95（两位数）✓ 20×5=100（三位数）✗ 所以除数在10～19之间，且商的百位a×除数也是两位数。 所以,容易得到的一组组解为： 除数=10, 商 = 905 被除数 = 10 × 905 = 9050 5. 完整竖式验证： 完整竖式 9 0 5 ------- 1 0|9 0 5 0 9 0 --- 0 5 0 --- 5 0 5 0 --- 0 验算：9050÷10=905 ✓ 答：被除数9050，除数10，商905。 说明： 1.本题若仅给出"商的个位是5"一个条件，无其他数字约束，理论上有多组解。例如9050÷10=905、9955÷11=905、1155÷11=105、1260÷12=105等）。 2.注意：除数=10时9050÷10=905符合竖式结构，若题目无额外约束，小学阶段通常取除数最小作为标准答案。本讲基础题型优先选用除数最小的整数作为示范解，竞赛需写出全部符合条件解；其余合法解举例：9955÷11=905、1155÷12=105 等。 💡 校内考试 vs 竞赛区分 1.校内单元测试 / 期末考试：默认写出一组解。 2.奥数竞赛 / 思维训练：可以写出所有符合条件的解 【随堂小练5】 在□内填入适当数字，使除法竖式成立： □ 4 ---------- □ □|□ □ □ □ □ □ ----------- □ □ □ □ ------------ 0 （提示：商只有两位，商的个位是4，除数最大是多少？） 答案：一个典型解：1008 ÷ 12 = 84 验算：1008 ÷ 12 = 84 ✓ 方法总结 除法竖式谜解题技巧： 1.先看商的位数：商有几位，说明被除数前几位够除 2.商中间的0：落下一位后不够商1，就要商0 3.利用乘积位数：除数乘商的某一位，积是几位数，能帮助确定范围 4.余数要小于除数：这是除法的基本规则，常常是隐藏的突破口 【拓展3 加法字母数字谜】★★★★挑战 【题目】 在下列加法算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字。求A、B、C分别代表什么数字： 加法字母谜 A B C + C B A ------- B B C B 【解题思路】 从千位入手：三位数加三位数得四位数，说明千位一定是1，即B=1。再依次分析个位、十位、百位，逐步推导出A和C。 【完整解析】 第一步： 分析千位：确定 B = 1 三位数加三位数得四位数，和的千位只能是1。 所以 B = 1。 第二步：分析个位：确定 C + A = 11 个位：C + A，个位是 B = 1。 所以 C + A = 1 或 11。 但 A 和 C 都是三位数的百位（首位不能为0），且 A ≠ C，所以 C + A ≥ 1 + 2 = 3，不可能等于1。 因此 C + A = 11，个位写1，向十位进位1。 第三步：分析十位：确定 C = 3 十位：B + B + 个位进位，个位是 C。 代入 B = 1，个位进位 = 1： 1 + 1 + 1 = 3 所以十位相加结果是3，个位是 C。 因此 C = 3。 十位相加 = 3，没有向百位进位（3 < 10），即十位进位 = 0。 第四步：分析百位：确定 A = 8 百位：A + C + 十位进位，个位是 B = 1，且向千位进1（因为和是四位数）。 代入 C = 3，十位进位 = 0： A + 3 + 0 = A + 3 结果个位是1，且向千位进1，说明： A + 3 = 11 所以 A = 8。 第五步：验证个位 A + C = 8 + 3 = 11，个位是1（B = 1），进位1。 与第2步结论一致。✓ 第六步：验证 A = 8，B = 1，C = 3 加法竖式验证： 8 1 3 + 3 1 8 ------- 1 1 3 1 和是 1131，即 BBCB = 1 1 3 1，完全符合。 检查：8、1、3 三个数字互不相同，符合条件。✓ 答：A = 8，B = 1，C = 3。 【随堂小练6】 在下列加法算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字： A B + B A ----- C C （提示：两位数加两位数得两位数，十位是C，说明什么？） 答案：A=1, B=2, C=3（12+21=33），答案不唯一 验算：12+21=33 ✓ 方法总结 字母数字谜解题技巧： 1.从最高位突破：几位数相加/相乘得几位数，最高位常常是1 2.标记进位/借位：每一步的进位或借位都要清楚标记 3.数字不重复：不同字母代表不同数字，这是重要约束条件 4.最后要验算：把所有字母换成数字，完整算一遍，确保正确。 ⚠️四、易错题专区 标注说明：本专区精选学生最容易出错的典型题目，配易错分析和避坑技巧 【易错题1 加法竖式谜】★★提升 【题目】 在下面竖式的□内填入合适的数字，使竖式成立： □ □ + □ □ ----- 1 □ 8 【易错点分析】 很多同学做这道题时，直接从个位开始：□+□=8，然后十位：□+□=1□，最后得出答案。但他们常常忘记个位相加可能有进位，导致答案不完整或错误。 例如：有人直接写 24+84=108，虽然答案正确，但思考过程不完整，没有考虑到 39+69=108 这种个位进位的情况。 【正确解法】 第一步：分析个位 个位：□ + □，个位是8。 有两种情况： 情况一：不进位，□+□=8 情况二：进位，□+□=18（只能是9+9=18） 第二步：分析十位 十位：□ + □ + 个位进位，结果是十几（因为和的百位是1）。 两个一位数相加最多进1，所以和的百位一定是1。 第三步：验证情况 情况一（不进位）：个位和=8，十位和=10（因为要向百位进1）。例如：24+84=108 情况二（进位）：个位和=18（9+9），十位和=9（因为加上进位1后是10，向百位进1）。例如：39+69=108 两种情况都成立，所以本题有多组解。 【一个典型答案】 3 9 + 6 9 ----- 1 0 8 验算：39 + 69 = 108 ✓ 【避坑技巧】 做加法竖式谜时，一定要问自己：这一位相加有没有进位？ 个位相加可能有进位，十位相加也可能有进位，每一步都要考虑清楚。 【易错题2 汉字数字谜】★★★拔高 【题目】 在下列加法算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。问："数"代表什么数字？ 数 学 + 学 数 ------- 9 9 【易错点分析】 很多同学看到这道题，直接得出：数+学=9，学+数=9，所以只要两个数字相加等于9就行，比如 18+81=99。 但他们忘记了"首位不能为0"这个重要条件。 如果有人得出 09+90=99，那就错了，因为"数"在十位，不能是0。 【正确解法】 第一步：分析个位和十位 个位：学 + 数，个位是9 十位：数 + 学，个位是9 个位和十位都是"数+学"，结果都一样，说明个位相加没有进位（如果进位，十位就会多1，结果就不一样了）。 所以：数 + 学 = 9 第二步：考虑约束条件 约束条件： · 不同汉字代表不同数字 ✓（数≠学，因为9可以分成两个不同的数字） · 首位不能为0："数"在十位，不能是0；"学"也在十位（第二个数的十位），也不能是0 第三步：找出所有可能 数 + 学 = 9，且数≠0，学≠0，数≠学 可能的组合：1+8、2+7、3+6、4+5、5+4、6+3、7+2、8+1 共8组解。 【一个典型答案】 2 7 + 7 2 ----- 9 9 验算：27 + 72 = 99 ✓ 检查：数=2，学=7，都不为0，且不重复，符合条件。 【避坑技巧】 做汉字/字母数字谜时，一定要记住：首位（最高位）不能是0！ 这是最容易被忽略的约束条件，也是最常见的错误原因。 【易错题3 乘法汉字谜（无解·考察“数字不重复”条件）】★★★★拔高 【题目】 在下列乘法算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。求 "学" 代表什么数字？ 学 习 ✖ 学 ---------- 好 好 【易错点分析】 很多同学做这道题时，只关注 "积是两个相同的数字"，然后开始试：11、22、33...，然后继续推。但他们忘记了"不同汉字代表不同数字"这个条件。 例如：有人得出 11×1=11，但这样 "学"=1，"习"=1，"好"=1，三个汉字都是 1，违反了条件。 【正确解法】 第一步：分析范围 两位数乘一位数得两位数，说明 "学"×"学" 加上十位进位后仍不超过 9（否则积就是三位数了）。 "学" 可能是 1、2、3（因为 4×4=16，已经进位 1，再加上十位进位可能变成三位数）。 第二步：逐一验证 学 = 1：1 习 ×1=1 习，即 "好"=1，"习"= 习。但 "学"=1，"好"=1，两个汉字相同，违反条件，排除。 学 = 2：2 习 ×2 = 好好。积是四十多（20×2=40），所以 "好"=4，积 = 44。44÷2=22，所以 "习"=2。但 "学"=2，"习"=2，相同，违反条件，排除。 学 = 3：3 习 ×3 = 好好。积是九十多（30×3=90），所以 "好"=9，积 = 99。99÷3=33，所以 "习"=3。但 "学"=3，"习"=3，相同，违反条件，排除。 第三步：结论 如果严格要求三个汉字都代表不同数字，这道题没有符合条件的解。 【避坑技巧】 ⚠️做汉字数字谜时，最后一定要检查所有汉字代表的数字是否都不重复！ 这是最容易被忽略的一步，也是最常见的错误原因。 🎮五、趣味挑战题 【趣味挑战 神奇的142857】★★★★挑战 【题目】 142857是一个非常神奇的数字，它被称为"走马灯数"。我们来看看它有多神奇： 142857 × 1 = 142857 142857 × 2 = 285714 142857 × 3 = 428571 142857 × 4 = 571428 142857 × 5 = 714285 142857 × 6 = 857142 发现了吗？乘以1到6，结果都是由1、4、2、8、5、7这六个数字组成的，只是顺序不同，就像走马灯一样转来转去！ 现在请你用竖式数字谜的知识，解决下面这个问题： A B C D E F × 3 ------------- B C D E F A 相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字。求A、B、C、D、E、F分别代表什么数字？ 【提示】 从个位开始分析：F×3，个位是A。然后依次往前推。 别忘了：六位数乘3还是六位数，说明A×3不进位，A可能是多少？ 【解题思路引导】 第一步：从最高位突破 六位数乘 3 还是六位数，说明 A×3 不进位（如果进位就变成七位数了）。 A 可能是几？1、2、3（因为 3×3=9，不进位；4×3=12，进位了）。 第二步：从个位开始推 F×3，个位是 A。我们可以把 A=1、2、3 分别代入试试。 第三步：依次往前推 确定了 F，再看 E×3 + 进位，个位是 F... 这样一位一位往前推。 试试自己推推看，再看答案！ 【答案】 A=1, B=4, C=2, D=8, E=5, F=7 即 142857 × 3 = 428571 ✓ 数学小知识 142857为什么这么神奇？ 因为 1 ÷ 7 = 0.142857142857...，它是1/7的循环节！ 142857这个数字最早发现于埃及金字塔内，是一组神奇的数字，它证明一星期有7天，每过一天，每个数字就轮流值班一次。 💡六、一题多解精选 【经典题 加法竖式谜】 【题目】 在下面竖式的□内填入合适的数字，使竖式成立： □ □ □ + □ □ ------- 1 □ 0 8 【解法一：从高位入手（推荐）】 思路：先确定千位和百位，再推十位和个位。 1. 填千位：三位数加两位数得四位数，和的千位只能是1。 2. 填百位：三位数的百位 + 进位1 = 10（因为和的百位是0，且向千位进1）。所以三位数的百位=9，十位相加向百位进1。 3. 填个位：三位数的个位 + 两位数的个位 = 8 或 18。如果等于18，只能是9+9=18，进位1。 4. 填十位：三位数的十位 + 两位数的十位 + 个位进位 = 10（向百位进1，和的十位是0）。 一个典型答案： 9 0 9 + 9 9 ------- 1 0 0 8 【解法二：从个位入手】 思路：先从个位开始，一步步往前推。 1.填个位：个位相加，个位是8。有两种可能： 不进位：□+□=8 进位：□+□=18（只能是9+9） 2.填十位：十位相加 + 个位进位，个位是0。 如果个位不进位：十位相加个位是0，可能是0+0=0或5+5=10等 如果个位进位1：十位相加个位是9，可能是0+9=9或1+8=9等 3.填百位：三位数百位 + 十位进位，结果是十几（因为和是四位数）。因为三位数的百位是一位数，加上进位（最多1），最大是9+1=10，所以和的百位一定是0，向千位进1。所以三位数的百位 + 十位进位 = 10如果十位进位=1，则三位数百位=9 4.填千位：千位是1。 一个典型答案： 9 2 6 + 8 2 ------- 1 0 0 8 方法对比 · 从高位入手：适合位数差较大的题目，能快速确定最高位，思路清晰，推荐使用 · 从个位入手：适合个位特征明显的题目，需要考虑的情况较多，容易遗漏 大多数题目，从高位入手更简单，因为最高位的范围最小，最容易确定。 ✏️七、基本练习（基础必做，建议 10 分钟完成） 标注说明：★基础 / ★★提升 / ★★★拔高 1. 【加法竖式谜】★基础 在下面竖式的□内填入合适的数字，使竖式成立： □ □ □ + □ □ ---------- 1 □ 0 5 2. 【减法竖式谜】★基础 在下面竖式的□内填入合适的数字，使竖式成立： □ □ □ □ - □ □ □ ------------- □ 7 （提示：四位数减三位数得两位数，被减数和减数分别是多少？） 3. 【乘法竖式谜】★★提升 在下面竖式的□内填入合适的数字，使竖式成立（方框内数字可重复，写出一组符合的解即可）： □ □ 5 × □ --------- 2 □ 7 5 4. 【汉字数字谜】★★提升 在下列加法算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字： 开 心 + 心 开 ------- 8 8 问："开"和"心"分别代表什么数字？（写出所有可能） 🔥八、拓展练习（拔高选做，学有余力的同学挑战） 标注说明：★★★拔高 / ★★★★挑战 1. 【复杂加法竖式谜】★★★拔高 在下面竖式的□内填入合适的数字，使竖式成立： □ □ □ □ □ □ + □ □ □ --------- 2 □ □ 8 2. 【复杂减法竖式谜】★★★拔高 在下面竖式的□内填入合适的数字，使竖式成立： □ 0 0 □ - □ 0 □ --------- □ 9 3. 【乘法竖式谜】★★★拔高 在下面竖式的□内填入合适的数字，使竖式成立（数字可重复，写出一组典型解）： □ □ × □ □ ------ □ □ □ □ ------ □ □ 6 4. 【字母数字谜】★★★★挑战 在下列加法算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字： S E N D + M O R E --------- M O N E Y 这是一道世界著名的数字谜，求每个字母代表什么数字？ （提示：五位数加四位数得五位数，说明M是多少？） 📝九、基本练习完整分步答案 第1题答案 【题目】 □ □ □ + □ □ ------- 1 □ 0 5 【解析】 1. 填千位： 三位数加两位数得四位数，和的千位只能是1。 2. 填百位： 三位数的百位 + 十位进位 = 10（因为和的百位是0，且向千位进1）。 所以三位数的百位=9，且十位相加向百位进1。 3. 填个位： 个位相加，个位是5。 有两种可能： 不进位：□+□=5 进位：□+□=15 4. 填十位： 十位相加 + 个位进位，个位是0，且向百位进1。 即：十位相加 + 个位进位 = 10 我们取一组典型解： 个位进位=1（如7+8=15），则十位相加=9（如3+6=9）。 9+1=10，个位写0，向百位进1。✓ 【一个典型答案】 9 3 7 + 6 8 ------- 1 0 0 5 验算：937 + 68 = 1005 ✓ 📝 说明：本题有多组解，以上为一组典型答案，只要符合条件都正确。 第2题答案 【题目】 □ □ □ □ - □ □ □ --------- □ 7 【解析】 1. 填千位和百位： 四位数减三位数得两位数，说明被减数 < 1100，减数 > 900。 被减数千位：1 减数百位：9 被减数百位：0（因为十位相减要向百位借1，百位向千位借1后变成10，借1给十位剩9，9-9=0） 2. 填个位： 被减数个位 - 减数个位 = 7。 如果不借位：被减数个位 = 减数个位 + 7。 如果借位：被减数个位 + 10 - 减数个位 = 7，即 减数个位 = 被减数个位 + 3。 3. 填十位： 十位相减后得一位数（差的十位），且要向百位借1。 被减数十位 + 10（借位） - 个位借位 - 减数十位 = 差的十位。 差是两位数，说明差≥10。 被减数 - 减数 ≥ 10 被减数 < 1100，减数 > 900。 被减数最小是1000，减数最大是999，差最小是1。 差是两位数，说明差在10到99之间。 我们取一组典型解： 例如：被减数=1000，减数=983，差=17。 验证：1000 - 983 = 17 ✓ 差的个位是7，符合条件。 【一个典型答案】 1 0 0 0 - 9 8 3 --------- 1 7 验算：1000 - 983 = 17 ✓ 说明：本题有多组解，只要符合条件即可。 第3题答案 【题目】 □ □ 5 × □ ------- 2 □ 7 5 【解析】 1. 确定一位数乘数的范围： 三位数乘一位数得四位数，且积的千位是2。 三位数乘一位数得四位数，说明一位数至少是3（因为300×3=900还是三位数，400×3=1200是四位数）。 积的千位是2，说明三位数×一位数在2000到2999之间。 2. 从个位突破： 被乘数个位是5，积的个位也是5。 5 × 一位数，个位是5。 说明一位数是奇数（1、3、5、7、9）。 3. 逐一验证： · 一位数=1：三位数×1=三位数，不是四位数，排除。 · 一位数=3：积在2000-2999，所以三位数在667-999之间。三位数个位是5，所以可能是675、685...995。675×3=2025，积的十位是2，不是7，排除。继续试：725×3=2175，十位是7！✓ 找到一组解：725 × 3 = 2175 验证：725×3=2175，积的千位2、百位1、十位7、个位5，完全符合。✓ 【答案】 7 2 5 × 3 ------- 2 1 7 5 验算：725 × 3 = 2175 ✓ 说明：本题还有其他解，例如475×5=2375，575×5=2875（但5重复，若允许数字重复则合法）等。 第4题答案 【题目】 开 心 + 心 开 ------- 8 8 【解析】 1. 分析个位和十位： 个位：心 + 开，个位是8 十位：开 + 心，个位是8 个位和十位都是"开+心"，结果都一样，说明个位相加没有进位（如果进位，十位就会多1，结果就不一样了）。 2. 得出结论： 开 + 心 = 8 3. 考虑约束条件： · 不同汉字代表不同数字：开 ≠ 心 · 首位不能为0：开 ≠ 0，心 ≠ 0 4. 找出所有可能： 开 + 心 = 8，且开 ≠ 心，开 ≠ 0，心 ≠ 0 可能的组合： · 开=1，心=7（17+71=88） · 开=2，心=6（26+62=88） · 开=3，心=5（35+53=88） · 开=5，心=3（53+35=88） · 开=6，心=2（62+26=88） · 开=7，心=1（71+17=88） 共6组解。 【答案】 共有6组解： · 开=1，心=7 · 开=2，心=6 · 开=3，心=5 · 开=5，心=3 · 开=6，心=2 · 开=7，心=1 📝十、拓展练习完整分步答案 第1题答案 【题目】 □ □ □ □ □ □ + □ □ □ --------- 2 □ □ 8 【解析】 1. 填千位： 三个三位数相加得四位数，和的千位只能是1或2。 题目中千位是2，说明三个三位数相加向千位进2。 三个一位数相加最多进2（9+9+9=27），所以正好进2。 说明三个三位数的百位相加 = 20多（加上十位进位后向千位进2）。 2. 填个位： 三个数的个位相加，个位是8。 可能有进位0、1或2。 3. 找一组典型解： 取一组典型解如下： 三个数都是900多：900+900+900=2700，千位是2，百位是7。 个位相加个位是8：比如6+1+1=8。 906 + 901 + 901 = 2708 验证：906+901+901=2708 ✓ 但这样数字重复太多，我们找一个更有代表性的： 936 + 851 + 921 = 2708 验证：936+851=1787，1787+921=2708 ✓ 【一个典型答案】 9 3 6 8 5 1 + 9 2 1 --------- 2 7 0 8 验算：936 + 851 + 921 = 2708 ✓ 说明：本题有多组解，只要符合条件即可。 第2题答案 【题目】 □ 0 0 □ - □ 0 □ --------- □ 9 【解析】 1. 分析位数： 四位数减三位数得两位数，说明被减数 < 1100，减数 > 900。 被减数千位：1 减数百位：9 所以被减数 = 1 0 0 □，减数 = 9 0 □。 2. 分析个位： 被减数个位 - 减数个位 = 9（差的个位）。 如果不借位：被减数个位 = 减数个位 + 9。 但被减数个位是一位数，减数个位≥0，所以被减数个位≥9。 可能：被减数个位=9，减数个位=0。 如果借位：被减数个位 + 10 - 减数个位 = 9，即 减数个位 = 被减数个位 + 1。 3. 分析十位和百位： 被减数十位是0，减数十位是0。 但个位可能向十位借位，十位是0，不够借，要向百位借。 被减数百位是0，也要向千位借。 这是一道连续借位的减法题。 4. 构造一组解： 被减数=1000，减数=981，差=19。 验证：1000 - 981 = 19 ✓ 差的个位是9，符合条件。 检查：被减数1000，减数981。 被减数：1 0 0 0 → 符合 □ 0 0 □ 题目中减数是 □ 0 □，即十位是0。 所以减数 = 9 0 □。 被减数 = 1 0 0 □ 减数 = 9 0 □ 差 = □ 9 100□ - 90□ = □9 即 1000 + a - (900 + b) = 10c + 9 100 + a - b = 10c + 9 91 + a - b = 10c a和b都是0-9的数字，c是1-9的数字（差是两位数）。 91 + a - b 是10的倍数。 a - b = 10c - 91 c可能是9或10（因为差是两位数，所以c≥1。又因为91+a-b=10c，且a,b都是0-9的数字，所以91-9≤10c≤91+9，即82≤10c≤100，但c是一位数，所以c只能是9）。 c=9：a - b = 90 - 91 = -1，即 b = a + 1 所以：只要减数个位 = 被减数个位 + 1，就成立。 例如：a=5，b=6 被减数=1005，减数=906，差=99 验证：1005 - 906 = 99 ✓ 差是99，个位是9，符合条件。 【答案】 1 0 0 5 - 9 0 6 --------- 9 9 验算：1005 - 906 = 99 ✓ 说明：本题有多组解，只要减数个位 = 被减数个位 + 1 即可。 第3题答案 【题目】 □ □ × □ □ ----- □ □ □ □ ----- □ □ 6 【解析】 1. 分析结构： 两位数乘两位数，第一个部分积（被乘数×乘数个位）是两位数，第二个部分积（被乘数×乘数十位）也是两位数，最后的积是三位数，个位是6。 2. 从个位突破： 积的个位是6，说明被乘数个位 × 乘数个位，个位是6。 可能的组合：1×6、2×3、2×8、3×2、4×4、4×9、6×1、6×6、7×8、8×2、8×7、9×4 3. 分析部分积的位数： 被乘数 × 乘数个位 = 两位数 被乘数 × 乘数十位 = 两位数 说明被乘数和乘数都比较小。 4. 找一组典型解： 我们来试： 被乘数=12，乘数=13 12×3=36（两位数，个位6）✓ 12×1=12（两位数）✓ 最后积：36+120=156（三位数，个位6）✓ 验证：12 × 13 = 156 ✓ 【答案】 1 2 × 1 3 ----- 3 6 1 2 ----- 1 5 6 验算：12 × 13 = 156 ✓ 说明：本题有多组解，如12×13=156、14×14=196、16×11=176、13×12=156等。注意：乘数13和12只是交换位置，竖式结构相同。 第4题答案 【题目】 S E N D + M O R E --------- M O N E Y 【解析】 这是世界著名的"SEND+MORE=MONEY"数字谜。 1. 确定 M = 1，O = 0： 四位数加四位数得五位数，万位只能是1，所以 M = 1。 千位：S + M + 百位进位 = S + 1 + 百位进位。 结果千位是O，且向万位进1。 因为S是一位数，S+1+百位进位最大是9+1+1=11。要向万位进1， 所以： S + 1 + 百位进位 = 10（写0，进1）或 11（写1，进1，但O≠M=1） 所以 O = 0，且 S + 1 + 百位进位 = 10，即 S + 百位进位 = 9。 2. 确定百位进位 = 0，从而 S = 9： 百位：E + O + 十位进位 = E + 0 + 十位进位。结果的百位是N。 因为E ≠ N，所以E + 十位进位 ≠ N。 如果十位进位 = 0，则E = N，矛盾！ 所以十位进位 ≥ 1，且 E + 十位进位 = N + 10×百位进位。 因为E、N都是0-9的数字， E + 十位进位 ≤ 9+1=10（十位进位最大为1，因为个位D+E最大9+8=17，进位1）。 如果百位进位 = 1，则E + 十位进位 = N + 10。 因为E ≤ 9，十位进位 ≤ 1（个位D+E最大为9+8=17，最多进1），所以E + 十位进位 ≤ 10。当且仅当E=9且个位有进位时取等号。 因此N=0。但O=0，且N≠O（不同字母代表不同数字），矛盾！ 所以 百位进位 = 0，从而 S = 9。 且 E + 十位进位 = N。因为十位进位≥1且E≠N， 所以 十位进位 = 1，E + 1 = N。 3. 确定R=8 十位：N + R + 个位进位 = E + 10×十位进位 = E + 10（因为十位进位=1）。 代入N = E + 1： (E + 1) + R + 个位进位 = E + 10 化简：R + 个位进位 = 9 个位：D + E = Y + 10×个位进位。 如果个位进位 = 0，则R = 9，但S = 9，矛盾！ 所以 个位进位 = 1，R = 8。 4. 确定D、E、N、Y 已确定：M=1, O=0, S=9, R=8。已用数字：0,1,8,9。 剩余可用：2,3,4,5,6,7。 个位：D + E = Y + 10（个位进位=1）， 所以 D + E = Y + 10，即 D + E ≥ 12。 且 N = E + 1，N必须是可用数字。 尝试： E = 5，则N = 6。D + 5 ≥ 12 → D ≥ 7。取D = 7，则Y = 2。 检查：5,6,7,2都不在{0,1,8,9}中，且互不相同，符合题意。 5. 验证 S=9, E=5, N=6, D=7 M=1, O=0, R=8, Y=2 ✓ 完整竖式： 9 5 6 7 + 1 0 8 5 --------- 1 0 6 5 2 验算：9567 + 1085 = 10652 ✓ 检查所有字母：S=9, E=5, N=6, D=7, M=1, O=0, R=8, Y=2 8个不同数字，都不重复，符合条件。✓ 【答案】 S=9, E=5, N=6, D=7, M=1, O=0, R=8, Y=2 9 5 6 7 + 1 0 8 5 --------- 1 0 6 5 2 数学趣闻 "SEND + MORE = MONEY"是最著名的数字谜之一，由英国数学家亨利·杜德耐（Henry Dudeney）于1924年创作。 它的巧妙之处在于：SEND（发送）+ MORE（更多）= MONEY（钱），正好组成一句有意义的英文句子！ 📝十一、学习建议 1.多练习：竖式数字谜需要熟能生巧，多做几道题就能找到感觉 2.讲思路：做完题后，试着给别人讲一讲你的解题思路，能讲清楚就是真的会了 3.找规律：不同类型的题目有不同的突破口，注意总结规律 4.耐心细致：数字谜就像侦探破案，需要耐心和细心，不能急躁 恭喜你完成了本讲的学习！竖式数字谜不仅有趣，还能锻炼你的逻辑思维能力。继续加油，你一定能成为数字侦探高手！ 学科网（北京）股份有限公司 $